good explanation

1. PANGKAT BILANGAN BULAT
DAN BENTUK AKAR

2. Bilangan
Berpangkat
dan Akar
Bilangan
Bilangan Berpangkat pada Papan Catur
Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat
Bilangan Berpangkat Pecahan
Operasi pada Bilangan Berpangkat Negatif
Operasi pada Bilangan Berpangkat Pecahan
Akar Bilangan
Operasi Akar Bilangan
Merasionalkan Bentuk Akar Kuadrat
Menyederhanakan Bentuk (𝑎 + 𝑏) ± 2 𝑎𝑏
Penerapan Bilangan Berpangkat dan Akar Bilangan
PETA KONSEP

3. Gambar di samping menunjukkan,banyak beras
pada kotak ke-21 adalah 1 juta butir dan pada
kotak ke-31 menjadi 1 miliar butir beras. Cobalah
kalian tentukan, berapa banyak beras yang
terdapat pada papan catur seluruhnya jika
dinyatakan dalam bilangan berpangkat! Berapa
banyaknya? Dengan menggunakan rumus untuk
pola bilangan 1, 2, 4, 8, 16, . . . sampai n suku,
diperoleh rumus 2n– 1.
Dengan demikian, banyak beras di atas papan
catur seluruhnya adalah 2 – 1 =18. 446.744. 073.
709. 551. 615 butir (Bagaimana membacanya?).
Tumpukan beras sebanyak itu akan menyamai
bahkan melebihi tinggi gunung Everest, yaitu
gunung tertinggi di dunia.
1.1 Bilangan Berpangkat Pada Papan Catur

4. 1.2 Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat
Pengertian Bilangan Berpangkat
Untuk sembarang bilangan 𝒂𝑛
dengan n bilangan bulat positif
berlaku:
𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎
n faktor
Untuk bilangan 𝒂𝑛 dengan n bilangan bulat positif, 𝒂𝒏 disebut
bilangan berpangkat sebenarnya.

5. 1.2 Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat
Bilangan Berpangkat Nol
1. Untuk sembarang bilangan bulat a dengan 𝑎 ≠ 0, selalu
berlaku 𝒂𝟎
= 𝟏
𝒂𝟎 merupakan bilangan berpangkat tak sebenarnya.
2. Untuk a = 0, maka 𝒂𝟎
tidak terdefinisikan. Dengan
demikian, 𝟎𝟎 tidak terdefinisikan.

6. 1.2 Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat
Bilangan Berpangkat Negatif
1. Untuk sembarang bilangan bulat a dengan 𝑎 ≠ 0, selalu
berlaku 𝒂𝟎
= 𝟏
𝒂𝟎 merupakan bilangan berpangkat tak sebenarnya.
2. Untuk a = 0, maka 𝒂𝟎
tidak terdefinisikan. Dengan
demikian, 𝟎𝟎 tidak terdefinisikan.

7. 1.2 Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat
Notasi Ilmiah (Bentuk Baku Bilangan)
1. Notasi ilmiah bilangan besar dinyatakan sebagai
berikut.
𝒂 × 𝟏𝟎𝒏 dengan 𝟏 = 𝒂 < 𝟏𝟎, n adalah bilangan
bulat positif.
2. Notasi ilmiah bilangan kecil dinyatakan sebagai
berikut.
𝒂 × 𝟏𝟎𝒏 dengan 𝟏 = 𝒂 < 𝟏𝟎, n adalah bilangan
bulat negatif.

