Trigonometri 7 : Aturan Kosinus

1. TRIGONOMETRI
MATEMATIKA WAJIB SMA KELAS X

2. H. Aturan Kosinus
Perhatikan ΔABC di samping.
Garis CD adalah garis tinggi pada sisi 𝑐.
Pada ΔACD, 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2
Pada ΔBCD, 𝐵𝐶2 = 𝐵𝐷2 + 𝐶𝐷2
⟺ 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵 − 𝐴𝐷 2 + 𝐶𝐷2
⟺ 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 − 2𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐷 + 𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2
⟺ 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 − 2𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐷 + 𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2
⟺ 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 − 2𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐷 + 𝐴𝐶2
Karena cos 𝐴 =
𝐴𝐷
𝐴𝐶
⟺ 𝐴𝐷 = 𝐴𝐶 cos 𝐴 maka
𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 − 2𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶 cos 𝐴 + 𝐴𝐶2
⟺ 𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 − 2𝑐𝑏 cos 𝐴

3. Perhatikan ΔABC di samping.
Garis AD adalah garis tinggi pada sisi 𝑎.
Pada ΔABD, 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐷2 + 𝐴𝐷2
Pada ΔACD, 𝐴𝐶2 = 𝐶𝐷2 + 𝐴𝐷2
⟺ 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶 − 𝐵𝐷 2 + 𝐴𝐷2
⟺ 𝐴𝐶2
= 𝐵𝐶2
− 2𝐵𝐶 ∙ 𝐵𝐷 + 𝐵𝐷2
+ 𝐴𝐷2
⟺ 𝐴𝐶2
= 𝐵𝐶2
− 2𝐵𝐶 ∙ 𝐵𝐷 + 𝐵𝐷2
+ 𝐴𝐷2
⟺ 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 − 2𝐵𝐶 ∙ 𝐵𝐷 + 𝐴𝐵2
Karena cos 𝐵 =
𝐵𝐷
𝐴𝐵
⟺ 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 cos 𝐵 maka
𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2 − 2𝐵𝐶 ∙ 𝐴𝐵 cos 𝐵 + 𝐴𝐵2
⟺ 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵

4. Perhatikan ΔABC di samping.
Garis BD adalah garis tinggi pada sisi 𝑏.
Pada ΔBCD, 𝐵𝐶2 = 𝐶𝐷2 + 𝐵𝐷2
Pada ΔABD, 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2
⟺ 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶 − 𝐶𝐷 2 + 𝐵𝐷2
⟺ 𝐴𝐵2
= 𝐴𝐶2
− 2𝐴𝐶 ∙ 𝐶𝐷 + 𝐶𝐷2
+ 𝐵𝐷2
⟺ 𝐴𝐵2
= 𝐴𝐶2
− 2𝐴𝐶 ∙ 𝐶𝐷 + 𝐶𝐷2
+ 𝐵𝐷2
⟺ 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 − 2𝐴𝐶 ∙ 𝐶𝐷 + 𝐵𝐶2
Karena cos 𝐶 =
𝐶𝐷
𝐵𝐶
⟺ 𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 cos 𝐶 maka
𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 − 2𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐶 cos 𝐶 + 𝐵𝐶2
⟺ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶

5. Kesimpulan
Aturan Kosinus
 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏𝑐 cos 𝐴
 𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎𝑐 cos 𝐵
 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
A B
C
b
c
a

6. Hitung panjang rusuk 𝑥 pada
gambar berikut.
Contoh
Menggunakan aturan kosinus, diperoleh
𝑥2 = 72 + 82 − 2 7 8 cos 120°
𝑥2
= 49 + 64 − 112 −
1
2
𝑥2 = 113 + 56
𝑥2 = 169 ⟹ 𝑥 = 13
Penyelesaia
n
120°
7 cm
8 cm
𝑥
Rusuk 𝑥 di
depan sudut
120°

7. Pada ΔABC, 𝑏 = 3, 𝑐 = 4, dan ∠𝐴 = 60°. Hitunglah 𝑎.
Contoh
Menggunakan aturan kosinus, diperoleh
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos ∠𝐴
⟺ 𝑎2
= 32
+ 42
− 2 3 4 cos 60°
⟺ 𝑎2 = 9 + 16 − 24
1
2
⟺ 𝑎2
= 25 − 12
⟺ 𝑎2 = 13 ⟹ 𝑎 = 13
Penyelesaia
n
Rusuk a di
depan sudut
∠𝐴

