Dokumen ini membahas tentang persamaan diferensial biasa, khususnya persamaan diferensial orde pertama. Topik yang dibahas meliputi bentuk umum persamaan diferensial biasa, orde persamaan diferensial, solusi persamaan diferensial, dan metode-metode penyelesaian persamaan diferensial seperti pemisahan variabel dan penggunaan faktor integrasi."

1. Persamaan diferensial biasa:
Persamaan diferensial orde-pertama
Dwi Prananto
June 1, 2015
Daftar isi
1 Pemodelan sistem fisis 1
2 Persamaan diferensial 2
2.1 Bentuk umum persamaan diferensial biasa (PDB) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Orde persamaan diferensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Solusi persamaan diferensial biasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 Eksponensial sebagai solusi PDB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.5 Solusi persamaan diferensial dengan metode pemisahan variabel . . . . . . . . . 4
3 Persamaan diferensial homogen 4
4 Persamaan diferensial eksak 5
4.1 Syarat persamaan diferensial eksak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Solusi implisit persamaan diferensial eksak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3 Faktor integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Pemodelan sistem fisis
Dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan dunia fisis, insinyur dan ilmuwan
biasa mempresentasikan sistem fisis yang dihadapi dalam bentuk persamaan matamatika un-
tuk kemudian menyelesaikan persamaan tersebut dengan metode matematis untuk memper-
oleh solusi atas permasalahan yang dihadapi. Aktivitas seperti ini disebut dengan pemodelan
matamatis atau biasa hanya disebut pemodelan. Alur yang biasa dilalui dalam pemodelan
matematis digambarkan dalam diagram berikut:
Kebanyakan dari model matematis adalah dalam bentuk persamaan yang di dalamnya men-
gandung turunan dari satu atau lebih variabel atau fungsi. Model seperti ini dinamakan
persamaan diferensial. Oleh karena itu, sangat penting bagi insinyur dan ilmuwan untuk
mengetahui dan memahami persamaan diferensial dan bagaimana cara menemukan solusinya.
Dalam matematika, solusi berarti fungsi yang memenuhi persamaan diferensial. Dalam bab
ini kita akan mempelajari persamaan diferensial, khususnya persamaan diferensial biasa, dan
bagaimana mencari solusi dari persamaan diferensial.
1

2. Gambar 1: Alur dalam pemodelan matematis
Gambar 2: Sistem fisis dan model matematisnya
2 Persamaan diferensial
Persamaan diferensial dideskripsikan sebagai persamaan yang mengandung turunan dari vari-
abel tak bebas dan beberapa variabel bebas. Persamaan diferensial dapat juga mengandung
variable tak bebas itu sendiri.
2.1 Bentuk umum persamaan diferensial biasa (PDB)
Persamaan diferensial biasa dapat dituliskan dalam dua bentuk, yaitu bentuk implisit dan
bentuk eksplisit.
F(x, y, y ) = 0 → bentuk implisit (1)
y = f(x, y) → bentuk eksplisit (2)
Dalam persamaan diferensial ,turunan dari sebuah variabel biasa digantikan dengan tanda
petik tunggal.
y =
dy
dx
y =
d2
y
dx2
2

3. 2.2 Orde persamaan diferensial
Orde persamaan diferensial ditentukan dari turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan
tersebut.
y = cos x → persamaan diferensial orde-pertama
y + 9y = e−2x
→ persamaan diferensial orde-kedua
2.3 Solusi persamaan diferensial biasa
Solusi persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan diferensial. Bentuk
umum solusi persamaan diferensial biasa adalah
y = h(x). (3)
Solusi persamaan diferensial dapat dicari dengan beberapa cara. Salah satu cara yang paling
mudah melibatkan integral kalkulus.
Contoh 2.1 Tentukan solusi dari persamaan diferensial
y =
dy
dx
= cos x
Solusi Untuk mencari solusi persamaan diferensial tersebut, pertama kita kalikan sisi kiri
dan kanan tanda sama dengan dx sehingga menghasilkan
dy = cos xdx.
Pengintegralan kedua sisi akan menghasilkan
dy = cos xdx.
Sehingga solusi persamaan diferensial y = cos x adalah:
y = sin x + c.
2.4 Eksponensial sebagai solusi PDB
Jika ada fungsi eksponensial
y = Ce0,2t
,
turunan dari fungsi tersebut terhadap t adalah
y = 0, 2Ce0,2t
atau
y = 0, 2y.
Dapat kita simpulkan bahwa y = Ce0,2t
adalah merupakan solusi dari persamaan diferensial
y = 0, 2y. Dalam hal ini, C dinamakan solusi umum dan nilainya dapat dicari jika diketahui
kondisi awal y(x0) = y0.
3

