Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Ringkasan: Dokumen ini membahas metode-metode penyelesaian sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua dan tiga variabel, yaitu metode grafik, eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi. Contoh soal dan penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya diberikan untuk setiap metode.

1. Sistem Persamaan dan
Pertidak samaan Linear
Oleh Kelompok 3 // 10 IIS 1

2. Kelompok 3 IIS I
• Ahmad Kemal
• Ezra Jan Reynara
• Fadhillah
• M. Ramadhan
• Sulthan Isa Ahmad
• Vio Aji

3. A. Sistem Persamaan Linear
Dua Variabel
( Metode Grafik , Eliminasi , Subsitusi , Eliminasi Subsitusi )

4. 1. Metode Grafik

5. Contoh Soal :
Perhatikanlah pernyataan berikut!
x + y = 2 ....……………………………..…………....... (1)
4x + 2y = 7 ....………...………………………………….. (2)

6. x + y = 2 ....…………………………….…………....... (1)
Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk
Persamaan (1)
Diperoleh titik-titik potong kurva x + y = 2 terhadap
sumbu koordinat, yaitu titik (0, 2) dan (2, 0).
x + y = 2
x 0 2
y 2 0

7. 4x + 2y = 7 ....…………………………….…………....... (2)
Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk
Persamaan (2)
Diperoleh titik-titik potong kurva 4x + 2y = 7 terhadap
sumbu koordinat, yaitu titik (0,
7
2
) dan (
7
4
, 0).
4x + 2y = 7
x 0 7
4
y 7
2
0

8. Menarik garis lurus dari titik (0, 2) ke titik (2, 0) dan dari titik (0,
7
2
) ke
titik (
7
4
, 0) .

10. Berdasarkan gambar grafik x + y = 2 dan 4x + 2y = 7, kedua garis lurus
tersebut berpotongan pada sebuah titik, yaitu titik (
3
2
,
1
2
)
Sehingga himpunan penyelesaian sistem persamaan linear x + y = 2 dan
4x + 2y = 7 adalah {(
3
2
,
1
2
)}

11. 2. Metode Eliminasi

12. Pengertian
Eliminasi artinya membuang atau menghilangkan SPLDV yang
memiliki dua variabel, dengan membuang/menghilangkan
atau mengeliminasi satu variabel kita memperoleh persamaan
linear dengan satu variabel.

13. Contoh Soal
Perhatikan SPLDV berikut.
x + y = 2
4x + 2y = 7
Tentukan penyelesaian dari persamaan tersebut!

14. SPLDV ini dapat diselesaikan dengan metode eliminasi.
Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2).
jawab
𝑥 + 𝑦 = 2
4𝑥 + 2𝑦 = 7
× 4
× 1
4𝑥 + 4𝑦 = 8
4𝑥 + 2𝑦 = 7
2y = 1
y =
1
2

15. Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (2).
𝑥 + 𝑦 = 2
4𝑥 + 2𝑦 = 7
× 2
× 1
2𝑥 + 2𝑦 = 4
4𝑥 + 2𝑦 = 7
–2x = -3
x =
3
2
Diperoleh himpunan penyelesaian kedua persamaan adalah
3
2
,
1
2

16. 3. Metode Subsitusi

17. Pengertian
Subsitusi artinya mengganti/menempatkan, cara subsitusi
dalam menyelesaikan SPLDV berarti mengganti variabel yang
satu dengan variabel lain sesuai dengan persamaan yang
diberikan.

18. Contoh Soal
Selesaikanlah SPLDV berikut!
3x – 2y = 8
4x + y =7

19. Jawab
3x – 2y = 8 ……………… persamaan (1)
4x + y = 7 ……………… persamaan (2)
Dari persamaan (2) diperoleh
y = 7 – 4x ……………… persamaan (3)

20. Subsitusi/gantilah y pada persamaan (3) ke persamaan (1)
3x – 2(7 – 4x) = 8
3x –14 + 8x = 8
11x = 22
x =
22
11
= 2.
Setelah diperoleh nilai x = 2,

21. Subsitusikan nilai x ke persamaan (3) sehingga
y = 7– 4x
y = 7 – 4(2)
y = 7 – 8
y = –1
Jadi penyelesaian SPLDV di atas adalah {(2, –1)}.

22. 4. Metode Eliminasi dan
Subsitusi

23. Contoh Soal
Perhatikan SPLDV berikut.
x + y = 2
4x + 2y = 7
Tentukan penyelesaian dari persamaan tersebut!

24. SPLDV ini dapat diselesaikan dengan metode eliminasi terlebih dahulu.
Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2).
x + y = 2
4x + 2y = 7
× 4
× 1
4x + 4y = 8
4x + 2y = 7
2y = 1
y =
1
2

25. Subtitusikan nilai y ke persamaan (1)
x + y = 2
x +
1
2
= 2
x =
3
2
Diperoleh himpunan penyelesaian kedua persamaan adalah
3
2
,
1
2

26. B. Sistem Persamaan Linear
Tiga Variabel
( Metode Grafik , Eliminasi , Subsitusi , Eliminasi Subsitusi )

27. 1. Metode Eliminasi

28. Contoh Soal
Perhatikan SPLTV berikut :
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −1 … … … … … … . … . (𝟏)
5𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 5 … … … … … … . … … (𝟐)
8𝑥 − 6𝑦 − 𝑧 = 1 … … … … … … … . . (𝟑)
Sistem persamaan diatas dapat diselesaikan dengan metode
eliminasi.

29. Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2) dengan cara
menjumlahkannya dan diperolehlah persamaan (4)
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −1
5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5
6x – 2y = 4
3x – y = 2 …………..(4)
Didapatlah persamaan (4) yaitu 3x – y = 2

30. Eliminasikan variabel z pada persamaan (1) dan (3), seperti di slide
sebelumnya dengan cara menambahkan kedua persamaan tersebut dan
diperolehlah persamaan (5),
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −1
8𝑥 − 6𝑦 − 𝑧 = 1
9x – 9y = 0
x – y = 0……………………(5)
Didapatlah persamaan (5) yaitu x – y = 0

31. Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV berikut;
3x – y = 2
x – y = 0

32. Penyelesaian dari SPLDV ini adalah;
3𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥 − 𝑦 = 0
2x = 2
x = 1

33. Untuk memperoleh nilai y, eliminasikan x
3𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥 − 𝑦 = 0
× 1
× 3
3𝑥 − 𝑦 = 2
3𝑥 − 3𝑦 = 0
2y = 2
y = 1

34. Untuk memperoleh nilai z bisa menggunakan cara
eliminasi variabel x dan z hingga diperolah SPLDV yang
mengandung variabel z. Dengan ini variabel z mendapatkan
hasil z = 1 .
Demikian himpunan penyelesaian soal ini adalah {(1, 1, 1)}

35. 2. Metode Subsitusi

36. Contoh Soal
Perhatikan SPLTV berikut!
2x + y – z = 3 ……………….…….….(1)
x + y + z = 1 ………………………….(2)
x – 2y – 3z = 4 ……………………….(3)

37. Dari sistem persamaan barusan dapat disimpulkan subsitusi berikut;
Dari sistem persamaan (2) ;
x + y + z = 1,
Dapat diperoleh persamaan (4) yaitu ;
x = 1 - y - z

38. Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (1) diperoleh :
2x + y – z = 3
2(1 – y – z) + y – z = 3
2 – 2y – 2z + y – z = 3
–y – 3z = 1
y = –3z – 1 …………………..(5)

39. Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (3) diperoleh :
x – 2y – 3z = 4
1 – y – z – 2y – 3z = 4
–3y – 4z = 3 ……………….….(6)

40. Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (6) diperoleh :
–3y – 4z = 3
–3 (–3z – 1) – 4z = 3
9z + 3 – 4z = 3
5z = 0
z = 0 ……….(7)

41. Variabel z ditemukan dengan nilai z = 0, kemudian subsitusikan dengan
persamaan (5)
y = –3z – 1
y = –3(0) – 1
y = –1

42. untuk z = 0, y = –1, disubsitusikan ke persamaan (2)
x + y + z = 1
x – 1 + 0 = 1
x = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2, –1, 0)}

43. 3. Metode Eliminasi dan
Subsitusi

44. Perhatikan SPLTV berikut :
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −1 … … … … … … . … . (𝟏)
5𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 5 … … … … … … . … … (𝟐)
8𝑥 − 6𝑦 − 𝑧 = 1 … … … … … … … . . . (𝟑)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas!

45. Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2), yaitu dengan menjumlahkan
kedua persamaan itu sehingga diperoleh persamaan (4) sebagai berikut.
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −1
5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5
6x – 2y = 4
3x – y = 2 …………..(4)

46. Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3), yaitu dengan menjumlahkan
kedua persamaan (1) dan (3) sehingga diperoleh persamaan (5) sebagai
berikut.
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −1
8𝑥 − 6𝑦 − 𝑧 = 1
9x – 9y = 0
x – y = 0……………………(5)

47. Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV berikut.
3x – y = 2
x – y = 0

48. Penyelesaian dari SPLDV ini adalah
3𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥 − 𝑦 = 0
2x = 2
x = 1

49. Subtitusikan nilai x ke persamaan (5) diperoleh
x – y = 0
1 – y = 0
– y = –1
y = 1

50. Subtitusikan nilai x dan y ke persamaan (1) diperoleh
x– 3y + z = –1
1– 3(1) + z = –1
1– 3 + z = –1
– 2 + z = –1
z = –1+ 2
z = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 1, 1)}.

51. C. Sistem Pertidaksamaan
Linear Dua Variabel

52. Contoh Soal
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut.
5x + 4y ≤ 20
7x + 2y ≤ 14
x ≥ 0
y ≥ 0

53. Jawab:
Gambarkan setiap garis batas dari sistem pertidaksamaan
linear dua variabel,
yaitu 5x + 4y = 20, 7x + 2y = 14, x = 0 (sumbu y), y = 0 (sumbu
x).

55. Gunakan titik uji (0, 0) pada setiap pertidaksamaan linear dua variabel
yang diberikan
5x + 4y ≤ 20
5(0) + 4(0) ≤ 20
0 ≤ 20 (memenuhi)
Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis 5x + 4y = 20

56. 7x + 2y ≤ 14
7(0) + 2(0) ≤ 14
0 ≤ 14 (memenuhi)
Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis 7x + 2y = 14

57. x ≥ 0 dan y ≥ 0
Daerah yang memenuhi berada di kuadran I.
Dengan pola yang berbeda, arsirlah (raster) setiap daerah yang memenuhi
setiap pertidaksamaan linear dua variabel tersebut, seperti ditunjukkan pada
gambar berikut.

59. Sekian