5. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
MATERI LATIHAN SOAL SOAL APLIKASI
Sistem Pers. Linear 2
Variabel
Sistem Pers. Linear 3
Variabel
Sistem Pers. Campuran
Sistem Pers. Kuadrat
7. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) terdiri atas dua persamaan
linear dua variabel, yang keduanya tidak berdiri sendiri, sehingga kedua
persamaan
hanya memiliki satu penyelesaian.
Berikut ini adalah beberapa contoh SPLDV :
1. x + y = 3 dan 2x – 3y = 1
2. 5x + 2y = 5 dan x = 4y – 21
3. x = 3 dan x + 2y – 15 = 0
Himpunan penyelesaian SPLDV dapat diselesaikan dengan 3 cara , yaitu :
1. Cara grafik
2. Cara substitusi
3. Cara eleminasi
8. Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV
dengan cara Grafik
Menentukan himpunan penyelesaian
SPLDV dengan cara Substitusi
Menentukan himpunan penyelesaian
SPLDV dengan cara eleminasi
9. Menentukan himpunan penyelesaian
SPLDV dengan cara Grafik
Untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara grafik,
langkahnya adalah sebagai berikut :
a. Menggambar garis dari kedua persamaan pada bidang cartesius
b. Koordinat titik potong dari kedua garis merupakan himpunan penyelesaian
Catatan : Jika kedua garis tidak berpotongan (sejajar) , maka SPLDV tidak
mempunyai penyelesaian.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : 2x + 3y = 12 dan 4x –
3y – 6 = 0
Jawab :
i) 2x + 3y = 12
Titik potong dengan sumbu x , y =0
2x + 3.0 = 12
2x = 12
x=6
diperoleh titik (6,0)
10. 6
Titik potong dengan sumbu y, x = 0
2.0 + 3y = 12
3y = 12 4
y=4
diperoleh titik (0,4)
2 3,2
ii) 4x – 3y – 6 = 0 ↔ 4x – 3y = 6
Titik potong dengan sumbu x , y =0
4x – 3y = 6
4x – 3.0 = 6
-10 -5 5
x=6
4
Titik potong dengan sumbu y, x = 0 -2
4.0 – 3y = 6
– 3y = 6
y = -2
-4
diperoleh titik (0,-2)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { (3,2) }
11. Menentukan himpunan penyelesaian
SPLDV dengan cara Substitusi
Substitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
a. Menyatakan variable dalam variable lain, misal menyatakan x dalam y atau
sebaliknya.
b. Mensubstitusikan persamaan yang sudah kita rubah pada persamaan yang lain
c. Mensubstitusikan nilai yang sudah ditemukan dari variabel x atau y ke salah satu
persamaan.
Contoh :
Tentukan HP dari sistem persamaan x + 2y = 4 dan 3x + 2y = 12
Jawab :
x + 2y = 4, kita nyatakan x dalam y, diperoleh : x = 4 – 2y
Substitusikan x = 4 – 2y ke persamaan 3x + 2y = 12
12. 3(4 – 2y) + 2y = 12
12 – 6y + 2y = 12
-4y = 0
y=0
Substitusikan y = 0 ke persamaan x = 4 – 2y
x = 4 – 2.0
x=4
Jadi himpunan penyelesainnya adalah {(4,0)}
13. Menentukan himpunan penyelesaian
SPLDV dengan cara Eleminasi
Eleminasi artinya menghilangkan salah satu variable. Pada cara eleminasi ,
koefisien dari variabel harus sama atau dibuat menjadi sama.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
a. Nyatakan kedua persamaan ke bentuk ax + by = c
b. Samakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan, melalui cara
mengalikan dengan bilangan yang sesuai ( tanpa memperhatikan tanda )
c. – Jika koefisien dari variabel bertanda sama (sama positif atau sama
negatif), maka kurangkan kedua persamaan
– Jika koefisien dari varibel yang dihilangkan tandanya berbeda (positif
dan negatif ), maka jumlahkan kedua persamaan.
14. Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sitem persamaan x + y = 4 dan x –
y=2
Jawab :
Mengeliminasi x
x+y=4 ( koefisien x sudah sama, dan tandanya sama positif ,
x–y=2 maka kita kurangkan kedua persamaan )
–
2y = 2 Catatan : x – x = 0
y=1 y – (-y) = 2y
Mengeliminasi y
x+y=4 ( koefisien y sudah sama, dan tandanya berbeda, maka kita
x–y=2 jumlahkan kedua persamaan )
+
2x = 6 Catatan : x + x = 2x
x=3 y + (-y) = 0
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 1)}
15. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x,y, dan z dapat
dituliskan sebagai berikut :
ax + by + cz = d atau a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l a3x + b3y + c3z = d3
dengan a, b, c, e, f, g, h, I, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3,
dan d3 merupakan bilangan real .
