Dokumen tersebut membahas tentang aljabar, yang didefinisikan sebagai cara untuk menghitung dan memanipulasi hubungan antara jumlah menggunakan huruf untuk mewakili angka. Dokumen tersebut juga membahas bentuk aljabar, operasi hitung pada bentuk aljabar, unsur-unsur dalam aljabar seperti suku dan variabel, persamaan linear, sistem persamaan linear satu dan dua variabel, serta cara menyelesaikannya.

1. Aljabar
Nama kelompok
1) Scholastica ardina riski cahya (292011305)
2) Sri hartini (292011313)
3) Anita kumala dewi (292011314)

2. Pengertian aljabar
Aljabar adalah cara untuk menghitung
dan memanipulasi hubungan antara
jumlah yang menggunakan huruf untuk
mempresentasikan angka-angka.

3. Bentuk aljabar
Bentuk aljabar adalah bentuk matematika yang didalamnya memuat
variabel atau konstanta. Perhatikan bentuk-bentuk aljabar berikut!
1) 2x
2) + 3
3) + 2y + 1
Bentuk aljabar 1) terdiri dari 1 suku, disebut bentuk aljabar suku 1,
bentuk aljabar 2) disebut bentuk aljabar suku 2, dan bentuk aljabar 3)
disebut bentuk aljabar suku 3. Perhatikan
bentuk aljabar 3)! x dan y disebut variabel, –3 dan 2 disebut koefisien,
dan 1 disebut konstanta.

4. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar
1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar
Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan
pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-
suku
yang sejenis.
Contoh:
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan
bentuk
aljabarberikut:
a. -4ax + 7ax
b. (2x2 – 3x +2) + (4x2 -5x + 1)
c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2)

5. Penyelesaian:
a. -4ax + 7ax = (-4 – 7 ) ax
= 3ax
b. (2x2 – 3x +2) + (4x2 -5x + 1) = 2x2 – 3x +2 + 4x2 -5x + 1
= 2x2 + 4x2 – 3x – 5x +2 + 1
=(2 + 4)x2 +(-3 – 5) x + (2 +1)
= 6 x2 – 8x +3
c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) = 3a2 + 5 – 4a2 + 3a – 2
= 3a2 - 4a2 +3a+5 – 2
=(3 – 4) a2 +3a + (5 – 2)
= – a2 +3a +3

6. 2. Perkalian
a. Perkalian suatu bilangan konstanta k
dengan bentuk aljabar suku satu
dan suku dua dinyatakan sebagai
berikut.
• k(ax) = kax
• k(ax + b) = kax +kb

7. contoh:
jabarkan bentuk aljabar berikut,kemudian
sederhanakanlah.
a. 4(p + q)
b. 5 (ax +by)
c. 3(x – 3) + 6 (7x + 1)
d. -8 (2x – y +3z)

8. penyelesaian
a. 4(p+q) = 4p + 4q
b. 5 (ax + by) = 5ax +5by
c. 3(x – 3) + 6 (7x + 1) = 3x – 6 + 42x +6
= (3 + 42) x – 6 + 6
= 45x
d. -8 (2x – y +3z) = -16x + 8y – 24 z

9. a. Unsur-Unsur Dalam Aljabar
Dalam aljabar kita harus mengenal
terlebih dahulu mengenai apa yang
dimaksud dengan suku, faktor, koefisien,
konstanta, variabel, suku sejenis dan tidak
sejenis.

10. a. Suku
Suku adalah bentuk aljabar yang dipisahkan
dengan menggunakan tanda (+) atau tanda (–)
Contohnya:
• 2a+3 terdiri dari dua suku yaitu 2a dan 3
• a+b-c terdiri dari tiga suku yaitu a,b dan c

11. b. Faktor
Bilangan yang membagi habis suatu bilangan
Cotoh:
• axbxc atau abc
a,b dan c masing-masing disebut faktor.

12. c. Koefisien
Koefisien adalah faktor angka pada suatu hasil
bilangan kali dengan suatu peubah.
Contoh:
• 4x-y=2, koefisien x adalah 4 dan koefisien y
adalah satu ( jika koefisiennya sama dengan
1,tidak harus ditulis).

13. d. Konstanta
Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu
bilangan tertentu.Variabel atau peubah adalah
lambang yang digunakan untuk menyatakan unsur
tak tentu dalam suatu himpunan.
Contoh:
• 2/3 x-3/2 y= 2, suku 2 merupakan konstanta
sedangkan x dan y merupakan variabel peubah.

14. e. Suku Sejenis dan Tidak Sejenis
Dikatakan suku sejenis jika memuat peubah dan
pangkat dari peubah yang sama,sedangkan jika
berbeda dikatakan suku tidak sejenis.
Contoh:
• 2q + 3q = 5q, suku-sukunya sejenis
• 2p-3q, suku-sukunya tidak sejenis.

