Dokumen tersebut membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear serta kuadrat. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum, cara penyelesaian, contoh soal, serta rumus-rumus yang terkait.
Makalah ini membahas tentang rangkuman materi Persamaan Diferensial Linier orde n dengan koefisien konstan dan variable serta sistem Persamaan Diferensial Linier simultan. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum PDL, jenis-jenisnya, dan langkah penyelesaian menggunakan metode invers operator dan variasi parameter.
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) terdiri atas dua persamaan linear yang memiliki dua variabel. Penyelesaian SPLDV dapat ditentukan dengan metode grafik, substitusi, atau eliminasi. Metode grafik mencari titik potong grafik kedua persamaan. Metode substitusi mengganti salah satu variabel. Metode eliminasi menyamakan koefisien dan mengurangkan/menjumlahkan persamaan.
Dokumen ini membahas tentang persamaan diferensial biasa, khususnya persamaan diferensial orde pertama. Topik yang dibahas meliputi bentuk umum persamaan diferensial biasa, orde persamaan diferensial, solusi persamaan diferensial, dan metode-metode penyelesaian persamaan diferensial seperti pemisahan variabel dan penggunaan faktor integrasi."
Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAKRaden Ilyas
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye
Bab 3 membahas persamaan dan pertidaksamaan linear dan kuadrat. Persamaan adalah kalimat yang menggunakan tanda sama dengan, sedangkan pertidaksamaan menggunakan tanda <, >, ≤, ≥, ≠. Bab ini juga membahas cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode eliminasi, substitusi, dan eliminasi substitusi.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Fungsi KuadratSAINSFREAK
Menyelesaikan permasalahan nyata yang berkaitan dengan Persamaan Linear, Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan atau Fungsi Kuadrat.
Kunjungi Website Kami: https://sainsfreak.wordpress.com
SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) membahas macam-macam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel seperti grafik, eliminasi, substitusi, dan gabungan. Diberikan contoh soal pemodelan SPLDV dalam kehidupan sehari-hari seperti menentukan harga buku dan pensil berdasarkan jumlah dan total harga yang dibayar Budi dan Wati. Kesimpulannya, SPLDV adalah sistem dua persamaan linear dua variabel yang me
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) membahas definisi, solusi, dan teknik penyelesaian SPLTV melalui eliminasi dan substitusi. Teknik eliminasi digunakan untuk mengubah SPLTV menjadi sistem persamaan dua variabel yang kemudian diselesaikan.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial orde dua homogen dan non homogen. Secara garis besar dibahas tentang bentuk umum persamaan diferensial orde dua, solusi homogen, dan metode penyelesaian persamaan non homogen seperti metode koefisien tak tentu dan metode variasi parameter beserta contoh soalnya.
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan LinearSulthan Isa
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Ringkasan:
Dokumen ini membahas metode-metode penyelesaian sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua dan tiga variabel, yaitu metode grafik, eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi. Contoh soal dan penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya diberikan untuk setiap metode.
Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penerapannya, termasuk definisi koefisien diferensial baku, teorema-teorema turunan, aturan-aturan diferensiasi, dan contoh soal penerapan diferensial untuk menentukan persamaan garis, garis singgung dan normal kurva, serta grafik persamaan.
Makalah ini membahas metode Frobenius untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde kedua homogen. Metode Frobenius melibatkan pengembangan deret pangkat di sekitar titik singular untuk mendapatkan solusi. Persamaan indicial digunakan untuk menentukan pangkat awal dalam pengembangan deret. Terdapat tiga kasus yang mungkin bergantung pada akar persamaan indicial: kasus akar berbeda, akar sama, dan akar dibedakan oleh
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linier satu variabel, dua variabel, dan tiga variabel. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum sistem persamaan linier dan cara menyelesaikannya melalui substitusi, eliminasi, atau kombinasi kedua cara tersebut. Berbagai contoh soal juga diberikan beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penggunaannya untuk mendekati perubahan variabel tergantung (dy) dan akar-akar persamaan. Diferensial dy didefinisikan sebagai f'(x)dx dan dapat digunakan untuk mendekati Δy. Metode iterasi juga dibahas untuk memperbaiki pendekatan akar-akar persamaan.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear serta kuadrat. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum, cara penyelesaian, contoh soal, serta rumus-rumus yang terkait.
