SlideShare a Scribd company logo

Bab2 peubah-acak-dan-distribusi-peluang

Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep statistika dasar seperti peubah acak, distribusi peluang diskret dan kontinyu, serta distribusi peluang gabungan. Termasuk contoh soal untuk memahami penerapannya.

1 of 33
Download to read offline
Bab2 peubah-acak-dan-distribusi-peluang
 Peubah Acak
 Distribusi Peluang Diskret
 Distribusi Peluang Kontinyu
 Distribusi Empiris
 Distribusi Peluang Gabungan
 Bebas Statistik
 Peubah acak ialah suatu fungsi yang
mengaitkan suatu bilangan real pada setiap
unsur dalam ruang sampel.
 Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf
besar, misalnya X , sedangkan nilainya
dinyatakan dengan huruf kecil padanannya,
misalnya x.
 Peubah acak, X, banyaknya barang yang
cacat bila tiga suku cadang elektronik diuji.
Jadi, peubah acak X mendapat nilai 2 untuk
semua unsur pada himpunan bagian
E = {CCB, CBC, BCC}
 Jadi, tiap kemungkinan nilai x
menggambarkan suatu kejadian yang
merupakan ruang bagian dari ruang sampel
percobaan tersebut.
 Dua buah bola diambil satu demi satu tanpa
dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola
merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan
jumlah bola merah yang diambil maka nilai y
yang mungkin dari peubah acak Y adalah?
ruang sampel y
MM
MH
HM
HH
2
1
1
0
 Ruang sampel diskret
Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang
berhingga banyaknya atau sederetan anggota
yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka
ruang sampel itu disebut ruang sampel diskret
 Ruang sampel kontinu
Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang
tak berhingga banyaknya dan banyaknya
sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang
sampel itu disebut ruang sampel kontinu

Recommended

More Related Content

What's hot

Beberapa distribusi peluang diskrit (1)
Beberapa distribusi peluang diskrit (1)Beberapa distribusi peluang diskrit (1)
Beberapa distribusi peluang diskrit (1)Raden Maulana
 
Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1Maya Umami
 
Distribusi hipergeometrik
Distribusi hipergeometrikDistribusi hipergeometrik
Distribusi hipergeometrikEman Mendrofa
 
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )Kelinci Coklat
 
13.analisa korelasi
13.analisa korelasi13.analisa korelasi
13.analisa korelasiHafiza .h
 
Beberapa distribusi peluang kontinu
Beberapa distribusi peluang kontinuBeberapa distribusi peluang kontinu
Beberapa distribusi peluang kontinuRaden Maulana
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Arvina Frida Karela
 
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
 

What's hot (20)

Beberapa distribusi peluang diskrit (1)
Beberapa distribusi peluang diskrit (1)Beberapa distribusi peluang diskrit (1)
Beberapa distribusi peluang diskrit (1)
 
Distribusi Binomial
Distribusi BinomialDistribusi Binomial
Distribusi Binomial
 
Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1Modul persamaan diferensial 1
Modul persamaan diferensial 1
 
Turunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi KompleksTurunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi Kompleks
 
Geometri analitik ruang
Geometri analitik ruangGeometri analitik ruang
Geometri analitik ruang
 
Distribusi hipergeometrik
Distribusi hipergeometrikDistribusi hipergeometrik
Distribusi hipergeometrik
 
Teori Group
Teori GroupTeori Group
Teori Group
 
Analisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1cAnalisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1c
 
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )
 
Fungsi Pembangkit
Fungsi PembangkitFungsi Pembangkit
Fungsi Pembangkit
 
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )
 
13.analisa korelasi
13.analisa korelasi13.analisa korelasi
13.analisa korelasi
 
Statistika inferensial 1
Statistika inferensial 1Statistika inferensial 1
Statistika inferensial 1
 
Beberapa distribusi peluang kontinu
Beberapa distribusi peluang kontinuBeberapa distribusi peluang kontinu
Beberapa distribusi peluang kontinu
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
 