15. PERSAMAAN LINEAR
• Persamaan linear satu variabel adalah kalimat
terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan
dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu.
Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah
ax + b = c, dengan a,b,c R dan a  0
Contoh : 4x+ 8 = 0
• Persamaan linear dua variabel adalah persamaan
yang mengandung dua variabel dengan pangkat
masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk
umum persamaan linear dua variabel adalah
ax + by = c, dengan a,b,c R dan a  0, b  0
Contoh : 4x+2y=0

16. Sifat-sifat persamaan linear
a. Nilai persamn tidak berubah, jika :
1) Kedua ruas ditambah atau dikurangi
bilangan yang sama.
2) Kedua ruas dikalikan atau dibagi bilangan
yang sama.
b. Suatu persamaan jika dipindahkan ruas,
maka :
1) Penjumlahan berubah menjadi
pengurangan dan sebaliknya.
2) Perkalian berubah menjadi pembagian
dan sebaliknya.

17. Pertidaksamaan Linear
• Pertidaksamaan linear merupakan kalimat
terbuka dalam matematika yang terdiri dari
variabel berderajat satu dan dihubungkan
dengan tanda pertidaksamaan.
• Bentuk umum dari pertidaksamaan linear
dua variabel yaitu :
ax+by>c
ax+by<c
ax+by≥c
ax+by≤c
dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari
y dan c konstanta dimana a,b,c anggota
bilangan riil dan a≠0,b≠0 .

18. Sistem Persamaan Linear
• Sistem Persamaan Linear 1 Variabel
• System persamaan linear 1 variable adalah
persamaan linear yang menggunakan satu
variable.
• Contoh :
• 5x + 7 = 17
• 12y + 3 = 15
• 6r = 2 + 4

19. • Contoh penyelesaian :
5X + 7 = 17
5X = 17 – 7
5X = 10
X = 2
Jadi nilai X = 2, dan HP ( 2 )

20. Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel (SPLDV)
• Dua persamaan linear dua variabel yang
mempunyai hubungan diantara keduanya
dan mempunyai satu penyelesaian.
• Bentuk umum sistem persamaan linear
dua variabel adalah
• ax + by = c
px + qy = d
• Ket : x dan y disebut variabel
a, b, p dan q disebut koefisien
c dan r disebut konstanta

21. Penyelesaian Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel
1. Metode Eliminasi
• Dengan menghilangkan (mengeliminasi)
salah satu variabel dari sistem persamaan
tersebut. Jika variabelnya x dan y, untuk
menentukan variabel x kita harus
mengeliminasi variabel y terlebih dahulu,
atau sebaliknya.

22. Contoh dengan metode eliminasi
• Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan
2x + 3y = 6 dan x – y = 3
Penyelesaian:
2x + 3y = 6 dan x – y = 3
• Langkah I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama,
sehingga persamaan
2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3
dikalikan 3.
2x + 3y = 6 3x + 3y = 9
2x + 3y = 6
3x + 3y = 9 -
-x = -3
x = 3

23. Langkah II (eliminasi variabel x)
Seperti langkah I, untuk mengeliminasi
variabel x, koefisien x harus sama, sehingga
• 2x + 3y = 6
2.3 + 3y = 6
6 + 3y = 6
3y = 6 -6
y = 0
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{(3,0)}.

24. 2. Metode Substitusi
Menyatakan variabel yang satu ke dalam
variabel yang lain dari suatu persamaan,
kemudian menyubstitusikan
(menggantikan) variabel itu dalam
persamaan yang lainnya.

25. Contoh dengan metode substitusi
2x+3y = 6 dan x – y = 3
Penyelesaian:
Persamaan x – y = 3 ekuivalen dengan x = y + 3.
Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke
persamaan 2x + 3y = 6 diperoleh sebagai berikut:
2x + 3y = 6
<=> 2 (y + 3) + 3y = 6
<=> 2y + 6 + 3y = 6
<=> 5y + 6 = 6
<=> 5y + 6 – 6 = 6 – 6
<=> 5y = 0
<=> y = 0

26. Selanjutnya untuk memperoleh nilai x,
substitusikan nilai y ke persamaan
x = y +3, sehingga diperoleh:
x = y + 3
<=> x = 0 + 3
<=> x = 3
Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah
{(3,0)}

27. 3.Cara Eliminasi dan Substitusi
Contoh :
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier berikut
2x + 5y = 16 . . . . . . . ( i )
3x + y = 11 . . . . . . . ( ii )
Penyelesaian :
2x + 5y = 16| x 3 | 6x + 15y = 48
3x + y = 11| x 2 | 6x + 2y = 22
-------------- -
13y = 26  y = 2
Substitusi y = 2 ke persamaan ( ii )
3x + y = 11  3x + 2 = 11
3x = 9  x = 3
Jadi penyelesaiannya adalah ( 3 , 2 )

28. 4. Metode Grafik
• Langkah-langkahnya sebagai berikut :
• Gambarlah grafik garis lurus pada bidang
koordinat.
• Tentukan titik potong kedua garis
tersebut. Koordinat titik potong tersebut
merupakan pasangan penyelesaian dari
system persamaan yang dimaksud.

