Dokumen tersebut membahas tentang fungsi bernilai vektor, termasuk definisi, notasi, contoh fungsi vektor, domain fungsi vektor, persamaan parameter garis dan kurva, grafik fungsi vektor, serta sifat-sifat fungsi vektor seperti ekivalensi dan limit fungsi vektor.

1. Kalkulus2-Unpad
Fungsi Bernilai Vektor
07/12/18 1

2. )3(2
: RRf →
Definisi
Fungsi bernilai vektor adalah suatu aturan yang
memadankan setiap dengan tepat satu vektorRt ∈
)3(2
)( RtF ∈
−
Notasi :
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ), ( )t F t f t i f t j f t f t= + =
r r r
a
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )t F t f t i f t j f t k
→ → → →
= + +a
dengan 1 2 3( ), ( ), ( )f t f t f t fungsi bernilai real
07/12/18 2Kalkulus2-Unpad

3. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 3
1ˆ ˆ1. ( ) 2 ( 3)F t t i t j−
= − + − ˆˆ ˆ( ) cos sin2. F t t i t j k= + +
r
2 ˆ ˆ( ) ln 63. F t i t j
t
 
= − − ÷
 
r
Contoh :
 Daerah Asal (DF )
{ }1 2 3
| f f fF
D t R t D D D= ∈ ∈ ∩ ∩r
 Daerah Hasil (RF )
{ }3
( ) |F F
R F t R t D= ∈ ∈r r
r
⇒+= jtfitftF
rrr
)()()( 21 { }21
| ffF
DDtRtD ∩∈∈=r
⇒++= ktfjtfitftF
rrrr
)()()()( 321
{ }FF
DtRtFR rr
r
∈∈= |)( 2
atau

4. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 4
Contoh : Tentukan Domain dari
→
−
→→
−+−= jtittF 1
)3(2)(
Jawab :
1 1( ) 2 [2, )ff t t D= − → = ∞
1
2 2( ) ( 3) {3}ff t t D R−
= − → = −
{ }1 2f fF
D t R t D D= ∈ ∈ ∩r
{ }{ }[2, ) 3t R t R= ∈ ∈ ∞ ∩ −
{ }{ }[2, ) 3 [2,3) (3, )t= ∈ ∞ − = ∪ ∞
Jadi

5. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 5
2 ˆ ˆ2. ( ) ln 6F t i t j
t
 
= − − ÷
 
1
2
( ) lnf t
t
 
=  ÷
 
2 ( ) 6f t t= − −
1
(0, )fD→ = ∞
2
( , 6]fD→ = −∞
{ }1 2f fF
D t R t D D= ∈ ∈ ∩
{ }(0, ) ( ,6]t R t= ∈ ∈ ∞ ∩ −∞
(0,6]=
Jawab:

6. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 6
LatihanLatihan
Tentukan DF(daerah asal) dari fungsi vektor berikut
ˆ ˆ( ) ( 4)1. F t t i t j= − +
r
2ˆ ˆ( ) 42. F t t i t j= − − −
r
1 ˆ ˆ( )
( 4)
3. F t i t j
t
= +
−
r
21 ˆ ˆ( )
4
4. F t i t j
t
= +
−
r

7. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 7
Persamaan ParameterPersamaan Parameter
Persamaan kurva di ruang dalam bentuk
parameter:
ˆˆ ˆ( ) cos sin1. F t t i t j t k= + +
r
1 2 3( ) ; ( ) ; ( ) ,x f t y f t z f t t I= = = ∈
Contoh :
cos , sin ,x t y t z t→ = = =
ˆ ˆ( ) ( 4)2. F t t i t j= − +
r
( 4) ,x t y t→ = − =
Persamaan kurva di bidang dalam bentuk parameter:
Ittfytfx ∈== ,)(;)( 21

8. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 8
GarisGaris
0w
r
w
r
v
r
P0=(x0,y0,z0)
P(x,y,z)
x
z
y
Garis adalah himpunan semua titik P sehingga
0P P t v=
r

9. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 9
0P P t v=
r
0w w t v− + =
r r
v=
r
0w w t v= +
r r
Jika >=<
→
zyxw ,, >=<
→
0000 ,, zyxw >=<
→
cbav ,,
atxx += 0
btyy += 0
ctzz += 0
Maka persamaan garis dalam bentuk parameter:
(Persamaan garis dalam bentuk vektor)
vektor yang sejajar dengan garis

10. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 10
ContohContoh
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4,-5,2)
dan sejajar vektor<-1,2,3>
Jawab: 3,2,12,5,4,, −+−= tzyx
tx −= 4
ty 25 +−=
tz 32 +=
Persamaan parameter garis itu:

11. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 11
ContohContoh
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3,-1)
dan (5,-1,-4)
Jawab:
2 3 ; 3 2 ; 1 3x t y t z t= + = − + = − −
Sehingga Persamaan parameter garis tersebut:
Vektor yang sejajar dengan garis tersebut adalah
5 2, 1 3, 4 1 3,2, 3v = − − + − + = −
r
Pilih titik (2,-3,-1)

12. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 12
LatihanLatihan
1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang
melalui pasangan titik yang diberikan:
a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6)
b. (2, -1, 5), (7, -2, 3)
c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)
2. Tuliskan persamaan parameter garis yang melalui
titik yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang
diberikan
a. (4,-6,3), <-2,1,5>
b. (2,5,-3) , <,-1,4,2>

13. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 13
Grafik Fungsi Bernilai VektorGrafik Fungsi Bernilai Vektor
Misalkan
Df=[a,b]
1 2
ˆ ˆ( ) ( ) ( )F t f t i f t j= +
r
][
a≤t≤b
(b)f
(t)f
r(a)f
r c
y
x
Jika t berubah sepanjang [a,b]  ujung-ujung )t(f
menjelajahi lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu
disebut titik pangkal lengkungan C)(af
disebut titik ujung lengkungan C)(bf
 kurva C disebut kurva tertutup)()( bfafJika =

14. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 14
Grafik fungsi vektorGrafik fungsi vektor
 Grafik fungsi bernilai vektor berupa
lengkungan/kurva di R2(3)
dengan arah tertentu
 Cara menggambar grafik fungsi vektor :
1. Tentukan persamaan parameter dari kurva.
2. Tentukan persamaan Cartesius kurva
(eliminasi parameter t ) dan gambarkan.
3. Tentukan arahnya.

15. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 15
ContohContoh
Gambarkan grafik fungsi vektor
ˆ ˆ1. ( ) 3cos 2sin ; 0 2F t t i t j t π= + ≤ ≤
Persamaan parameternya:
x = 3 cos t
y = 2 sin t


x/3 = cos t
y/2 = sin t
cos2
t + sin2
t =1
2 2
1
3 2
x y   
+ = ÷  ÷
   
Arahnya
(ellips)
)0,3(ˆ3)0( == iF
)2,0(ˆ2)
2
( == jF
π
)0,3(ˆ3)( −=−= iF π
)2,0(ˆ2)
2
3
( −=−= jF
π
)0,3(ˆ3)2( == iF π
3-3
2
-2
x
y
C

16. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 16
Persamaan parameternya:
2
4x y→ = −
Arahnya:
(parabola)
ˆ(0) 4 ( 4,0)F i= − = −
ˆ(4) 2 (0,2)F j= =
-4
2
x
y
C
ˆ ˆ( ) ( 4) ; 0 42. F t t i t j t= − + ≤ ≤
r
y t=
4y x= +
4 4x t t x= − → = +

17. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 17
LatihanLatihan
2 ˆ ˆ2. ( ) 4 ; 2 2F t t i t j t= − + − ≤ ≤
2ˆ ˆ( ) 4 ; 2 21. F t t i t j t= − − − ≤ ≤
r
Gambarkan grafik fungsi vektor berikut:
( ) ( )2 ˆ ˆ4. ( ) 2 3 ; 2 3F t t t i t j t= + + − − ≤ ≤
( ) ˆ ˆ( ) 4 1 2 ; 0 33. F t t i t j t= − − ≤ ≤
r
2 2ˆ ˆ( ) ;5. F t t i a t j a t a= − − − − ≤ ≤
r

18. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 18
EkivalenEkivalen
Fungsi ( ) ( )f t dan g t
r r
menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan
arah yang sama pula.
disebut ekivalen jika
 Contoh:
ˆ ˆ( ) cos sin , 0f t a t i a t j t π= + ≤ ≤
r
2 2ˆ ˆ( ) ,g t t i a t j a t a= − + − − ≤ ≤
r
Norm
1 2 3
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )f t f t i f t j f t k= + +
r
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t= + +
r
Misalkan maka norm dari ( )f t
r
( ) ( )f t dan g t
r r
adalah dua vektor yang ekivalen.)(dan)( tgtf
rr
(tunjukkan!)

19. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 19
Sifat fungsi vektorSifat fungsi vektor
ktfjtfitftf ˆ)(ˆ)(ˆ)()( 321 ++=
r
Misalkan ktgjtgitgtg ˆ)(ˆ)(ˆ)()( 321 ++=
r
dan
αcos)()()()()()()()()().( 332211 tgtftgtftgtftgtftgtf
rrrr
=++=1.
k
tgtg
tftf
j
tgtg
tftf
i
tgtg
tftf
tgtgtg
tftftf
kji
tgxtf ˆ
)()(
)()(
ˆ
)()(
)()(
ˆ
)()(
)()(
)()()(
)()()(
ˆˆˆ
)()(
21
21
31
31
32
32
321
321 +−==
rr
2.
( ) ( ) ( ) ( )ktgtfcjtgtfcitgtfctgtfc ˆ)()(ˆ)()(ˆ)()()()( 332211 ±+±+±=±
rr
3.
c =konstanta
α adalah sudut antara dua vektor tersebut

20. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 20
LimitLimit
Definisi
lim ( ) 0 0 0 ( )
t a
f t L t a f t Lε δ δ ε
→
= → ∀ > ∃ > ∋ < − < → − <
r r
Ilustrasi
)(
a
L
(t)f
r
L-(t)f
r
y
x
.
a+δa-δ
ε

21. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 21
TeoremaTeorema
1 2
ˆ ˆ( ) ( ) ( )f t f t i f t j= +
r
Misalkan ( )f t
r
, maka mempunyai limit di a
↔ f1(t) dan f2(t) mempunyai limit di a, dan
( ) ( )1 2
ˆ ˆlim ( ) lim ( ) lim ( )
t a t a t a
f t f t i f t j
→ → →
= +
r
Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada,
(Jika tidak ada beri alasan):






−
−+
+
+
−
−→
j
t
tt
i
t
t
t
ˆ
9
6ˆ
3
9
lim.1 2
22
3






+
→
j
e
t
i
t
t
t
t
ˆˆsin
lim.2
0
ttt
t
ln),ln(lim.3 2
0+
→

22. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 22
JawabJawab






−
−+
+
+
−
−→
j
t
tt
i
t
t
t
ˆ
9
6ˆ
3
9
lim.1 2
22
3
j
t
tt
i
t
t
tt
ˆ
9
6
limˆ
3
9
lim 2
2
3
2
3 −
−+
+
+
−
=
−→−→
( )( ) ( )( )
( )( )
j
tt
tt
i
t
tt
tt
ˆ
33
23
limˆ
3
33
lim
33 −+
−+
+
+
+−
=
−→−→
( ) j
t
t
it
tt
ˆ
3
2
limˆ3lim
33






−
−
+−=
−→−→
ji ˆ
6
5ˆ6 +−=






+
→
j
e
t
i
t
t
tt
ˆˆsin
lim.2
0
j
e
t
i
t
t
ttt
ˆlimˆsin
lim
00 →→
+=
iji ˆˆ0ˆ =+=

23. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 23
ttt
t
ln),ln(lim.3 2
0+
→
ttt
tt
lnlim),ln(lim
0
2
0 ++
→→
=
−∞=+
→
)ln(lim 2
0
t
t
karena (tidak ada)
Maka tidak adattt
t
ln),ln(lim 2
0+
→

24. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 24
LatihanLatihan
Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri
alasan):






−
−+
+
−
−
→
j
t
tt
i
t
t
t
ˆ
2
6ˆ
4
2
lim.1
2
22






−
+
+
∞→
j
tt
t
i
t
t
t
ˆ
32
1ˆsin
lim.2 2
2
t
e t
t
1
,lim.3 /1
0+
→

25. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 25
TurunanTurunan
1 2 3
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )f t f t i f t j f t k= + +
r
Definisi: Misalkan
1 2 3 1 2 3
0
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'( ) lim
h
f t h i f t h j f t h k f t i f t j f t k
f t
h→
   + + + + + − + +
   =
r
3 31 1 2 2
0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆlim
h
f t h f tf t h f t f t h f t
i j k
h h h→
+ −+ − + − 
= + + 
 