Bilangan kompleks
Bilangan kompleksBilangan kompleks
Bilangan kompleks
 
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
Ruang Vektor ( Aljabar Linear Elementer )
 
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat TigaIntegral Lipat Tiga
Integral Lipat Tiga
 
Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2
 
Ring
RingRing
Ring
 

Similar to Bab2 peubah-acak-dan-distribusi-peluang

Similar to Bab2 peubah-acak-dan-distribusi-peluang (20)

Statistika - Distribusi peluang
Statistika - Distribusi peluangStatistika - Distribusi peluang
Statistika - Distribusi peluang
 
Distribusi peluang kontinu
Distribusi peluang kontinuDistribusi peluang kontinu
Distribusi peluang kontinu
 
ditribusi teoritis
ditribusi teoritisditribusi teoritis
ditribusi teoritis
 
Makalah mtk
Makalah mtkMakalah mtk
Makalah mtk
 
Sebaran peluang-bersama
Sebaran peluang-bersamaSebaran peluang-bersama
Sebaran peluang-bersama
 
Variabel random
Variabel randomVariabel random
Variabel random
 
polinomial.ppt
polinomial.pptpolinomial.ppt
polinomial.ppt
 
polinomial.ppt
polinomial.pptpolinomial.ppt
polinomial.ppt
 
polinomial.ppt
polinomial.pptpolinomial.ppt
polinomial.ppt
 
polinomial.ppt
polinomial.pptpolinomial.ppt
polinomial.ppt
 
polinomial.ppt
polinomial.pptpolinomial.ppt
polinomial.ppt
 
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN.pptx
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN.pptxBAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN.pptx
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN.pptx
 
Ch3
Ch3Ch3
Ch3
 
Ch3
Ch3Ch3
Ch3
 
Polinomial (Suku Banyak)
Polinomial (Suku Banyak)Polinomial (Suku Banyak)
Polinomial (Suku Banyak)
 
Suku banyak
Suku banyakSuku banyak
Suku banyak
 
Bab ii peluang dan distribusi peluang
Bab ii peluang dan distribusi peluangBab ii peluang dan distribusi peluang
Bab ii peluang dan distribusi peluang
 
Polinomial (Suku Banyak)
Polinomial (Suku Banyak)Polinomial (Suku Banyak)
Polinomial (Suku Banyak)
 