Makalah ini membahas tentang rangkuman materi Persamaan Diferensial Linier orde n dengan koefisien konstan dan variable serta sistem Persamaan Diferensial Linier simultan. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum PDL, jenis-jenisnya, dan langkah penyelesaian menggunakan metode invers operator dan variasi parameter.
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) terdiri atas dua persamaan linear yang memiliki dua variabel. Penyelesaian SPLDV dapat ditentukan dengan metode grafik, substitusi, atau eliminasi. Metode grafik mencari titik potong grafik kedua persamaan. Metode substitusi mengganti salah satu variabel. Metode eliminasi menyamakan koefisien dan mengurangkan/menjumlahkan persamaan.
Dokumen ini membahas tentang persamaan diferensial biasa, khususnya persamaan diferensial orde pertama. Topik yang dibahas meliputi bentuk umum persamaan diferensial biasa, orde persamaan diferensial, solusi persamaan diferensial, dan metode-metode penyelesaian persamaan diferensial seperti pemisahan variabel dan penggunaan faktor integrasi."
Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAKRaden Ilyas
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye
Bab 3 membahas persamaan dan pertidaksamaan linear dan kuadrat. Persamaan adalah kalimat yang menggunakan tanda sama dengan, sedangkan pertidaksamaan menggunakan tanda <, >, ≤, ≥, ≠. Bab ini juga membahas cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode eliminasi, substitusi, dan eliminasi substitusi.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Fungsi KuadratSAINSFREAK
Menyelesaikan permasalahan nyata yang berkaitan dengan Persamaan Linear, Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan atau Fungsi Kuadrat.
Kunjungi Website Kami: https://sainsfreak.wordpress.com
SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel) membahas macam-macam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel seperti grafik, eliminasi, substitusi, dan gabungan. Diberikan contoh soal pemodelan SPLDV dalam kehidupan sehari-hari seperti menentukan harga buku dan pensil berdasarkan jumlah dan total harga yang dibayar Budi dan Wati. Kesimpulannya, SPLDV adalah sistem dua persamaan linear dua variabel yang me
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) membahas definisi, solusi, dan teknik penyelesaian SPLTV melalui eliminasi dan substitusi. Teknik eliminasi digunakan untuk mengubah SPLTV menjadi sistem persamaan dua variabel yang kemudian diselesaikan.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan diferensial orde dua homogen dan non homogen. Secara garis besar dibahas tentang bentuk umum persamaan diferensial orde dua, solusi homogen, dan metode penyelesaian persamaan non homogen seperti metode koefisien tak tentu dan metode variasi parameter beserta contoh soalnya.
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan LinearSulthan Isa
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Ringkasan:
Dokumen ini membahas metode-metode penyelesaian sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua dan tiga variabel, yaitu metode grafik, eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi. Contoh soal dan penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya diberikan untuk setiap metode.
Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penerapannya, termasuk definisi koefisien diferensial baku, teorema-teorema turunan, aturan-aturan diferensiasi, dan contoh soal penerapan diferensial untuk menentukan persamaan garis, garis singgung dan normal kurva, serta grafik persamaan.
Makalah ini membahas metode Frobenius untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde kedua homogen. Metode Frobenius melibatkan pengembangan deret pangkat di sekitar titik singular untuk mendapatkan solusi. Persamaan indicial digunakan untuk menentukan pangkat awal dalam pengembangan deret. Terdapat tiga kasus yang mungkin bergantung pada akar persamaan indicial: kasus akar berbeda, akar sama, dan akar dibedakan oleh
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linier satu variabel, dua variabel, dan tiga variabel. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum sistem persamaan linier dan cara menyelesaikannya melalui substitusi, eliminasi, atau kombinasi kedua cara tersebut. Berbagai contoh soal juga diberikan beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penggunaannya untuk mendekati perubahan variabel tergantung (dy) dan akar-akar persamaan. Diferensial dy didefinisikan sebagai f'(x)dx dan dapat digunakan untuk mendekati Δy. Metode iterasi juga dibahas untuk memperbaiki pendekatan akar-akar persamaan.
