Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS                  Oleh:    Drs. Toto’ Bara Setiawan, M.Si.     (Email : totobara@fkip.unej.ac.id)...
BAB I      BILANGAN KOMPLEKSDengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kitatidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. J...
BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYADefinisi 1  Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:  a + bi atau a + ib, a dan b...
OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKSDEFINISI 2  Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks  z2=x2+iy2 dikatakan sa...
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂJadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks ...
Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks   Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi   penjumlahan dan perkalian (ℂ ,...
6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral     perkalian  7. Untuk setiap z=x+iy ℂ, ada –z=–x–iy)     sehingga z+(–z...
Contoh soal:1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,  buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–...
Kompleks Sekawan  Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan  kompleks sekawan dari z ditulis z , didefinisikan  seb...
Teorema 1 :a. Jika z bilangan kompleks, maka :    1. z z    2. z z 2 Re(z)    3. z z 2 Im(z)    4. z z    Re(z) 2   Im(z) ...
b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :    1.   z1 z2   z1 z2    2.   z1 z2   z1 z2    3. z1 z2 z1 z2        z1   z1    ...
Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks   Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y),   merupakan pasangan terur...
Im         z(x, y)              Bidang Argan     zO                        Re                              13
Im               z1 z2     z1          z2O                 Re                       14
Im          z2                  z1     O                 Re          z1 z2z2                            15
Tugas :  Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Gambarkan pada  bidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2,   ...
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan KompleksDefinisi 4 :  Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka  modulus dari z, ...
Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat dititik z1 dengan jari...
Teorema 2 :  A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :               2      1.   z           Re(z) 2   Im(z) 2      2.  ...
B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :       1. z1 z2 z1 z2           z1   z1      2.           z2   z2      3. ...
1. Bukti: z1 z2 z1 z2   z1 z2 (x1 iy1) (x 2 iy2 )           (x1x 2 y1y 2 ) i(x1y 2             x 2y1)              (x1x 2 ...
2. Bukti:   z1     x1 iy1 x 2 iy2   z2 x2 iy2 x 2 iy2        x1x 2     y1y 2            x 2y1 x1y 2                       ...
3. Bukti: z1 z2        z1        z2  0 (x1y 2 x 2y1)2  0 x1 y 2 x 2y1 2x1x 2y1y 2         2           2    2              ...
4. Bukti: z1 z2        z1        z2       z1   z1 z2       z2            z1 z2           z2  z1   z2   z1 z2  z1 z2     z1...
Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari BilanganKompleks  Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),  bilangan komple...
Adapun hubungan antara keduanya, ( x, y ) dan (r, )adalah :  x = r cos , y = r sin ,                          y  sehingga ...
Definisi 5 :  Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos + i sin ),  sudut disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut  de...
Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, )  = r(cos     + i sin ) = r cis , maka anda dapat  menuliskan z dala...
Contoh :  Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk  polar dan eksponen !                                         ...
Contoh :  Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk  polar dan eksponen !  Jawab :                                ...
Pangkat dan Akar dari Bilangan KompleksPerkalian dan Pemangkatan  Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam  bentuk...
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:    arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2Pertanyaan :Bagaimanakah jika kita perkalik...
Jika diketahui:   z1 = r1(cos 1 + i sin       1)   z2 = r2(cos 2 + i sin       2)    zn = rn(cos    n   + i sin   n),   u...
Pembagian:Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai           z1    r1(cos       i sin 1)berikut:                  1   ...
Akibat lain jika z = r(cos   + i sin ),maka:      1 1 cos( ) i sin( )           z rUntuk:     1          1                ...
Dari 1 dan 2 diperoleh:         zn   rn cos(n ) i sin(n ),     Dalil De-Moivreberlaku untuk semua n bilangan bulat.       ...
Contoh:                              6Hitunglah :       3 iJawab :  Misalkan z              3 i,        maka              ...
Akar Bilangan Kompleks  Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari                                                    ...
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks  w = r(cos +i sin ) adalah:        1  z=        [cos(2k ) + i sin (   2k )],  ...
Contoh :Hitunglah (-81)1/4Jawab :Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaianpersamaan z4 = -81.Tulis z = (cos...
Latihan Soal Bab I    1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan       z = (x,y) = x + iy.    2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2...
7.Gambarkan pada diagram argand dan  sebutkan nama kurva yang terjadi :  a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6  b. z + i = z – i  c. ...
BAB II      FUNGSI , LIMIT DAN KEKONTINUAN   Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks,maka perlu dipelajari konsep-konsep ...
1. Lingkungan/persekitaran     a. Persekitaran zo adalah himpunan semua titik z yang        terletak di dalam lingkaran ya...
Contoh :  a. N(i,1) atau z – i < 1, lihat pada gambar 1  b. N*(O,a) atau 0< z – O < a, lihat pada gambar 2       Im       ...
2. Komplemen   Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S   ditulis Sc,merupakan himpunan semua titik pada   bidang Z yan...
A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z 2 atau z 4}.       Im                      ...
3. Titik limit   Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk   setiap N*(zo, ) maka N*(zo, ) S          . Jika...
3. Titik limit   Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk   setiap N*(zo, ) maka N*(zo, ) S          . Jika...
3. Titik limit   Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk   setiap N*(zo, ) maka N*(zo, ) S          . Jika...
6. Interior dan Eksterior   Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada   N(zo, ) sehingga N(zo, ) S. Titik yang bu...
6. Interior dan Eksterior   Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada   N(zo, ) sehingga N(zo, ) S. Titik yang bu...
6. Interior dan Eksterior   Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada   N(zo, ) sehingga N(zo, ) S. Titik yang bu...
9. Himpunan Terhubung   Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap   dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal ...
9. Himpunan Terhubung   Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap   dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal ...
9. Himpunan Terhubung   Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap   dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal ...
12. Penutup dari himpunan S  adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.                                            ...
Contoh :1. Diberikan A = { z / |z|<1}, maka:                   Im                   1                       A       Re    ...
2. Diberikan B = { z / |z|<1} U {(0,1)}, maka:                     Im                    1                        B       ...
3. Diberikan C = { z / |z| 2}, maka:                   Im                      2                      1                   ...
Fungsi KompleksDefinisi :  Misalkan D himpunan titik pada bidang Z.  Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang  memasangk...
f    Im(z)                   Im( w)            z               w f(z)            Re(z)                    Re(w)Bidang Z   ...
Contoh :a)   w=z+1–ib)   w = 4 + 2ic)   w = z2 – 5zd)   f(z) = 3 z            2z 1Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks deng...
Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikanmenjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) danIm(w) masing-masin...
Contoh :Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !                                                 65
Contoh :Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !Jawab :Misal z = x + iy,maka fungsi w = f(z) = 2z2 – i              ...
Jika z = r(cos + i sin ).Tentukan f(z) = z2 + i                            67
Jika z = r(cos + i sin ).Tentukan f(z) = z2 + iJawab   f(z) = z2 + i        = [r (cos +i sin )]2 + i        = r2[cos2 - si...
Komposisi Fungsi  Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi  g(z) dengan domain Dg.‣ Jika Rf Dg       , maka ada f...
‣ Jika Rg Df       , maka ada fungsi komposisi (f⃘g) (z)  = f (g (z)), dengan domain Dg.                g             f   ...
Contoh :Misal: f(z) = 3z – i dan g(z) = z2 + z –1 + i‣ Jika Rf    Dg     ,  maka (g⃘f) (z) = g (f (z))                  = ...
‣ Jika Rg   Df     ,  maka (f⃘g) (z) = f (g (z))                  = f(z2 + z –1 + i)                  = 3z2 + 3z – 3 + 3i ...
Interpretasi Geometris   Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota   domain ada satu dan hanya satu variabel tak beba...
Contoh 1 :  Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i. Untuk setiap variabel  bebas z = x + iy didapat nilai w = (2x – 1) + (2y + 1)...
Contoh 2 :  Diketahui fungsi w = z2.  Dengan menggunakan z = r (cos +i sin ), maka  diperoleh w = z2 = r2 (cos2 +i sin2 )....
bidang Wbidang Z                r2    r               2                      76
Limit                                       KDiketahui daerah D pada bidangZ dan titik zo terletak di dalam D    D    zata...
Definisi :  Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D,  kecuali di zo (titik zo di dalam D atau pada batas D).  l...
Perlu diperhatikan bahwa :1.   Titik zo adalah titik limit domain fungsi f.2.   Titik z menuju zo melalui sebarang lengkun...
Contoh 1 :Buktikan bahwa :   lim 2z2 3z 2   5                   z 2    z 2                                      80
Contoh 1 :Buktikan bahwa :   lim 2z2 3z 2    5                   z 2    z 2Bukti:  Misalkan diberikan bilangan > 0, kita a...
Dari persamaan kanan diperoleh: | 2z2 3z 2 5 |       |                        (2z 1)(z 2)                                 ...
Bukti Formal :  Jika diberikan > 0 , maka terdapat      , sehingga                                        2  untuk z 2, di...
Teorema Limit :Teorema 1 :  Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo ,  maka nilai limitnya tunggal.               ...
Teorema Limit :Teorema 1 :  Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo ,  maka nilai limitnya tunggal.Bukti:  Misal l...
Teorema 2 :  Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y)  dengan domain D. Titik zo = (xo,yo) = xo+iyo di dalam ...
Teorema 3 :  Misalkan fungsi f dan g limitnya ada.  lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka  1. lim (f(z) +g(z)) = a + b (untu...
Contoh 1 :Hitunglah    lim z2 1             z i z i                        88
Contoh 1 :Hitunglah    lim z2 1             z i z i             lim z2 1 lim (z i)(z i)Jawab:             z i z i  z i    ...
Contoh 2 :Jika f(z)     2xy     x 2 i . Buktikan lim f(z) tidak ada !             x2 y2   y 1               z 0           ...
Contoh 2 :Jika f(z)      2xy            x 2 i . Buktikan lim f(z) tidak ada !              x2 y2          y 1             ...
Kekontinuan FungsiDefinisi :  Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z  dan titik zo terletak pada interior D, ...
Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu :       1. f(zo ) ada       2. lim f(z) ada          z   zo       3...
Teorema 4 :  Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik  pada daerah R, dan zo = xo+ i yo titik di dal...
Teorema 5 :  Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di zo, maka masing-  masing fungsi :  1. f(z) + g(z)  2. f(z) . g(z)  3. f(z) ...
Contoh 1 :                           z2 4 , z     2i                           z 2i      Fungsi f(z) =                    ...
Contoh 2.                              z2 1   Dimanakah fungsi g(z)    2      kontinu ?                           z 3z 2  ...
BAB III. TURUNAN3.1 Definisi TurunanDiberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D danzo    D.                       ...
⇛ Jika f’(zo) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau  diferensiabel di zo.  Dengan kata lain :                        ...
Bukti :Ditinjau sebarang titik zo       ℂ                   f(z) f(zo )  f  (zo )    lim              z zo z     zo       ...
Teorema 3.1  Jika f fungsi kompleks dan f’(zo) ada, maka  f kontinu di zoBukti :                                          ...
Bukti :  Diketahui f’(zo) ada  Akan dibuktikan f kontinu di zo atau                 lim f(z)   f(zo )                     ...
Contoh 3.1.2  Buktikan f(z) = |z|2 kontinu di seluruh bidang kompleks  tetapi hanya terdifferensial di z = 0Bukti :  f(z) ...
3.2 Syarat Chauchy-Riemann  Syarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di  zo = xo + i yo adalah syarat Chauchy-R...
Terema 3.2.1 (Syarat Chauchy-Riemann  Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) terdifferensial di zo = xo + i yo,  maka u(x,y) dan v(...
Contoh 3.2.1   Buktikan f(z) = |z|2 tidak terdifferensiasi di z   0   Bukti : f(z) = x2 + y2 sehingga           u(x,y) = x...
dan u         v    2y    0(2)    y         x(1) dan (2) tidak dipenuhi jika x    0 atau y    0,jadi pasti f tidak terde...
Catatan :    Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan.Contoh 3.2.2                            x 3(1 i) y 3(...
v(x,0) v(0,0)vx(0,0) = lim             x                                  =1          x       o              v(0,y) v(0,0)...
2 i x3     iSepanjang garis real y = x    lim           = 1 i                              x o 2(1 i) x3Jadi lim f(z) f(0)...
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa :i.   Syarat perlu     f(z) = u(x,y) + iv(x,y),   zo = xo + i yo                  ...
ii. Syarat cukup u(x,y), v(x,y), ux(x,y), vx(x,y), uy(x,y), vy(x,y) kontinu pada kitar zo = xo + i yo dan di (xo,yo) dipen...
Contoh 3.2.3Buktikan f(z) = ex(cos y + i sin y) terdiferensialuntuk setiap z dalam ℂBukti :  u(x,y) = excos y      ux(x,y)...