8. 1.2 Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat
Tentukan hasil operasi hitung berikut!
1) 5−3 2) 3 2𝑥2𝑦3𝑧 5
3) 2 × 10−3
Jawab:
1) 5−3
=
1
53
=
1
125
2) 3 2𝑥2𝑦3𝑧 5 = 3 25𝑥10𝑦15𝑧5 = 96𝑥10𝑦15𝑧5
3) 2 × 10−3
= 2 ×
1
1000
= 0,002
ContohSoal

9. 1.2 Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat
Bilangan Pecahan Berpangkat
Untuk sembarang bilangan pecahan
𝑎
𝑏
dengan 𝑏 ≠ 0,
pemangkatannya didefinisikan sebagai berikut:
𝒂
𝒃
𝒏
=
𝒂
𝒃
×
𝒂
𝒃
×
𝒂
𝒃
× ⋯ ×
𝒂
𝒃
𝒏 𝒇𝒂𝒌𝒕𝒐𝒓
dengan 𝑛 adalah bilangan bulat dan 𝑏 ≠ 0.

10. 1.2 Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat
Tentukan hasil pemangkatan berikut!
1)
3
5
4
2) −
2𝑥
3𝑦
−4
Jawab:
1)
3
5
4
=
81
625
2) −
2𝑥
3𝑦
−4
= −
3𝑦
2𝑥
4
=
81𝑦4
16𝑥4
ContohSoal

11. 1.3 Bilangan Berpangkat Pecahan
Perkalian Bilangan Bentuk Akar
Perkalian bilangan bentuk akar kuadrat dan akar
pangkat n dapat ditentukan sebagai berikut:
1. 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏 dengan 𝑎, 𝑏 ≥ 0
2. 𝑛
𝑎 ×
𝑛
𝑏 =
𝑛
𝑎 × 𝑏

12. 1.3 Bilangan Berpangkat Pecahan
Hubungan Bilangan Berpangkat Pecahan dengan
Bilangan Bentuk Akar
Untuk sembarang bilangan 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0, berlaku
𝑎
𝑚
𝑛 =
𝑛
𝑎𝑚 atau 𝑎
𝑚
𝑛 = 𝑛
𝑎 𝑚
𝑎
𝑚
𝑛 merupakan bilangan berpangkat tak sebenarnya

13. 1.3 Bilangan Berpangkat Pecahan
Tentukan hasil pemangkatan bilangan - bilangan berikut!
1) −
8
27
1
3
2)
1
16𝑥4
1
4
Jawab:
1) −
8
27
1
3
=
3
−
8
27
= −
2
3
2)
1
16𝑥4
1
4
=
4 1
16𝑥4
=
1
2𝑥
ContohSoal

14. 1.4 Operasi pada Bilangan Berpangkat Negatif
Perkalian Bilangan Berpangkat Negatif
Untuk memperoleh rumus perkalian dan pembagian
bilangan berpangkat negatif, kita gunakan rumus:
𝒂−𝒏
=
𝟏
𝒂𝒏
Sehingga rumus perkalian bilangan berpangkat negatif
adalah sebagai berikut:
1. 𝑎𝑚 × 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
2. 𝑎−𝑚
× 𝑎𝑛
= 𝑎−𝑚+𝑛
3. 𝑎−𝑚 × 𝑎−𝑛 = 𝑎−(𝑚+𝑛) = 𝑎−𝑚−𝑛

15. 1.4 Operasi pada Bilangan Berpangkat Negatif
Pembagian Bilangan Berpangkat Negatif
Rumus pembagian bilangan berpangkat negatif
adalah sebagai berikut:
1. 𝑎𝑚
∶ 𝑎−𝑛
= 𝑎𝑚−(−𝑛)
= 𝑎𝑚+𝑛
2. 𝑎−𝑚: 𝑎𝑛 = 𝑎−𝑚−𝑛
3. 𝑎−𝑚
: 𝑎−𝑛
= 𝑎−𝑚−(−𝑛)
= 𝑎−𝑚+𝑛

16. 1.4 Operasi pada Bilangan Berpangkat Negatif
Pembagian Bilangan Berpangkat dengan Pangkat Negatif
Bilangan berpangkat yang dipangkatkan dengan
bilangan bulat negatif, yaitu:
𝑎𝑚 −𝑛
= 𝑎𝑚×(−𝑛)

