Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) membahas definisi, solusi, dan teknik penyelesaian SPLTV melalui eliminasi dan substitusi. Teknik eliminasi digunakan untuk mengubah SPLTV menjadi sistem persamaan dua variabel yang kemudian diselesaikan.
Sistem persamaan linear dua variabel (spldv)virly dwe
Β
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), meliputi pengertian, metode penyelesaian (eliminasi, subtitusi, grafik), contoh soal beserta penyelesaiannya, serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Dokumen ini memberikan panduan lengkap tentang konsep dan penyelesaian SPLDV.
Analisis KD Matematika kelas 7 SMP Indikator 3.5 - 4.8Rahma Tika
Β
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang indikator kompetensi dasar dan indikator pencapaian untuk mata pelajaran matematika kelas VII SMP/MTs semester ganjil. Ringkuman utama dokumen tersebut adalah:
1. Dokumen tersebut membahas delapan indikator kompetensi dasar mulai dari indikator 3.5 sampai 4.8
2. Mencakup penjelasan konsep-konsep aljabar, persamaan, pertidaksamaan, rasio, dan per
Modul ini membahas tentang materi matriks pada kelas XI SMK. Modul ini menjelaskan pengertian matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, dan cara menyatakan data dalam bentuk matriks beserta contoh-contohnya. Modul ini juga menjelaskan model pembelajaran, alat evaluasi, dan target capaian pembelajaran siswa untuk materi ini.
This document outlines the syllabus for an 8th grade mathematics class in SMPN 12 Sinjai for the 2021/2022 odd semester. It includes the core competencies, materials, indicators, character values, learning activities, time allocation, learning resources, and assessment for each competency standard. The competency standards cover topics such as patterns in number sequences and object configurations, the Cartesian coordinate system, relations and functions using various representations, and linear functions as linear equations. Learning activities involve observing patterns in real-world examples, collecting information on topics, and presenting findings. Assessment includes observation of attitudes, testing of written and oral knowledge, and evaluation of project and observation skills.
Dokumen ini memberikan lembar kerja untuk siswa SMP kelas VIII tentang menyajikan data dalam tabel, diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran menggunakan Microsoft Excel. Terdapat tiga bagian yang mendiskusikan penyajian data dalam bentuk diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran beserta contoh soal untuk dikerjakan siswa.
Sistem persamaan linear dua variabel (spldv)virly dwe
Β
Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), meliputi pengertian, metode penyelesaian (eliminasi, subtitusi, grafik), contoh soal beserta penyelesaiannya, serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Dokumen ini memberikan panduan lengkap tentang konsep dan penyelesaian SPLDV.
Analisis KD Matematika kelas 7 SMP Indikator 3.5 - 4.8Rahma Tika
Β
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang indikator kompetensi dasar dan indikator pencapaian untuk mata pelajaran matematika kelas VII SMP/MTs semester ganjil. Ringkuman utama dokumen tersebut adalah:
1. Dokumen tersebut membahas delapan indikator kompetensi dasar mulai dari indikator 3.5 sampai 4.8
2. Mencakup penjelasan konsep-konsep aljabar, persamaan, pertidaksamaan, rasio, dan per
Modul ini membahas tentang materi matriks pada kelas XI SMK. Modul ini menjelaskan pengertian matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, dan cara menyatakan data dalam bentuk matriks beserta contoh-contohnya. Modul ini juga menjelaskan model pembelajaran, alat evaluasi, dan target capaian pembelajaran siswa untuk materi ini.
This document outlines the syllabus for an 8th grade mathematics class in SMPN 12 Sinjai for the 2021/2022 odd semester. It includes the core competencies, materials, indicators, character values, learning activities, time allocation, learning resources, and assessment for each competency standard. The competency standards cover topics such as patterns in number sequences and object configurations, the Cartesian coordinate system, relations and functions using various representations, and linear functions as linear equations. Learning activities involve observing patterns in real-world examples, collecting information on topics, and presenting findings. Assessment includes observation of attitudes, testing of written and oral knowledge, and evaluation of project and observation skills.
Dokumen ini memberikan lembar kerja untuk siswa SMP kelas VIII tentang menyajikan data dalam tabel, diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran menggunakan Microsoft Excel. Terdapat tiga bagian yang mendiskusikan penyajian data dalam bentuk diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran beserta contoh soal untuk dikerjakan siswa.
The document discusses Stokes' theorem, which relates the line integral of a vector field F around a closed oriented curve C to a surface integral of the curl of F over any surface S whose boundary is C. It provides the mathematical definition of Stokes' theorem, an analogy to Green's theorem, and an example proof for a special case where the surface S is the graph of a function z=g(x,y). It also gives two examples of using Stokes' theorem to calculate line integrals.
Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penggunaannya untuk mendekati perubahan variabel tergantung (dy) dan akar-akar persamaan. Diferensial dy didefinisikan sebagai f'(x)dx dan dapat digunakan untuk mendekati Ξy. Metode iterasi juga dibahas untuk memperbaiki pendekatan akar-akar persamaan.
Dokumen tersebut membahas tentang limit fungsi pada matematika SMA dan strata satu, meliputi definisi limit, sifat-sifat limit, contoh soal limit, dan penjelasan lebih lanjut mengenai definisi limit.
oleh neneng
Nurwaningsih
(06081281520066)
Nurwaningsih30@gmail.com
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
INDRALAYA
2017
semoga bermanfaat
1. Integral kompleks merupakan integral fungsi bernilai kompleks di sepanjang lintasan tertentu.
2. Terdapat sifat-sifat integral kompleks seperti integral lintasan yang berlawanan akan meniadakan dan nilai integral kompleks untuk lingkaran berpusat di suatu titik bernilai iΟ.
3. Integral kompleks dapat digunakan untuk menghitung nilai integral di sepanjang lintasan yang terdiri dari beberapa penggal garis.
Ibu Mina membutuhkan waktu 3 hari untuk menyelesaikan pekerjaan sendirian, sedangkan Budi membutuhkan waktu 6 hari. Jika bekerja bersama, mereka dapat menyelesaikan pekerjaan tersebut dalam waktu 2 hari.
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas tentang melukis sudut dengan menggunakan alat seperti busur derajat, jangka, dan penggaris. Materi akan disampaikan melalui diskusi kelompok dan presentasi, diikuti kuis untuk mengevaluasi pemahaman siswa. Tujuannya adalah agar siswa dapat dengan tepat melukis berbagai sudut yang ditentukan besarannya.
Dokumen tersebut merupakan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) tentang Integral tak tentu dan tentu untuk kelas XII. RPP ini menjelaskan standar kompetensi, indikator, tujuan pembelajaran, materi ajar, pendekatan pembelajaran, alokasi waktu, langkah-langkah kegiatan, penilaian, dan sumber belajar.
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
Fungsi kontinu seragam pasti kontinu biasa tetapi fungsi kontinu biasa tidak selalu kontinu seragam. Fungsi kontinu seragam memiliki sifat bahwa batas fungsi sama dengan nilai fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi metrik pada ruang riil satu dan dua dimensi, contoh himpunan terbuka dan tertutup, konvergensi barisan Cauchy, dan kontinuitas peta kontraksi.
The document discusses Stokes' theorem, which relates the line integral of a vector field F around a closed oriented curve C to a surface integral of the curl of F over any surface S whose boundary is C. It provides the mathematical definition of Stokes' theorem, an analogy to Green's theorem, and an example proof for a special case where the surface S is the graph of a function z=g(x,y). It also gives two examples of using Stokes' theorem to calculate line integrals.
Dokumen tersebut membahas tentang diferensial dan penggunaannya untuk mendekati perubahan variabel tergantung (dy) dan akar-akar persamaan. Diferensial dy didefinisikan sebagai f'(x)dx dan dapat digunakan untuk mendekati Ξy. Metode iterasi juga dibahas untuk memperbaiki pendekatan akar-akar persamaan.
Dokumen tersebut membahas tentang limit fungsi pada matematika SMA dan strata satu, meliputi definisi limit, sifat-sifat limit, contoh soal limit, dan penjelasan lebih lanjut mengenai definisi limit.
oleh neneng
Nurwaningsih
(06081281520066)
Nurwaningsih30@gmail.com
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
INDRALAYA
2017
semoga bermanfaat
1. Integral kompleks merupakan integral fungsi bernilai kompleks di sepanjang lintasan tertentu.
2. Terdapat sifat-sifat integral kompleks seperti integral lintasan yang berlawanan akan meniadakan dan nilai integral kompleks untuk lingkaran berpusat di suatu titik bernilai iΟ.
3. Integral kompleks dapat digunakan untuk menghitung nilai integral di sepanjang lintasan yang terdiri dari beberapa penggal garis.
Ibu Mina membutuhkan waktu 3 hari untuk menyelesaikan pekerjaan sendirian, sedangkan Budi membutuhkan waktu 6 hari. Jika bekerja bersama, mereka dapat menyelesaikan pekerjaan tersebut dalam waktu 2 hari.