Berdasarkan persamaan C-R :ux = vy dan uy = -vx dipenuhi di   (x,y)   ℂ, dan ada kitardimana keenam fungsi kontinu dan C-R...
3.3 Syarat C-R Pada Koordinat Kutub   Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dapat diilustrasikan   dalam koordinat kartesius maka ...
Teoreama 3.3.1  Jika f(z) = u(r, ) + i v(r, ) terdiferensial dan kontinu  pada suatu kitar (ro,         o)   dan jika dala...
Contoh 3.3.1   Diketahui f(z) = z-3,   tentukan f’(z) dalam bentuk kootdinat kutub                                        ...
Jawab :   f(z) = z-3 = r-3 (cos 3 - i sin 3 ), maka :      u = r-3 cos 3 , sehingga ur = -3r-4 cos 3 dan                  ...
3.4 Aturan Pendiferensialan   Jika f(z), g(z) dan h(z) adalah fungsi- fungsi kompleks   serta f’(z), g’(z) dan h’(z) ada, ...
6. dzn nzn 1    dz7. Jika h(z) g[f(z)] maka h (z) g [f(z)]f  (z)   biasa disebut dengan komposisi (aturan rantai)   dw dw ...
3.5 Fungsi AnalitikDefinisi 3.5.1   Fungsi f analitik di zo, jika ada r > 0 sedemikian,   hingga f’(z) ada untuk setiap z ...
Contoh 3.5.1              1   1. f(z) =     analitik kecuali di z = 0              z   2. f(z) = x3 + iy3      diperoleh :...
Sifat sifat analitik    Misalnya f dan g analitik pada D, maka :    o f g merupakan fungsi analitik    o fg merupakan fung...
3.6 Titik SingularDefinisi 3.6.1   Titik z1 disebut titik singular dari f jika f tidak analitik di z1   tetapi untuk setia...
Jenis kesingularan f(z) atau titik singular antara lain :   1. Titik singular terisolasi   Titik zo dinamakan titik singul...
2. Titik Pole (titik kutub)   Titik z = zo disebut titik pole tingkat n, jika berlaku    lim (z zo )n f(z)     A   0 .   z...
5. Titik Singular Essensial  Titik singular z = zo yang tidak memenuhi syarat titik  singular pole titik cabang atau titik...
Contoh 3.6.1              1•   g(z) =       2 berarti titik z = i adalah titik pole tingkat 2            (z 1)    dari g(z...
3.7 Fungsi Harmonik   f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v   mempunyai derivatif parsial di semua orde yan...
Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhipersamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi.                 2      ...
Contoh 3.7.1Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi vyang harmonik konjugat dengan u = 4xy3 – 12x3y, (x,y) ℂJ...
Cara Milne Thomson  Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik  konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x...
Suatu identitas dalam z dan z , jika diambil z = z makaf’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0)Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya...
Contoh 3.7.2   Dari Contoh 3.7.1 dengan u= 4xy3 – 4x3y, (x,y) ℂ,   jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne   Thoms...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Bilangan kompleks lengkap

41,540 views

Published on

Bilangan kompleks lengkap

  1. 1. ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Drs. Toto’ Bara Setiawan, M.Si. (Email : totobara@fkip.unej.ac.id) 1
  2. 2. BAB I BILANGAN KOMPLEKSDengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kitatidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadidisamping bilangan real kita perlu bilangan jenisbaru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilanganimajiner atau bilangan kompleks. 2
  3. 3. BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYADefinisi 1 Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.Notasi Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z). 3
  4. 4. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKSDEFINISI 2 Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2.DEFINISI 3 Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb: z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2) z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1) 4
  5. 5. Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂJadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadibilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaankhusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . JikaRe(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dandinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajinermurni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuanimajiner. 5
  6. 6. Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut: 1. z1+z2∈ℂ dan z1•z2∈ℂ . (sifat tertutup) 2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif) 3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3) (sifat assosiatif) 4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif) 5. Ada 0=0+i0∈ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral penjumlahan) 6
  7. 7. 6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral perkalian 7. Untuk setiap z=x+iy ℂ, ada –z=–x–iy) sehingga z+(–z)=0 8. Untuk setiap z=x+iy ℂ, ada z-1=sehingga z•z-1=1.Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi yang telah diberikan. 7
  8. 8. Contoh soal:1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2, buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i. z1 tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan z2 8
  9. 9. Kompleks Sekawan Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis z , didefinisikan sebagai = (x,–y) = x – iy. Contoh: sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan dari 5i adalah –5i. Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut : 9
  10. 10. Teorema 1 :a. Jika z bilangan kompleks, maka : 1. z z 2. z z 2 Re(z) 3. z z 2 Im(z) 4. z z Re(z) 2 Im(z) 2 10
  11. 11. b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka : 1. z1 z2 z1 z2 2. z1 z2 z1 z2 3. z1 z2 z1 z2 z1 z1 4. , dengan z2≠0. z2 z2 11
  12. 12. Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut. 12
  13. 13. Im z(x, y) Bidang Argan zO Re 13
  14. 14. Im z1 z2 z1 z2O Re 14
  15. 15. Im z2 z1 O Re z1 z2z2 15
  16. 16. Tugas : Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2, z1, z2, z1 z2, z1 z2 16
