Dokumen tersebut membahas aturan-aturan dasar diferensiasi untuk fungsi konstan, penjumlahan dan perbedaan fungsi, produk fungsi, dan kuotien fungsi beserta contoh penerapannya. Diberikan pula latihan soal untuk menerapkan aturan-aturan tersebut dalam menemukan turunan fungsi.
1. BAB 5
ATURAN DIFERENSIASI
A. Beberapa Fungsi Yang Konstan
Misalkan π adalah fungsi terdiferensialkan dan π adalah bilangan real, maka
ππ juga terdiferensialkan dengan turunannya yang diberikan oleh :
π
π π
(ππ( π)) = π
π
π π
(π( π)) = ππβ²
(π)
Jadi, turunan dari waktu konstan fungsi terdiferensialkan adalah produk dari waktu
konstan turunan fungsi. Aturan ini memungkinkan Anda melakukan pemfaktoran
konstanta saat Anda menemukan turunannya.Aturan berlaku bahkan saat konstanta ada
dalam denominator seperti yang ditunjukkan di sini:
π
π π
(
π(π)
π
) =
π
π π
(
π
π
π(π)) =
π
π
π
π π
(π( π)) =
π
π
πβ²
(π)
ο§ Jikaπ( π₯) = β5π₯2
maka,πβ²( π₯) = β5
π
ππ₯
( π₯2) = β5(2) π₯,
= β10π₯
ο§ Jikaπ¦ = 6(π₯
1
2 ) maka π¦β²
=
ππ¦
ππ₯
=
π
ππ₯
6(π₯
1
2 ) = 6
π
ππ₯
(π₯
1
2) = 6 (
1
2
) π₯
β
1
2 = 3π₯
β
1
2 ,
ο§ Jika π¦ =
π
ππ₯
(4π₯β1)makaπ¦β²
=
ππ¦
ππ₯
=
π
ππ₯
(4π₯β1) = 4
π
ππ₯
( π₯β1) = β4π₯β2
LATIHAN 5.1
Untuk masalah 1-10, gunakan beberapa aturan fungsi yang konstan untuk
menemukan turunan fungsi yang diberikan.
1. π( π₯) = 2π₯2
6. π( π₯) =
π₯2
2π
2. π( π₯) =
π₯100
25
7. π( π₯) =
10
π₯2
3. π( π₯) = 20π₯
1
4 8. π ( π‘) = 100π‘0.6
4. π¦ = β16β π₯ 9. β( π ) = β25π
4
5
5. π( π‘) =
2π‘
3
10. π ( π‘) =
1
4 βπ 23
Untuk masalah 11-15, temukan derivatife numerik yang ditunjukkan :
11. πβ²(3)ketikaπ(π₯) = 2π₯2
12. πβ²(1)ketika π(1) =
π₯100
25
13. πβ²(81)ketikaπ(π₯) = 20π₯
1
4
2. 14.
ππ¦
ππ₯ 25ketika π¦ = β16β π₯
15. πβ²
(200) ketika π(π‘) =
2π‘
3
B. AturanUntukPenjumlahandanPerbedaan
Untuksemuaπ₯ di mana fungsi π dan π dapat didiferensiasi, fungsi (π + π) dapat
didiferensiasi denganturunannya diberikan oleh:
π
π π
(π( π) + π( π)) = πβ²( π) + πβ²
(π)
Demikian pula, untuk semua π₯ di mana fungsi π dan π dapat didiferensiasi, fungsi
(π β π) dapat terdiferensialkan dengan turunannya diberikanoleh:
π
π π
(π( π) β π( π)) = πβ²( π) β πβ²
(π)
Dengandemikian, turunan dari jumlah (atau perbedaan) dua fungsi terdiferensiasi
sama dengan jumlah (atau perbedaan) dari derivatif fungsi individu.
ο§ Jikaβ( π₯) = β5π₯2
+ π₯,makaββ²( π₯) =
π
ππ₯
(β5π₯2)+
π
ππ₯
( π₯) = β10π₯ + 1
ο§ jikaπ¦ = 3π₯4
β 2π₯3
+ 5π₯ + 1,makaπ¦β²
=
π
ππ₯
3π₯4
β
π
ππ₯
2π₯3
+
π
ππ₯
5π₯ +
π
ππ₯
1
π
ππ₯
(10π₯5
β 3π₯) =
π
ππ₯
(10π₯5)β
π
ππ₯
3π₯ = 50π₯4
β 3
LATIHAN 5.2
Untuk masalah 1-10, gunakan beberapa aturan fungsi yang konstan untuk
menemukan turunan fungsi yang diberikan.