29. Contoh dengan metode grafik
 Perhatikan dua sistem persamaan
dua variabel
 Grafik garis menunjukkan
himpunan penyelesaian dari
masing-masing persamaan dalam
sistem. Oleh karena itu,
perpotongan kedua garis adalah
gambar dari penyelesaian sistem.
 Solusi dari sistem adalah Grafik
mungkin sejajar atau mungkin
berimpit

30. SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA
VARIABEL
• a1 x + b1 y + c1 z = d1 . . . . . (1)
• a2 x + b2 y + c2 z = d2 . . . . . (2)
• a2 x + b2 y + c2 z = d2 . . . . . (3)
untuk

2
1
2
1
2
1
2
1
d
d
c
c
b
b
a
a


31. Cara Substitusi
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan dengan cara substitusi :
3x + 2y + 2z = 18 . . . . . . . . . . . . . ( i )
4x + 3y – 5z = 17 . . . . . . . . . . . . . ( ii )
2x – y + z = 7 . . . . . . . . . . . . . ( iii )
Penyelesaian :
Dari persamaan ( iii ) : 2x – y + z = 7
z = – 2x + y + 7 ( iiia )
Substitusikan ( iiia ) ke ( i ) :
3x + 2y + 2 (– 2x + y + 7 ) = 18
 3x + 2y – 4x + 2y + 14 = 18
 – x + 4y = 4 ……. ( iv )
Substitusikan ( iiia ) ke ( ii ) :
4x + 3y – 5 (– 2x + y + 7 ) = 17
 4x + 3y + 10x – 5y – 35 = 17
 14x – 2y = 52
 y = 7x – 26 ….. ( v )

32. • Substitusikan ( v ) ke ( iv ) :
– x + 4y = 4
 – x + 4 ( 7x – 26 ) = 4
 – x + 28x – 104 = 4
 27x = 108
 x = 4
Untuk x = 4 substitusikan ke ( v ) diperoleh nilai y
y = 7x – 26  y = 7.4 – 26 = 28 – 26 = 2
Untuk x = 4 dan y = 2 selanjutnya substitusikan
ke ( iii ) diperoleh nilai z.
2x – y + z = 7  2.4 – 2 + z = 7
 8 – 2 + z = 7  z = 1
Jadi penyelesaiannya adalah ( 4 , 2 , 1 ).

33. Cara Eliminasi dan Substitusi
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan dengan cara
eliminasi dan substitusi :
3x + 2y + 2z = 18 . . . . . . . . . . . . . ( i )
4x + 3y – 5z = 17 . . . . . . . . . . . . . ( ii )
2x – y + z = 7 . . . . . . . . . . . . . ( iii )
Penyelesaian :
Kita harus tentukan salah satu variabel yang akan kita eliminir ,
misalkan variabel z.
( i ) 3x + 2y + 2z = 18 |x1| 3x + 2y + 2z = 18
( iii ) 2x – y + z = 7 |x2| 4x – 2y + 2z = 14
------------------ –
– x + 4y = 4 ( iv )

34. ( ii ) 4x + 3y – 5z = 17|x1| 4x + 3y – 5z = 17
( iii ) 2x – y + z = 7|x5 | 10x – 5y + 5z = 35
------------------- +
14x – 2y = 52 ( v )
Dari persamaan ( iv ) dan ( v ) didapat :
( iv ) – x + 4y = 4 |x1| – x + 4y = 4
( v ) 14x – 2y = 52 |x2| 28x – 4y = 104
-------------- +
27x = 108
x = 4
Untuk x = 4 selanjutnya disubstitusikan ke ( iv )
– x + 4y = 4
 – 4 + 4y = 4
 y = 2
Untuk x = 4 dan y = 2 disubstitusikan ke ( iii )
2x – y + z = 7
 8 – 2 + z = 7
 z = 1
Jadi penyelesaiannya ( 4 , 2, 1 )

35. PERSAMAAN KUADRAT
1. Pengertian persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan
yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.
2. Bentuk umum persamaan kuadrat
ax2+ bx + c = 0
dengan a,b,c ∈ R di mana R adalah himpunan
bilangan real dan a ≠ 0 .

36. Cara Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan
beberapa cara, yaitu dengan:
a) memfaktorkan,
b) melengkapkan kuadrat sempurna,
c) menggunakan rumus.

37. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan
memfaktorkan
ax2 + bx + c = 0  a (x – x1) (x – x2) = 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian)
persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
x2 – 4 x + 3 = 0
 x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

38. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan
melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan
dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0
 x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
 x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x = 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

39. c. Menyelesaikan persamaan kuadrat
dengan menggunakan rumus
Rumus a x2 + b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
x2 + 3x – 70 = 0
Jawab :
a = 1 , b = 3, dan c = -70
jadi :
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-10. 7}

40. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
b2 – 4ac disebut diskriminan (D). Dari rumus tersebut tampak bahwa
nilai x tergantung dari nilai D.
Apabila:
D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan
kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .
D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar
real sama. .
D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka
persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau persamaan
kuadrat mempunyai akar tidak real.
Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.

41. contoh :
x2 – 10 x + 25 = 0
a = 1 , b = -10 , c = 25
D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 =
0 mempunyai dua akar real sama.