1. Integral kompleks merupakan integral fungsi bernilai kompleks di sepanjang lintasan tertentu. 2. Terdapat sifat-sifat integral kompleks seperti integral lintasan yang berlawanan akan meniadakan dan nilai integral kompleks untuk lingkaran berpusat di suatu titik bernilai iπ. 3. Integral kompleks dapat digunakan untuk menghitung nilai integral di sepanjang lintasan yang terdiri dari beberapa penggal garis.

2. INTEGRAL KOMPLEKS
Andaikan t adalah variable real.
F(t) fungsi bernilai complex dari variabel real dan ditulis
F(t) = u(t) + i v(t)
dengan u, v fungsi real dari variabel real t.
Definisi:
Untuk fungsi bernilai kompleks dari variabel real
F(t) = u(t) + iv(t) dengan a ≤ t ≤ b didefiniskan.

b
a
F(t)dt 
b
a
u(t)dt 
b
a
v(t)dti

3.  






 b
a
b
a
dttFdttF ))(Re()(Re1.
2.
3.
4.
5.
 






 b
a
b
a
dttFdttF ))(Im()(Im
 
b
a
b
a
dttFkdttkF )()( , dimana k sembarang
konstanta kompleks
 
b
a
b
a
dttFdttF )()( , dimana a ≤ b
 
a
b
b
a
dttFdttF )()(
Sifat-sifat:

4. Lintasan
g(t) dan h(t) bernilai nol dan kontinu di
titik
Untuk satu nilai t, (x, y) = (g(t)), h(t))
menyatakan satu titik pada bidang z.
Suatu kurva himpunan titik z=x+iy
dengan x = g(t), y = h(t) masing-masing
fungsi real dan konstanta dari variabel real
t
iyxzdanh(t))(g(t),y)(x,
h(t)y
g(t)x






  ba,
 ba,

5. (g(a), h(a)) adalah titik awal
(g(b), h(b)) adalah titik akhir
Jika t1 ≠ t2 sehingga (g(t1), h(t1))
tidak berimpit dengan (g(t2), h(t2)).
(g(a), h(a)) dan (g(b), h(b))
berimpit maka akan membentuk
kurva tertutup.

6. Tidak boleh karena kurva tidak
tunggal
Tertutup tidak tunggal
Tertutup tunggal

7. Kurva C: ,dimana a≤t≤b.
g’(t) dan h’(t) ada dan kontinu di
untuk t , g’ dan h’ tidak bersama-sama
nol maka C disebut kurva mulus
Kurva C merupakan rangkaian kurva mulus
C1, C2, C3, . . ., Cn
titik akhir Cj berimpit dengan titik awal
Cj+1 untuk j = 1, 2, . . .,n–1. Maka C disebut
lintasan
 h(t)ig(t)z 
 ba,
 ba,

8. C = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C1
Jika titik awal C1 berimpit dengan titik Cn ,
maka C lintasan tertutup.
Lintasan tertutup tunggal

9. y)dyQ(x,y)dxP(x,y)dyQ(x,y)dxP(x,
ccc
 
 
c
22
?dyxyydxx
 integral lintasan tertutup
Contoh:
C adalah garis patah yang berawal dari (0, 1) melalui (1, 1)
dan berakhir (1, 0)

10.  Jawab:
dyxydxyxdyxydxyxdyxydxyx 2
c
22
c
22
c
2
21
 
dttdt0dt0dtt
0
1
2
0
1
1
0
1
0
2
 
(1, 1)
C2
C1
(1, 0)
(0, 1)
C = C1 + C2
C1: x = t
y = 1 dimana 0 ≤ t ≤ 1
C2: x = 1
y = t dimana 1≥ t ≥ 0
0
3
t
3
t
0
1
31
0
3








11.  Integral lintasan kompleks juga disebut
integral kontur kompleks.
 Fungsi f(z) = u(x, y) + i v(x, y) yang
didefinisikan kontinu sepotong-sepotong
pada lintasan di bidang kompleks dengan
C = {z=x + iy / x = g(t), y = h(t), a ≤ t ≤ b}
dengan titik awal α dan titik akhir β
berturut-turut berkorespondensi dengan
t = α dan t = β.