Teorema faktor
Teorema faktorTeorema faktor
Teorema faktor
 
statistik
statistikstatistik
statistik
 

Bab2 peubah-acak-dan-distribusi-peluang

  • 2.  Peubah Acak  Distribusi Peluang Diskret  Distribusi Peluang Kontinyu  Distribusi Empiris  Distribusi Peluang Gabungan  Bebas Statistik
  • 3.  Peubah acak ialah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel.  Peubah acak akan dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X , sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.
  • 4.  Peubah acak, X, banyaknya barang yang cacat bila tiga suku cadang elektronik diuji. Jadi, peubah acak X mendapat nilai 2 untuk semua unsur pada himpunan bagian E = {CCB, CBC, BCC}  Jadi, tiap kemungkinan nilai x menggambarkan suatu kejadian yang merupakan ruang bagian dari ruang sampel percobaan tersebut.
  • 5.  Dua buah bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai y yang mungkin dari peubah acak Y adalah? ruang sampel y MM MH HM HH 2 1 1 0
  • 6.  Ruang sampel diskret Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskret  Ruang sampel kontinu Bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu
  • 7. Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, atau distribusi peluang peubah acak diskret X bila, untuk setiap kemungkinan hasil x 1. F(x) >= 0 2. = 1 3. P’(X = x) = f(x)
  • 8.  Suatu pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang cacat
  • 9. Misalkan X peubah acak dengan nilai x kemungkinan banyaknya komputer yang cacat yang dibeli oleh sekolah tersebut. Maka x dapat memperoleh setiap nilai 0, 1, dan 2. Sekarang, F(0) = P (X = 0) = = 10/28 F(1) = P(X = 1) = = 15/28 continue..       0 3       2 5       2 8       1 3       1 5       2 8
  • 10. f(1) = P(X = 2) = = 2/28 Jadi distribusi peluang X x 0 1 2 f(x) 10/28 15/28 3/28       2 3       0 5       2 8
  • 11. Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak diskret X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh F(x) = P(X x) = untuk - < x < xt tf )(  
  • 12. Hitunglah distribusi kumulatif peubah acak X dalam contoh soal 2. Dengan menggunakan F(x), perlihatkan bahwa f(2) = 3/8 Jawab: Dengan menghitung langsung distribusi peluang pada contoh soal 2, diperoleh f(0) = 1/16, f(1) = 1/14, f(2) = 3/8, f(3) = ¼, dan f(4) = 1/16. Jadi, F(0) = f(0) = 1/16 F(1) = f(0) + f(1) = 5/16 F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11/16 F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15/16 F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1 Jadi, f(2) = F(2) – F(1) = 11/ 16 – 5/16 = 3/8
  • 13. Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu Xt yang disefinisikan di atas himpunan semua bilangan real Rt bila 1. f(x) ≥ 0 untuk semua x R 2 = 1 3. P(a < X <b) = dxxf   )(   b a dxxf )(
  • 14. Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam ºC, pada percobaan laboratorium yang dikontrol merupakan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang f(x) = x2/3, untuk –1 < x < 2 0, untuk x lainnya a.Tunjukkan bahwa syarat terpenuhi. b.Hitung P(0 < x 1). Jawab:  = x2/3 dx = x3/9 = 8/9 + 1/9 = 1.  P(0 < x 1) = x2/3 dx = x3/9 = 1/9    1)(    dxxf   2 1 1 2   1 0 0 1    dxxf )(
  • 15. Distribusi kumulatif (tumpukan) F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh F(x) = P(x x) = untuk - < x <  x dttf )(  