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas tentang melukis sudut dengan menggunakan alat seperti busur derajat, jangka, dan penggaris. Materi akan disampaikan melalui diskusi kelompok dan presentasi, diikuti kuis untuk mengevaluasi pemahaman siswa. Tujuannya adalah agar siswa dapat dengan tepat melukis berbagai sudut yang ditentukan besarannya.
Dokumen tersebut merupakan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) tentang Integral tak tentu dan tentu untuk kelas XII. RPP ini menjelaskan standar kompetensi, indikator, tujuan pembelajaran, materi ajar, pendekatan pembelajaran, alokasi waktu, langkah-langkah kegiatan, penilaian, dan sumber belajar.
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
Fungsi kontinu seragam pasti kontinu biasa tetapi fungsi kontinu biasa tidak selalu kontinu seragam. Fungsi kontinu seragam memiliki sifat bahwa batas fungsi sama dengan nilai fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi metrik pada ruang riil satu dan dua dimensi, contoh himpunan terbuka dan tertutup, konvergensi barisan Cauchy, dan kontinuitas peta kontraksi.
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan LinearSulthan Isa
Β
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Ringkasan:
Dokumen ini membahas metode-metode penyelesaian sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua dan tiga variabel, yaitu metode grafik, eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi. Contoh soal dan penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya diberikan untuk setiap metode.
Sistem persamaan linear tiga variabel membahas tentang menentukan penyelesaian sistem persamaan yang terdiri dari tiga variabel. Terdapat beberapa metode penyelesaian seperti metode eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi. Contoh soal dan penyelesaiannya juga dijelaskan secara rinci.
PPT SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN PROGRAM LINEAR.pptx02RiniHandayani
Β
Sistem persamaan linear dan program linear membahas:
1. Pengertian sistem persamaan linear dua dan tiga variabel serta metode penyelesaiannya seperti grafik, eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi.
2. Pengertian program linear sebagai metode untuk memecahkan masalah optimalitas dengan batasan yang dinyatakan dalam sistem pertidaksamaan linear.
Dokumen tersebut membahas tentang aljabar, yang didefinisikan sebagai cara untuk menghitung dan memanipulasi hubungan antara jumlah menggunakan huruf untuk mewakili angka. Dokumen tersebut juga membahas bentuk aljabar, operasi hitung pada bentuk aljabar, unsur-unsur dalam aljabar seperti suku dan variabel, persamaan linear, sistem persamaan linear satu dan dua variabel, serta cara menyelesaikannya.
Dokumen tersebut membahas tentang:
1. Sistem persamaan linier satu, dua, dan tiga variabel beserta penyelesaiannya menggunakan metode substitusi, eliminasi, dan gabungan kedua metode tersebut.
2. Contoh soal dan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel.
3. Sistem persamaan linier dan kuadrat beserta contoh soal dan penyelesaiannya.
Sistem persamaan non-linear dapat diubah menjadi sistem persamaan linear dengan memisalkan variabel non-linear menjadi variabel linear, kemudian diselesaikan dan hasilnya dikembalikan ke pemisalan semula.
Dokumen tersebut membahas sistem persamaan linear tiga variabel, termasuk definisi, bentuk umum, dan metode penyelesaiannya seperti substitusi, eliminasi, dan determinan.
Matematika sistem persamaan linear dua variabelKevinAnggono
Β
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang 6 metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, yaitu metode eliminasi, metode substitusi, metode grafik, metode gabungan, metode determinan, dan metode invers metrik. Setiap metode dijelaskan langkah-langkah penyelesaiannya beserta contoh soal.
Dokumen tersebut membahas tentang Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV), yang terdiri atas dua persamaan linier dengan dua variabel. Ada beberapa metode untuk menyelesaikannya, yaitu metode grafik, substitusi, dan eliminasi. Metode grafik menggambar kedua persamaan dan mencari titik potongnya. Metode substitusi menyatakan satu variabel dalam variabel lain. Metode eliminasi menghapus satu variabel dengan mengurangi pers
EBOOK MODUL STIMULASI Sinau Terapan Ilmu Psikologi #2Amphie Yuurisman
Β
Dokumen tersebut membahas tentang kesadaran diri dan aktualisasi diri. Terdapat penjelasan mengenai pentingnya memahami diri sendiri, mengenali kelebihan dan kekurangan diri, serta memenuhi kebutuhan dasar. Dibahas pula dampak buruk ketika seseorang tidak sadar diri dan cara-cara untuk mencapai kesadaran diri seperti melakukan introspeksi dan belajar dari agama. Tujuan akhirnya adalah
Bisnis es teh merupakan usaha yang menjanjikan. Membuat es teh dengan berbagai varian rasa dapat menarik minat konsumen. Penjualan es teh dapat dilakukan di berbagai tempat seperti kafe, warung, dan lapak jualan keliling untuk memperluas pangsa pasar.