12.     
CCC
y)dyu(x,y)dxv(x,iy)dyv(x,y)dxu(x,f(z)dz
 
b
a
b
a
C
)dtuh'(vg')dtvh'(ug'f(z)dz i
 
b
a
C
(t)dtz'f(z(t))f(z)dz
dapat ditulis dalam integral t yang dinyatakan dengan
Jika z pada C dengan z(t) = x(t) + i y(t) dan x(t) = g(t),
y(t) = h(t), a ≤ t ≤ b sehingga dz = z’(t) = dx + i dy

13. 1.
2.
3.
4.
 
βααβ CC
f(z)dzf(z)dz
 
CC
f(z)dzkkf(z)dz
   
C
2
C
1
C
21 (z)dzf(z)dzfdz(z)f(z)f
 
21 CCC
f(z)dzf(z)dzf(z)dz
, k konstanta
, C = C1 + C2

14. Contoh:
Hitunglah jika f(z) = y – x + 6ix2
dan lintasan C terdiri atas dua penggal
garis dan z = 0 sampai z = i dan z = i
sampai z =1+ i.
C
f(z)dz
 
21 CCC
f(z)dzf(z)dzf(z)dz
    
CCC
y)dyu(x,y)dxv(x,iy)dyv(x,y)dxu(x,f(z)dz

15.  1C
f(z)dz 
1
0
dtti
1
0
0)0-(t i
2
1
 
1
0
dtt)(1 
1
0
2
dt6ti 2i
2
1

i
2
1
i2
2
1
C
dzzf )(
x
C2
y
C1
O
i
 2C
f(z)dz
C = C1 + C2
C1: x = 0
y = t dimana 0 ≤ t ≤ 1
C2: x = t
y = 1 dimana 0 ≤ t ≤ 1
i
2
1
i2
2
1
C
dzzf )( i
2
1
2
2
1


16.  Jika C lintasan tertutup tunggal dengan arah
positif dan E daerah tertutup yang terdiri atas
titik di dalam dan pada C.
 P(x, y) dan Q(x, y) fungsi real terdefinisi pada E
beserta derivatif-derivatif parsial dari tingkat
pertama kontinu pada E maka:
C : arah positif
dydx
y
P
x
Q
dyy)Q(x,dxy)P(x,
c E
  












17. Bukti:
C lintasan tertutup tunggal yang
mempunyai bentuk garis-garis // sumbu
koordinat memotong C di dua titik
Akan dibuktikan
  


c E
dxdy
y
P
dxyxP ),(
Kurva ABC, y = α1(x)
Kurva ADC, y = α2(x)
x
C
y
D
O
B
A
c
d
a b

18.  


E
dxdy
y
P
 


b
a
x
x
dydx
y
P)(
)(
2
1
α
α
 dx(x))αP(x,(x))αP(x,
b
a
21 

b
a
dxxxP )(,( 1 dxxxP
b
a )(,( 2 
C
dxyxP ),(

b
a
x
x dxyxP
)(
)(
2
1
),(



19.  

E
dxdy
y
Q

C
dyyxQ ),(
Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan
Dengan mengambil
Kurva BCD, x = β2(y)
Kurva BAD, x = β1(y)
 
c
dyyxQdxyxP ),(),( dxdy
y
P
x
Q
E
 










1
dxdy
y
P
x
Q
E
 











2
dxdy
y
P
x
Q
E
 











3
dxdy
y
P
x
Q
E
 











4

20. Perluasan:
E1
E4
E3
E2
 
c
dyyxQdxyxP ),(),( dxdy
y
P
x
Q
E
 










1
dxdy
y
P
x
Q
E
 











2
dxdy
y
P
x
Q
E
 











3
dxdy
y
P
x
Q
E
 











4
Catatan,
Lintasan yang saling berlawanan
meniadakan

21. Z0
2. Untuk suatu titik Z0 dan sebarang lingkaran C
yang berpusat di Z0 yang ditentukan, dan C
berarah positif berlaku
i2C
0
z-z
dz
...3,2,n;0 
C n
0 )z(z
dz
1.
2.
r Cos θ
r Sin θ
a
b
Z0
Z
θ
Bukti: z0 = a + bi
r = jari-jari
z dilingkaran
z = x + iy
x = a + r cos θ
y = b + r sin θ
z = z0 + (r cos θ + i r sin θ)
z - z0 = r cos θ + i r sin θ