Power Point Analisis Materi Matematika Menemukan Konsep SPLDV Berdasarkan Teo...Novi Suryani
Dokumen tersebut membahas tentang analisis materi pelajaran matematika mengenai konsep SPLDV berdasarkan teori perkembangan jiwa Piaget dan Erickson. Teori Piaget membahas periode perkembangan kognitif dan aspek-aspeknya, sedangkan teori Erickson membahas tahap-tahap perkembangan psikososial manusia. Analisis menyimpulkan bahwa soal matematika yang diberikan kepada siswa SMA sesuai dengan tahap
PPT Interaktif Pembelajaran Matematika Materi Sistem Persamaan Linier Satu Va...Anita Juliani
Dokumen tersebut membahas tentang multimedia pendidikan matematika dan mengandung informasi mengenai:
1. Materi pelajaran matematika seperti konsep persamaan linier satu variabel dan pengertiannya.
2. Contoh soal dan latihan menyelesaikan persamaan linier.
3. Penjelasan tentang kalimat terbuka dan tertutup dalam bahasa Indonesia.
Dokumen tersebut membahas sistem persamaan linier dua variabel dan mendemonstrasikan penyelesaiannya menggunakan tiga metode yaitu metode grafik, metode substitusi, dan metode eliminasi melalui contoh soal tentang harga pisang dan nanas.
Media Pembelajaran Berbasis ICT "Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)"putinandadewi
Dokumen tersebut merupakan ringkasan tentang sistem persamaan linear dua variabel yang mencakup tujuan pembelajaran, indikator, materi, dan contoh soal. Materi tersebut menjelaskan pengertian sistem persamaan linear dua variabel, metode penyelesaiannya seperti grafik, substitusi, eliminasi, dan campuran, serta contoh soal untuk latihan.
Dokumen tersebut membahas tentang Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV), mulai dari pengertian PLSV, contoh-contohnya, cara menyelesaikan PLSV dengan substitusi dan membentuk setara, serta contoh soal-soal untuk latihan. Terdapat juga pembahasan tentang membuat dan menyelesaikan model matematika berkaitan dengan PLSV.
LKS Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) SMP Kelas VIIIYoshiie Srinita
Dokumen tersebut memberikan contoh soal dan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel yang terkait dengan masalah jual beli sehari-hari. Langkah-langkahnya adalah mendefinisikan variabel, membuat model matematika berupa sistem persamaan, dan menyelesaikannya dengan metode eliminasi dan substitusi.
1. Dokumen ini membahas sistem persamaan linear dua variabel, termasuk bentuk umum dan metode penyelesaiannya seperti metode grafik, substitusi, eliminasi, dan eliminasi substitusi.
2. Metode grafik menyelesaikan sistem persamaan dengan menentukan titik potong antara dua garis yang merepresentasikan masing-masing persamaan.
3. Metode substitusi dan eliminasi menggunakan operasi aljabar untuk menghilangkan satu variabel dan menentukan
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear dua variabel, termasuk pengertian, bentuk umum, contoh soal, dan metode penyelesaiannya seperti substitusi, eliminasi, dan grafik. Beberapa contoh soal dan penyelesaiannya juga dijelaskan untuk membantu pemahaman materi.
Sistem persamaan linear dua variabel (spldv)virly dwe
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), meliputi pengertian, metode penyelesaian (eliminasi, subtitusi, grafik), contoh soal beserta penyelesaiannya, serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Dokumen ini memberikan panduan lengkap tentang konsep dan penyelesaian SPLDV.
Dokumen tersebut membahas tentang Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV), yang terdiri atas dua persamaan linier dengan dua variabel. Ada beberapa metode untuk menyelesaikannya, yaitu metode grafik, substitusi, dan eliminasi. Metode grafik menggambar kedua persamaan dan mencari titik potongnya. Metode substitusi menyatakan satu variabel dalam variabel lain. Metode eliminasi menghapus satu variabel dengan mengurangi pers
Sistem persamaan linear tiga variabel membahas tentang menentukan penyelesaian sistem persamaan yang terdiri dari tiga variabel. Terdapat beberapa metode penyelesaian seperti metode eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi. Contoh soal dan penyelesaiannya juga dijelaskan secara rinci.