  17. 17. Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan KompleksDefinisi 4 : Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis z = x+iy = x2 y2 Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah (x1 x 2 )2 (y1 y 2 )2 17
  18. 18. Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat dititik z1 dengan jari-jari r.Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > rGambarkanlah pada bidang z. 18
  19. 19. Teorema 2 : A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku : 2 1. z Re(z) 2 Im(z) 2 2. z z 2 3. z z z 4. z Re(z) Re(z) 5. z Im(z) Im(z) 19
  20. 20. B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku : 1. z1 z2 z1 z2 z1 z1 2. z2 z2 3. z1 z2 z1 z2 4. z1 z2 z1 z2 5. z1 z2 z1 z2Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B ! 20
  21. 21. 1. Bukti: z1 z2 z1 z2 z1 z2 (x1 iy1) (x 2 iy2 ) (x1x 2 y1y 2 ) i(x1y 2 x 2y1) (x1x 2 y1y 2 )2 (x1y 2 x 2y1)2 x1 x 2 2 2 y1 y 2 2x1x 2y1y 2 2 2 x1 y 2 2 2 x 2y1 2 2 2x1x 2y1y 2 2 (x1 y1 ) (x 2 2 2 y2 ) 2 2 2 (x1 y1 ) (x 2 2 y2 ) 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 21
  22. 22. 2. Bukti: z1 x1 iy1 x 2 iy2 z2 x2 iy2 x 2 iy2 x1x 2 y1y 2 x 2y1 x1y 2 i x22 y2 2 x2 y2 2 2 2 2 x1x 2 y1y 2 x 2y1 x1y 2 x22 y2 2 x2 y2 2 2 x1 x 2 2 2 y1 y 2 2 2 2x1x 2y1y 2 x 2y1 2 2 x1 y 2 2 2 2x1x 2y1y 2 (x 2 y 2 )2 2 2 2 (x1 y1 ) (x 2 2 2 y2) 2 (x 2 2 y 2 ) (x 2 2 2 y2) 2 2 2 x1 y1 z1 terbukti. x2 y2 z2 2 2 22
  23. 23. 3. Bukti: z1 z2 z1 z2 0 (x1y 2 x 2y1)2 0 x1 y 2 x 2y1 2x1x 2y1y 2 2 2 2 2 2x1x 2y1y 2 x1 y 2 x 2y1 2 2 2 2 x1 x 2 y1 y 2 2x1x 2y1y 2 x1 x 2 2 2 2 2 2 2 y1 y 2 2 2 x1 y 2 2 2 x 2y1 2 2 (x1x 2 y1y 2 )2 2 (x1 y1 )(x 2 2 2 y2) 2 2(x1x 2 y1y2 ) 2 (x1 y1 )(x2 y2 ) 2 2 2 2 x1 2x1x 2 x 2 y1 2y1y 2 y 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 y1 2 (x1 y1 )(x 2 2 2 y2 ) x2 2 2 y2 2 2 2 2 2 2 (x1 x2 ) (y1 y2 ) x1 y1 x2 2 y2 2 (x1 x 2 )2 (y1 y 2 )2 2 x1 2 y1 x2 2 y2 2 z1 z2 z1 z2 terbukti 23
  24. 24. 4. Bukti: z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 24
  25. 25. Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari BilanganKompleks Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r, ). Im z ( x, y ) (r, ) z r O Re 25
  26. 26. Adapun hubungan antara keduanya, ( x, y ) dan (r, )adalah : x = r cos , y = r sin , y sehingga = arc tan x adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz didapat juga r x2 y2 z Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah z = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis . dan sekawan dari z adalah = (r, - ) = r(cos - i sin ). 26
  27. 27. Definisi 5 : Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos + i sin ), sudut disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut dengan 0 < 2 atau - < disebut argument utama dari z, ditulis = Arg z. Pembatasan untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja.Definisi 6 : Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2(cos 2 + i sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2. 27
  28. 28. Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei , dan sekawannya adalah re-i .Tugas: Buktikan bahwa ei = cos + i sin , dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos , sin dan et dengan mengganti t = i . 28
  29. 29. Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen ! 29
  30. 30. Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen ! Jawab : 1 z = 1 + i, r = 2 , tan = 1, sehingga = 45⁰= 4 i Jadi z = 2 (cos 1 + i sin 1 4 )= 2 cis 1 4 = 2 e4 4 30
  31. 31. Pangkat dan Akar dari Bilangan KompleksPerkalian dan Pemangkatan Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ). Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut : z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin 1sin 2) + i (sin 1 cos 2+ cos 1sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [cos ( 1 + 2 ) + i sin ( 1 + 2)] 31
  32. 32. Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2Pertanyaan :Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn danz z z z … z = zn ? 32
  33. 33. Jika diketahui: z1 = r1(cos 1 + i sin 1) z2 = r2(cos 2 + i sin 2)  zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli, maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos ( 1 + 2+…+ n) + i sin ( 1 + 2+…+ n)] . Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka zn = rn (cos n + i sin n ). . . . . . . . . . .1 Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre (cos + i sin )n = cos n + i sin n , n asli. 33
  34. 34. Pembagian:Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai z1 r1(cos i sin 1)berikut: 1 z2 r2(cos 2 i sin 2 )Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengansekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), makadiperoleh : z1 r1 [cos ( 1 - 2 ) + i sin ( 1 - 2)] z2 r2Dari rumus di atas diperoleh: z arg 1 1- 2 = arg z1 – arg z2. z2 34
  35. 35. Akibat lain jika z = r(cos + i sin ),maka: 1 1 cos( ) i sin( ) z rUntuk: 1 1 . zn rn cos n i sin nSetelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawanpenyebut, maka didapat : 1 1 cos( n ) i sin( n ) .......2 zn rn 35
  36. 36. Dari 1 dan 2 diperoleh: zn rn cos(n ) i sin(n ), Dalil De-Moivreberlaku untuk semua n bilangan bulat. 36
  37. 37. Contoh: 6Hitunglah : 3 iJawab : Misalkan z 3 i, maka r z 3 1 2 tan 1 3 karena z di kuadran IV, maka dipilih 30o o o jadi 3 i 2 cos 30 i sin 30 6 6 3 i 2 cos 180o i sin 180o 2 6( 1 0) 6 2 37
  38. 38. Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari 1 bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis z wn . Jika z = (cos +i sin ) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos +i sin ), maka dari zn = w diperoleh: n(cosn +i sinn ) = r(cos +i sin ), sehingga n = r dan n = +2k , k bulat. 1 2k Akibatnya r n dan n Jadi . . . 38
  39. 39. Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos +i sin ) adalah: 1 z= [cos(2k ) + i sin ( 2k )], rn n n k bulat dan n bilangan asli. Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1); 2k 0 n < 2 , sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke-n dari z. 39
