อนุกรมอนันต์

1. 1
แผนที่ 6 อนุกรมอนันต์
อนุกรมอนันต์
ถ้า 1a , 2a , 3a , ..., ka เป็นลาดับจากัดที่มี k พจน์ แล้ว 1 2 3 ka a a ... a    เป็นอนุกรม
จากัด (finite series)
ถ้า 1a , 2a , 3a , ..., na , ... เป็นลาดับอนันต์ แล้ว 1 2 3 na a a ... a ...     เป็นอนุกรมอนันต์
(infinite series)
ผลบวกของอนุกรมอนันต์
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต
ให้ nS        1 1 1 1a a d a 2d ... a n 1 d       
nS   1
n
2a n 1 d
2
   
nS   1 1
n
a a n 1 d
2
    
nS   1 n
n
a a
2

ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
ให้ nS  2 3 n 2 n 1
1 1 1 1 1 1a a r a r1 a r ... a r a r 
     
nS 
 n
1a r 1
,
r 1


r 1 เหมาะสาหรับ r 1
หรือ nS 
 n
1
n
a 1 r
,
1 r


r 1 เหมาะสาหรับ r 1

2. 2
บทนิยาม กาหนด 1 2 3 na a a ... a ...     เป็นอนุกรมอนันต์
ให้ 1S  1a
2S  1 2a a
3S  1 2 3a a a 
.
.
.
nS  1 2 3 na a a ... a ...    
เรียก nS ว่า ผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวก เรียกลาดับอนันต์
1S , 2S , 3S , ..., nS , ... ว่า ลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม (a sequence of partial sums)
ตัวอย่างที่ 1 กาหนด  4 7 10 ... 3n 1 ...      จงหาลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม
วิธีทา ให้ 1S  4
2S  4 7  11
3S  4 7 10   21
nS   4 7 10 ... 3n 1    
    
n
2 4 n 1 3
2
    
  
n
8 3n 3
2
 
  
n
3n 5
2

ดังนั้น ลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 4, 11, 21, ...,  
n
3n 5 ,
2
 ...

3. 3
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด n
1 1 1 1
... ...
2 4 8 2
     จงหาลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม
วิธีทา ให้ 1S 
1
2
2S 
1 1
2 4
 
3
4
3S 
1 1 1
2 4 8
  
7
8
nS  n
1 1 1 1
...
2 4 8 2
   

n
1 1
1
2 2
1
1
2
  
  
   

 n
1
1
2

ดังนั้น ลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรมคือ
1
,
2
3
,
4
7
,
8
..., n
1
1 ,
2
 ...
บทนิยาม กาหนดอนุกรมอนันต์ 1 2 3 na a a ... a ...     ให้ 1S , 2S , 3S , ..., nS , ... เป็นลาดับ
ของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ ถ้าลาดับ nS เป็นลาดับลู่เข้า และ n
lim
 nS  S เมื่อ S
เป็นจานวนจริง แล้วอนุกรม 1 2 3 na a a ... a ...     เป็นอนุกรมลู่เข้า (convergent
series) เรียก S ว่า ผลบวกของอนุกรม ถ้าลาดับ nS เป็นลาดับลู่ออก แล้วอนุกรม
1 2 3 na a a ... a ...     เป็นอนุกรมลู่ออก (divergent series)
จากตัวอย่างที่ 1
 4 7 10 ... 3n 1 ...     
ลาดับ 4, 11, 21, ...,  
n
3n 5 ,
2
 ... เป็นลาดับลู่ออก
ดังนั้น  4 7 10 ... 3n 1 ...      เป็นอนุกรมลู่ออก

4. 4
จากตัวอย่างที่ 2 n
1 1 1 1
... ...
2 4 8 2
    
ลาดับ
1
,
2
3
,
4
7
,
8
..., n
1
1 ,
2
 ... เป็นลาดับลู่เข้า
n
lim
 nS  nn
1
lim 1
2
 
 
 
 1
ดังนั้น n
1 1 1 1
... ...
2 4 8 2
     เป็นอนุกรมลู่เข้า
การแสดงว่าอนุกรมอนันต์ใดเป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก ทาได้ดังนี้
1. พิจารณาลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม หาสูตรผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม
2. พิจารณาลิมิตของลาดับ nS ถ้า n
lim
 nS หาค่าได้ อนุกรมนั้นเป้นอนุกรมลู่เข้า ถ้าลาดับ nS ไม่
มีลิมิต อนุกรมนั้นเป็นอนุกรมลู่ออก
ทฤษฎีบท ให้อนุกรมเรขาคณิตมีพจน์แรกเป็น 1a และ r เป็นอัตราส่วนร่วม
ถ้า r 1 แล้วอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า และมี 1a
1 r
เป็นผลบวกของอนุกรม
ถ้า r 1 แล้วอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก
ข้อสังเกต อนุกรมเรขาคณิตที่มี 1 r 1   เป็นอนุกรมลู่เข้า
อนุกรมเรขาคณิตที่มี r 1  หรือ r 1 เป็นอนุกรมลู่ออก

