Teks tersebut membahas tentang sistem persamaan linear (SPL) yang meliputi pengertian, contoh, jenis solusi, dan metode penyelesaian SPL seperti aturan Cramer, invers matriks, eliminasi Gauss, dan eliminasi Gauss-Jordan.

1. 1
SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)
A. Tujuan
- Mengetahui pengetahuan dasar sistem persamaan linear
- Mengetahui konsep-konsep tentang sistem persamaan linear, keunikan sistem
persamaan linear nonhomogen, homogin
- Solusi sistem persamaan linear
B. Pengantar Sistem Persamaan Linear
Persamaan Linear adalah sebuah garis yang terletak pada bidang xy, yang dapat
dinyatakan secara aljabar dalam suatu persamaan berbentuk :
a1x + a2y = b
dimana a1, a2, b adalah real, a1, a2 tidak keduanya nol
Persamaan ini disebut dengan Sistem persamaan Linear dengan vareabel x dan y.
Secara umum dengan n varebel x1, x2, ...xn dapat dinyatakan dalam bentuk :
a1x1 + a2x2 + ...anxxn= b
Suatu persamaan linear vareabel-vareabelnya berpangkat satu BUKAN mengandung hasil
kali, akar kali, argumen trigonometri
Contoh persamaan linear :
x+3y=6
y=1/2x + 3z +1
x1 - 2x2 - 3x3 + x4=7
Contoh BUKAN persamaan linear :
53 =+ yx → akar kali atau y pangkat ½
3x + 2y – z + xz = 4 → hasil kali
Y=sin → trigonometri
Himpunan Solusi (Solution set) / Solusi Umum (General solution)
Persamaan linear dengan a1x1 + a2x2 + ...anxxn= b adalah urutan dari n bilangan
s1, s2, ...,sn sedemikkian rupa sehingga persamaan tersebut akan terpenuhi jika
kita menggantikan x1=s1, x2=s2, .. xn=sn
Contoh :
Tentukan himpunan solusi untuk ”
1. 4x – 2y = 1
Penyelesaian
- dengan menentukan nilai sembarang x untuk memperoleh nilai y
- atau menentukan nilai sembarang y untuk memperoleh nilai x
Menentukan nilai sembarang x semisal dengan t
x=t
4x-2y=1 ➔ 2y = 4x-1
y = 2t – ½
Jika t=3, maka x=3, y= 11/2 dst
Menentukan nilai sembarang y semisal dengan t

2. 2
y=t
4x-2y=1 ➔ 2y = 4x -1
x = ½ y + ¼
x= ½ t + ¼
Tidak semua persamaan linear memiliki Solusi
Contoh :
x+y=4, 2x + 2y = 6
Jika persamaan-persamaan linear jumlahnya lebih dari 1 dan dikumpulkan, maka
himpunan persamaan tadi disebut dengan SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Bentuk umum Sistem Persamaan Linear sbb :
11212111 ... bxaxaxa nn =+++
22222221 ... bxaxaxa nn =+++
.
.
.
mnmnmm bxaxaxa =+++ ...2211
a = koefisien konstan
b = konstan
x1, x2, .., xn = bilangan tak diketahui (vareabel)
m = jumlah persamaan
Matriks Yang Diperbesar (Augmented Matrix)
Jika kita mengingat dan mengetahui posisi x, + dan = maka dapat dituliskan deretan
dalam persegi panjang sbb :












mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
...
.......
...
...
21
222221
111211
Contoh Sistem Persamaan Linear (SPL) terdiri dari 4 persamaan linear, 4 vareabel
352 4321 =−++ xxxx
3952 4321 −=−−+ xxxx
1132 4321 −=+−+ xxxx
5723 4321 −=++− xxxx
SPL diatas dapat diungkapkan dalam bentuk matrik yang diperbesar sbb :












−−
−−
−−−
−
57231
113112
39152
35211 Ada 3 hal yang ditemui persamaan disamping :
1. m>n : jumlah persamaan > jumlah vareabel
2. m<n : jumlah persamaan < jumlah vareabel
3. m=n : jumlah persamaan = jumlah vareabel