1. π( π₯) = π₯7
+ 20π₯10
4. πΆ( π₯) = 1000 + 200π₯ β 40π₯2
2. β( π₯) = 30 β 5π₯2
5. π¦ =
β15
π₯
+ 25
3. π( π₯) = π₯100
β 40π₯5
6. π ( π‘) = 16π‘2
β
2π‘
3
+ 10
7. π( π₯) =
π₯100
25
β 20β π₯ 9. π( π£) = π£
2
5 + 7 β 15π£
2
5
8. π¦ = 12π₯0.2
β 0.45π₯ 10. π( π₯) =
5
2π₯2 +
5
2π₯β2 β
5
2
Untuk masalah 11-15, temukan derivatife numerik yang ditunjukkan
11. ββ²
πππ‘πππ β( π₯) = 30 β 5π₯2
12. πΆβ²
(300) πππ‘πππ πΆ( π₯) = 1000 + 200π₯ β 40π₯2
13. π β²(0)
πππ‘πππ π (π‘) = 16π‘2
β
2π‘
3
+ 10
14. πβ² πππ‘πππ π( π£) = π£
2
5 + 7 β 15π£
2
5
15. πβ²(6)
πππ‘πππ π(π₯) =
5
2π₯2
+
5
2π₯β2
β
5
2
3. C. AturanProduk
Untuk semua π₯ dimana π dan π adalah fungsi terdiferensialkan, fungsi (ππ) dapat
didiferensiasi dengan derivatife yang diberikanoleh :
π
π π
(π( π) π( π)) = π( π) πβ²( π) πβ²
(π)
Dengandemikian, turunan dari produk dua fungsi terdiferensiasi sama dengan
fungsi pertama kali turunan dari fungsi kedua ditambah fungsi kedua kali turunannya
fungsi pertama :
Jikaβ( π₯) = ( π₯2
+ 4)(2π₯ β 3),makaββ²
(π₯)
= ( π₯2
+ 4)
π
ππ₯
(2π₯ β 3) + (2π₯ β 3)
π
ππ₯
( π₯2
+ 4)
= ( π₯2
+ 4)(2)+ (2π₯ β 3)(2π₯)
= 2π₯2
+ 8 + 4π₯2
β 6π₯ = β6π₯2
+ 8
Jika π¦ = (2π₯3
+ 1)(βπ₯2
+ 5π₯ + 10),makaπ¦β²
= (2π₯3
+ 1)
π
ππ₯
(βπ₯2
+ 5π₯ + 10) + (βπ₯2
+ 5π₯ + 10)
π
ππ₯
(2π₯3
+ 1)
= (2π₯3
+ 1)(β2π₯3
+ 1) + (βπ₯2
+ 5π₯ + 10)(6π₯2
)
= (β4π₯4
+ 10π₯3
β 2π₯ + 5) + (β6π₯4
+ 30π₯3
+ 60π₯2)
= β10π₯4
+ 40π₯3
+ 60π₯3
β 2π₯ + 5
Perhatikan pada contoh berikut yang mengubah eksponen negative dan pecahan
membedakan lebih mudah :
π
ππ₯
[( π₯2
β 5)(
π₯
3
+ 2β π₯)] = ( π₯2
β 5)
π
ππ₯
(3π₯2
+ 2π₯
1
2) + (3π₯2
+ 2π₯
1
2)
π
ππ₯
( π₯2
β 5)
= ( π₯2
β 5)(β3π₯β2
+ 2π₯
β
1
2 ) + (3π₯β1
+ 2π₯
1
2)(2π₯)
= ( π₯2
β 5)(β3π₯β2
+ 2π₯
β
1
2 ) + (3π₯β1
+ 2π₯
1
2)(2π₯)
= β3π₯0
+ π₯
3
2 + 15π₯β2
β 5π₯
β
1
2 + 6π₯0
+ 4π₯
3
2
= 5π₯
1
22 + 15π₯β2
β 5π₯
β
1
2 + 3
Anda mungkin memilih untuk menulis jawaban tanpa eksponen negative atau
pecahan.
4. LATIHAN 5.3
Untuk masalah 1-10, gunakan beberapa aturan fungsi yang konstan untuk
menemukanTurunan fungsi yang diberikan.