  • 16. Carilah F(x) dari fungsi pada contoh soal 4 dan kemudian hitunglah P(0 < X 1) Jawab: Untuk -1< x < 2, F(x) = = t2/3 dt = t3/9 = x3+1 9 Jadi, 0 x -1 F(x) = x3 + 1 -1 x < 2 9 1 x 2 Jadi, P(0 < X 1) = F(1) – F(0) = 2/9 – 1/9   x dttf )(  x 1 1 x         
  • 17. Data statistik, yang dikumpulkan dalam jumlah amat banyak, akan sangat membantu dalam menelaah bentuk distribusi bila disajikan dalam bentuk gabungan tabel dan grafik yang dinamakan diagram batang-daun. Contoh : 25 data 2,2 4,1 3,5 4,5 3,2 3,7 3,0 1,1 1,2 2,3 3,3 4,2 3,1 3,9 2,2 2,4 3,4 1,5 2,4 3,3 2,7 1,1 4,3 3,2 2,5 Batang Daun Frekuensi 1 1251 4 2 2232447 7 3 5270319432 11 4 152 3
  • 18. Distribusi frekuensi yang datanya dikelompokkan dalam kelas atau selang yang berbeda dapat dibuat dengan mudah dengan menghitung banyaknya daun pada setiap batang dan perhatikan bahwa setiap batang menentukan selang kelas. Contoh Selang Kelas Titik Tengah Kelas Frekuensi f Frekuensi nisbi 1.5 – 1.9 1.7 2 0.050 2.0 – 2.4 2.2 1 0.025 2.5 - 2.9 2.7 4 0.100 3.0 – 3.4 3.2 15 0.375 3.5 – 3.9 3.7 10 0.250 4.0 – 4.4 4.2 5 0.125 4.5 – 4.9 4.7 3 0.075
  • 19. Histogram frekuensi nisbi dibentuk dengan menggunakan titik tengah tiap selang dan frekuensi nisbi padanannya. Suatu distribusi dikatakan simetris atau setangkup bila dapat dilipat sepanjang sumbu tegak tertentu sehingga kedua bagian saling menutupi. Distribusi yang tidak setangkup terhadap suatu sumbu tegak dikatakan taksetangkup atau mencong 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 1.7 2.2 2.7 3.2 3.7 4.2 4.7
  • 20. Fungsi f(x, y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang peubah acak diskret X dan Y bila 1. F(x,y) 0 untuk semua (x,y). 2. F(x,y) = 1. 3. P(X = x, Y = y) = f(x,y). Untuk tiap daerah A di bidang xy, P[(X, Y) A] =   x y   A yxf ).,(
  • 21. Contoh soal 7: Dua isi ballpoint dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi warna biru, 2 merah, dan 3 hijau. Bila X menyatakan banyaknya yang berwarna biru dan Y warna merah yang terpilih, hitunglah a.Fungsi peluang gabungan f(x,y), dan b. P [(X,Y) A], bila A daerah { (x,y) [x+y 1} Jawab: Pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0, 2), dan (2,0). Sekarang f(0,1), misalnya menyatakan peluang bahwa isi berwarna merah dan hijau yang terpilih. Banyaknya cara yang berkemungkinan sama memilih dua isi dari delapan adalah = 28. Banyaknya cara memilih 1 merah dari 2 isi berwarna merah dan hijau dari 3 isi berwarna hijau adalah = 6, jadi f(0,1) = 6/28 = ¾. Dengan jalan yang sama dihitung peluang untuk kasus lainnya, yang disajikan pada tabel halaman berikut         2 8             1 3 1 2
  • 22. x = 0, 1, 2; F(x,y) = y = 0, 1, 2; 0 x+y 2 b. P [(X, Y) A] = P (X + Y 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = 3/28 + 3/14 + 9/28 = 9/14 F(x,y) x Jumlah baris 0 1 2 y 0 1 2 3/28 9/28 3/28 3/14 3/14 1/28 15/28 3/7 1/28 jum. lajur 5/14 15/28 3/28 1                     yxyx 2 323       2 8  
  • 23. Fungsi f(x,y) adalah fungsi padat gabungan peubah acak kontinu X dan Y bila 1. F(x,y) 0 untuk semua (x,y) 2. = 1 3. P [(X, Y) A] = Untuk tiap daerah A di bidang xy        dydxyxf ),(   A dydxyxf ),(