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat
ditentukan dengan beberapa cara sebagai berikut :
1. Metode substitusi
2. Metode eliminasi
17. Menentukan himpunan penyelesaian
SPLTV dengan cara Substitusi
Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan
linear tiga variabel dgn menggunakan metode
substitusi adalah sebagai berikut :
a. Pilihlah salah satu persamaan yang
sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y
dan z atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai
fungsi x dan y.
b. Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada
langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya
sehingga didapat sistem persamaan linear dua
variabel.
c. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel
yang diperoleh pada langkah 2.
18. Contoh :
Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut
x – 2y + z = 6
3x + y + 2z = 4
7x – 6y – z = 10
Jawab:
Dari persamaan x – 2y + z = 6 x = 2y – z + 6
variabel x ini disubstitusikan ke persamaan 3x + y -2z = 4 dan 7x – 6y
– z = 10 diperoleh :
3(2y – z + 6) + y – 2z = 4
6y – 3z + 18 + y – 2z = 4
7y – 5z = –14 (3)
7(2y – z + 6) – 6y – z = 10
14y – 7z + 42 – 6y – z = 10
8y – 8z = – 32
y–z=–4 (4)
19. Persamaan 3 dan 4 membentuk sistem persamaan linear dua
variabel y dan z:
7y – 5z = –14 dari persamaan y – z = – 4 y=z–4
y – z = –4
variabel y disubstitusikan ke persamaan 7y -5z = –14, diperoleh :
7 (z – 4) – 5z = –14
7z – 28 – 5z = – 14
2z = 14
z=7
Substitusikan nilai z = 7 ke persamaan y = z – 4, diperoleh
y=7–4=3
Substitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke persamaan x = 2y – z +
6, diperoleh
x = 2(3) – 7 + 6
x=6–7+6
x=5
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)}
20. Menentukan himpunan penyelesaian
SPLTV dengan cara Eleminasi
Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan
menggunakan metode eliminasi adalah :
a. Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh sistem persamaan
linear dua variabel.
b. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang didapat pada langkah 1.
c. Substitusikan nilai – nilai dua variabel yang diperoleh pada langkah 2 ke dalam salah
satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lainnya.
Contoh :
Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear :
2x – y + z = 6
x – 3y + z = –2
x + 2y – z = 3
21. Eliminasi peubah z:
Dari persamaan pertama dan kedua: Dari persamaan kedua dan ketiga:
2x – y + z = 6 x – 3y + z = –2
x – 3y + z = –2 x + 2y – z = 3
x + 2y = 8 (4) 2x – y = 1 (5)
Persamaan 4 dan 5 membentuk sistem persamaan linear dua peubah x dan y
x + 2y = 8
2x – y = 1
Eliminasi peubah y:
x + 2y = 8 x 1 x + 2y = 8
2x – y = 1 x 2 4x – 2y = 2
5x = 10
x=2
22. Eliminasi peubah x:
x + 2y = 8 x 2 2x + 4y = 16
2x – y = 1 x 1 2x – y = 1
5y = 15
y=3
Nilai z dicari dengan mensubstitusikan x = 2 dan y = 3 ke salah satu persamaan
semula misal x + 2y – z = 3
x + 2y – z = 3
2 + 2(3) – z = 3
8–z=3
x=5
Jadi, Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah {(2, 3, 5)}
23. Sistem persamaan campuran adalah sistem persamaan linear
dan kuadrat. Sistem persamaan ini dibagi menjadi dua bagian
sebagai berikut :
1. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat
berbentuk Eksplisit
2. Sistem persamaan Linear dan kuadrat, bagian kuadrat
berbentuk Implisit
24. 1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat, bagian kuadrat berbentuk
Eksplisit
Suatu persamaan dua peubah x dan y dinyatakan berbentuk eksplisit jika
persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y)
y = ax + b Bagian linear
y = px2 + qx + r Bagian kuadrat
Dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan – bilangan real.
Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linear dan kuadrat dapat ditentukan melalui langkah –
langkah sebagai berikut :
Langkah 1 :
Substitusikan bagian linear ke bagian kuadrat
Langkah 2:
Nilai – nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan
linear
25. Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan
kuadrat berikut ini :
y=x–1
y = x2 – 3x + 2
Substitusikan bagian linear y = x – 1 ke bagian kuadrat y = x2 – 3x +
2, diperoleh x – 1 = x2 – 3x + 2
x2 – 4x + 3 = 0
(x – 1)(x – 3) = 0
x = 1 atau x = 3
Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x – 1
Untuk x = 3 diperoleh y = 3 – 1 = 2 jadi (3, 2)
Untuk x = 1 diperoleh y = 1 – 1 = 0 jadi (1, 0)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 0), (3, 2)}
26. 2. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk
implisit
Persamaan dua peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit jika
persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau
x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = 0.
px + qy + r = 0 Bagian linear
ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0 Bagian kuadrat
Dengan a, b, c, d, e, f, p, q dan r merupakan bilangan – bilangan real.