1. π ( π₯) = (2π₯2
+ 3)(2π₯ β 3)
2. β( π₯) = (4π₯2
+ 1)(βπ₯2
+ 2π₯ + 5)
3. π( π₯) = ( π₯2
β 5)(
3
π₯
)
4. π( π₯) = (50 + 20π₯)(100β 2π₯)
5. π¦ = (
β15
β π₯
+ 25)(β π₯ + 5)
6. π ( π‘) = (4π‘ β
1
2
)(5π‘ +
3
4
)
7. π( π₯) = (2π₯3
+ 2π₯2
)(2β π₯)3
8. π( π₯) =
10
π₯5 β
π₯3
+1
5
9. π( π£) = (π£2
+ 7)(β5π£β2
+ 2)
10. π( π₯) = (2π₯3
+ 3)(3 β βπ₯23
)
Untuk masalah 11-15, temukan derivatife numerik yang ditunjukkan
11. πβ²(1,5)dari π( π₯) = (2π₯2
+ 3)(2π₯ β 3)
12. πβ²(10)dari π( π₯) = ( π₯2
β 5)(
3
π₯
)
13. πβ²(150) dari π( π₯) = (50 + 20π₯)(100β 2π₯)
14.
ππ¦
ππ₯
|
π₯ = 25
dari π¦ = (
β15
β π₯
+ 25)(β π₯ + 5)
15. π1
(2) dari π( π₯) =
10
π₯5 β
π₯3
+1
5
D. Aturan Quotient
Untuk semua x di mana f dan g adalah fungsi terdiferensialkan dan π(π₯) β 0,
π
π
Fungsi terdiferensialkan dengan turunannya diberikan oleh
π
π π
(
π(π)
π(π)
) =
π( π) πβ²( π)βπ( π) πβ²( π)
(π(π)) π , π(π) β π
Jadi, turunan dari hasil bagi dua fungsi terdiferensiasi sama dengan denominator
Fungsi kali turunan dari fungsi pembilang minus fungsi numerator kali turunan dari
fungsi penyebut semua dibagi dengan kuadrat fungsi penyebut, untuk semua bilangan
real π₯ yang fungsi penyebutnya tidak sama dengan nol.
β( π₯) =
β5π₯2
+4
3π₯
Jika maka :
ββ²( π₯) =
(3π₯)
π
ππ₯
(β5π₯2
+ 4) β (β5π₯2
+ 4)
π
ππ₯
(3π₯)
(3π₯2)
6. 4.
ππ¦
ππ₯
|
10
dari π¦ =
β15
π₯
5. πβ²
(1) dari π( π₯) =
π₯100
π₯β5+10
E. ATURAN RANTAI
Jika π¦ = π(π’)dan π’ = π (π₯) adalah fungsi terdiferensialkan π’dan π₯, masing-
masing, maka komposisi dari π dan π, yang didefinisikan oleh π¦ = π (π (π₯)),dapat
dibedakan dengan turunannya yang diberikan oleh
π π
π π
=
π π
π π
β
π π
π π
Atau setara,
π
π π
[ π(π( π))] = πβ²
(π( π))π π
(π)
Perhatikan bahwa π¦ = π (π (π₯)) adalah fungsi fungsi π₯; Artinya, argumen π adalah
fungsinya dilambangkan dengan π (π₯), yang merupakan fungsi dari π₯. Jadi, untuk
menemukan, Anda harus membedakan π terhadap π (π₯) terlebih dahulu, lalu kalikan
hasilnya dengan turunan π (π₯) berkenaan dengan π₯. Contoh berikut menggambarkan
aturan rantai.
Temukan π¦β ketika π¦ = β3π₯4 β 2π₯3 + 5π₯ + 1 dimana π’ = 3π₯4
β 2π₯3
+ 5π₯ + 1
Lalu
π¦β =
ππ¦
ππ₯
=
ππ¦
ππ’
β
ππ’
ππ₯
=
π
ππ’
( π’)
1
2 β
π
ππ₯
(3π₯4
β 2π₯3
+ 5π₯ + 1) =
1
2
π’
β
1
2 β (12π₯3
β 6π₯2
+ 5)
1
2
(3π₯4
β 2π₯3
+ 5π₯ + 1)
β
1
2 β (12π₯3
β 6π₯2
+ 5) =
12π₯3
β 6π₯2
+ 5
2β3π₯4 β 2π₯3 + 5π₯ + 1
Temukanfβ ketikaπ( π₯) = (π₯2
β 8)3
dimana g(x) = π₯2
β 8
Lalu
π
ππ₯
[ π(π( π₯))]=
π
ππ₯
[(π₯2
β 8)3
= πβ²
(π( π₯))πβ²(π₯)]
= 3(π( π₯))
2
πβ²( π₯) = 3( π₯2
β 8)2
β 2π₯ = 6π₯( π₯2
β 8)2
π
ππ₯
(β π₯ + 1)4
= 4(β π₯ + 1)
3 π
ππ₯
(β π₯ + 1) = 4(β π₯ + 1)
3
(
1
2
π₯
β
1
2 ) =
2(β π₯ + 1)
3
β π₯
7. LATIHAN 5.5
Untuk masalah 1-10, gunakan beberapa aturan fungsi yang konstan untuk
menemukan turunan fungsi yang diberikan
1. π( π₯) = (3π₯2
β 10)3
2. π( π₯) = 40(3π₯2
β 10)3
3. β( π₯) = 10(3π₯2
β 10)β3
4. β( π₯) = (β π₯ + 3)
2
5. π( π’) = (
1
π’2 β π’)
3
6. π¦ =
1
( π₯2β8)3
7. π¦ = β2π₯3 + 5π₯ + 1
8. π ( π‘) = (2π‘3
+ 5π‘)
1
3
9. π( π₯) =
10
(2π₯β6)5
10. π( π‘) =
50
β15π‘+120
Untuk masalah 11-15, temukan derivatife numerik yang ditunjukkan.