Dokumen tersebut membahas tentang aljabar, yang didefinisikan sebagai cara untuk menghitung dan memanipulasi hubungan antara jumlah menggunakan huruf untuk mewakili angka. Dokumen tersebut juga membahas bentuk aljabar, operasi hitung pada bentuk aljabar, unsur-unsur dalam aljabar seperti suku dan variabel, persamaan linear, sistem persamaan linear satu dan dua variabel, serta cara menyelesaikannya.
Dokumen tersebut membahas tentang remidi matematika khususnya sistem persamaan linear dua variabel dan cara penyelesaiannya melalui metode substitusi dan metode grafik."
Sistem persamaan non-linear dapat diubah menjadi sistem persamaan linear dengan memisalkan variabel non-linear menjadi variabel linear, kemudian diselesaikan dan hasilnya dikembalikan ke pemisalan semula.
Sistem persamaan linier dua variabel dibahas dengan metode substitusi dan eliminasi. Contoh soal dan pembahasannya menggunakan model matematika dan penyelesaian sistem persamaan untuk menentukan himpunan penyelesaian, nilai variabel, dan luas/bilangan yang diminta.
Teks tersebut membahas tentang sistem persamaan linear (SPL) yang meliputi pengertian, contoh, jenis solusi, dan metode penyelesaian SPL seperti aturan Cramer, invers matriks, eliminasi Gauss, dan eliminasi Gauss-Jordan.
PPT SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN PROGRAM LINEAR.pptx02RiniHandayani
Sistem persamaan linear dan program linear membahas:
1. Pengertian sistem persamaan linear dua dan tiga variabel serta metode penyelesaiannya seperti grafik, eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi.
2. Pengertian program linear sebagai metode untuk memecahkan masalah optimalitas dengan batasan yang dinyatakan dalam sistem pertidaksamaan linear.
The document discusses the history and development of numerals across different ancient civilizations. It describes how the Brahmi numerals for 2 and 3 evolved over time into the Nagari numerals used in India today. It also mentions the Mayan base-20 numeral system and the geometric figures used to represent numbers 1 through 10 in the old Chinese shang fang da zhuan numeration style. The document concludes by presenting a math trick where manipulating equations results in the false statement that 4 equals 3.
A matrix is a rectangular arrangement of numbers organized in rows and columns. The order of a matrix refers to the number of rows and columns. Entries are the individual numbers within the matrix. Matrices can be added or subtracted if they have the same order by performing the operations on the corresponding entries. A matrix can also be multiplied by a scalar by multiplying each entry of the matrix by the scalar.
This document contains 30 equations involving addition, subtraction, and variables. The equations are of the form of a single variable (x or y) equal to an expression involving addition, subtraction and numbers. The goal is to solve for the unknown variable.
This document provides instructions for using candy and cereal as math manipulatives to teach primary school children basic math concepts. It offers over a dozen lesson plans and examples to teach skills like skip counting, odd/even, greater/less than, addition, subtraction, and more. The lessons use candy and cereal in creative ways to engage children and make math more fun by relating it to treats they enjoy eating.
2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) terdiri atas dua persamaan
linear dua variabel, yang keduanya tidak berdiri sendiri, sehingga kedua
persamaan
hanya memiliki satu penyelesaian.