Soal ujian sekolah matematika terdiri dari 4 soal yang mencakup materi faktorisasi prima, operasi hitung, dan pecahan. Soal-soal tersebut bertujuan mengetes kemampuan siswa dalam menyelesaikan masalah matematika sederhana.
Tugas menjawab soal PPKn kelas VIII terdiri dari 10 pertanyaan mengenai lembaga-lembaga negara, sistem pemerintahan, dan pembagian urusan pemerintahan antara pusat dan daerah.
Dokumen tersebut memberikan instruksi tentang empat gerakan senam lantai dasar yaitu guling belakang, guling depan, kayang, dan sikap lilin beserta cara melakukannya. Diakhiri dengan beberapa pertanyaan latihan untuk menguji pemahaman.
Berikut ringkasan dokumen tersebut dalam 3 kalimat:
Dokumen tersebut membahas berbagai jenis olahraga atletik seperti jalan cepat, berlari, melompat, dan manfaat latihan kebugaran jasmani untuk meningkatkan kesehatan dan prestasi olahraga. Dijelaskan pula unsur-unsur kebugaran jasmani dan tujuan latihan untuk meningkatkan kebugaran.
(1) Soal IPA tentang ekosistem, sistem tubuh manusia, dan ilmu fisika dasar.
(2) Termasuk soal tentang hubungan makhluk hidup, rantai makanan, adaptasi hewan, dan bioma.
(3) Juga soal tentang sistem pernapasan, daur hidup serangga, jenis sendi, dan alat pencernaan.
Dokumen tersebut berisi petunjuk umum soal ujian sekolah berstandar nasional (USBN) Pendidikan Agama Islam dan Budi Pekerti untuk siswa SMA/SMK. Dokumen ini memberikan instruksi tentang cara mengerjakan soal USBN seperti membaca bismillah, mengisi identitas di lembar jawaban, memeriksa soal sebelum menjawab, dan larangan mencoret-coret lembar soal.
Laporan ini membahas tentang lichenes yang ditemukan di lingkungan sekolah. Jenis lichenes yang paling banyak ditemukan adalah crustose karena bentuknya yang pipih dan permukaan bawah melekat pada substrat, cocok dengan kondisi lingkungan sekolah. Laporan ini juga menjelaskan perbedaan jenis lichenes, subtrat tempat tumbuhnya, dan pola persebarannya.
Variabel acak diskrit digunakan untuk menggambarkan ukuran keluarga. Tabel tersebut merupakan distribusi probabilitas karena mencantumkan variabel acak (ukuran keluarga) dan probabilitasnya, dengan probabilitas antara 0-1 dan jumlahnya 1.
Formulir klaim asuransi kendaraan bermotor berisi data diri tertanggung, data kendaraan, detail kejadian kerusakan, dan pertanyaan untuk menentukan tanggung jawab pihak lain serta petunjuk pengisian formulir.
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
Laporan Pembina Pramuka SD dalam format doc dapat anda jadikan sebagai rujukan dalam membuat laporan. silakan download di sini https://unduhperangkatku.com/contoh-laporan-kegiatan-pramuka-format-word/
Paper ini bertujuan untuk menganalisis pencemaran udara akibat pabrik aspal. Analisis ini akan fokus pada emisi udara yang dihasilkan oleh pabrik aspal, dampak kesehatan dan lingkungan dari emisi tersebut, dan upaya yang dapat dilakukan untuk mengurangi pencemaran udara
Modul Ajar Matematika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Β
Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka.
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 Fase E Kurikulum MerdekaFathan Emran
Β
Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Bahasa Inggris Kelas 10 SMA/MA Fase E Kurikulum Merdeka.
Workshop "CSR & Community Development (ISO 26000)"_di BALI, 26-28 Juni 2024Kanaidi ken
Β
Dlm wktu dekat, Pelatihan/WORKSHOP βCSR/TJSL & Community Development (ISO 26000)β akn diselenggarakan di Swiss-BelHotel β BALI (26-28 Juni 2024)...
Dgn materi yg mupuni & Narasumber yg kompeten...akn banyak manfaat dan keuntungan yg didpt mengikuti Pelatihan menarik ini.
Boleh jga info iniπ utk dishare_kan lgi kpda tmn2 lain/sanak keluarga yg sekiranya membutuhkan training tsb.