  40. 40. Contoh :Hitunglah (-81)1/4Jawab :Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaianpersamaan z4 = -81.Tulis z = (cos +i sin ) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),sehingga 4(cos4 +i sin4 ) = 81(cos1800+i sin1800),diperoleh 4 = 81, atau = 3 dan 2k . 4Jadi z = 3[cos( 2k )+i sin( 2k )] 4 4Keempat akar yang dicari dapat diperoleh denganmensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir. 40
  41. 41. Latihan Soal Bab I 1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan z = (x,y) = x + iy. 2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i. Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2 3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0. 4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi sifat: a. z-1 = z dan b. z z 5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks berlaku : z1. z 2 + z1.z2 = 2Re(z1.z 2 ) 6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. 41
  42. 42. 7.Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjadi : a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6 b. z + i = z – i c. 1 < z – i < 38.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam bentuk polar dan eksponen !9. Hitunglah (-2+2i)1510.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0 42
  43. 43. BAB II FUNGSI , LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks,maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yangakan digunakan pada fungsi kompleks.Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi KompleksHimpunan pada pembahasan ini adalah koleksi ataukumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap andatelah memahami operasi pada himpunan yaitugabungan, irisan, penjumlahan dan penguranganbeserta sifat-sifatnya. 43
  44. 44. 1. Lingkungan/persekitaran a. Persekitaran zo adalah himpunan semua titik z yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di zo, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N(zo,r) atau z – zo < r. b. Persekitaran tanpa zo adalah himpunan semua titik z zo yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di zo, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*(zo,r) atau 0< z – zo < r. 44
  45. 45. Contoh : a. N(i,1) atau z – i < 1, lihat pada gambar 1 b. N*(O,a) atau 0< z – O < a, lihat pada gambar 2 Im Im 2i a i O Re Re O gambar 1 gambar 2 45
  46. 46. 2. Komplemen Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis Sc,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang tidak termasuk di S. Contoh : Gambarkan ! A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}. B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z 2 atau z 4}. 46
  47. 47. A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z 2 atau z 4}. Im Im c Bc A 4 1 A B Re 2 O O 2 4 Re 47
  48. 48. 3. Titik limit Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo, ) maka N*(zo, ) S . Jika zo ∈ S dan zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing. 48
  49. 49. 3. Titik limit Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo, ) maka N*(zo, ) S . Jika zo ∈ S dan zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.4. Titik batas Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo, ) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S. 49
  50. 50. 3. Titik limit Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo, ) maka N*(zo, ) S . Jika zo ∈ S dan zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.4. Titik batas Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo, ) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.5. Batas dari himpunan S adalah himpunan semua titik batas dari S. 50
  51. 51. 6. Interior dan Eksterior Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo, ) sehingga N(zo, ) S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior. 51
  52. 52. 6. Interior dan Eksterior Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo, ) sehingga N(zo, ) S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.7. Himpunan Terbuka Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S. 52
  53. 53. 6. Interior dan Eksterior Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo, ) sehingga N(zo, ) S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.7. Himpunan Terbuka Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.8. Himpunan Tertutup Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya. 53
  54. 54. 9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S. 54
  55. 55. 9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.10. Daerah domain Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain. 55
  56. 56. 9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.10. Daerah domain Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain.11. Daerah Tertutup Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya. 56
  57. 57. 12. Penutup dari himpunan S adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya. 57
  58. 58. Contoh :1. Diberikan A = { z / |z|<1}, maka: Im 1 A Re 1 1 1 A adalah himpunan terbuka dan terhubung. Batas dari A adalah { z / |z|=1}. Penutup dari A adalah { z / |z| 1}. 58
  59. 59. 2. Diberikan B = { z / |z|<1} U {(0,1)}, maka: Im 1 B Re 1 1 1 B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup. Titik-titik limit dari B adalah { z / |z| 1}. 59
  60. 60. 3. Diberikan C = { z / |z| 2}, maka: Im 2 1 Re 2 1 1 2 1 2Titik-titik interior C adalah { z / |z|<2}. 60
  61. 61. Fungsi KompleksDefinisi : Misalkan D himpunan titik pada bidang Z. Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan setiap titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang W, yaitu (z,w). Fungsi tersebut ditulis w = f(z). Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf , yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota D. 61