8. Diketahui rusuk-rusuk suatu segitiga 7 cm, 8 cm, dan 9
cm. Hitunglah besar sudut di hadapan rusuk 9 cm.
Contoh
Misalkan a = 7 cm, b = 8 cm, dan c = 9 cm.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos ∠𝐶
⟺ 92 = 72 + 82 − 2 7 8 cos ∠𝐶
⟺ 81 = 49 + 64 − 112 cos ∠𝐶
⟺ 112 cos ∠𝐶 = 49 + 64 − 81
⟺ cos ∠𝐶 =
32
112
=
2
7
⟹ ∠𝐶 = cos−1
2
7
= 73,4°
Penyelesaia
n
Rusuk c di depan
sudut ∠𝐶

9. Perhatikan gambar berikut.
Tentukan nilai cos ∠𝐵𝐴𝐷.
Contoh
6
4
3
3A
B
C
D

10.  Perhatikan ΔABD
𝐵𝐷2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2 − 2 ∙ 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐷 cos ∠𝐵𝐴𝐷
⟺ 𝐵𝐷2 = 42 + 62 − 2(4)(6) cos ∠𝐵𝐴𝐷
⟺ 𝐵𝐷2 = 16 + 36 − 48 cos ∠𝐵𝐴𝐷
⟺ 𝐵𝐷2 = 52 − 48 cos ∠𝐵𝐴𝐷 … (*)
 Perhatikan ΔBCD
𝐵𝐷2 = 𝐵𝐶2 + 𝐶𝐷2 − 2 ∙ 𝐵𝐶 ∙ 𝐶𝐷 cos ∠𝐵𝐶𝐷
⟺ 𝐵𝐷2 = 32 + 32 − 2(3)(3) cos 180° − ∠𝐵𝐴𝐷
⟺ 𝐵𝐷2 = 9 + 9 − 18 − cos ∠𝐵𝐴𝐷
⟺ 𝐵𝐷2
= 18 + 18 cos ∠𝐵𝐴𝐷 … (**)
Dari (*) dan (**) diperoleh
18 + 18 cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 52 − 48 cos ∠𝐵𝐴𝐷
⟺ 66 cos ∠𝐵𝐴𝐷 = 34
⟺ cos ∠𝐵𝐴𝐷 =
34
66
=
17
33
Penyelesaia
n
6
4
3
3A
B
C
D
∠𝐵𝐴𝐷 dan ∠𝐵𝐶𝐷
merupakan titik sudut
segiempat tali busur yang
saling berhadapan
∠𝐵𝐴𝐷 + ∠𝐵𝐶𝐷 = 180°
Ingat yooo!!!

11. Dua kapal berlayar dari suatu pelabuhan pada saat
bersamaan. Kapal A berlayar dengan arah 060° dan
kecepatan layar 10 km/jam, sedangkan kapal B berlayar
dengan arah 090° dan kecepatan layar 13 km/jam.
Tentukan jarak antar kapal itu setelah berlayar selama 3
jam.
Contoh

12.  Jarak tempuh kapal A dari pelabuhan :
𝑠 𝐴 = 𝑣 𝐴 ∙ 𝑡 𝐴 = 10 ∙ 3 = 30 km
 Jarak tempuh kapal B dari pelabuhan :
𝑠 𝐵 = 𝑣 𝐵 ∙ 𝑡 𝐵 = 13 ∙ 3 = 39 km
 𝐴𝐵2 = 𝑃𝐴2 + 𝑃𝐵2 − 2 ∙ 𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵 cos ∠𝐴𝑃𝐵
⟺ 𝐴𝐵2 = 302 + 392 − 2 ∙ 30 ∙ 39 cos 30°
⟺ 𝐴𝐵2 = 900 + 1.521 − 1.340
1
2
3
⟺ 𝐴𝐵2 = 2.421 − 1.170 3
⟺ 𝐴𝐵2 = 394,5
⟺ 𝐴𝐵 = 19,86
Jadi, jarak antara kapal A dan B adalah 19,86 km.
Penyelesaia
n
P
60°
30°
A
B
𝑠 𝐵 = 39𝑘𝑚