1. PERSAMAAN LINEAR DAN
KUADRAT
Oleh : Sherli Pitrah Dewi
SMA NEGERI 1 BANGKINANG KOTA
2. 1. Pengertian Penyelesaian Sistem
Persamaan
Pasangan x = x0, y = y0 atau (x0, y0) dikatakan
penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua
variabel apabila pasangan tersebut memenuhi
sistem persamaan itu. Memenuhi artinya jika
disubstitusikan, maka nilai ruas kiri = nilai ruas
kanan.
3. Sistem persamaan linear dua variabel
dapat diselesaikan dengan beberapa cara.
Mengubah sistem persamaan linear dua variabel
menjadi persamaan satu variabel dapat
dilakukan dengan menggunakan metode
eliminasi, metode substitusi, atau metode
gabungan eliminasi-substitusi. Cara lain untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear dua
variabel adalah dengan metode grafik.
4. 2. Metode Substitusi
Langkah-langkah menyelesaikan sistem
persamaan menggunakan metode substitusi adalah
sebagai berikut :
1. Tulis salah satu persamaan menjadi y = ... atau
x = ...
2. Substitusikan ke persamaan kedua, kemudian
selesaikan.
3. Substitusikan nilai yang diperoleh pada langkah
(2) untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.
5. Contoh
Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut
menggunakan metode substitusi!
• x ‒ 4y = 13
• 2x + 3y = ‒7
1. Tulis salah satu persamaan menjadi y = ... atau x = ...
x ‒ 4y = 13 ↔ x = 4y + 13
2. Substitusikan ke persamaan kedua, kemudian selesaikan.
Substitusikan x = 4y + 13 ke 2x + 3y = ‒7
maka diperoleh 2(4y + 13) + 3y = ‒7
8y + 26 + 3y = ‒7
11y = ‒33
y =-3
3. Substitusikan nilai yang diperoleh pada langkah (2) untuk
mendapatkan nilai variabel yang lain.
Substitusikan y = ‒3 ke x = 4y + 13,
maka diperoleh x = 4(‒3) + 13 = 1
Jadi nilai x = 1 dan y = ‒3.
6. 3. Metode eliminasi
Mengubah sistem persamaan linear dua variabel menjadi
sebuah persamaan linear satu variabel dapat juga dilakukan
dengan mengeliminir (menghilangkan) satu variabel untuk
menentukan nilai variabel yang lainnya.
Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan
menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut.
1. Perhatikan koefisien x (atau y). Jika sama, kurangi
persamaan yang satu oleh persamaan yang lain. Jika
angkanya sama tetapi tandanya berbeda, jumlahkan kedua
persamaan itu.
2. Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan
mengalikan kedua persamaan dengan bilangan yang sesuai,
kemudian jumlahkan atau kurangkan seperti pada langkah
1.
7. Contoh
Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berikut
menggunakan metode eliminasi!
5x = ‒3y + 2
2y = 3x ‒ 5
diubah menjadi
5x + 3y = 2
3x ‒ 2y = 5
Mengeliminasi variabel y
Mengeliminasi variabel x
Jadi x = 1 dan y = ‒1.
8. 4. Metode eliminasi-substitusi
(gabungan)
Dalam metode ini, nilai variabel pertama dicari
dengan metode eliminasi, sedangkan nilai
variabel kedua diperoleh dengan metode
substitusi.
Tentukan himpunan penyelesaian dari
9. 5. Metode grafik
Misalkan grafik persamaan dari
ax + by = c dan px + qy = r digambarkan sebagai berikut.
Dalam metode grafik,
penyelesaian sistem persamaan
linear dua
variabel adalah titik potong
kedua garis dari persamaan-persamaan
linear. Pada gambar disamping,
yaitu A(xo, yo)
10. Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini
dengan metode grafik
Pada gambar grafik, garis 2x + 3y = 12 dan
‒x + y = ‒1 berpotongan pada x = 3 dan y =
2. Jadi, himpunan penyelesaian sistem
persamaan tersebut adalah {(3,2)}.
11. Sistem persamaan linear tersebut jika digambarkan dengan dua
garis lurus dalam satu bidang Cartesius akan memiliki 3
kemungkinan, yaitu:
Kedua garis berpotongan, sehingga mempunyai
satu penyelesaian
Kedua garis sejajar, sehingga tidak mempunyai
penyelesaian
Kedua garis berimpit, sehingga mempunyai tak
hingga penyelesaian
12. B. Sistem Persamaan Linear Tiga Peubah
Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel
dengan variabel x, y, z adalah:
dengan ai, bi, ci, di bilangan real; i = 1, 2, 3.