Berikut ini adalah beberapa contoh SPLDV :
1. x + y = 3 dan 2x – 3y = 1
2. 5x + 2y = 5 dan x = 4y – 21
3. x = 3 dan x + 2y – 15 = 0
Himpunan penyelesaian SPLDV dapat diselesaikan dengan 3 cara , yaitu :
1. Cara grafik
2. Cara substitusi
3. Cara eleminasi
3. Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV
dengan cara Grafik
Menentukan himpunan penyelesaian
SPLDV dengan cara Substitusi
Menentukan himpunan penyelesaian
SPLDV dengan cara eleminasi
4. Menentukan himpunan penyelesaian
SPLDV dengan cara Grafik
Untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara grafik,
langkahnya adalah sebagai berikut :
a. Menggambar garis dari kedua persamaan pada bidang cartesius
b. Koordinat titik potong dari kedua garis merupakan himpunan penyelesaian
Catatan : Jika kedua garis tidak berpotongan (sejajar) , maka SPLDV tidak
mempunyai penyelesaian.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : 2x + 3y = 12 dan 4x –
3y – 6 = 0
Jawab :
i) 2x + 3y = 12
Titik potong dengan sumbu x , y =0
2x + 3.0 = 12
2x = 12
x=6
diperoleh titik (6,0)
5. 6
Titik potong dengan sumbu y, x = 0
2.0 + 3y = 12
3y = 12 4
y=4
diperoleh titik (0,4)
2 3,2
ii) 4x – 3y – 6 = 0 ↔ 4x – 3y = 6
Titik potong dengan sumbu x , y =0
4x – 3y = 6
4x – 3.0 = 6
-10 -5 5
x=6
4
Titik potong dengan sumbu y, x = 0 -2
4.0 – 3y = 6
– 3y = 6
y = -2
-4
diperoleh titik (0,-2)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { (3,2) }
6. Menentukan himpunan penyelesaian
SPLDV dengan cara Substitusi
Substitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
a. Menyatakan variable dalam variable lain, misal menyatakan x dalam y atau
sebaliknya.
b. Mensubstitusikan persamaan yang sudah kita rubah pada persamaan yang lain
c. Mensubstitusikan nilai yang sudah ditemukan dari variabel x atau y ke salah satu
persamaan.
Contoh :
Tentukan HP dari sistem persamaan x + 2y = 4 dan 3x + 2y = 12
Jawab :
x + 2y = 4, kita nyatakan x dalam y, diperoleh : x = 4 – 2y
Substitusikan x = 4 – 2y ke persamaan 3x + 2y = 12
7. 3(4 – 2y) + 2y = 12
12 – 6y + 2y = 12
-4y = 0
y=0
Substitusikan y = 0 ke persamaan x = 4 – 2y
x = 4 – 2.0
x=4
Jadi himpunan penyelesainnya adalah {(4,0)}
8. Menentukan himpunan penyelesaian
SPLDV dengan cara Eleminasi
Eleminasi artinya menghilangkan salah satu variable. Pada cara eleminasi ,
koefisien dari variabel harus sama atau dibuat menjadi sama.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
a. Nyatakan kedua persamaan ke bentuk ax + by = c
b. Samakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan, melalui cara
mengalikan dengan bilangan yang sesuai ( tanpa memperhatikan tanda )
c. – Jika koefisien dari variabel bertanda sama (sama positif atau sama
negatif), maka kurangkan kedua persamaan
– Jika koefisien dari varibel yang dihilangkan tandanya berbeda (positif
dan negatif ), maka jumlahkan kedua persamaan.
9. Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sitem persamaan x + y = 4 dan x –
y=2
Jawab :
Mengeliminasi x
x+y=4 ( koefisien x sudah sama, dan tandanya sama positif ,
x–y=2 maka kita kurangkan kedua persamaan )
–
2y = 2 Catatan : x – x = 0
y=1 y – (-y) = 2y
Mengeliminasi y
x+y=4 ( koefisien y sudah sama, dan tandanya berbeda, maka kita
x–y=2 jumlahkan kedua persamaan )
+
2x = 6 Catatan : x + x = 2x
x=3 y + (-y) = 0
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 1)}
10. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x,y, dan z dapat
dituliskan sebagai berikut :
ax + by + cz = d atau a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l a3x + b3y + c3z = d3
dengan a, b, c, e, f, g, h, I, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3,
dan d3 merupakan bilangan real .
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat
ditentukan dengan beberapa cara sebagai berikut :
1. Metode substitusi
2. Metode eliminasi
11. Menentukan himpunan penyelesaian
SPLTV dengan cara Substitusi
Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan
linear tiga variabel dgn menggunakan metode
substitusi adalah sebagai berikut :
a. Pilihlah salah satu persamaan yang
sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y
dan z atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai
fungsi x dan y.
b. Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada
langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya
sehingga didapat sistem persamaan linear dua
variabel.
c. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel
yang diperoleh pada langkah 2.