  62. 62. f Im(z) Im( w) z w f(z) Re(z) Re(w)Bidang Z Bidang W 62
  63. 63. Contoh :a) w=z+1–ib) w = 4 + 2ic) w = z2 – 5zd) f(z) = 3 z 2z 1Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z.Contoh d adalah fungsi kompleks dengan domain 1 semua titik pada bidang Z , kecuali z = 2 63
  64. 64. Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikanmenjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) danIm(w) masing-masing merupakan fungsi dengan duavariabel real x dan y.Apabila z = r(cos + i sin ), maka w = u(r, ) + iv(r, ). 64
  65. 65. Contoh :Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v ! 65
  66. 66. Contoh :Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !Jawab :Misal z = x + iy,maka fungsi w = f(z) = 2z2 – i = 2(x + iy )2 – i = 2(x2+2xyi-y2) – i = 2(x2-y2) + i(2xy-1). Jadi u = 2(x2-y2) dan v = 2xy-1. 66
  67. 67. Jika z = r(cos + i sin ).Tentukan f(z) = z2 + i 67
  68. 68. Jika z = r(cos + i sin ).Tentukan f(z) = z2 + iJawab f(z) = z2 + i = [r (cos +i sin )]2 + i = r2[cos2 - sin2 + 2isin cos ] + i = r2 (cos2 - sin2 ) + r2isin2 + i = r2 (cos2 - sin2 ) +(1+r2sin2 )i berarti u = r2(cos2 - sin2 ) dan v = 1+r2sin2 ) . 68
  69. 69. Komposisi Fungsi Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z) dengan domain Dg.‣ Jika Rf Dg , maka ada fungsi komposisi (g⃘f) (z) = g (f (z)), dengan domain Df. f g g f(z) z f(z) ( g  f )( z ) gf 69
  70. 70. ‣ Jika Rg Df , maka ada fungsi komposisi (f⃘g) (z) = f (g (z)), dengan domain Dg. g f f g(z) z g(z) (f  g)(z) f g∷ Tidak berlaku hukum komutatif pada (g⃘f) (z) dan (f⃘g)(z). 70
  71. 71. Contoh :Misal: f(z) = 3z – i dan g(z) = z2 + z –1 + i‣ Jika Rf Dg , maka (g⃘f) (z) = g (f (z)) = g(3z – i) = (3z – i)2 + (3z – i) –1 + i = 9z2 – 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i = 9z2 – 3z – 2 – 6iz 71
  72. 72. ‣ Jika Rg Df , maka (f⃘g) (z) = f (g (z)) = f(z2 + z –1 + i) = 3z2 + 3z – 3 + 3i – i Karena 9z2 – 3z – 2 – 6iz ≠ 3z2 + 3z – 3 + 3i – i Jadi (g⃘f) (z) (f⃘g)(z) atau (g⃘f) (f⃘g), (tidak komutatif) 72
  73. 73. Interpretasi Geometris Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka f(z) disebut peta dari z. 73
  74. 74. Contoh 1 : Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = (2x – 1) + (2y + 1)i. Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 – 3i , berturut- turut diperoleh : w1 = 1 + 3i , dan w2 = 3 – 5i. Gambar dari z1, z2, w1 , dan w2 dapat dilihat di bawah ini Y V bidang Z bidang W 3 w1 1 z1 O 1 2 X O 1 3 U 3 z2 5 w2 74
  75. 75. Contoh 2 : Diketahui fungsi w = z2. Dengan menggunakan z = r (cos +i sin ), maka diperoleh w = z2 = r2 (cos2 +i sin2 ). Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r2. Daerah 0 arg z dipetakan menjadi daerah 0 arg w 2 . Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini. 75
  76. 76. bidang Wbidang Z r2 r 2 76
  77. 77. Limit KDiketahui daerah D pada bidangZ dan titik zo terletak di dalam D D zatau pada batas D. Misalkan zfungsi w = f(z) terdefinisi pada D, okecuali di zo. N * (zo, )Apabila titik z bergerak mendekati bidang Ztitik zo melalui setiap lengkungansebarang K dan mengakibatkannilai f(z) bergerak mendekati Dsuatu nilai tertentu, yaitu wo pada f (z )bidang W, maka dikatakan limit wof(z) adalah wo untuk z mendekatizo, ditulis : lim f(z) wo N(wo, ) z zo bidang W 77
  78. 78. Definisi : Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D, kecuali di zo (titik zo di dalam D atau pada batas D). limit f(z) adalah wo untuk z mendekati zo, jika untuk setiap > 0, terdapat > 0 sedemikian hingga |f(z) – wo |< , apabila 0 <|z – zo|< , ditulis: lim f(z) wo z zo 78
  79. 79. Perlu diperhatikan bahwa :1. Titik zo adalah titik limit domain fungsi f.2. Titik z menuju zo melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju zo dari segala arah.3. Apabila z menuju zo melalui dua lengkungan yang berbeda, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z mendekati zo. 79
  80. 80. Contoh 1 :Buktikan bahwa : lim 2z2 3z 2 5 z 2 z 2 80
  81. 81. Contoh 1 :Buktikan bahwa : lim 2z2 3z 2 5 z 2 z 2Bukti: Misalkan diberikan bilangan > 0, kita akan mencari > 0 sedemikian, sehingga: 0 | z 2| | 2z2 3z 2 5 | , untuk z 2 z 2 Lihat bagian sebelah kanan 81
  82. 82. Dari persamaan kanan diperoleh: | 2z2 3z 2 5 | | (2z 1)(z 2) 5| z 2 (z 2) (2z 1 5)(z 2) | | (z 2) | 2(z 2) | |z 2| 2Hal ini menunjukkan bahwa telah diperoleh. 2 82
  83. 83. Bukti Formal : Jika diberikan > 0 , maka terdapat , sehingga 2 untuk z 2, diperoleh 0 |z 2| | 2z2 3z 2 5 | z 2 (2z 1)(z 2) | 5| (z 2) | 2(z 2) | 2 Jadi | 2z2 3z 2 5 | apabila 0 | z 2 | z 2 2 lim 2z2 3z 2 5 Terbukti z 2 z 2 83
  84. 84. Teorema Limit :Teorema 1 : Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal. 84
  85. 85. Teorema Limit :Teorema 1 : Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal.Bukti: Misal limitnya w1 dan w2, maka f(z) w1 w1 f(z) 2 f(z) w 2 2 w1 f(z) f(z) w 2 w1 f(z) f(z) w 2 2 2 sehingga w1 w 2 jadi w1 w2 85
  86. 86. Teorema 2 : Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik zo = (xo,yo) = xo+iyo di dalam D atau batas D. Maka lim f(z) xo iyo jika dan hanya jika z zo lim u(x, y) xo dan lim v(x, y) yo z zo z zo 86
  87. 87. Teorema 3 : Misalkan fungsi f dan g limitnya ada. lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka 1. lim (f(z) +g(z)) = a + b (untuk z → zo) 2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z → zo) 3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z → zo)Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut ! 87
  88. 88. Contoh 1 :Hitunglah lim z2 1 z i z i 88
  89. 89. Contoh 1 :Hitunglah lim z2 1 z i z i lim z2 1 lim (z i)(z i)Jawab: z i z i z i z i lim (z i) z i 2i 89
  90. 90. Contoh 2 :Jika f(z) 2xy x 2 i . Buktikan lim f(z) tidak ada ! x2 y2 y 1 z 0 90
  91. 91. Contoh 2 :Jika f(z) 2xy x 2 i . Buktikan lim f(z) tidak ada ! x2 y2 y 1 z 0Bukti : Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka lim f(z) lim f(z) lim x 2i 0 1 z 0 ( x,0) (0,0) x 0 Sedangkan di sepanjang garis y = x, lim f(z) lim f(z) lim (1 x 2 i) 1 2 z 0 (x,x ) (0,0) x 0 x 1 Dari 1 dan 2, terbukti lim f(z) tidak ada z 0 91