3. 3
Pada kasus SPL ada 3 kemungkinan yang bisa terjadi :
1. Mempunyai solusi unik (hanya ada 1 solusi)
2. Tidak mempunyai solusi (inkonsisten)
3. Banyak solusi
Contoh gambaran solusi solusi tersebut :
Tentukan titik temu dari SPL berikut :
1. y1=x+3 y2=-1/2 x
2. y1=x+3 y2=x-2
3. y1=x+3 y2=2x+6
Jawab
1. y1=x+3
3
➔ 1 solusi tunggal ( 1 tititk temu)
3 2
Y2=-1/2 x
2. y1=x+3
3 y2=x-2
➔ tidak punya solusi (tidak ada titik temu)
-3 2
-2
3. y1=x+3
3
➔ banyak solusi (sepanjang garis adlh titik temu)
-3
2y2=2x+6

4. 4
C. Solusi Sistem Persamaan Linear
➢ Aturan Crammer
➢ Invers Matriks
➢ Metode Eliminasi Gauss
➢ Metode Eliminasi Gauss – Jordan
1. Aturan Cramer
➔ Lihat kembali ke materi Determinan bagian akhir
Aturan Cramer
Jika Ax = b adalah suatu sistem dari n persamaan linear dengan n faktor yang tidak
diketahui sedemikian rupa sehingga de(A)≠0, maka sistem ini memiliki solusi yang unik.
Solusinya adalah :
)det(
)det(
,......
)det(
)det(
,
)det(
)det( 2
2
1
1
A
A
x
A
A
x
A
A
x n
n ===
Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri / elemen-elemen
pada kolom ke-j dari A dengan elemen-elemen matriks












=
nb
b
b
b
..
2
1
Contoh 1
Hitunglah x, y, z SPL berikut :
2x + y – z = 3
3x + 2y – 4z = 1
x + 4y + z = 15
Jawab :
A =










−
−
141
423
112










=
15
1
3
b
A1 = A2 = A3 =
Det A= 19 det A1= 19 det a2= 57 det a3= 38
X = deat a1/det a = 19/19 = 1
Y = det a2 / det a = 57/19 = 3
Z = det a3/det a = 38/19 = 2

5. 5
Contoh : 2
Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan persamaan berikut :
62 31 =+ xx
30643 321 =++− xxx
832 321 =+−− xxx
Tentukan 321 ,, xxx
Penyelesaian :
x1 + 0x2 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Dibuat matriks :










−−
−=
321
643
201
A










−
=
328
6430
206
1A










−
−=
381
6303
261
2A










−−
−=
821
3043
601
3A
Ekspansi baris 1
det(A) = 1.(4.3-(-2).6) – 0 + 2.(-3.-2-(-1).4) = 1.(12+12) – 0 + 2(6+4) = 24+20 = 44
det(A1) = (6.24) – 0 + 2.(-60-32) = 144 – 0 – 184 = -40
det(A2) = 1.(90-48) – 6(-9+6) + 2(-24+30) = (1.42) – (6.-3) + (2.6) = 42 +18 +12 = 72
det(A3) = 1.(32+60) – 0 + 6(6+4) = (1.92) – 0 + (6.10) = 92 +60 = 152
Sehingga akan didapat :
11
10
44
40
)det(
)det( 1
1
−
=
−
==
A
A
x

6. 6
11
18
44
72
)det(
)det( 2
2 ===
A
A
x
11
38
44
152
)det(
)det( 3
3 ===
A
A
x
Bukti :
x1 + 2x3 = 6 ➔ 6
11
66
11
76
11
10
11
38
.2
11
10
==+
−
=+
−
Buktikan yang lainnya..!!!
2. Metode Invers Matriks
Persamaan ax = b
➔ x = A-1
b
Contoh:
Hitunglah x, y, z SPL berikut :
2x + y – z = 3
3x + 2y – 4z = 1
x + 4y + z = 15
Jawab :
A =










−
−
141
423
112










=
15
1
3
b
Ulangi lagi bagaimana mencari invers (lihat ket dibagian bawah)












−
−
−−
=−
19
1
19
7
19
10
19
5
19
3
19
7
19
2
19
5
19
18
1
A
bAx 1−
=






















−
−
−−
=
15
1
3
.
19
1
19
7
19
10
19
5
19
3
19
7
19
2
19
5
19
18
x

7. 7












+−+
++−
−+−+
=
)
19
1.15()
19
7.1()
19
10.3(
)
19
5.15()
19
3.1()
19
7.3(
)
19
2.15()
19
5.1()
19
18.3(
x =