4. 2.5 Solusi persamaan diferensial dengan metode pemisahan variabel
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial adalah
metode pemisahan variabel. Dalam menggunakan metode ini, persamaan diferensial dirombak
sedemikian hingga sehingga membentuk
g(y)y = f(x), (4)
untuk kemudian diselesaikan dengan kalkulus integral.
Contoh 2.2 Tentukan solusi dari persamaan diferensial
xdy + ydx = 0
Solusi Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel den-
gan pertama merombak persamaan dalam bentuk variabel terpisah
1
y
dy = −
1
x
dx.
Integralkan kedua sisi akan menghasilkan
1
y
dy = −
1
x
dx
ln y = −(ln x)
ln y = ln
1
x
y =
1
x
Persamaan pada baris terakhir adalah solusi dari persamaan diferensial xdy + ydx = 0.
Kita dapat mengonfimasi kebenaran solusi ini dengan melakukan substitusi solusi y = 1
x
dan turunannya terhadap y, dy = −x2
dx, ke dalam persamaan diferensial
x(−x2
dx) + x−1
dx = 0.
3 Persamaan diferensial homogen
Persamaan diferensial homogen adalah persamaan diferensial yang dapat dibentuk ke dalam
bentuk
dy
dx
= f
y
x
(5)
Persamaan diferensial dengan bentuk seperti ini dapat diselesaikan dengan cara mewakilkan y
x
dengan variable lain, untuk kemudian didelesaikan dengan metode pemecahan variable.
Contoh 3.1 Tentukan solusi persamaan diferensial berikut
2xyy = y2
− x2
(6)
4

5. Solusi Persamaan tersebut adalah persamaan diferensial yang dapat dibentuk ke dalam
bentuk persamaan (5)
y =
y
2x
−
x
2y
gantikan y
x
dengan v
v =
y
x
⇒ y = vx
. Menurunkan y = vx terhadap x, dengan memanfaatkan sifat perkalian dari turunan,
menghasilkan
y = v + xv . (7)
Substitusi persamaan (7) ke dalam persamaan (6) menghasilkan
2x(vx)(v + xv ) = (vx)2
− x2
2v(v + xv ) = v2
− 1
2v2
+ 2xvv = v2
− 1
2xvv = −(v2
+ 1).
Perasamaan terakhir dapat diselesaikan dengan metode pemecahan variabel
2v
v2 + 1
v = −
1
x
. Penyelesaian dengan kalkulus integralmenghasilkan
2v
v2 + 1
= −
1
x
ln(v2
+ 1) = ln
1
x
v2
=
1
x
− 1
v2
=
1 − x
x
.
menggantikan kembali v, akan menghasilkan solusi persamaan diferensial
y
x
2
=
1 − x
x
y2
= x − x2
4 Persamaan diferensial eksak
Jika terdapat sebuah fungsi u(x, y) yang memiliki turunan parsial, turunannya dapat ditulis
sebagai
du =
∂u
∂x
dx +
∂u
∂y
dy. (8)
Jika fungsi u(x, y) = C, turunannya adalah du(x, y) = 0.
5