12. Contoh :
Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut
x – 2y + z = 6
3x + y + 2z = 4
7x – 6y – z = 10
Jawab:
Dari persamaan x – 2y + z = 6 x = 2y – z + 6
variabel x ini disubstitusikan ke persamaan 3x + y -2z = 4 dan 7x – 6y
– z = 10 diperoleh :
3(2y – z + 6) + y – 2z = 4
6y – 3z + 18 + y – 2z = 4
7y – 5z = –14 (3)
7(2y – z + 6) – 6y – z = 10
14y – 7z + 42 – 6y – z = 10
8y – 8z = – 32
y–z=–4 (4)
13. Persamaan 3 dan 4 membentuk sistem persamaan linear dua
variabel y dan z:
7y – 5z = –14 dari persamaan y – z = – 4 y=z–4
y – z = –4
variabel y disubstitusikan ke persamaan 7y -5z = –14, diperoleh :
7 (z – 4) – 5z = –14
7z – 28 – 5z = – 14
2z = 14
z=7
Substitusikan nilai z = 7 ke persamaan y = z – 4, diperoleh
y=7–4=3
Substitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke persamaan x = 2y – z + 6,
diperoleh
x = 2(3) – 7 + 6
x=6–7+6
x=5
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)}
14. Menentukan himpunan penyelesaian
SPLTV dengan cara Eleminasi
Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan
menggunakan metode eliminasi adalah :
a. Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh sistem persamaan
linear dua variabel.
b. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang didapat pada langkah 1.
c. Substitusikan nilai – nilai dua variabel yang diperoleh pada langkah 2 ke dalam salah
satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lainnya.
Contoh :
Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear :
2x – y + z = 6
x – 3y + z = –2
x + 2y – z = 3
15. Eliminasi peubah z:
Dari persamaan pertama dan kedua: Dari persamaan kedua dan ketiga:
2x – y + z = 6 x – 3y + z = –2
x – 3y + z = –2 x + 2y – z = 3
x + 2y = 8 (4) 2x – y = 1 (5)
Persamaan 4 dan 5 membentuk sistem persamaan linear dua peubah x dan y
x + 2y = 8
2x – y = 1
Eliminasi peubah y:
x + 2y = 8 x 1 x + 2y = 8
2x – y = 1 x 2 4x – 2y = 2
5x = 10
x=2
16. Eliminasi peubah x:
x + 2y = 8 x 2 2x + 4y = 16
2x – y = 1 x 1 2x – y = 1
5y = 15
y=3
Nilai z dicari dengan mensubstitusikan x = 2 dan y = 3 ke salah satu persamaan
semula misal x + 2y – z = 3
x + 2y – z = 3
2 + 2(3) – z = 3
8–z=3
x=5
Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah {(2, 3, 5)}
17. Sistem persamaan campuran adalah sistem persamaan linear
dan kuadrat. Sistem persamaan ini dibagi menjadi dua bagian
sebagai berikut :
1. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat
berbentuk Eksplisit
2. Sistem persamaan Linear dan kuadrat, bagian kuadrat
berbentuk Implisit
18. 1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat, bagian kuadrat berbentuk
Eksplisit
Suatu persamaan dua peubah x dan y dinyatakan berbentuk eksplisit jika
persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y)
y = ax + b Bagian linear
y = px2 + qx + r Bagian kuadrat
Dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan – bilangan real.
Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linear dan kuadrat dapat ditentukan melalui langkah –
langkah sebagai berikut :
Langkah 1 :
Substitusikan bagian linear ke bagian kuadrat
Langkah 2:
Nilai – nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan
linear
19. Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan
kuadrat berikut ini :
y=x–1
y = x2 – 3x + 2
Substitusikan bagian linear y = x – 1 ke bagian kuadrat y = x2 – 3x + 2,
diperoleh x – 1 = x2 – 3x + 2
x2 – 4x + 3 = 0
(x – 1)(x – 3) = 0
x = 1 atau x = 3
Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x – 1
Untuk x = 3 diperoleh y = 3 – 1 = 2 jadi (3, 2)
Untuk x = 1 diperoleh y = 1 – 1 = 0 jadi (1, 0)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 0), (3, 2)}
20. 2. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk
implisit
Persamaan dua peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit jika
persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau
x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = 0.
px + qy + r = 0 Bagian linear
ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0 Bagian kuadrat
Dengan a, b, c, d, e, f, p, q dan r merupakan bilangan – bilangan real.
