SPLTV

1. BAB 3
Sistem Persamaan Linear dan
Pertidaksamaan Dua Variabel
Standar Kompetensi:
 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan linear
Kompetensi Dasar:
 Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua
variabel
 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear
 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan
penafsirannya
 Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar
 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel
 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan
penafsirannya

2. Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel (SPLDV)
SPLDV dalam variabel x dan y dapat ditulis sebagai
dengan a, b, c, p, q, dan r atau a1, b1, c1, a2, b2, dan c2
merupakan bilangan-bilangan real.
rqypx
cbyax


222
111
cybxa
cybxa

atau
SPLDV homogen:
5
1


yx
yx
SPLDV tak homogen:
0
132


yx
yx

3. Penyelesaian SPLDV
Contoh
x + y = 1
x + y = 5
mempunyai penyelesaian (2,3)

1

-1 2 3 4 5
Y
X0
(-1, 0)
(2, 3)
2
3
4
5 (0, 5)
 

(5, 0)
g : x + y = 11
g : x + y = 52
Penyelesain suatu SPLDV dengan dua peubah dapat ditentukan dengan
beberapa cara
i. Metode Grafik
ii. Metode Subtitusi
iii. Metode Eliminasi, dan
iv. Metode Determinan

4. Metode Subtitusi
Contoh: 2x  3y = 7
3x + 2y = 4
Jawab:
2x  3y = 7
 2x = 7 + 3y
 x = 7 + 3y
2Subtitusikan ke persamaan
3x + 2y = 4, diperoleh:
3
2
7 + 3y
+ 2y = 4
 3(7 + 3y) + 4y = 8
 21 + 9y + 4y = 8
 13y = 13
 y = 1
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV adalah (2,  1)
x =
 x = 2
7 + 3 (1)
2
Subtitusikan nilai y =  1 ke persamaan x =
7 + 3y
2
diperoleh:

5. Metode Eliminasi
Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y, sedangkan nilai y dicari dengan
cara mengeliminasi peubah x.
Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan:
8
3
4
3
4
2





y
x
y
x
Jawab:
x  2
+ y
4
= 3 ,tiap ruas dikalikan 4
y + 4
3
x + = 8, tiap ruas dikalikan 3
Dengan demikian, persamaan semula ekuivalen dengan SPLDV:
x + 4y = 14
3x + y = 20

6. METODE DETERMINAN
x + 4y = 14
3x + y = 20
ax+by=c
px+qy=r
bpaq
brcq
qp
ba
qr
bc
x



bpaq
cpar
qp
ba
rp
ca
y



Contoh:
Tentukan HP dari SPLDV berikut!


















r
c
y
x
qp
ba

7. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel (SPLTV)
SPLTV dalam variabel x, y, dan z dapat ditulis sebagai:
Himpunan penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan:
i. Metode Subtitusi,
ii. Metode Eliminasi, atau
iii. Metode Determinan.
atau
lkzjyix
hgzfyex
dczbyax



3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa




8. Metode Subtitusi
Contoh:
x + 2y – 3z = 8
4x - y + 2z = 0
Jawab:
x + 2y – 3z = 8
 x = 8 – 2y + 3z
Subtitusikan ke persamaan
4x - y + 2z = 0, diperoleh:
 3(7 + 3y) + 4y = 8
 21 + 9y + 4y = 8
 13y = 13
 y = 1
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV adalah (2,  1)
x =
 x = 2
7 + 3 (1)
2
Subtitusikan nilai y =  1 ke persamaan x =
7 + 3y
2
diperoleh:
3x + 3y - 4z = 13
 4 (8 - 2y + 3z) – y + 2z = 0

9. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit
y = ax + b
y = px2 + qx + r
...... bagian linear
...... bagian kuadrat
Langkah 1
Subtitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px2 + qx + r, diperoleh
ax + b = px2 + qx + r
 px2 + qx − ax + r − b = 0
 px2 + (q − a)x + (r − b) = 0, merupakan persamaan kuadrat dalam x.
Langkah 2
Nilai-nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubtitusikan ke persamaan ke persamaan
y = ax + b.

10. SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit
SPLK dengan bagian berbentuk implisit
px + qy + r = 0
ax + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
...... bagian linear
...... bagian kuadrat berbentuk implisit
Himpunan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak
dapat difaktorkan
Langkah 1:
Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
Langkah 2:
Substitusikan x atau y pada Langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga
diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
Langkah 3:
Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada Langkah 2, kemudian nilai-nilai
yang didapat disubstitusikan ke persamaan linear.