17. 1.4 Operasi pada Bilangan Berpangkat Negatif
Tentukan hasil operasi bilangan berpangkat berikut!
1) 84 × 8−3 2) 𝑎3𝑏2: 𝑎−3𝑏5
3)
2𝑎3
3𝑏2
−4
Jawab:
1) 84
× 8−3
= 84+(−3)
= 8
2) 𝑎3𝑏2: 𝑎−3𝑏5 = 𝑎3− −3 𝑏2−5 = 𝑎6𝑏−3 =
𝑎6
𝑏3
3)
2𝑎3
3𝑏2
−4
= 3)
3𝑏2
2𝑎3
4
=
81𝑏8
16𝑎12
ContohSoal

18. 1.5 Operasi Pada Bilangan Berpangkat Pecahan
Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan
Perkalian bilangan berpangkat dengan pangkat bilangan
pecahan, yaitu:
𝑎
𝑚
𝑛 × 𝑎
𝑝
𝑞 = 𝑎
𝑚
𝑛
+
𝑝
𝑞
Pembagian bilangan berpangkat dengan pangkat bilangan
pecahan, yaitu:
𝑎
𝑚
𝑛 : 𝑎
𝑝
𝑞 = 𝑎
𝑚
𝑛
−
𝑝
𝑞
Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan

19. 1.5 Operasi Pada Bilangan Berpangkat Pecahan
Pemangkatan Berpanngkat Pecahan
Pemangkatan bilangan berpangkat dengan pangkat bilangan
pecahan, yaitu:
𝑎
𝑚
𝑛
𝑝
= 𝑎
𝑚
𝑛
×𝑝
= 𝑎
𝑝
𝑚
𝑛
Pemangkatan bilangan dengan pangkat pecahan
bertingkat, yaitu:
𝑎
𝑚
𝑛
𝑝
𝑞
= 𝑎
𝑚
𝑛
×
𝑝
𝑞
dengan 𝑚, 𝑛 ≠ 0
Pemangkatan Bilangan Berpangkat Pecahan

20. 1.5 Operasi Pada Bilangan Berpangkat Pecahan
Tentukan hasil pemangkatan berikut!
1) 12𝑥
4
9 4𝑥
2
3 2) 𝑎
5
7
−4
2) 3) 𝑥
2
9𝑦−
4
3
−
9
8
Jawab:
1)12𝑥
4
9 ∶ 4𝑥
2
3 = 3𝑥
4
9−
6
9 = 3𝑥−
2
9 =
3
9
𝑥2
2) 𝑎
5
7
−4
= 𝑎−
20
7 = 𝑎−2
6
7
3) 𝑥
2
9𝑦−
4
3
−
9
8
= 𝑥
2
9×−
9
8𝑦−
4
3×−
9
8 = 𝑥−
1
4𝑦
3
2
ContohSoal

21. 1.6 Akar Bilangan
Pengertian Akar Bilangan
Mencari nilai 𝑛 dari bilangan 𝑎 adalah mencari suatu
bilangan yang jika dipangkatkan 𝑛 akan menghasilkan 𝑎.
Hasil 𝒃 dengan 𝒃 ≥ 𝟎 adalah bilangan positif atau nol.
Jika 𝒂𝒏
= 𝒃, maka nilai
𝒏
𝒃 = 𝒂

22. 1.6 Akar Bilangan
Hubungan Akar Bilangan dengan Pangkat Pecahan
Untuk sembarang bilangan 𝑎 dengan 𝑎 ≠ 0, berlaku:
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎
𝑚
𝑛 atau 𝑛
𝑎 𝑚
= 𝑎
𝑚
𝑛 dengan 𝑛 ≠ 0.