Bilangan kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu :
A. Bentuk implisit yang tidak dapat difaktorkan
B. Bentuk implisit yang dapat difaktorkan
27. A. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat berbentuk
implisit yang tak dapat difaktorkan
Langkah – langkah penyelesaiannya adalah :
Langkah 1:
Pada bagian linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x
Langkah 2:
Substitusikan x dan y pada langkah 1 ke bagian bentuk
kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x dan y
Langkah ketiga:
Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah
2, kemudian nilai – nilai yang didapat disubstitusikan ke persamaan
linear
28. Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat
berikut ini : x + y – 1 = 0
x2 + y2 – 25 = 0
Dari persamaan x + y – 1 = 0 menjadi y = 1 – x
Substitusi y ke persamaan x2 + y2 – 25 = 0, diperoleh :
x2 + ( 1 – x)2 – 25 = 0
x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0
2x2 – 2x – 24 = 0
x2 – x – 12 = 0
(x + 3)(x – 4) = 0
x = -3 atau x = 4
Substitusi nilai – nilai x = -3 aatau x = 4 ke persamaan y = 1 – x
Untuk x = -3 diperoleh y = 1 – (-3) = 4 jadi (-3, 4)
Untuk x = 4 diperoleh y = 1 – 4 = -3 jadi (4, -3)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-3, 4)(4, -3)}
29. B. Sistem persamaan linear dan kuadrat, bagian kuadrat
berbentuk implisit yang dapat difaktorkan
Langkah – langkah penyelesaiannya adalah :
Langkah 1:
Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke dalam faktor –faktor
dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh L1.L2 = 0.
L1.L2 = 0. jadi L1 = 0 atau L2 = 0, dengan L1 dan L2 masing – masing
berbentuk linier
Langkah 2:
Bentuk – bentuk linear yang diperoleh pada langkah 1
digabungkan dengan persamaan linear semula, sehingga
diperoleh sistem – sistem persamaan linear dengan dua peubah.
Kemudian selesaikan tiap sistem persamaan linier itu
30. Contoh: Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan
kuadrat berikut:
2x + 3y = 8
4x2 – 12xy + 9y2 = 16
Bagian bentuk kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut:
4x2 – 12xy + 9y2 = 16
(2x – 3y)2 – 16 = 0
(2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0
2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0
Penggabungan dengan persamaan linear semula diperoleh:
2x + 3y = 8 2x + 3y = 8
2x – 3y + 4 = 0 2x – 3y – 4 = 0
Dari sistem persamaan ini Dari sistem persamaan ini diperoleh
diperoleh penyelesaian (1, 2) penyelesaian ( 3, 2/3)
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan itu adalah {(1,2), (2, 2/3)}
31. Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dalam bentuk yang
sederhana dapat dituliskan sebagai berikut :
y = ax2 + bx + c Bagian kuadrat pertama
y = px2 + qx + r Bagian kuadrat kedua
Langkah – langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan kuadrat dan kuadrat
Langkah 1 :
Substitusikan bagian kuadrat yang pertama kebagian kuadrat yang kedua
Langkah 2 :
Nilai – nilai x yang diperoleh dari langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke
bagian kuadrat yang pertama atau bagian kuadrat yang kedua ( pilihlah
bentuk yang sederhana).
32. Contoh: Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan
kuadrat dan kuadrat berikut ini:
y = x2 – 1
y = 1 – x2
Substitusi y = x2 – 1 ke persamaan y = 1 – x2, diperoleh :
x2 – 1 = 1 – x2
2x2 – 2 = 0
x2 – 1 = 0
(x + 1)(x – 1) = 0
x = -1 atau x = 1
Substitusikan x = -1 atau x = 1 ke persamaan y = x2 - 1
Untuk x = -1 diperoleh y = (-1)2 – 1 = 0 jadi (-1, 0)
Untuk x = 1 diperoleh y = (1)2 – 1 = 0 jadi (1, 0)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 0),(1, 0)}
33. UNTUK MENJAWAB PERTANYAAN PADA SETIAP
SOAL YANG DIBERIKAN, SILAHKAN KLIK SALAH SATU
GAMBAR PADA SETIAP PILIHAN JAWABAN
YANG MENURUT ANDA BENAR.