Smga Bermanfaat
Thanks Ken Kanaidi
1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1. Memahami definisi sistem persamaan linear tiga variabel.
2. Memahami solusi sistem persamaan linear tiga variabel.
3. Menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan teknik eliminasi
atau substitusi.
4. Memahami aplikasi sistem persamaan linear tiga variabel.
A. Definisi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri atas tiga
persamaan linear dengan tiga variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear tiga
variabel adalah sebagai berikut.
ax + by + cz = p
dx + ey + fz = q
gx + hy + iz = r
ο£±
ο£²

ο£³

dengan x, y, dan z adalah variabel-variabel SPLTV, a, b, c, d, e, f, g, h, dan i adalah koefisien-
koefisien, serta p, q, dan r adalah konstanta-konstanta.
matematika WAJIB
KelasX
K-13
2. 2
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh SPLTV berikut.
1.
4 3 + 2 =1
3 + = 20
+ 4 =10
dan adalahvariabe
x y z
x y z
x y z
x, y, z
β
β
β
ο£±
ο£²

ο£³

ll- variabel SPLTV.
2.
2 + 3 2 = 4
+ 2 = 5
4 5 =1
dan adalahvariabel- va
t s u
t u
s u
t,s, u
β
β
β
ο£±
ο£²

ο£³

rriabel SPLTV.
B. Solusi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Pada bidang Cartesius xyz, persamaan linear ax + by + cz = p berbentuk bidang datar.
Solusi SPLTV adalah suatu titik pada bidang xyz yang dilewati oleh ketiga persamaan
linear tiga variabel. Perhatikan gambar bidang-bidang berikut.
Tepat satu solusi
Tak hingga solusi
Tidak ada solusi
Dari gambar tersebut, terlihat bahwa hubungan tiga bidang datar hanya memiliki tiga
kemungkinan, yaitu:
1. semuanya berpotongan di satu titik (satu solusi);
2. semuanya berpotongan di sepanjang garis (tak hingga solusi); dan
3. semuanya tidak berpotongan di satu titik atau di sepanjang garis (tidak ada solusi).
Satu solusi berarti hanya ada satu titik yang dilewati oleh ketiga bidang tersebut atau
hanya ada satu titik (x, y, z) yang memenuhi SPLTV. Tak hingga solusi berarti banyak titik
yang dilewati oleh ketiga bidang tersebut secara bersamaan atau tak hingga titik yang
memenuhi SPLTV. Sementara itu, yang dimaksud tidak ada solusi adalah tidak ada satu
pun titik yang dilewati oleh ketiga bidang tersebut secara bersamaan atau tidak ada satu
3. 3
pun titik yang memenuhi SPLTV. Solusi SPLTV dapat ditentukan dengan menggunakan
teknik eliminasi atau substitusi. Sebelum belajar cara menentukan solusi SPLTV, mari kita
ingat kembali teknik eliminasi atau substitusi berikut ini.
Review Teknik Eliminasi SPLDV
1. Tentukan solusi dari sistem persamaan berikut.
4x + y = 5 ...(1)
2x + y = 3 ... (2)
Pembahasan:
Oleh karena koefisien y sama, maka kedua persamaan dikurangkan.
4 + = 5
2 + = 3
2 = 2
=1
x y
x y
x
xβ
Substitusi nilai x = 1 ke persamaan (2) sehingga diperoleh:
2(1) + y = 3
β y = 1
Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah (1, 1).
2. Tentukan solusi dari sistem persamaan berikut.
3x β y = 2 ... (1)
x + y = 2 ... (2)
Pembahasan:
Oleh karena koefisien y sama besar, tapi berlawanan tanda, maka kedua persamaan
dijumlahkan.
3 = 2
+ = 2
4 = 4
=1
x y
x y
x
x
β
β
Substitusi nilai x = 1 ke persamaan (2) sehingga diperoleh:
(1) + y = 2
β y = 1
Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah (1, 1).
4. 4
Review Teknik Substitusi SPLDV
3. Tentukan solusi dari sistem persamaan berikut.
y = 2x + 1 ... (1)
x + y = 4 ...(2)
Pembahasan:
Substitusi nilai y pada persamaan (1) ke persamaan (2) sehingga diperoleh:
x + (2x + 1) = 4
β 3x + 1 = 4
β 3x = 3
β x = 1
Substitusi balik nilai x = 1 ke persamaan (1) sehingga diperoleh:
y = 2(1) + 1
β y = 3
Jadi, solusi sistem persamaan tersebut adalah (1, 3).