23. 1.6 Akar Bilangan
Tentukan hasil akar bilangan berikut!
1)
3
729
2)−
3
64𝑎6
3)
1
3
343𝑎6
Jawab:
1)
3
729 =
3
−9 3 = −9
2) −
3
64𝑎6 = −
3
4𝑎2 3 = −4𝑎2
3)
1
3
343𝑎6
=
1
3
7𝑎2 3
=
1
7𝑎2
ContohSoal

24. 1.7 Operasi Akar Bilangan
Penyederhanaan Akar Bilangan Irrasional
Pada akar bilangan 𝑛
𝑎, jika 𝑎 dapat difaktorkan menjadi
𝑛
𝑝 × 𝑞 dengan 𝑝 atau 𝑞 merupakan bilangan pangkat
𝑛, maka 𝑛
𝑎 dapat disederhanakan.
Misalnya 50 dapat diubah menjadi:
50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 2

25. 1.7 Operasi Akar Bilangan
Perkalian dan Pembagian Akar Bilangan
Untuk operasi perkalian akar bilangan, jika 𝑎 dan 𝑏
sembarang bilangan bulat dengan 𝑎, 𝑏 ≥ 0, maka
berlaku:
1. 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏
2. 3
𝑎 ×
3
𝑏 =
3
𝑎 × 𝑏
Untuk operasi pembagian akar bilangan, jika 𝑎 dan 𝑏
sembarang bilangan bulat dengan 𝑎, 𝑏 ≥ 0, maka berlaku:
1. 𝑎 ∶ 𝑏 = 𝑎 ∶ 𝑏
2. 3
𝑎 ∶
3
𝑏 =
3
𝑎 ∶ 𝑏

26. 1.7 Operasi Akar Bilangan
Penjumlahan dan Pengurangan Akar Bilangan
Untuk menentukan hasil penjumlahan maupun
pegurangan pada akar bilangan bentuk akar, digunakan
sifat distributif, yaitu:
1. 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑐 = 𝑐(𝑎 + 𝑏)
2. 𝑎 𝑐 − 𝑏 𝑐 = 𝑐(𝑎 − 𝑏)

27. 1.7 Operasi Akar Bilangan
Pemangkatan Akar Bilangan Suku Dua
Sifat – sifat yang berlaku untuk pemangkatan dari akar bilangan
dan pengkuadratan suku dua dalam bentuk akar, yaitu:
1. 𝑚
𝑎 2 = 𝑚
𝑎 × 𝑚
𝑎
2. 𝑎 + 𝑏
2
= 𝑎2
+ 2𝑎 𝑏 + 𝑏
2
3. 𝑎 − 𝑏
2
= 𝑎 2 − 2 𝑎 𝑏 + 𝑏
2

28. 1.7 Operasi Akar Bilangan
Tentukan hasil operasi akar bilangan berikut!
1)2 3 × 15 3) 6
3
4 ∶
3
16
2) 240 ∶ 5 4) 2 3 − 4
2
Jawab:
1)2 3 × 15 = 2 × 3 × 15 = 2 45 = 2 3 5 = 6 5
2) 240 ∶ 5 = 240: 5 = 48 = 4 3
3) 6
3
4 ∶
3
16 = 3 × 2
3
4 ∶
3
16 = 3
3
23 × 4 ∶
3
16 = 3
3
32 ∶
3
16 = 3
3
2
4) 2 3 − 4
2
= 2 3
2
− 2 2 3 4 + 42
= 12 − 16 3 + 16 =
28 − 16 3
ContohSoal

29. 1.8 Merasionalkan Bentuk Akar Kuadrat
Merasionalkan Bentuk
𝒂
𝒃
Untuk merasionalkan penyebut pecahan
𝒂
𝒃
, dilakukan dengan
langkah berikut:
𝒂
𝒃
=
𝒂
𝒃
×
𝒃
𝒃
=
𝒂
𝒃
𝒃