Apabila nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan
linear tiga variabel adalah x0, y0, dan z0, maka himpunan
penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas
adalah { ( x0, y0, z0) }.
Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga
variabel yaitu dengan metode gabungan eliminasi-substitusi
15. C. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat
Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dua
variabel dengan variabel x dan y adalah:
dengan a, b, p, q, dan r bilangan real.
Dalam menyelesaikan sistem persamaan ini dapat
digunakan dua cara yaitu metode substitusi dan metode
grafik
17. Apabila contoh sebelumnya diselesaikan menggunakan metode
grafik, maka akan diperoleh grafik yang saling berpotongan antara
garis y = x + 4 dengan parabola y = x2 + 2x ‒ 8, seperti gambar di
bawah ini
18. Dari beberapa contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa
sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel:
y = ax + b
y = px2 + qx + r
yang setelah diproses substitusi menjadi px2 + (q ‒ a)x + (r ‒ b) = 0
1. Memiliki dua penyelesaian jika diskriminan px2 + (q ‒ a)x +
(r ‒ b) = 0 lebih dari nol. (D > 0) kurva memotong di dua titik.
2. Memiliki satu penyelesaian jika diskriminan px2 + (q ‒ a)x
+ (r ‒ b) = 0 sama dengan nol. (D = 0) garis dan parabola
saling menyinggung .
3. Tidak memiliki penyelesaian jika diskriminan px2 + (q ‒ a)x +
(r ‒ b) = 0 kurang dari nol. (D < 0) garis dan parabola tidak
saling menyentuh
19. D. Sistem Persamaan Kuadrat
Bentuk umum sistem persamaan kuadrat dengan variabel
x dan y adalah:
dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan real
Dalam menyelesaikan sistem persamaan ini dapat digunakan
metode-metode yang telah kita pelajari sebelumnya.
20. Perhatikan gambar di bawah! Misalkan parabola 1 dan parabola 2
merupakan parabola-parabola dari sistem persamaan kuadrat:
Memiliki satu penyelesaian, jika (1) dan (2)
saling menyinggung dan diskriminannya sama
dengan nol (D = 0)
21. Memiliki dua penyelesaian, jika (1) dan (2)
saling berpotongan dan diskriminannya lebih
dari nol (D > 0)
Memiliki tak hingga penyelesaian, jika (1) dan
(2) saling berimpit
22. Tidak memiliki penyelesaian, jika (1) dan (2)
tidak saling berpotongan dan diskriminannya
lebih kecil dari nol. (D < 0)
23. Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan:
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 0), (6, 12)}.
24. E. Sistem Persamaan Bentuk Aljabar Berderajat
Dua dengan Dua variabel
Bentuk umum dari sistem-sistem persamaan tersebut di
antaranya:
dengan a, b, c, d, e, f, p, q, r, s, t dan u bilangan real
Langkah pertama untuk menyelesaikan sistem
persamaan ini adalah dengan mengubah sistem
persamaan itu menjadi persamaan satu variabel, lalu
diselesaikan dengan metode substitusi, eliminasi,
gabungan ataupun grafik.
25. Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan:
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 3) (‒ 3, ‒4)}.
26. F. Penerapan Konsep Sistem Persamaan
Linear dan Kuadrat dalam Pemecahan
Masalah
Konsep sistem persamaan linear dan kuadrat
banyak diterapkan dalam memecahkan suatu
masalah. Masalah tersebut biasanya ditampilkan
dalam bentuk soal cerita. Sehingga langkah
pertama untuk menyelesaikannya adalah
menerjemahkan kalimat-kalimat pada soal cerita
menjadi model matematika yang menggunakan
sistem persamaan.
27. Contoh
Dengan uang sebesar Rp 27.000,00, Rani telah membeli 2 buku,
3 pulpen, dan 4 penggaris di sebuah toko. Di toko yang sama,
Riko telah membeli 1 buku, 2 pulpen, dan 1 penggaris dengan
uang sebesar Rp 13.000,00. Begitupun Rini, dengan uang
sebesar Rp 13.000,00, dia telahmembeli 2 buku dan sebuah
pensil. Tentukanlah harga sebuah buku, pulpen, dan penggaris!
Pembahasan
Misalkan: harga sebuah buku = x rupiah
harga sebuah pulpen = y rupiah
harga sebuah penggaris = z rupiah
28. Model matematika dari persoalan di atas adalah :
Mengeliminasi z dari (1) dan (2)
Mengeliminasi x dari (3) dan (4)
29. Substitusikan y = 3.000
Substitusikan x = 5.000 dan y = 3.000 ke x + 2y + z = 13.000
Jadi, harga sebuah buku, pulpen, dan penggaris berturut-turut
adalah Rp5.000,00; Rp3.000,00; dan Rp2.000,00.
