Dokumen tersebut membahas tentang integral dan sifat-sifatnya. Integral adalah anti turunan dari suatu fungsi. Rumus dasar integral meliputi integral konstan, integral kuadrat, integral pangkat, dan integral logaritma. Metode penyelesaian integral meliputi integral tak tentu, integral substitusi, dan integral tentu beserta sifat-sifatnya.

1. INTEGRAL
Matematika Wajib SMA

2. Definisi Integral
Integral disebut juga sebagai anti turunan.
Jika fungsi 𝑓 merupakan anti turunan dari fungsi 𝐹, maka
integral tak tentu dari fungsi 𝑓 adalah
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

3. Integral Tak Tentu
Rumus-rumus dasar integral tak tentu adalah sbb :





𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑘 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
1
𝑛 + 1
𝑥 𝑛+1 + 𝐶, 𝑛 ≠ −1
𝑎
𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑎
ln 𝑥 + 𝐶

4. Contoh
Tentukan integral tentu berikut :
1.
2.
3.
4.
3 𝑑𝑥
4𝑥2 𝑑𝑥
4
3𝑥
𝑑𝑥
2𝑥 𝑥 + 7 𝑥 𝑑𝑥

5. Jawab
1.
2.
3.
3 𝑑𝑥 = 3𝑥 + 𝐶
4𝑥2
𝑑𝑥 =
4
2 + 1
𝑥2+1
+ 𝐶 =
4
3
𝑥3
+ 𝐶
4
3𝑥
𝑑𝑥 =
4
3
ln 3𝑥 + 𝐶

6. Jawab
4. 2𝑥 𝑥 + 7 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥1+
1
2 + 7𝑥
1
2 𝑑𝑥
= 2𝑥
3
2 + 7𝑥
1
2 𝑑𝑥
= 2𝑥
3
2 𝑑𝑥 + 7𝑥
1
2 𝑑𝑥
= 2 ∙
2
3 + 2
∙ 𝑥
3+2
2 + 7 ∙
2
1 + 2
∙ 𝑥
1+2
2 + 𝐶
=
4
5
𝑥
5
2 +
14
3
𝑥
3
2 + 𝐶
=
4
5
𝑥2 𝑥 +
14
3
𝑥 𝑥 + 𝐶

7. Integral Substitusi
Metode substitusi merupakan metode penyelesaian integral
dengan mengubah bentuk fungsi menjadi lebih sederhana
dalam bentuk variabel tertentu yang saling berhubungan
dengan cara pemisalan.
Langkah-langkah :
 Dimisalkan, salah satu fungsi sebagai 𝑢.
 Turunkan fungsi 𝑢 terhadap 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
.
 Substitusikan fungsi pemisalan ke bentuk integral awal.
 Setelah diintegralkan, kembalikan fungsi pemisalan ke
bentuk awalnya.

8. Contoh
Carilah
2𝑥 − 3
𝑥2 − 3𝑥 + 1
𝑑𝑥

9. Jawab
Misalkan 𝑢 = 𝑥2
− 3𝑥 + 1, maka
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 3
𝑑𝑢 = 2𝑥 − 3 𝑑𝑥
2𝑥 − 3
𝑥2 − 3𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑢
= 𝑢−
1
2 𝑑𝑢 =
2
−1 + 2
𝑢
−1+2
2 + 𝐶
= 2𝑢
1
2 + 𝐶 = 2 𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 𝐶

10. Integral Tentu
Misalkan 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) 𝑎
𝑏
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
dengan F adalah antiturunan dari 𝑓, yaitu 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥).

11. Sifat-sifat Integral Tentu
1.
2.
3.
4.
5.
𝑎
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ±
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

12. Contoh
1
3
2𝑥2 + 1 𝑑𝑥 =
2
3
𝑥3 + 𝑥
1
3
=
2
3
∙ 33 + 3 −
2
3
∙ 13 + 1
= 18 + 3 −
2
3
+ 1
= 21 −
2
3
− 1
= 20 −
2
3
= 19
1
3