30. 1.8 Merasionalkan Bentuk Akar Kuadrat
Merasionalkan Bentuk
𝒂
𝒂+ 𝒃
dan
𝒂
𝒂− 𝒃
Untuk merasionalkan penyebut pecahan
𝒂
𝒂+ 𝒃
dan
𝒂
𝒂− 𝒃
,dilakukan dengan langkah berikut:
𝟏
𝒂 + 𝒃
=
𝟏
𝒂 + 𝒃
×
𝒂 − 𝒃
𝒂 − 𝒃
=
𝒂 − 𝒃
𝒂𝟐 − 𝒃
𝟏
𝒂 − 𝒃
=
𝟏
𝒂 − 𝒃
×
𝒂 + 𝒃
𝒂 + 𝒃
=
𝒂 + 𝒃
𝒂𝟐 − 𝒃

31. 1.8 Merasionalkan Bentuk Akar Kuadrat
Rasionalkan penyebut pecahan – pecahan berikut!
1)
7
18
2)
5 + 2
5 − 2
Jawab:
1)
7
18
=
7
18
×
18
18
=
7 × 3 2
18
=
7 2
6
2)
5 + 2
5 − 2
=
5 + 2
5 − 2
×
5 + 2
5 + 2
=
5
2
+ 4 5 + 4
5 − 4
= 9 + 4 5
ContohSoal

32. 1.9 MENYEDERHANAKAN BENTUK 𝒂 + 𝒃 ± 𝟐 𝒂𝒃
Menyederhanakan bentuk 𝒂 + 𝒃 ± 𝟐 𝒂𝒃 , dengan 𝑎 >
𝑏 yaitu sebagai berikut:
1. 𝒂 + 𝒃 + 𝟐 𝒂𝒃 = 𝒂 + 𝒃
2. 𝒂 + 𝒃 − 𝟐 𝒂𝒃 = 𝒂 − 𝒃

33. 1.9 MENYEDERHANAKAN BENTUK 𝒂 + 𝒃 ± 𝟐 𝒂𝒃
Sederhanakan bentuk akar berikut!
1) 8 + 2 15
2) 7 − 4 3
Jawab:
1) 8 + 2 15 = (5 + 3) + 2 5 × 3 = 5 + 3
2) 7 − 4 3 = 7 − 2 × 2 3 = 7 − 2 12 =
(4 + 3) − 2 4 × 3 = 4 − 3 = 2 − 3
ContohSoal

34. 1.10 PENERAPAN BILANGAN BERPANGKAT DAN
AKAR BILANGAN
1. Sifat – sifat Bilangan Berpangkat
(i) 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
(ii) 𝑎𝑚
: 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛
(iii) 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛
(iv) 𝑎−𝑚 =
1
𝑎𝑚 atau
1
𝑎−𝑚 = 𝑎𝑚

35. 1.10 PENERAPAN BILANGAN BERPANGKAT DAN
AKAR BILANGAN
2. Sifat – sifat akar bilangan
(i)
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎
𝑚
𝑛
(ii) 𝑛
𝑎 2
= 𝑛
𝑎 × 𝑛
𝑎
(iii) 𝑛
𝑎 ×
𝑛
𝑏 =
𝑛
𝑎 × 𝑏
(iv) 𝑎 + 𝑏
2
= 𝑎 2 + 2 𝑎 𝑏 + 𝑏
2
(v) 𝑎 − 𝑏
2
= 𝑎 2 − 2 𝑎 𝑏 + 𝑏
2
(vi) 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 2
− 𝑏
2

36. 1.10 PENERAPAN BILANGAN BERPANGKAT DAN
AKAR BILANGAN
Sederhanakan bentuk akar berikut!
1) 8 + 2 15
2) 7 − 4 3
Jawab:
1) 8 + 2 15 = (5 + 3) + 2 5 × 3 = 5 + 3
2) 7 − 4 3 = 7 − 2 × 2 3 = 7 − 2 12 =
(4 + 3) − 2 4 × 3 = 4 − 3 = 2 − 3
ContohSoal

37. 1.10 PENERAPAN BILANGAN BERPANGKAT DAN
AKAR BILANGAN
ContohSoal