  92. 92. Kekontinuan FungsiDefinisi : Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan titik zo terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan kontinu di zo jika untuk z menuju zo, maka lim f(z) = f(zo). 92
  93. 93. Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu : 1. f(zo ) ada 2. lim f(z) ada z zo 3. lim f(z) f(zo ) z zo Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f(z) kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut. 93
  94. 94. Teorema 4 : Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan zo = xo+ i yo titik di dalam R, maka fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (xo,yo). 94
  95. 95. Teorema 5 : Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di zo, maka masing- masing fungsi : 1. f(z) + g(z) 2. f(z) . g(z) 3. f(z) / g(z), g(z) 0 4. f(g(z)); f kontinu di g(zo), kontinu di zo. 95
  96. 96. Contoh 1 : z2 4 , z 2i z 2i Fungsi f(z) = , apakah kontinu di 2i 3 4z, z 2iJawab : f(2i) = 3 + 4(2i) = 3 + 4i, sedangkan untuk z mendekati 2i, lim f(z) = z + 2i, sehingga lim f(z) f(2i) z 2i jadi f(z) diskontinu di z = 2i. 96
  97. 97. Contoh 2. z2 1 Dimanakah fungsi g(z) 2 kontinu ? z 3z 2 Jawab : Coba anda periksa bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan z = 2. Jadi g(z) kontinu di daerah z z 2 97
  98. 98. BAB III. TURUNAN3.1 Definisi TurunanDiberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D danzo D. f(z) f(zo )Jika diketahui bahwa nilai lim ada, maka z zo z zonilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f dititik zo.Dinotasikan : f’(zo) 98
  99. 99. ⇛ Jika f’(zo) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau diferensiabel di zo. Dengan kata lain : f(zo z) f(zo ) f (zo ) lim f lim z 0 z z 0 z⇛ Jika f terdifferensial di semua titik pada D, maka f terdifferensial pada DContoh 3.1.1Buktikan f(z) = z2 terdifferensiasi diseluruh ℂ 99
  100. 100. Bukti :Ditinjau sebarang titik zo ℂ f(z) f(zo ) f (zo ) lim z zo z zo z2 z2 o lim z zo z zo (z zo )(z zo ) lim z zo z zo 2zo Karena zo sebarang maka f(z) = z2 terdefferensial di seluruh ℂ 100
  101. 101. Teorema 3.1 Jika f fungsi kompleks dan f’(zo) ada, maka f kontinu di zoBukti : 101
  102. 102. Bukti : Diketahui f’(zo) ada Akan dibuktikan f kontinu di zo atau lim f(z) f(zo ) z zo f(z) f(zo ) lim (f(z) f(zo )) lim (z zo ) z zo z zo (z zo ) f(z) f(zo ) lim lim (z zo ) z zo (z zo ) z zo f (z) 0 0 sehingga lim f(z) lim f(zo ) f(zo ) z zo z zo dengan kata lain f kontinu di zo. 102
  103. 103. Contoh 3.1.2 Buktikan f(z) = |z|2 kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi hanya terdifferensial di z = 0Bukti : f(z) = |z|2 = x2 + y2 berarti u(x,y) = x2 + y2 dan v(x,y) = 0 u dan v kontinu di D, maka f(z) kontinu di D f(z) f(0) | z |2 f (0) lim lim z 0 z 0 z 0 z lim zz 0 z 0 z Jadi f(z) terdifferensial di z = 0 103
  104. 104. 3.2 Syarat Chauchy-Riemann Syarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di zo = xo + i yo adalah syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f. 104
  105. 105. Terema 3.2.1 (Syarat Chauchy-Riemann Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) terdifferensial di zo = xo + i yo, maka u(x,y) dan v(x,y) mempunyai derivatif parsial pertama di (xo,yo) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauchy – Riemann u v dan u v x y y x derivatif f di zo dapat dinyatakan dengan f (zo ) ux (xo, yo ) i v x (xo, yo ) Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di (xo,yo) maka f(z) = u(x,y) + i v(x,y) tidak terdifferensial di zo = xo + i yo 105
  106. 106. Contoh 3.2.1 Buktikan f(z) = |z|2 tidak terdifferensiasi di z 0 Bukti : f(z) = x2 + y2 sehingga u(x,y) = x2 + y2 v(x,y) = 0 Persamaan Cauchy – Riemann u 2x dan u 2y x y v 0 dan v 0 x y u v 2x 0(1) x y 106
  107. 107. dan u v 2y 0(2) y x(1) dan (2) tidak dipenuhi jika x 0 atau y 0,jadi pasti f tidak terdeferensial di z 0 107
  108. 108. Catatan : Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan.Contoh 3.2.2 x 3(1 i) y 3(1 i) Buktikan fungsi f(z) = x2 y2 dan f(0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-RBukti : x3 y3 u= 2 dengan u(0,0) = 0 x y2 x3 y3 dengan v(0,0) = 0 v= 2 x y2 ux(0,0) = lim u(x,0) u(0,0) = 1 x o x u(0,y) u(0,0) lim uy(0,0) = y o = -1 y 108
  109. 109. v(x,0) v(0,0)vx(0,0) = lim x =1 x o v(0,y) v(0,0)vy(0,0) = lim y =1 y oJadi persamaan Cauchy – Riemann terpenuhi f(z) f(0) x 3(1 i) y 3(1 i)Tetapi lim lim 2 z 0 z z 0 (x y 2)(x iy)Untuk z 0 lim x3(1 i)Sepanjang garis real y = 0 3 =1+i x o x 109
  110. 110. 2 i x3 iSepanjang garis real y = x lim = 1 i x o 2(1 i) x3Jadi lim f(z) f(0) tidak ada z o zsehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipunpersamaan C-R dipenuhi di (0,0) 110
  111. 111. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa :i. Syarat perlu f(z) = u(x,y) + iv(x,y), zo = xo + i yo u , v f’(z) ada maka u , , v ada di (xo, yo) x y x y berlaku C-R yaitu : u v u v dan x = y y = x dan f’(z0) = ux(x0,y0) + i vx(x0,y0) 111
  112. 112. ii. Syarat cukup u(x,y), v(x,y), ux(x,y), vx(x,y), uy(x,y), vy(x,y) kontinu pada kitar zo = xo + i yo dan di (xo,yo) dipenuhi C-R maka f’(zo) ada 112
  113. 113. Contoh 3.2.3Buktikan f(z) = ex(cos y + i sin y) terdiferensialuntuk setiap z dalam ℂBukti : u(x,y) = excos y ux(x,y) = excos y ada dan uy(x,y) = -exsin y kontinu di v(x,y) = exsin y vx(x,y) = exsin y setiap (x,y) ℂ vy(x,y) = excos y 113
  114. 114. Berdasarkan persamaan C-R :ux = vy dan uy = -vx dipenuhi di (x,y) ℂ, dan ada kitardimana keenam fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di (x,y).Jadi f’(z) ada z ℂ.Dan f’(z) = ux(x,y) + i vx(x,y) = excos y + i exsin y 114
  115. 115. 3.3 Syarat C-R Pada Koordinat Kutub Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan x = r cos dan y = r sin , diperoleh z = r cos + i sin , sehingga f(z) = u(r, ) + i v(r, ) dalam sistem koordinat kutub 115