C. Menentukan Solusi Spltv: Teknik Eliminasi
Teknik eliminasi adalah salah satu teknik yang digunakan untuk menentukan solusi SPLTV.
Teknikinidinamakaneliminasikarenadilakukandenganmengeliminasisalahsatuvariabel
dari tiga persamaan. Akibatnya, diperoleh dua persamaan linear dengan dua variabel. Dua
persamaan linear dengan dua variabel ini kemudian diselesaikan dengan teknik eliminasi
SPLDV. Untuk lebih jelasnya, perhatikan langkah-langkah berikut.
1) Nyatakan SPLTV dalam bentuk umumnya, kemudian ubah koefisien dan konstanta
dalam bentuk bilangan bulat.
2) Pilih salah satu variabel yang akan dieliminasi dari ketiga persamaan linear.
3) Eliminasikan variabel pada dua pasang persamaan linear yang dipilih secara acak
dari ketiga persamaan linear yang ada.
4) Eliminasikan variabel pada dua persamaan linear yang baru dengan teknik eliminasi
SPLDV hingga didapatkan nilai dua variabel.
5) Substitusikan nilai dua variabel pada salah satu persamaan linear yang diketahui
untuk menentukan nilai variabel yang lain.
5. 5
Contoh Soal 1
Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut.
2x + 3y β z = 9 ... (1)
3x β 4y + z = β1 ... (2)
x + 2y + 2z = 8 ... (3)
Pembahasan:
Pilihlah variabel z untuk dieliminasi.
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
2 + 3 = 9
3 4 + = 1
dijumlahkankarenakoefisien samabes
x y z
x y z
z
β
β β
aar, tapiberlawanantanda
5 = 8 ... 4x yβ ( )
Dari persamaan (2) dan (3), diperoleh:
3 4 + = 1
+ 2 + 2 = 8
2
1
agarkoefisien sama
6x 8 + 2z = 2
+ 2
x y z
x y z
z
y
x
β β Γ
Γ
β β
yy z
z
x y
+ 2 = 8
dikurangikarenakoefisien sama
5 10 = 10 ... 5β β ( )
Mencari nilai y:
Eliminasi variabel x pada persamaan (4) dan (5):
5 = 8
5 10 = 10
langsungdikurangikarenakoefisien sama
x y
x y
x
β
β β
99 =18
= 2
y
yβ
Mencari nilai x:
Substitusi nilai y = 2 ke persamaan (4) sehingga diperoleh:
5x β (2) = 8
β 5x = 10
β x = 2
6. 6
Mencari nilai z:
Substitusi nilai x = 2 dan y = 2 ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
2x + 3y β z = 9
β 2(2) + 3(2) β z = 9
β 10 β z = 9
β z = 1
Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah (2, 2, 1).
Contoh Soal 2
Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut.
1
2
1
2
1
3
= 2 ... 1
2 + 2 = 5 ... 2
1
5
1
3
+
1
2
=
13
30
... 3
x y z
x y z
x y z
β β β
β
β
( )
( )
( )
Pembahasan:
Ubah bentuk pecahan ke dalam bentuk bilangan bulat.
Persamaan (1):
1
2
1
2
1
3
= 2
3 3 2 = 12
6
x y z
x y z
β β β
β β β
Γ
Persamaan (3):
1
5
1
3
+
1
2
=
13
30
6 10 +15 =13
30
x y z
x y z
β
β
Γ
Dengan demikian, sistem persamaannya menjadi:
3x β 3y β 2z = β12 ...(1)
2x + y β 2z = 5 ...(2)
6x β 10y + 15z = 13 ...(3)
Oleh karena sudah ada koefisien yang sama yaitu variabel z pada persamaan (1) dan (2),
maka dipilih variabel z untuk dieliminasi.
7. 7
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
3 3 2 = 12
2 + 2 = 5
4 = 17 ... 4
x y z
x y z
x y
β β β
β
β β ( )
Dari persamaan (1) dan (3), diperoleh:
3 3 2 = 12
6 10 +15 =13
15
2
KPK 2dan15adalah30
45 45
x y z
x y z
x y
β β β
β
Γ
Γ
β ββ β
β
β β
30 = 180
12 20 + 30 = 26
57 65 = 154 ... 5
x y z
x y ( )
Mencari nilai y:
Eliminasi variabel x pada persamaan (4) dan (5):
x y
x y
x y
x y
y
β β
β β
Γ
Γ
β β
β β
β β
4 = 17
57 65 = 154
57
1
57 228 = 969
57 65 = 154
163 = 8115
= 5β y
Mencari nilai x:
Substitusi nilai y = 5 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:
x β 4y = β17
β x β 4(5) = β17
β x β 20 = β17
β x = 3
Mencari nilai z:
Substitusi nilai x = 3 dan y = 5 ke persamaan (2), sehingga diperoleh:
2x + y β 2z = 5
β 2(3) + (5) β 2z = 5
β 11 β 2z = 5
β 2z = 6
β z = 3
Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah (3, 5, 3).