6. Contoh 4.1 Turunan parsial dari fungsi u(x, y) = x + x2
y3
= C, adalah
du = (1 + 2xy3
)dx + 3x2
y(x, y)2
dy = 0 (9)
Bentuk persamaan diferensial seperti persamaan (9) disebut sebagai persamaan diferensial
eksak. Bentuk umumnya dituliskan sebagai berikut
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (10)
Jika persamaan (10) dituliskan kembali berdasarkan persamaan (8), diperoleh
du = 0,
mengintegrasikannya akan menghasilkan solusi implisit persamaan diferensial eksak
u(x, y) = C.
Membandingkan persamaan (10) dangan persamaan (8), kita dapatkan bahwa
M =
∂u
∂x
dan N =
∂u
∂y
(11)
4.1 Syarat persamaan diferensial eksak
Turunan parsial dari M dan N pada persamaan (11) akan menghasilkan syarat/kondisi suatu
persamaan diferensial dapat disebut persamaan diferensial eksak atau non-eksak.
∂M
∂y
=
∂2
u
∂x∂y
dan
∂N
∂x
=
∂2
u
∂x∂y
,
dengan demikian
∂M
∂y
=
∂N
∂x
(12)
menjadi syarat persamaan diferensial eksak.
4.2 Solusi implisit persamaan diferensial eksak
JIka suatu persamaan diferensial memenuhi syarat sebagai persamaan diferensial eksak, so-
lusinya dapat ditemukan dengan mengintegrasikan persamaan (11).
u(x, y) = Mdx + k(y) (13)
atau
u(x, y) = Ndy + l(x). (14)
Konstan k(y) dan l(x) dapat dicari dengan menurunkan u terhadap y, du
dy
, dan menurunkan u
terhadap x, du
dx
. Baik persamaan (13) atau (14) dapat digunakan mencari solusi dari persamaan
diferensial eksak. Penggunaan salah satu dari dua persamaan tersebut akan menghasilkan hasil
solusi yang sama.
6

7. Contoh 4.2 Tentukan solusi persamaan diferensial
cos(x + y)dx + [3y2
+ 2y + cos(x + y)]dy = 0
Solusi Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan pertama melakukan pengujian
apakah keeksakan, apakah persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial eksak atau
non-eksak. Dalam persamaan,
M = cos(x + y)
dan
N = 3y2
+ 2y + cos(x + y).
Turunan parsialnya adalah
∂M
∂y
= − sin(x + y)
dan
∂N
∂x
= − sin(x + y).
Dengan demikian persamaan tersebut memenuhi syarat sebagai persamaan diferensial ek-
sak. Solusi persamaan tersebut dapat dicari dengan menggunakan persamaan (13) atau
(14). Untuk ini kita gunakan persamaan (13)
u = Mdx + k(y)
= cos(x + y)dx + k(y)
u = sin(x + y) + k(y). (15)
k(y) dicari dengan menurunkan u terhadap y
du
dy
= cos(x + y) +
dk(y)
dy
. (16)
Berdasarkan persamaan (11), ∂u
∂y
= N, kita persamakan persamaan (15) dengan persamaan
(11). Dengan N = 3y2
+ 2y + cos(x + y).
cos(x + y) +
dk(y)
dy
= 3y2
+ 2y + cos(x + y). (17)
Dari persamaan (16) kita dapati
dk(y)
dy
= 3y2
+ 2y,
dan dengan kalkulus integral kita peroleh nilai k(y)
k(y) = y3
+ y2
.
Substitusikan k(y) ke dalam persamaan (15) menghasilkan solusi implisit persamaan difer-
ensial eksak
u(x, y) = sin(x + y) + y3
+ y2
7