  116. 116. Teoreama 3.3.1 Jika f(z) = u(r, ) + i v(r, ) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar (ro, o) dan jika dalam kitar tersebut ur, u , vr, v ada dan kontinu di (ro, o) dan dipenuhi C-R yaitu: u 1 v 1 v v ,r 0 = dan r = r r r maka f’(z) = ada di z = zo dan f’(z) = (cos o – i sin o) [ur(ro, o) + i vr(ro, o)] 116
  117. 117. Contoh 3.3.1 Diketahui f(z) = z-3, tentukan f’(z) dalam bentuk kootdinat kutub 117
  118. 118. Jawab : f(z) = z-3 = r-3 (cos 3 - i sin 3 ), maka : u = r-3 cos 3 , sehingga ur = -3r-4 cos 3 dan u = -3r-3 sin 3 v = -r-3 sin 3 , sehingga vr = 3r-4 sin 3 dan v = -3r-3 cos 3 keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua z 0 Jadi f(z) = z-3 terdiferensial untuk z 0 Dengan demikian f’(z) dalam koordinat kutub adalah : f’(z) = (cos – i sin ) (-3r-4 cos 3 + i 3r-4 sin 3 ) = cis(- ) (-3r-4) cis(-3 ) = -3r-4 cis(-4 ) 118
  119. 119. 3.4 Aturan Pendiferensialan Jika f(z), g(z) dan h(z) adalah fungsi- fungsi kompleks serta f’(z), g’(z) dan h’(z) ada, maka berlaku rumus-rumus : 1. dc 0, d(z) 1 dz dz d cf(z) 2. cf (z) dz 3. d f(z) g(z) f (z) g (z) dx 4. d f(z)g(z) f (z)g(z) f(z)g (z) dx 5. d f(z) f (z)g(z) f(z)g (z) dx g(z) g(z) 2 119
  120. 120. 6. dzn nzn 1 dz7. Jika h(z) g[f(z)] maka h (z) g [f(z)]f (z) biasa disebut dengan komposisi (aturan rantai) dw dw . d dz d dz 120
  121. 121. 3.5 Fungsi AnalitikDefinisi 3.5.1 Fungsi f analitik di zo, jika ada r > 0 sedemikian, hingga f’(z) ada untuk setiap z N(zo,r) (persekitaran zo) f diferensiable r zoFungsi analitik untuk setiap z ℂ dinamakan fungsi utuh 121
  122. 122. Contoh 3.5.1 1 1. f(z) = analitik kecuali di z = 0 z 2. f(z) = x3 + iy3 diperoleh : u = x3 ; v = y3 sehingga ux = 3x2 ; vx = 0 ; uy = 0 ; vy = 3y2 dengan menggunakan persamaan C-R : 3x2 = 3y2 y= x dan vx = uy = 0 persamaan C-R dipenuhi dan kontinu digaris y = x berarti f’(z) ada hanya di y = x Jadi f(z) tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar. 122
  123. 123. Sifat sifat analitik Misalnya f dan g analitik pada D, maka : o f g merupakan fungsi analitik o fg merupakan fungsi analitik o f/g merupakan fungsi analitik dengan g 0 o h = g ∘ f merupakan fungsi analitik o berlaku aturan L’hospital yaitu : fz f z lim , dengan g(z) 0 g (z) 0 z zo g z g z 123
  124. 124. 3.6 Titik SingularDefinisi 3.6.1 Titik z1 disebut titik singular dari f jika f tidak analitik di z1 tetapi untuk setiap kitar dari z1 memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik. 124
  125. 125. Jenis kesingularan f(z) atau titik singular antara lain : 1. Titik singular terisolasi Titik zo dinamakan titik singular terisolasi dari f(z) jika terdapat 0 demikian sehingga lingkaran |z – zo| = hanya melingkari titik singular lainnya. Jika seperti itu tidak ada, maka z = zo disebut titik singular tidak terisolasi. 125
  126. 126. 2. Titik Pole (titik kutub) Titik z = zo disebut titik pole tingkat n, jika berlaku lim (z zo )n f(z) A 0 . z zo Jika n = 1, zo disebut sebagai titik pole sederhana.3. Titik Cabang Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular.4. Titik Singular dapat dihapuskan Titik singular zo disebut titik singular dapat dihapuskan dari f(z) jika lim f(z) ada. z o 126
  127. 127. 5. Titik Singular Essensial Titik singular z = zo yang tidak memenuhi syarat titik singular pole titik cabang atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial.6. Titik Singular tak hingga Jika f(z) mempunyai titik singular di z = , maka sama dengan menyatakan f(1/w) mempunyai titik singular di w = 0. 127
  128. 128. Contoh 3.6.1 1• g(z) = 2 berarti titik z = i adalah titik pole tingkat 2 (z 1) dari g(z)• h(z) = |z|2 tidak merupakan titik singular• k(z) = ln (z2 + z – 2) maka titik cabang adalah z1 = 1 dan z2 = –2 karena (z2 + z – 2) = (z – 1) (z + 2) = 0 128
  129. 129. 3.7 Fungsi Harmonik f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , ux = vy dan uy = –vx Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku vxy = vyx. Jika dalam ux = vy dan uy = –vx diderivatifkan parsial terhadap x dan y maka (x,y) D berlaku uxx + uyy = 0 vxx = vyy = 0 129
  130. 130. Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhipersamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi. 2 2 2 2 0 x yu dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatudomain maka f(z) harmonik pada domain tersebut.Dua fungsi u dan v sedemikian sehinggaf(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu domaindinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalamdomain itu. 130
  131. 131. Contoh 3.7.1Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi vyang harmonik konjugat dengan u = 4xy3 – 12x3y, (x,y) ℂJawab :Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y)jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada ℂ sedemikiansehingga berlaku C-R ux = vy dan uy = -vx ux = 4y3 – 12x2y vy = 4y3 – 12x2y uy= 12xy2 – 4x3 v= y4 – 6x2y2 + g(x)karena vx = –uy maka –12xy2 + g’(x) = –12xy2 + 4x3sehingga g’(x) = 4x3 diperoleh g(x) = x4 + CJadi v = y4 – 6x2y2 + x4 + C 131
  132. 132. Cara Milne Thomson Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D f”(z) = ux(x,y) + ivx(x,y) sesuai persamaan C-R : f”(z) = ux(x,y) – iuy(x,y) z = x + iy dan z = x – iy sehingga diperoleh x z z dan y z z 2 2i z z,z z z z,z z f(z) = ux – iuy 2 2i 2 2i 132
  133. 133. Suatu identitas dalam z dan z , jika diambil z = z makaf’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0)Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya ux(z,0) – iuy(z,0)kemudian didapat v(x,y) 133
  134. 134. Contoh 3.7.2 Dari Contoh 3.7.1 dengan u= 4xy3 – 4x3y, (x,y) ℂ, jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson.Jawab : ux = 4y3 – 12x2y uy= 12xy2 – 4x3 f’(z) = ux(z,0) – iuy(z,0) = –i(– 4z3) = 4iz3 sehingga f(z) = iz4 + A f(z) = i(x + iy)4 + A = 4xy3 – 4x3y + i(x4 – 6x2y2 + y4) + A 134

×