Bilangan kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu :
A. Bentuk implisit yang tidak dapat difaktorkan
B. Bentuk implisit yang dapat difaktorkan
21. A. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk
implisit yang tak dapat difaktorkan
Langkah – langkah penyelesaiannya adalah :
Langkah 1:
Pada bagian linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x
Langkah 2:
Substitusikan x dan y pada langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat,
sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x dan y
Langkah ketiga:
Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah 2,
kemudian nilai – nilai yang didapat disubstitusikan ke persamaan linear
22. Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat
berikut ini : x + y – 1 = 0
x2 + y2 – 25 = 0
Dari persamaan x + y – 1 = 0 menjadi y = 1 – x
Substitusi y ke persamaan x2 + y2 – 25 = 0, diperoleh :
x2 + ( 1 – x)2 – 25 = 0
x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0
2x2 – 2x – 24 = 0
x2 – x – 12 = 0
(x + 3)(x – 4) = 0
x = -3 atau x = 4
Substitusi nilai – nilai x = -3 aatau x = 4 ke persamaan y = 1 – x
Untuk x = -3 diperoleh y = 1 – (-3) = 4 jadi (-3, 4)
Untuk x = 4 diperoleh y = 1 – 4 = -3 jadi (4, -3)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-3, 4)(4, -3)}
23. B. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat
berbentuk implisit yang dapat difaktorkan
Langkah – langkah penyelesaiannya adalah :
Langkah 1:
Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke dalam faktor –faktor
dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh L1.L2 = 0.
L1.L2 = 0. jadi L1 = 0 atau L2 = 0, dengan L1 dan L2 masing – masing
berbentuk linier
Langkah 2:
Bentuk – bentuk linear yang diperoleh pada langkah 1
digabungkan dengan persamaan linear semula, sehingga
diperoleh sistem – sistem persamaan linear dengan dua peubah.
Kemudian selesaikan tiap sistem persamaan linier itu
24. Contoh: Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan
kuadrat berikut:
2x + 3y = 8
4x2 – 12xy + 9y2 = 16
Bagian bentuk kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut:
4x2 – 12xy + 9y2 = 16
(2x – 3y)2 – 16 = 0
(2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0
2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0
Penggabungan dengan persamaan linear semula diperoleh:
2x + 3y = 8 2x + 3y = 8
2x – 3y + 4 = 0 2x – 3y – 4 = 0
Dari sistem persamaan ini Dari sistem persamaan ini diperoleh
diperoleh penyelesaian (1, 2) penyelesaian ( 3, 2/3)
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan itu adalah {(1,2), (2, 2/3)}
25. Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dalam bentuk yang
sederhana dapat dituliskan sebagai berikut :
y = ax2 + bx + c Bagian kuadrat pertama
y = px2 + qx + r Bagian kuadrat kedua
Langkah – langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan kuadrat dan kuadrat
Langkah 1 :
Substitusikan bagian kuadrat yang pertama kebagian kuadrat yang kedua
Langkah 2 :
Nilai – nilai x yang diperoleh dari langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke
bagian kuadrat yang pertama atau bagian kuadrat yang kedua ( pilihlah
bentuk yang sederhana).
26. Contoh: Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan
kuadrat dan kuadrat berikut ini:
y = x2 – 1
y = 1 – x2
Substitusi y = x2 – 1 ke persamaan y = 1 – x2, diperoleh :
x2 – 1 = 1 – x2
2x2 – 2 = 0
x2 – 1 = 0
(x + 1)(x – 1) = 0
x = -1 atau x = 1
Substitusikan x = -1 atau x = 1 ke persamaan y = x2 - 1
Untuk x = -1 diperoleh y = (-1)2 – 1 = 0 jadi (-1, 0)
Untuk x = 1 diperoleh y = (1)2 – 1 = 0 jadi (1, 0)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 0),(1, 0)}
27. 1. Jika diketahui sistem persamaan berikut ini:
2x + y = 5
x + 3y = 10
Maka, berapakah himpunan penyelesaiannya?
{(1,3)}
{(3,1)}
{(-1,3)}
{(1,-3)}
{(3,-1)}
2. Jika x, y adalah himpunan penyelesaian persamaan 2x – 3y =7 dan 3x + 2y =
4, maka nilai x2 adalah ...
