Dokumen tersebut membahas tentang integral sebagai proses pengintegralan dari turunan suatu fungsi. Terdapat beberapa teorema integral seperti aturan pangkat, kolinearitas, dan substitusi serta contoh penerapannya. Juga dibahas integral fungsi eksponensial, trigonometri, parsial, dan tertentu beserta contohnya.

1. Integral
Luthfina Ariyani, S.T., M.Sc.

2. Integral
 Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas
mengenai diferensial (turunan) fungsi. Jadi, apabila
fungsi yang sudah diturunkan kemudian
dikembalikan ke fungsi sebelumnya, maka proses
tersebut disebut sebagai “pengintegralan”
 Simbol integral dituliskan dengan “∫ ”

3. Integral
 Contoh
 Sebuah fungsi 𝑦 = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 1
 memiliki turunan 𝑑𝑦 = 12𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥
 maka integral dari 𝑑𝑦 = 12𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥 dituliskan dengan
∫ 𝑑𝑦 = ∫ (12𝑥2
− 4𝑥) 𝑑𝑥 dan diperoleh
 𝑦 = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 𝐶, dimana C adalah bilangan konstanta.

4. Teorema 1. Aturan Pangkat
Untuk n adalah sembarang bilangan rasional kecuali -
1, maka:
𝑥𝑛 𝑑𝑥 =
1
𝑛 + 1
𝑥𝑛+1 + 𝐶
jika r=0, maka:
𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶

5. Teorema 1. Aturan Pangkat
contoh :
𝑥8 𝑑𝑥
𝑥2
𝑑𝑥
𝑥
1
2 𝑑𝑥
𝑥
8
7 𝑑𝑥

6. Teorema 2. Kelinearan
Misalkan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak
tentu) dan andaikan k suatu konstanta, maka:
𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
[𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
[𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

7. Teorema 2. Kelinearan
contoh:
7𝑥2
+ 8𝑥 𝑑𝑥
3𝑥5
− 6𝑥2
+ 2𝑥 + 7 𝑑𝑥
(𝑥 + 1)2
𝑑𝑥
(2𝑥 + 5)(3𝑥 − 2)𝑑𝑥
𝑥5
− 1
𝑥2
𝑑𝑥
𝑥(2𝑥 − 3)
𝑥
𝑑𝑥
𝑢
3
2 − 7𝑢 + 8 𝑑𝑢
1
𝑡2
+ 𝑡 𝑑𝑡

8. Teorema 3. Integral Subtitusi
(Aturan Pangkat Diperumum)
Jika g merupakan suatu fungsi yang dapat
diturunkandan r adalah bilangan rasional yang bukan -
1, maka:
𝑔 𝑥 𝑟𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑟 + 1
𝑔 𝑥 𝑟+1 + 𝐶

9. contoh:
(𝑥8 + 7𝑥)10(8𝑥7 + 7)𝑑𝑥

10. contoh:
(𝑥8
+ 7𝑥)8
(16𝑥7
+ 14)𝑑𝑥
(𝑥2
+ 8)7
𝑥 𝑑𝑥
2(1 − 3𝑥)5𝑑𝑥
3
5
(4𝑥 + 3)9𝑑𝑥
3
(2𝑥 + 1)4 𝑑𝑥

11. Tugas
contoh:
(3𝑥 + 5)𝑑𝑥
2𝑥 1 + 𝑥2𝑑𝑥
3𝑥 + 4𝑑𝑥
4𝑥2
(1 − 8𝑥3)4
𝑑𝑥
(1 + 𝑥)2
𝑥
𝑑𝑥

12. Integral Fungsi Eksponensial
𝑎𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑙𝑛𝑥
𝑎𝑥
+ 𝐶
𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
+ 𝐶
𝑎𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑎𝑒𝑥
+ 𝐶

13. Integral Fungsi Eksponensial
Contoh
23𝑥
𝑑𝑥
2𝑥 − 4 6𝑥2−4𝑥
𝑑𝑥
2𝑒3𝑥𝑑𝑥
2 𝑒𝑥𝑑𝑥
4
5
(2𝑥2
− 3𝑥)𝑒
2
3
𝑥3−
3
2
𝑥2
𝑑𝑥

14. Integral Trigonometri
Integral Sinus
𝑎 sin 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑎 cos 𝑢 + 𝐶
𝑎 sin𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 −
1
𝑛
𝑠𝑖𝑛𝑛−1𝑢. cos 𝑢 +
𝑛 − 1
𝑛
𝑠𝑖𝑛𝑛−2𝑢 𝑑𝑢 , 𝑛 ≥ 2
contoh
3 sin 3𝑥 + 5 𝑑𝑥
12 2𝑥 + 1 sin 𝑥2
+ 𝑥 𝑑𝑥
5 sin 𝑥 + 1 cos(𝑥 + 1) 𝑑𝑥

15. Integral Trigonometri
Integral Cosinus
𝑎 cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 s𝑖𝑛 𝑢 + 𝐶
𝑎 cos𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎 −
1
𝑛
𝑐𝑜𝑠𝑛−1
𝑢. sin 𝑢 +
𝑛 − 1
𝑛
𝑐𝑜𝑠𝑛−2
𝑢 𝑑𝑢 , 𝑛 ≥ 2
contoh
3 cos 6𝑥 + 2 𝑑𝑥
3𝑥 𝑐𝑜𝑠 4𝑥2 + 5 𝑑𝑥
6 𝑐𝑜𝑠8𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑𝑥

16. Integral Trigonometri
Integral Tangen
tan 𝑢 𝑑𝑢 = ln(sec 𝑥) + 𝐶 = −ln(cos 𝑥) + 𝐶
a tan 𝑢 𝑑𝑢 = a ln(sec 𝑥) + 𝐶 = −𝑎 ln(cos 𝑥) + 𝐶
a tan(𝐴𝑥 + 𝐵) 𝑑𝑥 =
𝑎
𝐴
ln[ sec(𝐴𝑥 + 𝐵)] + 𝐶 = −
𝑎
𝐴
ln[cos(A 𝑥 + 𝐵)] + 𝐶
tan𝑛 𝑢 𝑑𝑢 =
1
𝑛 − 1
𝑡𝑎𝑛𝑛−1
𝑢 − 𝑡𝑎𝑛𝑛−2
𝑢 𝑑𝑢
contoh
3tan(5𝑥 + 7)𝑑𝑥
3𝑒2𝑥
tan(𝑒2𝑥
+ 9)𝑑𝑥

17. Integral Trigonometri
Latihan

18. Integral Parsial
misalkan u = f(x) dan v=g(x), maka
𝑑[𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ]
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥 𝑔′
𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓′
𝑥
jika kedua ruas persamaan tersebut diintegralkan maka
didapatkan hasil
𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓 𝑥 𝑔′
𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔 𝑥 𝑓′
𝑥 𝑑𝑥
atau dapat dituliskan
∫ 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − ∫ 𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥
v = g(x), maka dv=g’(x) dx dan u = f(x) maka du = f’(x)dx.
Sehingga bentuk umum integral parsial adalah sebagai berikut.
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

19. Integral Parsial
Contoh:
∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑥2 + 7𝑥 − 5 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥

20. Integral Tertentu
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 |
𝑏
𝑎
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)