Trigonometri : Identitas Trigonometri

1. TRIGONOMETRI
MATEMATIKA WAJIB SMA KELAS X

2. F. Identitas Trigonometri
 Hubungan Kebalikan
sin 𝛼 =
1
cosec 𝛼
atau cosec 𝛼 =
1
sin 𝛼
cos 𝛼 =
1
sec 𝛼
atau sec 𝛼 =
1
cos 𝛼
tan 𝛼 =
1
co𝑡𝑎𝑛 𝛼
atau co𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
1
tan 𝛼
 Hubungan Perbandingan
tan 𝛼 =
sin 𝛼
cos 𝛼
co𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
cos 𝛼
sin 𝛼

3.  Identitas Trigonometri
Perhatikan segitiga disamping, karena segitiga siku-siku
maka berlaku Teorema Pytaghoras:
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 …(*)
Jika kedua ruas dibagi dengan 𝑐2
, maka diperoleh :
𝑎2
𝑐2
+
𝑏2
𝑐2
=
𝑐2
𝑐2
⟺
𝑎
𝑐
2
+
𝑏
𝑐
2
= 1
Karena
𝑎
𝑐
= sin 𝛼 dan
𝑏
𝑐
= cos 𝛼, maka bentuk
𝑎
𝑐
2
+
𝑏
𝑐
2
= 1 dapat dituliskan sebagai :
α
𝑎
𝑏
𝑐
sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1

4.  Identitas Trigonometri
Jika kedua ruas persamaan (*) dibagi dengan 𝑏2, maka
diperoleh :
𝑎2
𝑏2
+
𝑏2
𝑏2
=
𝑐2
𝑏2
⟺
𝑎
𝑏
2
+ 1 =
𝑐
𝑏
2
Karena
𝑎
𝑏
= tan 𝛼 dan
𝑐
𝑏
= sec 𝛼, maka bentuk
𝑎
𝑏
2
+ 1 =
𝑐
𝑏
2
dapat dituliskan sebagai :
α
𝑎
𝑏
𝑐
tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥

5.  Identitas Trigonometri
Jika kedua ruas persamaan (*) dibagi dengan 𝑎2, maka
diperoleh :
𝑎2
𝑎2
+
𝑏2
𝑎2
=
𝑐2
𝑎2
⟺ 1 +
𝑏
𝑎
2
=
𝑐
𝑎
2
Karena
𝑏
𝑎
= cotan 𝛼 dan
𝑐
𝑎
= cosec 𝛼, maka bentuk
1 +
𝑏
𝑎
2
=
𝑐
𝑎
2
dapat dituliskan sebagai :
α
𝑎
𝑏
𝑐
1 + cotan2 𝑥 = cosec2 𝑥

6. Kesimpulan
Identitas Trigonometri
 sin2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1
 1 + tan2
𝑥 = sec2
𝑥
 1 + cotan2 𝑥 = cosec2 𝑥

7. Diketahui sin 𝛼 =
3
5
dan 0° < α < 90°. Hitunglah :
a. cos 𝛼
b. tan 𝛼
Conto
h
a. sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1
⟺
3
5
2
+ cos2 𝛼 = 1
⟺ cos2
𝛼 = 1 −
9
25
Penyelesaia
n
⟺ cos2 𝛼 =
16
25
⟺ cos 𝛼 = ±
4
5
Karena 0° < α < 90° (Kuadran I)
maka nilai cos 𝛼 yang memenuhi
adalah cos 𝛼 =
4
5

8. b. tan α =
sin 𝛼
cos 𝛼
=
3
5
4
5
=
3
4
atau
sec 𝛼 =
1
cos 𝛼
=
5
4
1 + tan2 𝛼 = sec2 𝛼
⟺ 1 + tan2
𝛼 =
5
4
2
⟺ tan2 𝛼 =
25
16
− 1
Penyelesaia
n
⟺ tan2 𝛼 =
9
16
⟺ tan 𝛼 = ±
3
4
Karena 0° < α < 90° (Kuadran I) maka
nilai tan 𝛼 yang memenuhi adalah
tan 𝛼 =
3
5

9. Buktikan :
a. sin 𝑎 cot 𝑎 = cos 𝑎
b.
1−cos 𝑥
sin 𝑥
=
sin 𝑥
1+cos 𝑥
Conto
h
a. sin 𝑎 cot 𝑎 = sin 𝑎 ×
cos 𝑎
sin 𝑎
= cos 𝑎 (terbukti)
b.
1−cos 𝑥
sin 𝑥
=
1−cos 𝑥
sin 𝑥
×
1+cos 𝑥
1+cos 𝑥
=
1−cos2 𝑥
sin 𝑥 1+cos 𝑥
=
s𝑖𝑛2 𝑥
sin 𝑥 1+cos 𝑥
=
sin 𝑥
1+cos 𝑥
(terbukti)
Penyelesaia
n