8. 4.3 Faktor integrasi
Jika kita berhadapan dengan persamaan yang tidak memenuhi syarat persamaan diferensial
(PD) eksak, atau disebut juga persamaan diferensial non-eksak, kita dapat menjadikan per-
samaan tersebut menjadi PD eksak dengan mengalikannnya dengan sebuah faktor yang dina-
makan Faktor Integrasi.
Suatu persamaan diferensial non-eksak
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (18)
dapat diubah menjadi persamaan diferensial eksak dengan mengalikannya dengan fungsi F
FPdx + FQdy = 0. (19)
Fungsi F di sini disebut Faktor Integrasi.
Karena persaaan (19) adalah persamaan diferensial eksak, persamaan (19) memenuhi syarat
persamaan diferensial eksak
∂FP
∂y
=
∂FQ
∂x
F
∂P
∂y
+ P
∂F
∂y
= F
∂Q
∂x
+ Q
∂F
∂x
. (20)
Faktor Integrasi F dapat dicari melalui persamaan (20) dengan memilih salah satu dari dua
variabel x atau y. Ketika variabel x dipilih, turunan terhadap y sama dengan nol. Begitu pula
sebaliknya ketika variabel y dipilih, turunan terhadap x sama dengan nol.
Kemungkinan I: Faktor integrasi sebagai fungsi x
Dengan
F = F(x),
∂F
∂y
= 0, (21)
substitusi ke dalam persamaan (20) kita peroleh
F
∂P
∂y
= F
∂Q
∂x
+ Q
∂F
∂x
.
Pengalian dengan 1
FQ
menghasilkan
1
Q
∂P
∂y
=
1
Q
∂Q
∂x
+
1
F
∂F
∂x
1
F
∂F
∂x
=
1
Q
∂P
∂y
−
∂Q
∂x
1
F
∂F
∂x
= R(x) , dimana R(x) =
1
Q
∂P
∂y
−
∂Q
∂x
(22)
Dengan menerapkan kalkulus integral terhadap persamaan (22), Faktor Integrasi adalah
F(x) = e R(x)dx
(23)
8

9. Kemungkinan II: Faktor integrasi sebagai fungsi y
Dalam hal ini
F = F(y),
∂F
∂x
= 0. (24)
Dengan menerapkan cara yang sama dengan Kemungkinan I, dapat diperoleh Faktor Integrasi
sebagai fungsi y
F(y) = e R(y)dy
. (25)
dengan
R(y) =
1
P
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
. (26)
Contoh 4.3 Tentukan solusi persamaan diferensial berikut
(ex+y
+ yey
)dx + (xey
− 1)dy = 0. (27)
Solusi Kita lakukan pengujian keeksakan terhadap persamaan tersebut
∂P
∂y
= ex+y
+ yey
+ ey
dan
∂Q
∂x
= ey
.
Jadi
∂P
∂x
=
∂Q
∂y
.
Dikarenakan persamaan diferensial dalam contoh ini adlah persamaan diferensial non-eksak,
kita diharuskan untuk mencari Faktor Integrasi untuk mengubahnya menjadi persamaan
diferensial eksak. Unruk dapat memperoleh Faktor Integrasi kita akan mencari nilai R(x)
dan R(y) dari persamaan (22) dan (26)
R(x) =
ex+y
+ yey
xey − 1
dan
R(y) = −1.
Kita akan gunakan R(y) dikarenakan dalam R(x) terdapat dua variabel sekaligus, x dan y.
Faktor Integrasi sebagai fungsi y kita dapatkan
F(y) = e (−1)dy
= e−y
.
Persamaan diferensial eksak dapat kita bentuk dengan mengalikan persamaan (27) dengan
Faktor Integrasi
(ex
+ y)dx + (x − e−y
)dy = 0. (28)
Kita dapat lakukan pengujiuan keeksakan seperti biasa untuk membuktikan apakah per-
samaan (28) benar persamaan diferensial eksak.
Setelah terbentuk persamaan diferensial eksak kita tinggal menyelesaikan dengan solusi
implisit persamaan diferensial eksak
u = x − e−y
dy + l(x)
u = xy + e−y
+ l(x).
9

10. Turunan terhadap x
∂u
∂x
= y +
dl(x)
dx
Penyamaan dengan ex
+ y, menghasilkan
dl(u)
dx
= ex
.
yang jika diselesaikan akan didapatkan
l(x) = ex
.
Jadi, solusi persamaan diferensial non-eksak tersebut adalah
u(x, y) = xy + e−y
+ ex
= C.
Referensi
[1] E. Kreyszig, Advanced engineering mathematics, (John Willey & Sons, Inc., USA, 2011)
10