11. πβ²(10)dimana π( π₯) = (3π₯2
β 10)3
12. ββ²(3) dimana β( π₯) = 10(3π₯2
β 10)β3
13. πβ²(144) dimana π( π₯) = (β π₯ + 3)2
14. πβ²(2) dimana π( π’) = (
1
π’2 β π’)
3
15.
ππ¦
ππ₯
|
4
dimana π¦ =
1
( π₯2β8)3
F. DIFERENSIASI IMPLISIT
Sejauh ini, Anda telah melihat bagaimana menemukan turunan dari sebuah fungsi
hanya jika fungsinya dinyatakan dalam apa
Disebut bentuk eksplisit . Fungsi dalam bentuk eksplisit didefinisikan oleh persamaan
tipe π¦ = π (π₯), di mana π¦ ada di satu sisi persamaan dan semua istilah yang
mengandung π₯ ada di sisi lain. Misalnya,
Fungsi π yang didefinisikan oleh π¦ = π (π₯) = π₯3
+ 5 dinyatakan dalam bentuk
eksplisit. Untuk fungsi ini variable π¦ didefinisikan secara eksplisit sebagai fungsi dari
variable π₯. Disisi lain, untuk persamaan dimana variablel π₯ dan π¦ muncul pada sisi yang
8. sama dengan persamaan, fungsi dikatakan diekspresikan dalam bentuk implisit.
misalnya, persamaan π₯2
π¦ = 1 Mendefinisikan fungsi π¦ =
1
π₯2 Secara implicit dalam
hal π₯. Dalam kasus ini, bentuk implisit dari persamaan Dapat dipecahkan untuk π¦
sebagai fungsi dari π₯; Namun, untuk banyak bentuk implisit, sulit dan kadang tidak
mungkin bias diatasi untuk π¦ dalam hal π₯.Di bawaha sumsiitu
ππ¦
ππ₯
, turunan dari π¦
sehubungan dengan π₯, ada, Anda dapat menggunakan
Teknik diferensiasi implicit untuk menemukan
ππ¦
ππ₯
Ketika sebuah fungsi dinyatakan
dalam bentuk implisit-Terlepas dari apakah Anda dapat mengekspresikan fungsinya
dalam bentuk eksplisit. Gunakan langkah berikut:
1. Bedakan setiap istilah pada kedua sisi persamaan terhadap π₯.
2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk
ππ¦
ππ₯
Masalah Mengingat persamaan π₯2
+ 2π¦3
= 30, gunakan diferensiasi implicit untuk
menemukan
ππ¦
ππ₯
Solusi Langkah 1: Bedakan setiap istilah pada kedua sisi persamaan sehubungan dengan
π₯:
π
ππ₯
( π₯2
+ 2π¦3) =
π
ππ₯
(30)
π
ππ₯
( π₯2)+
π
ππ₯
(2π¦3) =
π
ππ₯
(30)
2π₯ + 6π¦2
ππ¦
ππ₯
= 0
Langkah 2: Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk
6π¦2
ππ¦
ππ₯
= β2π₯
ππ¦
ππ₯
=
β2π₯
6π¦2
Perhatikan bahwa dalam contoh ini,
ππ¦
ππ₯
Dinyatakan dalam bentuk π₯ dan π¦.
Mengevaluasi π derivatif, Anda perlu mengetahui keduanya π₯ dan π¦ pada titik tertentu
(π₯, π¦). Anda bias menunjukkan derivatife numeric seperti
ππ¦
ππ₯
|
(π₯,π)
. Contoh berikut
mengilustrasikan situasi ini.