8. 8
Selain bentuk tersebut, ada bentuk persamaan nonlinear yang penyelesaiannya dapat
diselesaikan dengan pendekatan sistem persamaan linear. Perhatikan contoh berikut.
Contoh Soal 3
Jika solusi sistem persamaan linear berikut ini adalah xo
, yo
, dan zo
, maka nilai dari
1
+
1
+
1
2
+
3
-
1
3 2
+
3
1
+
5
+
4
x y z
x y z
x
-
y z
x y z
o o o
=
= β
=
17
5
18
adalah ....
Pembahasan:
Bentuk
2
x
dapat dinyatakan dengan 2
1
β
x
. Jika
1
x
dimisalkan dengan p, maka
2
x
dapat
dinyatakan dengan 2p. Misal:
1
= ,
1
= , dan
1
=
x
p
y
q
z
r
Dengan demikian, sistem persamaan pada soal dapat dinyatakan sebagai berikut.
2p + 3q β r = 17 ...(1)
3p β 2q + 3r = β5 ...(2)
p + 5q + 4r = 18 ...(3)
Untuk memudahkan proses eliminasi, kita akan bentuk persamaan baru yang didapat dari
pengurangan persamaan (1) dan (2).
2 + 3 =17
3 2 + 3 = 5
+ 5 4 = 22
p q r
p q r
p q r
β
β β
β β
9. 9
Mencari nilai yo
:
Eliminasi persamaan baru tersebut dengan persamaan (3).
β β
β
p q
p q
q
q
+ 5 4r = 22
+ 5 + 4r =18
10 = 40
= 4
Oleh karena q = 4, maka
1
= 4 =
1
4y
y
o
oβ .
Substitusi balik nilai q = 4 ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
2p + 3q β r = 17
β 2p + 3(4) β r = 17
β 2p β r = 5 ...(4)
Substitusi balik nilai q = 4 ke persamaan (3), sehingga diperoleh:
p + 5q + 4r = 18
β p + 5(4) + 4r = 18
β p + 4r = β2 ...(5)
Mencari nilai zo
:
Eliminasi variabel p pada persamaan (4) dan (5):
p r
p r
p r
p r
r
r
+ 4 = 2
2 = 5
2
1
2 + 8 = 4
2 = 5
9 = 9
= 1
β
β
Γ
Γ
β
β
β
β β
Oleh karena r = β1, maka
1
= 1 = 1
z
z
o
oβ β β .
Mencari nilai xo
:
Substitusi nilai r = β1 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:
2p β r = 5
β 2p β (β1) = 5
β 2p = 4
β p = 2
Oleh karena p = 2, maka
1
= 2 =
1
2x
x
o
oβ .
10. 10
Dengan demikian, diperoleh:
1
+
1
+
1
=
1
1
2
+
1
1
4
+
1
1
= 2 + 4 1
= 5
x y zo o o β
β
Jadi, nilai dari adalah 5.
D. Menentukan Solusi Spltv: Teknik Substitusi
Teknik lain yang dapat digunakan untuk menentukan solusi SPLTV adalah teknik
substitusi. Langkah-langkah menentukan solusi SPLTV dengan teknik substitusi adalah
sebagai berikut.
1. Nyatakan satu variabel dalam bentuk dua variabel lainnya pada salah satu persamaan.
2. Substitusikan variabel pada langkah 1 ke dua persamaan yang tersisa hingga
diperoleh SPLDV.
3. Gunakan penyelesaian SPLDV baik dengan teknik eliminasi atau substitusi untuk
menentukan nilai-nilai variabelnya.
Contoh Soal 4
Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut.
3x + 2y β 4z = β15 ...(1)
x = 4y β z β 5 ...(2)
5x + 4y + 6z = 1 ...(3)
Pembahasan:
Persamaan (2) sudah menyatakan x dalam y dan z. Oleh karena itu, persamaan ini
digunakan sebagai pensubstitusi.