3 31 1 2 2
0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆlim lim lim
h h h
f t h f tf t h f t f t h f t
i j k
h h h→ → →
+ −+ − + −
= + +
1 2 3
ˆˆ ˆ'( ) '( ) '( )f t i f t j f t k= + +
1 2 3
ˆˆ ˆ'( ) '( ) '( ) '( )f t f t i f t j f t k= + +
r
Jadi

26. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 26
ContohContoh
2 2ˆ ˆ( ) (2 3) t
f t t i e j= + −
r
. Tentukan1. Diketahui '(0) ''(0)f dan f
r r
Jawab
2ˆ ˆ"( ) 8 4 t
f t i e j= −
r
( ) 2ˆ ˆ'( ) 2 2 3 2 2 t
f t t i e j= + −
r
( ) 2ˆ ˆ8 12 2 t
t i e j= + −
ˆ ˆ'(0) 12 2f i j= −
r
ˆ ˆ''(0) 8 4f i j= −
r
i.
ii.

27. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 27
ContohContoh
ˆ ˆ( ) cos2 t
f t t i e j= +
r
Tentukan2. Diketahui
. '( ) ''( )a f t dan f t
r r
. '(0) ''(0)b sudut antara f dan f
r r
Jawab
a. ˆ ˆ'( ) 2sin 2 ,t
f t t i e j= − +
r
ˆ ˆ''( ) 4cos2 t
f t t i e j= − +
r
b. ˆ'(0) ;f j=
r
ˆ ˆ"(0) 4f i j= − +
r
'(0). "(0)
cos
'(0) "(0)
f f
f f
θ =
r r
r r
1
17
= 
1 1
cos
17
θ −  
=  ÷
 

28. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 28
LatihanLatihan
( )1 2 2 ˆˆ ˆ( ) tan ln 1t
f t t i t e j t k− −
= + + +
r
Tentukan
1. Diketahui
'(0)f
r
dan ''(0)f
r
2 3ˆ ˆ( ) ln( )t
r t e i t j= +
r
Tentukan
2. Diketahui
[ ( ). '( )]tD r t r t
r r
3. Tentukan '( )r t
r
dan "( )r t
r
a.
b.
( )
2
ˆ ˆ( ) t t t
r t e e i e j−
= + −
r
5/3ˆ ˆ( ) tan 2r t t i t j= −
r

29. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 29
Arti GeometrisArti Geometris
Df=[a,b]
][
a≤ t ≤b
h)(tf +
r
(t)f
r
(t)f-h)(tf
rr
+
c
z
y
x
O
P
Vektor
( ) ( )
, 0
f t h f t
h
h
+ −
>
r r
searah dengan vektor ( )- ( )f t h f t+
r r
Jika h 0, maka
merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada
saat
0
( ) ( )
lim '( )
h
f t h f t
f t
h→
+ −
=
r r
r
f
Dr∈t
Arti Geometris : Vektor Singgung'( )f t
r

30. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 30
Garis SinggungGaris Singgung
Df=[a,b]
][
a≤t≤b
)(tf 0
r
)(t'f 0
r
c
z
y
x
O
P
Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah
0 0( ) ( ) '( )x t f t t f t= +
r rr
atau
1 0 2 0 3 0 1 0 2 3 0, , ( ), ( ), ( ) '( ), '( 0), '( )x y z f t f t f t t f t f t f t< > =< > + < >

31. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 31
ContohContoh
ˆˆ ˆ( ) cos sinf t t i t j t k= + +
r
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–1, 0, π).
Diketahui
ˆˆ ˆ'( ) sin cosf t t i t j k= − + +
r
Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t0 = π
ˆˆ ˆ'( ) 0 ( 1)f i j kπ = + − +
r
ˆˆ ˆ( ) ( 1) 0f i j kπ π= − + +
r
0, 1, 1=< − >
1,0,π=< − >
Persamaan parameter garis singgung di titik P (–1, 0, π)
adalah x = –1, y = – t , z = π + t

32. 07/12/18 Kalkulus2-Unpad 32
LatihanLatihan
ˆ ˆ( ) 3sin 4cosf t t i t j= +
r
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4).
1. Diketahui
( )2 ˆˆ ˆ( ) sin cos 1t t
f t e t i e t j t k= + + +
r
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).
2. Diketahui
( ) ( )2ˆ ˆ( ) 2 2 3 2f t t i t j= − + −
r
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–2, –2).
3. Diketahui
4. Diketahui tt
eettf −
= ,,2)(
r
Tentukan persamaan garis singgung pada saat t = 0.