Sistem persamaan linear tiga variabel membahas tentang menentukan penyelesaian sistem persamaan yang terdiri dari tiga variabel. Terdapat beberapa metode penyelesaian seperti metode eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi. Contoh soal dan penyelesaiannya juga dijelaskan secara rinci.

1. Sistem Persamaan Linear

2. Kompetensi Dasar
KD 3 KD 4
Menyusun sistem persamaan
linear tiga variabel dari
masalah kontekstual.
Menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan
dengan sistem persamaan
linear tiga variabel.

3. Persamaan Linear
Persamaan linear Persamaan yang memunculkan variabel-
variabel tunggal berpangkat satu.
Contoh: a. 2 + x = 5 (persamaan linear satu variabel)
b. x + y = 6 (persamaan linear dua variabel)
c. 3p + 5q = 11 (persamaan linear dua variabel)
d. a + b – c = 9 (persamaan linear tiga variabel)
Bagaimana dengan yang berikut ini, apakah
masih termasuk persamaan linear?
a. 2x2 – y = 5
b. 3xy – 5z = 3
c. x = 10

4. a. 2x2 – y = 5
Bukan persamaan linear, karena ada variabel yang tidak
berpangkat satu.
b. 3xy – 5z = 3
Bukan persamaan linear, karena xy bukan variabel
tunggal walaupun keduanya berpangkat satu.
c. x = 10
Bukan persamaan linear, karena ada variabel yang tidak
berpangkat satu.
Nah, sekarang bisakah kalian
memberikan contoh-contoh
persamaan linear?

5. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Secara umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
dalam variabel x dan y dapat dituliskan sebagai berikut:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Dengan a1, b1, c1, a2, b2, c2 ϵ Bilangan Real
Contoh: i. 2x + 3y = 12
2x – y = 4
ii. 2x + y = 0
2x – 5y = 9

6. Penyelesaian SPLDV
Penyelesaian SPLDV
Metode Grafik
Metode Subtitusi
Metode Eliminasi
Metode Eliminasi-Subtitusi

7. A. Metode Grafik
Langkah-langkah menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV
dengan metode grafik:
a. Menentukan titik potong masing-masing grafik/garis dengan
sumbu X dan sumbu Y.
 Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika y = 0.
 Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika x = 0
b. Gambarlah masing-masing garis/grafik persamaan pada bidang
Cartesius. Jika kedua garis/grafik saling:
 Berpotongan pada satu titik, maka himpunan
penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota.
 Sejajar, maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki
anggota.
 Berimpit, maka himpunan penyelesaiannya memiliki
anggota yang tak hingga banyaknya.

8. Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut
dengan metode grafik.
x + 2y = 10
3x – 2y = 6
Jawab:
Menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
x + 2y = 10
x 0 10
y 5 0
(x, y) (0, 5) (10, 0)
3x – 2y = 6
x 0 2
y –3 0
(x, y) (0, –3) (2, 0)

9. 0
X
Y
(0, 5)
(10, 0)
(0, –3)
(2, 0)
(4, 3)
3x – 2y = 6
x + 2y = 10
Tampak bahwa grafik kedua garis berpotongan di titik (4, 3).
Dengan demikian HP = {(4, 3)}.

10. B. Metode Substitusi
Langkah-langkah menentukan Himpunan Penyelesaian
SPLDV dengan metode substitusi:
a. Memilih salah satu persamaan, kemudian
menyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai
fungsi x.
b. Substitusikan x atau y pada langkah a ke
persamaan lainnya.
c. Menyelesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai
x dan y.

11. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV
berikut dengan metode substitusi:
Jawab:
2x – 3y = 7
3x + 2y = 4
x =
7 + 3y
2
3x + 2y = 4
….. Pers. 1
….. Pers. 2
Substitusikan Pers. 1 ke Pers. 2
3 + 2y = 4
7 + 3y
2
(kedua ruas dikalikan 2)
 3 (7 + 3y) + 4y = 8
 21 + 9y + 4y = 8
 13y = 8 – 21
2x – 3y = 7
3x + 2y = 4

12. Substitusikan y = –1 ke Pers. 1
7 + 3y
2
x =
7 + 3 (–1)
2
 x =
7 – 3
2
 x =
4
2
 x =
 x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah = {(2, –1)}.
 y =
–13
13
 y = –1

13. C. Metode Eliminasi
Eliminasi: proses mengeliminasi (menghilangkan) salah
satu variabel untuk menentukan nilai variabel lainnya dan
sebaliknya.
Langkah-langkah menentukan Himpunan Penyelesaian
SPLDV dengan metode eliminasi:
a. Mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabel,
misalnya variabel x dengan cara menjumlahkan/
mengurangkan suku-suku yang sama dari kedua
persamaan sehingga diperoleh nilai variabel lainnya,
yaitu variabel y.
b. Eliminasikan variabel yang kedua, yaitu variabel y,
sehingga diperoleh nilai variabel x.

14. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut
dengan menggunakan metode eliminasi.
2x – y = 2
3x – 2y = 1
Jawab:
 Eliminasi variabel x.
2x – y = 2
3x – 2y = 1
× 3
× 2
6x – 3y = 6
6x – 4y = 2
y = 4
–
Koefisien dari variabel x pada kedua persamaan tidak sama,
maka masing-masing persamaan dikalikan dengan konstanta
yang bersesuaian sehingga koefisien x menjadi sama.

15.  Eliminasi variabel y.
2x – y = 2
3x – 2y = 1
× 2
× 1
4x – 2y = 4
3x – 2y = 1
x = 3
–
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah = {(3, 4)}.
Koefisien dari variabel y pada kedua persamaan tidak sama,
maka masing-masing persamaan dikalikan dengan konstanta
yang bersesuaian sehingga koefisien y menjadi sama.

16. C. Metode Eliminasi–Substitusi
Langkah-langkah menentukan Himpunan Penyelesaian
SPLDV dengan metode eliminasi-substitusi:
a. Mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabel,
misalnya x sehingga diperoleh nilai variabel yang
kedua, yaitu variabel y.
b. Mensubstitusikan nilai variabel y yang diperoleh pada
langkah a ke salah satu persamaan.

17. Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV
berikut dengan menggunakan metode eliminasi-
substitusi.
2x – 3y = 4
7x + 2y = 39
Jawab:
 Eliminasi variabel x.
2x – 3y = 4
7x + 2y = 39
× 7
× 2
14x – 21y = 28
14x + 4y = 78
–25 y = –50
y = (–50)/(–25)
y = 2
–

18.  Substitusikan y = 2 ke salah-satu persamaan.
2x – 3y = 4
 2x – 3(2) = 4
 2x – 6 = 4
 2x = 4 + 6
 2x = 10
 x = 10/2
 x = 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya = {(5, 2)}.

19. Latihan 1
1. Gunakan metode grafik untuk menyelesaikan SPLDV berikut.
5x + 7y = 6
2x + 3y = 1
a. b. 4x + 3y = 15
2x + y = 6
2. Tentukan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan
metode eliminasi-substitusi.
7x – 3y = 19
2x + y = 11
a. b. 3x – y = 110
5x – 2y = 120

20. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dengan variabel
x, y, dan z secara umum dapat dituliskan dalam bentuk:
Dengan a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 ϵ Bilangan Real
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Himpunan penyelesaiannya = {(x, y, z)}.

21. Penyelesaian dari SPLTV dapat ditentukan dengan metode
eliminasi, metode substitusi, maupun metode gabungan
eliminasi-substitusi.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut.
x – y + 2z = 5
2x + y – z = 9
x – 2y + 3z = 4
Jawab:
… Pers. 1
… Pers. 2
… Pers. 3
x – y + 2z = 5
2x + y – z = 9
x – 2y + 3z = 4

22.  Mengeliminasi variabel x.
 Pers. 1 dan Pers. 2
x – y + 2z = 5
2x + y – z = 9
× 2
× 1
2x – 2y + 4z = 10
2x + y – z = 9
–3y + 5z = 1
–
… Pers. 4
 Pers. 1 dan Pers. 3
x – y + 2z = 5
x – 2y + 3z = 4
y – z = 1
–
… Pers. 5
 Pers. 4 dan Pers. 5
–3y + 5z = 1
y – z = 1
× 1
× 3
–3y + 5z = 1
3y – 3z = 3
2z = 4
z = 4/2 = 2
+
 Mengeliminasi variabel y.

23.  Mensubstitusikan z = 2 ke Pers. 5
y – z = 1
 y – 2 = 1
 y = 1 + 2
 y = 3
 Mensubstitusikan z = 2 dan y = 3 ke Pers. 2
2x + y – z = 9
 2x + 3 – 2 = 9
 2x + 1 = 9
 2x = 9 – 1
 2x = 8
 x = 8/2 = 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya = {(4, 3, 2)}.

24. Latihan 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut.
x + y + 2z = 1
4x + 2y + z = 4
9x + 3y + z = 17
a.
2x + y – z = 9
x + 2y + z = 6
3x – y + 2z = 17
b.

25. Oleh:
SITI SRI SHOFIATI, S.Pd
SEKIAN
&
SELAMAT BELAJAR