22. 
 0
1
zz

 )sinr(cos
1
 i
)sin(cos
r
1
 i

 dz
zz 0
1
 




 





2
0
)cos.
sin
()sin(
cos
dr
r
r
r
 










2
0
)cos.
cos
()sin(
sin
dr
r
r
r
i
 iidi 

20
2
0
2
0
 
3. Jika C lingkaran |z| = 1 dengan arah positif dan
f(z) = suatu cabang dari z-1+i = e(-1+i) ln z
(| z | > 0, ) 0 < arg z <2π). Hitunglah C
f(z)dz

23. Untuk z pada C berlaku z = eiθ dengan 0 ≤ θ ≤ 2π.



2
0
)('))(( dzzf 

2π
0
iθi)1(
dθieeC
dzzf )(
2π
0
θ
2π
0
θ
iedθei 
 
)ei(1 2π


24. Misal: z – z0 = r eiθ yang dapat dibuat
dalam bentuk:
z – z0 = r (cos θ + i sin θ)
z = z0 + r.eiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π
dz = i.r.eiθ dθ
dθ
r.e
i.r.e
zz
1 2π
0 iθ
iθ
0
 

dz

2π
0
dθi
2π
0iθ
πi2

25. z – z0 = r eiθ sehingga (z – z0)n = rn einθ




d
er
ire
dz
zz inn
i
n 

2
0
0 )(
1
Petunjuk 2



deri nin



2
0
)1(1

26. TEOREMA CAUCHY
Jika f analitik dan f ’ kontinu di dalam
dan pada lintasan tertutup tunggal C, maka 0)( C
dzzf
Contoh:
Jika C keliling lingkaran | z | = 2 maka C z
dz
92
sama dengan nol. Buktikan!
Bukti:
9
1
)( 2


z
zf adalah fungsi yang analitik pada dan di dalam C.
22
)9(
2
)('



z
z
zf juga kontinu pada dan di dalam C
menurut teorema Cauchy maka 0)( C
dzzf

27. TEOREMA CAUCHY-GOURSAT
Jika f(z) analitik pada D, himpunan titik-titik di
lintasan tertutup tunggal C dan titik interiornya
maka 0)( C
dzzf
Bentuk lain dari Teorema CAUCHY-GOURSAT
Jika f fungsi analitik suatu domain terhubung tunggal D
maka untuk setiap lintasan tertutup C
yang seluruhnya di dalam D berlaku 0)( C
dzzf
Contoh pada hal. 76

28. Teorema
Jika C lintasan tertutup tunggal yang berarah positif
dan Cj lintasan tertutup tunggal berarah positif di
dalam interior C, sedemikian sehingga
Int(Cj) ∩ Int(Ck) = Ø untuk j ≠ k (j, k = 1, 2, ..., n) dan
jika f analitik pada daerah D dan didalam C kecuali
di dalam daerah Int(Cj), j = 1, 2, ..., n
Maka
C
dzzf )( 

1
)(
j
C j dzzfC
Teorema ini dikenal sebagai perluasan teorema C-G
(CAUCHY-GOURSAT).

29. Akibat perluasan teorema CAUCHY-GOURSAT,
diberikan lintasan tertutup tungal C1 dan C2 terletak
pada Int C.
Jika f analitik pada C1 , C2 dan pada daerah diantara
mereka maka sebarang lintasan tertutup tunggal C
pada Int C1 mengelilingi C2 berlaku:
 1
)(
C
dzzf  2
)(
C
dzzf C
dzzf )(
C2
C
C1

30. Contoh:
Buktikan bahwa jika C suatu lintasan tertutup
sepanjang bujur sangkar dengan titik sudut
ii
2
1
2
1
,
2
1
2
1
 ,
2
1
2
1
, i .
2
1
2
1
idan
dengan arah positif maka  
C
i
z
dz
π2
Penyelesaian:

31. Dibuat lingkaran γ dengan pusat
O jari-jari lebih kecil ½ dengan
arah positif
O
γ
x
y
i
2
1
2
1

i
2
1
2
1

i
2
1
2
1

i
2
1
2
1

4
1
Dengan mengambil z0 = 0 dan
R =
Fungsi f(z) =
z
1
adalah fungsi analitik kecuali di O, f(z)
analitik di C dan γ daerah diantara kedua lintasan
menurut perluasan Teorema CAUCHY-GOURSAT
C z
dz
 
γ
πi
z
dz
2
 
γ
πi
z
dz
2

32. Teorema
Jika fungsi f analitik di suatu titik, maka f
mempunyai derivatif dari semua tingkat yang
juga analitik dititik itu.
Teorema
Jika f di definisikan dan analitik di dalam dan
pada lintasan tertutup tunggal C yang berarah
positif dan z0 titik sebarang dalam C sehingga
berlaku.
dz
zz
zf
i
zf  

0
0
2
1 )(
)(
π
Integral Cauchy

33. Teorema
Jika f didefinisikan dan analitik di dalam dan
pada lintasan tertutup tunggal C yang berarah
positif, maka untuk semua z di dalam fungsi f
mempunyai derivatif dari segala tingkat yang
juga analitik di dalam C. Untuk setiap n positif
bulat nilai turunan f(n)(z) dengan C arah positif
berlaku
( )
dz
zz
zf
i
n
C n 
 1
0
)(
2
!

)( 0zf n

34. Contoh:
Tentukan  C
dz
zz
z
2
31 ))((
C adalah:
(a) lingkaran C1 dengan persamaan | z | = 2
(b) lingkaran C2 dengan persamaan | z – 4 | = 2

35. Penyelesaian:
r=2C
O x
y
(a) lingkaran C1 dengan persamaan | z | = 2
C: lingkaran | z | = 2, dengan fungsi f(z) diambil
( )2
3
)(


z
z
zf analitik pada C dan di dalam
4
1
untuk zo= 1
i
i
fidz
zz
z
C



2
1
4
2
)1(.2
)3)(1( 2


f(zo) =
( )
dz
zz
zf
i
zf
C 

0
0
)(
2
1
)(


36. (b) lingkaran C2 dengan persamaan | z – 4 | = 2
C: lingkaran | z – 4 | = 2 dengan f(z) diambil
1
)(


z
z
zf
terdefinisi dan analitik di C
z0 = 3 dan f’(3 )
4
1

( )
dz
zz
zf
i
zf
C 
 2
0
0
)(
2
!1
)('

i
i
fidz
zz
z
C



2
1
4
2
)3('.2
)3)(1( 2


4
C
O x
y
maka 2
)1(
1
)('



z
zf

37. COMPILED BY PRAMUDJONO
MASIH KURANG JELAS ?
 Lihat latihan soal 5
hal 55 Untuk memahami
kerjakan latihan itu untuk lebih
jelas

38. kerjakan tugas berikut, Minggu Depan (Individu)
 1. Hitung, untuk C adalah
a. Busur seperempat lingkaran dengan pusat O dari
titik (0, -1) sampai (1,0)
b. Garis patah dari (0, -1) ke (0,0) dan dari (0,0) ke
(1,0).
 2. Jika C adalah lintasan dari (-1,0) ke (1,0) kemudian
mengelilingi lingkaran = 1 dengan arah positif
kembali ke (1,0). Tentukan

C
dzz.
iz 1
 
C
iz
dz
1

39. 3. Tentukan
dengan C adalah lingkaran =3
 4. Tentukan
 dengan C adalah =2
 5. Tentukan deret Laurent dari
 


C
dz
ziz
}
2
23
{
z
 C zz
dz
2
)4(
3z
4
.cos
z
iz

40. TUGAS 2
 Minggu Depan (KELOMPOK)
 1 (satu) Kelompok Maksimum 3 orang,
dikumpulkan pada saat kuis