  • 24. Contoh soal 8: Suatu perusahaan coklat mengirim berkotak-kotak coklat dengan campuran krem, tofe, da kacang berlapis coklat cerah dan pekat. Bila kotak dipilih secara acak , serta X dan Y menyatakan amsing – masing proporsi yang krem berlapis coklat cerah dan pekat dan misalkan bahwa fungsi padat gabungannya ialah: f(x, y) = 0 x 1, 0 y 1 untuk x, y lainnya a.Tunjukkan bahwa syarat = 1 dipenuhi b.Cari P [(X, Y) A], bila A daerah {(x,y)| 0 x ½, ¼ y ½}     0 )32(5/2 yx           dydxyxf ),(     
  • 25.  Jawab : a. = = 2x2 + 6xy dy 5 5 = 2 + 6y dy = 2y + 3y2 5 5 5 5 = 2 + 3 = 1 5 5       dydxyxf ),(   1 0 1 0 )32(5/2 dydxyx  1 0 0 1   x x  1 0 0 1
  • 26. b. P[(X, Y) A = P(0 < X < ½, ¼ < Y < ½) = = 2x2 + 6xy dy 5 5 = 1 + 3y dy = y + 3y2 10 5 10 10 = 1 1 + 3 1 + 3 = 13 10 2 4 4 16 160     2/1 4/1 3/1 0 )32(5/2 dydxyx  2/1 4/1 0 2/1   x x  2/1 4/1 4/1 2/1
  • 27. Distribusi marginal (pias) dari X sendiri dan Y sendiri didefinisikan sebagai g(x) = dan h(y) = Untuk hal diskret, dan g(x) = dan h(y) = untuk hal kontinu y yxf ),( x yxf ),(    dyyxf ),(    dxyxf ),(
  • 28. Tunjukkan bahwa jumlah lajur dan baris tabel berikut memberikan distribusi pias dari X sendiri dan Y sendiri F(x,y) x Jumlah baris0 1 2 y 0 1 2 3/28 9/28 3/28 3/14 3/14 1/28 15/28 3/7 1/28 jum. lajur 5/14 15/28 3/28 1
  • 29. Untuk peubah acak X, P(X = 0) = g(x) = = f(0,0) + f(0,1) + f(0,2) = 3/28 + 3/14 + 1/28 = 5/14 P(X = 1) = g(1) = = f(1,0) + f(1,1) + f(1,2) = 9/28 + 3/14 + 0 = 15/28 Dan P(X = 2) = g(2) = = f(2,0) + f(2,1) + f(2,2) = 3/28 + 0 + 0 = 3/28 Yang merupakan jumlah lajur pada tabel tersebut. Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa nilai h(y) merupakan jumlah barisnya.  2 0 ),0( y yf  2 0 ),1( y yf  2 0 ),2( y yf
  • 30. Misalkan X dan Y dua peubah acak, diskret maupun kontinu. Distribusi bersyarat peubah acak Y, bila diketahui X = x, dinyatakan oleh f(y|x) = f(x,y), g(x) >0 g(x) Begitupula, distribusi bersyarat peubah acak X, bila diketahui Y = y, dinyatakan oleh f(x|y) = f(x,y), h(y) >0 h(y)
  • 31. Misalkan X dan Y dua peubah acak, diskret maupun kontinu, dengan fungsi peluang gabungan f(x,y) dan distribusi pias masing – masing g(x) dan h(y). Peubah X dan Y dinyatakan bebas statistik jika dan hanya jika f(x,y) = g(x) h(y) Untuk semua (x,y) dalam daerah definisinya Misalkan X1, X2, X3, …, Xn n peubah acak, diskret maupun kontinu, dengan distribusi peluang gabungan f(X1, X2, X3, …, Xn) dan distribusi pias masing – masing f1(x1), f2(x2), …, fn(xn). Peubah acak X1, X2, X3, …, Xn dikatakan saling bebas statistik jika dan hanya jika f(x1, x2, …, xn) = f1(x1) f2(x2), …, fn(xn). Untuk semua (x1, x2, …, xn) dalam daerah definisinya
  • 32. Misalkan lamanya tahan, dalam tahun, sejenis makanan kemasan dalam kotak sebelum rusak merupakan peubah acak yang fungsi padat peluangnya berbentuk f(x) = e-x , x >0 0, untuk x lainnya. Misalkan X1, X2, dan X3 menyatakan lamanya tahan tiga kotak dari makanan kemasan ini yang dipilih secara acak, hitunglah P (X1<2, 1<X2<3, X3>2). Jawab: Karena kotak dipilih secara acak (bebas), maka dapat dianggap bahwa peubah acak X1, X2, dan X3 bebas statistik dengan peluang padat gabungan f(x1, x2, x3) = f(x1)f(x2)f(x3) = e-x 1 e-x 2 e-x 3 = e-x 1-x2-x3 , x1>0, x2 >0, x3 >0   
  • 33. Dan f(x1, x2, x3) = 0 untuk nilai yang lainnya. Jadi P(X1<2, 1< X2<3, X3>2) = e-x 1-x2-x3 dx1 dx2 dx3 = (1 – e-2)(e-1 - e-3) e-2 = 0,0376   2 3 1 2 0