+−
++−
−−
19
15
19
7
19
30
19
75
19
3
19
21
19
30
19
5
19
54
x=












19
38
19
57
19
19
=










2
3
1










=
2
3
1
x ➔ x = 1, y = 3, z=2
Review Mencari Invers










−
−
=
141
423
112
A → det(A) = (2.18) – (1.7) + (-1.10) = 36 – 7 – 10 = 19










−
−
=
141
423
112
A ➔ maka kofaktor-kofaktor dari A adalah :
C11 =










−
−
141
423
112
C12 =










−
−
141
423
112
C13 =










−
−
141
423
112
C11 = 18 C12 = -(7) C13 = 10
C21 = -5 C22 = 3 C23 = -7
C31 = -2 C32 = 5 C33 = 1
Jadi matriks kofaktor-kofaktornya adalah :










−
−−
−
152
735
10718
Adj(A) = Transpos A

8. 8
adj (A)=










−
−−
3710
537
2518
)(.
)det(
11
Aadj
A
A =−
=










−
−−
=−
3710
537
2518
19
11
A












−
−
−−
19
1
19
7
19
10
19
5
19
3
19
7
19
2
19
5
19
18
3. Metode Eliminasi Gauss
Mengubah augmented matriks dengan Operasi Baris Elementer (OBE) berkali-kali
sehingga memperoleh sebuah matriks lengkap segitiga atas yaitu matriks dengan
diagonal utama 1.
Contoh Matriks diagonal atas










100
410
321
Contoh :
2x + y – z = 3
3x + 2y – 4z = 1
X + 4y + z = 15
Jawab :










−
−
15141
1423
3112
➔










−−
−
−
15141
2
7
2
5
2
10
3112
)
2
3(
21H ➔










−−
−
−
2/272/32/70
2/72/52/10
3112
)
2
1(
31H










−−
−
2/272/32/70
2/72/52/10
2/32/12/11
2/1
1H ➔










−−
−
2/272/32/70
7510
2/32/12/11
2
2H
➔










−−
−
−
2/762/3800
7510
2/32/12/11
2/7
32H ➔










−−
−
2100
7510
2/32/12/11
38/2
3H
Hasil akhir adalah :










−−
−
2100
7510
2/32/12/11
sehingga didapat persamaan sbb :
X + ½ y – ½ z = 3/2

9. 9
Y – 5z = -7
Z = 3
y-5z = -7 ➔ y – 5.3 = -7 ➔ y – 15 = -7 ➔ y = 8
x + ½ y – ½ z = 3/2 ➔ x + ½ . 8 – ½ .3 = 3/2 ➔ x + 4 -3/2 = 3/2 ➔ x = 1
4. Metode Eliminasi Gauss – Jordan
Merupakan pengembangan eliminasi Gaus, hanya saja augmented matriks dikenai OBE
hingga menjadi matriks Identitas, sehingga selain menyelesaikan SPL juga bisa mencari
invers
Selesaikan SPL homogen berikut dengan eliminasi gauss jordan
2x + y – z = 3
3x + 2y – 4z = 1
X + 4y + z = 15
Jawab










−
−
15141
1423
3112
➔










−
−
15141
1423
2/32/12/11
2/1
1H ➔










−−
−
−
15141
2/72/52/10
2/32/12/11
3
21H










−−
−
−
2/272/32/70
2/72/52/10
2/32/12/11
1
31H ➔ 2
2H → 2
3H










−−
−
27370
7510
2/32/12/11










−−
−
−
763800
7510
2/32/12/11
7
32H ➔










−−
−
2100
7510
2/32/12/11
38/1
3H ➔










−−−
2100
7510
5201
2/1
12H ➔










2100
3010
5201
5
23H ➔










−
2100
3010
1001
2
13H
Sehingga akan ditemukan persamaan :
X = 1
Y = 3
Z = 2

10. 10
LATIHAN
Hitung solusi dari persamaan berikut :
1.
X + 3y + 4z = 5
2x + y + 6z = 6
X – 7y = -3
2.
2x + 3y + 4z = 5
5x + 2y - z = 7
-11y + 18z = -11
TUGAS
Hitung solusi dari persamaan berikut dg menggunakan 2 metode
Ax – 2y + 3z = -3 ➔ A adalah digit nim terakhir anda
x + 3y + 4z = 4
2x + y + 6z = 6