Susbtitusi persamaan (2) ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
3(4y β z β 5) + 2y β 4z = 15
β 12y β 3z β 15 + 2y β 4z = β15
β 14y β 7z = 0
β z = 2y ...(4)
11. 11
Susbtitusi persamaan (2) ke persamaan (3), sehingga diperoleh:
5(4y β z β 5) + 4y + 6z = 1
β 20y β 5z β 25 + 4y + 6z = 1
β 24y + z = 26 ...(5)
Mencari nilai y:
Substitusi persamaan (4) ke persamaan (5), sehingga diperoleh:
24y + (2y) = 26
β 26y = 26
β y = 1
Mencari nilai z:
Substitusi balik nilai y = 1 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:
z = 2(1) = 2
Mencari nilai x:
Substitusi balik nilai y = 1 dan z = 2 ke persamaan (2), sehingga diperoleh:
x = 4y β z β 5
β x = 4(1) β 2 β 5
β x = β3
Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah (β3, 1, 2).
Contoh Soal 5
Tentukan solusi sistem persamaan linear berikut.
3x β 4y + 3z + 1 = 0 ...(1)
5x + 2y + 14 = 0 ...(2)
8y + 5z + 21 = 0 ...(3)
Pembahasan:
Koefisien y pada SPLTV di atas saling berkelipatan sehingga masih mudah diselesaikan
dengan substitusi dan terhindar dari bentuk pecahan.
Nyatakan satu variabel dalam bentuk dua variabel lainnya pada salah satu persamaan,
misalnya persamaan (2).
2y = β5x β 14 ...(4)
12. 12
Substitusi persamaan (4) ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
3x β 4y + 3z + 1 = 0
β 3x β 2(β5x β 14) + 3z + 1 = 0
β 3x + 10x + 28 + 3z + 1 = 0
β 13x + 3z = β29 ...(5)
Substitusi persamaan (4) ke persamaan (3), sehingga diperoleh:
8y + 5z + 21 = 0
β 4(2y) + 5z + 21 = 0
β 4(β5x β 14) + 5z + 21 = 0
β β20x β 56 + 5z + 21 = 0
β β20x + 5z β 35 = 0
β β4x + z β 7 = 0
β z = 4x + 7 ...(6)
Mencari nilai x:
Substitusi persamaan (6) ke persamaan (5), sehingga diperoleh:
13x + 3z = β29
β 13x + 3(4x + 7) = β29
β 13x + 12x + 21 = β29
β 25x = β50
β x = β2
Mencari nilai z:
Substitusi nilai x = β2 ke persamaan (6), sehingga diperoleh:
z = 4x + 7
β z = 4 (β2) + 7
β z = β1
13. 13
Mencari nilai y:
Substitusi nilai x = β2 ke persamaan (4), sehingga diperoleh:
2y = β5x β 14
β 2y = β5(β2) β 14
β 2y = β4
β y = β2
Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah (β2, β2, β1).
E. Aplikasi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem persamaan linear tiga variabel banyak dimanfaatkan dalam pemecahan
masalah, baik masalah matematika atau masalah dalam kehidupan sehari-hari.
Perhatikan contoh berikut.
Contoh Soal 6
Pada suatu segitiga, diketahui sudut pertama lima derajat lebih kecil dari tiga kali sudut
kedua. Sementara itu, sudut ketiga sepuluh derajat lebih besar dari sudut kedua. Sudut-
sudut segitiga tersebut adalah ....
Pembahasan:
Misalkansegitiga tersebut adalah segitiga ABC dengan sudut A, B, dan C dalam derajat.
Dari kalimatβsudut pertama lima derajat lebih kecil dari tiga kali sudut keduaβ, diperoleh:
A = 3B β 5Β° ... (1)
Dari kalimatβsudut ketiga sepuluh derajat lebih besar dari sudut keduaβ, diperoleh:
C = B + 10Β° ... (2)
Persamaan ketiga didapatkan dari sifat jumlah sudut segitiga, yaitu:
A + B + C = 180Β° ... (3)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke persamaan (3), sehingga diperoleh:
A + B + C = 180Β°
β 3B β 5Β° + B + B + 10Β° = 180Β°
β 5B + 5Β° = 180Β°
β 5B = 175Β°
β B = 35Β°
14. 14
Substitusi nilai B = 35Β° ke persamaan (2), sehingga diperoleh:
C = B + 10Β°
β C = 35Β° + 10Β° = 45Β°
Substitusi nilai B = 35Β° ke persamaan (1), sehingga diperoleh:
A = 3B β 5Β°
β A = 3(35Β°) β 5Β°
β A = 105Β° β 5Β°
β A = 100Β°
Jadi, sudut-sudut segitiga tersebut adalah 100Β°, 35Β°, dan 45Β°.