SELAMAT MENCOBA….
34. 1. Jika diketahui sistem persamaan berikut ini:
2x + y = 5
x + 3y = 10
Maka, berapakah himpunan penyelesaiannya?
{(1,3)}
{(3,1)}
{(-1,3)}
{(1,-3)}
{(3,-1)}
2. Jika x, y adalah himpunan penyelesaian persamaan 2x – 3y =7 dan 3x + 2y =
4, maka nilai x2 adalah ...
2
4
1
8
16
35. 3. Diketahui sistem persamaan berikut ini:
x 2
y 3
4
y 4
x 8
3
Berapakah himpunan penyelesainnya?
2,6
2,6
6,2
6, 2
2, 6
36. 1. Jika (x0, y0, z0) penyelesaian sistem persamaan:
x+z=3
2y – z = 1
x–y=1
Maka, x0 + y0 + z0 = ...
3
4
6
8
11
2. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan:
P + q + r = 12
2p – q + 2r = 12
2p + 2q- r =18
37. Adalah p, q, r , dengan p : q : r = ....
3:2:1
2:3:5
1:2:4
3:4:5
2:3:4
3. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan linear:
2x – y = -8
2y + z = 8
3x + y + z = -3
Adalah...
4
3
2
-2
-3
38. 1. Jika himpunan penyelesaian sistem persamaan x-y=1 dan x2-xy=7 adalah
x1 , y1 , x2 , y2 maka harga y1+y2=....
-2
-1
1
2
0
2. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y=x2-2x+5 dan y=4x adalah...
{(5,-20),(1,4)}
{(-5,20),(-1,-4)}
{(5,20),(1,4)}
{(-5,20),(-1,4)}
{(5,20),(-1,4)}
39. 3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x+y=7 dan x2+y2=25 adalah
{(x 1 ,y1 ) }, {(x 2 , y 2 ) }. Berapakah nilai x1dan x2?
3 dan -3
-3 dan -4
3 dan -4
-4 dan 4
3 dan 4
40. Jika {(x, y) } adalah himpunan penyelesaian persamaan 3x2 + y2 = 7
dan x2 – 3y2 = -11 serta y > x > 0, maka nilai x + y sama dengan ...
1,5
2
3
4
5
41. 1. Suatu kios fotokopi mempunyai dua buah
mesin, masing-masing berkapasitas 4
rim/jam dan 2 rim/jam. Jika pada suatu
hari jumlah kerja kedua mesin tersebut 10
jam dan menghasilkan 34 rim, maka
lamanya mesin dengan kapasitas 4 rim/jam
bekerja adalah...
5
4
6
7
9
42. 2. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk,dan 1 kg
anggur adalah Rp 70.000,00 dan harga 1 kg
mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah
Rp 90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg
jeruk,dan 3 kg anggur Rp 130.00,00, maka
harga 1 kg jeruk adalah...
Rp 5.000,00
Rp 7.500,00
Rp 10.000,00
Rp 12.000,00
Rp 15.000,00
43. 3. Suatu pesta dihadiri oleh orang dewasa
dan anak-anak. Setelah 5 orang dewasa
meninggalkan pesta
tersebut, perbandingan jumlah orang
dewasa dan jumlah anak-anak menjadi
7 : 5. Kemudian setelah 10 orang anak-
anak meninggalkan pesta
tersebut, perbandingan jumlah orang
dewasa dan anak-anak menjadi 7 : 3.
Biaya pesta 1 orang adalah Rp
50.000,00. Jumlah biaya yang
diperlukan dalam pesta tersebut
adalah...
Rp 3.750.000,00
Rp 4.500.000,00
Rp 5.250.000,00
Rp 6.500.000,00
Rp 7.250.000,00
44. 4. Badrun mengayuh sepeda dari kota A ke
kota B dengan kecepatan rata-rata
60km/jam. Ahmad menyusul 45 menit
kemudian. Badrun dan Ahmad masing-
masing berhenti selama 15 menit dalam
perjalanan, sedang jarak A dan B 225 km.
Kecepatan yang harus diambil Ahmad
supaya tiba di kota B pada waktu yang
sama adalah...
70 km/jam
75 km/jam
80 km/jam
85 km/jam
90 km/jam
45. 5. Uang Amir Rp 20.000,00 lebih banyak
dibandingkan uang Budi, ditambah dua
kali uang Doni. Jumlah uang
Amir, Budi, dan Doni adalah Rp
100.000,00. Selisih uang Budi dan Doni
adalah Rp 5.000,00. Uang Amir adalah...
Rp 22.000,00
Rp 33.000,00
Rp 51.000,00
Rp 67.000,00
Rp 80.000,00