2
4
1
8
16
28. 3. Diketahui sistem persamaan berikut ini:
x 2
y 3
4
y 4
x 8
3
Berapakah himpunan penyelesainnya?
2,6
2,6
6,2
6, 2
2, 6
29. 1. Jika (x0, y0, z0) penyelesaian sistem persamaan:
x+z=3
2y – z = 1
x–y=1
Maka, x0 + y0 + z0 = ...
3
4
6
8
11
2. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan:
P + q + r = 12
2p – q + 2r = 12
2p + 2q- r =18
30. Adalah p, q, r , dengan p : q : r = ....
3:2:1
2:3:5
1:2:4
3:4:5
2:3:4
3. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan linear:
2x – y = -8
2y + z = 8
3x + y + z = -3
Adalah...
4
3
2
-2
-3
31. 1. Jika himpunan penyelesaian sistem persamaan x-y=1 dan x2-xy=7 adalah
x1 , y1 , x2 , y2 maka harga y1+y2=....
-2
-1
1
2
0
2. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y=x2-2x+5 dan y=4x adalah...
{(5,-20),(1,4)}
{(-5,20),(-1,-4)}
{(5,20),(1,4)}
{(-5,20),(-1,4)}
{(5,20),(-1,4)}
32. 3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x+y=7 dan x2+y2=25 adalah
{(x 1 ,y1 ) }, {(x 2 , y 2 ) }. Berapakah nilai x1dan x2?
3 dan -3
-3 dan -4
3 dan -4
-4 dan 4
3 dan 4
33. Jika {(x, y) } adalah himpunan penyelesaian persamaan 3x2 + y2 = 7
dan x2 – 3y2 = -11 serta y > x > 0, maka nilai x + y sama dengan ...
1,5
2
3
4
5
34. 1. Suatu kios fotokopi mempunyai dua buah
mesin, masing-masing berkapasitas 4
rim/jam dan 2 rim/jam. Jika pada suatu
hari jumlah kerja kedua mesin tersebut 10
jam dan menghasilkan 34 rim, maka
lamanya mesin dengan kapasitas 4 rim/jam
bekerja adalah...
5
4
6
7
9
35. 2. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk,dan 1 kg
anggur adalah Rp 70.000,00 dan harga 1 kg
mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah
Rp 90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg
jeruk,dan 3 kg anggur Rp 130.00,00, maka
harga 1 kg jeruk adalah...
Rp 5.000,00
Rp 7.500,00
Rp 10.000,00
Rp 12.000,00
Rp 15.000,00
36. 3. Suatu pesta dihadiri oleh orang dewasa
dan anak-anak. Setelah 5 orang dewasa
meninggalkan pesta
tersebut, perbandingan jumlah orang
dewasa dan jumlah anak-anak menjadi
7 : 5. Kemudian setelah 10 orang anak-
anak meninggalkan pesta
tersebut, perbandingan jumlah orang
dewasa dan anak-anak menjadi 7 : 3.
Biaya pesta 1 orang adalah Rp
50.000,00. Jumlah biaya yang
diperlukan dalam pesta tersebut
adalah...
Rp 3.750.000,00
Rp 4.500.000,00
Rp 5.250.000,00
Rp 6.500.000,00
Rp 7.250.000,00
37. 4. Badrun mengayuh sepeda dari kota A ke
kota B dengan kecepatan rata-rata
60km/jam. Ahmad menyusul 45 menit
kemudian. Badrun dan Ahmad masing-
masing berhenti selama 15 menit dalam
perjalanan, sedang jarak A dan B 225 km.
Kecepatan yang harus diambil Ahmad
supaya tiba di kota B pada waktu yang
sama adalah...
70 km/jam
75 km/jam
80 km/jam
85 km/jam
90 km/jam
38. 5. Uang Amir Rp 20.000,00 lebih banyak
dibandingkan uang Budi, ditambah dua
kali uang Doni. Jumlah uang
Amir, Budi, dan Doni adalah Rp
100.000,00. Selisih uang Budi dan Doni
adalah Rp 5.000,00. Uang Amir adalah...
Rp 22.000,00
Rp 33.000,00
Rp 51.000,00
Rp 67.000,00
Rp 80.000,00