11. Contoh
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK
x + y − 1 = 0
x2 + y2 − 25 = 0
Jawab:
Substitusi y = 1 − x ke persamaan x² + y² − 25 = 0
x2 + (1 − x)2 − 25 = 0
 x2 + 1 − 2x + x2 − 25 = 0
 2x2 − 2x − 24 = 0
 x2 − x − 12 = 0
 (x + 3)(x − 4) = 0
 x = −3 atau x = 4
Untuk x = −3 diperoleh: y = 1 − (−3) = 4  (−3,4).
Untuk x = 4 diperoleh: y = 1 − 4 = −3  (4, −3).
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: (−3, 4),(4,−3).

12. 3 4 521
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
−1−2−3−4−5

0



(-3, 4)

(4, −3)
x + y − 1 = 0
Y
X

13. SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit
Dapat Difaktorkan
Menentukan himpunan penyelesaian SPLK
Bentuk linear
Bentuk kuadrat yang
dapat difaktorkan
SPLDV yang diperoleh
L = 0
L = 0
L = 01
L = 0
L = 02
L = 02atauL = 01
atau
1L ·L = 0 2

14. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut
2x + 3y = 8
4x 2 − 12x + 9y2 = 16
Jawab:
4x2 − 12xy + 9y2 = 16
 (2x− 3y)2 − 16 = 0
 (2x − 3y + 4)(2x − 3y − 4) = 0
 2x − 3y + 4 = 0 atau 2x − 3y −4 = 0
2x + 3y = 8
2x − 3y + 4 = 0
Dari SPLDV ini diperoleh
penyelesaian (1,2).
2x + 3y = 8
2x − 3y − 4 = 0
Dari SPLDV ini diperoleh penyelesaian (3, ).2
3
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK itu adalah {(1,2), (3, )}.2
3
Contoh

15. Pertidaksamaan Satu Variabel
Pengertian Selang
Misalkan R adalah himpunan bilangan real.
{x l x < 3, x  R
Himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan real R dinamakan
selang ata interval.
Selang pada umumnya merupakan himpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan.
−2 −1 0 1 2 3
{x l x < 3, x  R

16. No. Selang atau Interval Grafik Selang
1. p < x < q
2. p ≤ x ≤ q
3. p ≤ x < q
4. p < x ≤ q
5. x < q
6. x ≤ q
7. x  p
8.
x ≥ p
p
o o
q
 
p q

p q
o
o
p q

o
q
q


p
q
o

17. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Contoh: 3x − 6  0
 3x  6
 x  2
Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x l x  2}.
−2 −1 0 1 2 3 4

x  2

18. Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk Umum:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
Contoh:
Tentukan nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan berikut:
a. 𝑥2
+ 5𝑥 − 6 ≥ 0
b. 2𝑥2
− 𝑥 − 3 < 0

19. Pertidaksamaan Pecahan
Himpunan penyelesian pertidaksamaan berbentuk pecahan
dapat ditentukan melalui langkah-langkah berikut.
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
 0,< 0, ≤ 0, ≥ 0atau
Langkah 1
Carilah nilai-nilai nol bagian pembilang dan bagian penyebut dari bentuk pecahan
yaitu f(x) = 0 dan g(x) = 0
f(x)
g(x)
Langkah 2
Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis bilangan, sehingga diperoleh interval-interval.
Langkah 3
Tentukan tanda-tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang berada dalam
masing-masing interval.
Langkah 4
Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh pada Langkah 3, kita dapat menentukan
interval yangmemenuhi g(x) = 0.

20. o
21
+  +
Penyebut tidak boleh sama dengan nol 3x + 3  0  x  1
Jadi, himpunanpertidaksamaan pecahan adalah
HP = {x l 1 < x ≤ 2}
2x  4
3x + 3
≤ 0
2x  4
3x + 3
≤ 0
Jawab:
Nilai nol bagian pembilang : 2x  4 = 0  x = 2
Nilai nol bagian penyebut : 3x + 3 = 0  x = 1
Nilai-nilai nol pembilang dan penyebut, serta tanda-tanda interval diperlihatkan
pada
Contoh

21. Contoh:
Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi:
a.
2𝑥−1
𝑥+3
≤ 3
b.
3𝑥−5
2𝑥+4
>
𝑥−1
𝑥−2