5. 5
กิจกรรมที่ 1.2 ก
1. จงหาลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม และบอกว่าอนุกรมใดเป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่าใด
1)
n 1
3 1 1 3 1
... ...
2 2 6 2 3

 
     
 
2)
n 1
4 8 2
2 ... 2 ...
3 9 3

 
     
 
3) 4 8 12 ... 4n ...    
4)  
n 11 3 9 1
... 3 ...
4 4 4 4

    
5)
n 1
3 9 27 3
1 ... ...
4 16 64 4

 
     
 
6)
n 1
2 4 8 2
1 ... ...
3 9 27 3

 
      
 
2. ลาดับเลขคณิตลาดับหนึ่งมีผลบวก 5 พจน์แรก และผลบวก 15 พจน์แรก เท่ากันคือ 75 จงหาพจน์
ที่ 10 ของลาดับนี้
3. ถ้า S  200, 201, 202, ..., 400 จงหาผลบวกทั้งหมดของจานวนในเซต S ที่หารด้วย 8 ลง
ตัว แต่หารด้วย 12 ไม่ลงตัว
4. ในการปล่อยจรวดสู่อวกาศเหนือระดับน้าทะเล วินาทีแรกจรวดขึ้นไปได้สูง 45 ไมล์ ในวินาทีต่อๆ ไป
ความสูงของจรวดจะลดลงวินาทีละ 5 ไมล์ จงหาว่านานเท่าใดจรวดอยู่เหนือระดับน้าทะเล 210
ไมล์
5. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 5 พจน์แรก ของอนุกรมต่อไปนี้
1) 54 36 18 ...  
2) 54 36 24 ...  
3)
1 1
3 2 2 ...
2 12
  
4) 1 11 111 1111 ...   

6. 6
6. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม
1
1 3 9 ...
3
   
7. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีด้านยาวด้านละ 10 เซนติเมตร สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สอง ให้จุดยอด
มุมอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสี่ของรูปที่หนึ่ง สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สาม ให้จุดยอดมุมอยู่ที่จุดกึ่งกลาง
ของด้านทั้งสี่ของรูปที่สอง ทาเช่นนี้เรื่อยไป จงหาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด
8. ในการเช่าซื้ออาคารสงเคราะห์ ปีแรกเสียค่าเช่าเดือนละ 5,000 บาท ปีที่สองเสียค่าเช่าลดลง 10%
ของค่าเช่าปีแรก ปีที่สามเสียค่าเช่าลดลงอีก 10% ของค่าเช่าปีที่สอง จงหาโดยใช้เครื่องคานวณ
1) ค่าเช่าอาคารสงเคราะห์ในปีที่ 10 เดือนละเท่าไร
2) ค่าเช่าทั้งหมดในเวลา 10 ปี
9. ในการกาจัดศัตรูพืชแห่งหนึ่ง เมื่อฉีดยาทาลายหนึ่งครั้งก็จะกาจัดศัตรูพืชได้เพียง 75% ของปริมาณ
ศัตรูพืชที่มีอยู่ในขณะนั้นเสมอ จงหาว่าจะกาจัดศัตรูพืชได้เป็นจานวนกี่เปอร์เซ็นต์ของปริมาณที่มีอยู่ก่อนการ
กาจัดเมื่อ
1) ฉีดยาทาลาย n ครั้ง
2) ฉีดยาทาลายครบ 5 ครั้ง
10. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม
1 3 5 7
...
2 4 8 16
   
11. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้
1)
1 4 7 10
...
3 9 27 81
   
2) n
3 5 7 2n 1
... ...
2 4 8 2

    
12. อนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหนึ่งมีพจน์ที่สองเท่ากับ 6 และผลบวกอนันต์เท่ากับ 24 จงหาอนุกรมนี้

7. 7
13. ลูกปิงปองตกจากโต๊ะสูง 4 ฟุต ถ้าทุกครั้งที่ลูกปิงปองตกกระทบพื้นจะกระดอนขึ้นเป็นระยะทาง
3
4
ของความสูงที่ตกมา จงหาระยะทางทั้งหมดที่ลูกปิงปองเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
14. การเคลื่อนที่ของชิงช้าเป็นเส้นโค้ง ครั้งแรกแกว่งได้ระยะทาง 240 เซนติเมตร ครั้งต่อไปแกว่งได้
ระยะทาง
9
10
ของระยะทางครั้งก่อนเสมอ จงหาระยะทางที่ชิงช้าเริ่มแกว่งจนหยุด
15. จงหาผลบวกของอนุกรม
1 1 1 1
log2 log4 log8 log16 ...
4 8 16 32
   
16. อนุกรมอนันต์อนุกรมหนึ่ง มีพจน์ที่สองเท่ากับพจน์ที่ 10 และผลบวกอนันต์เท่ากับ 9 จงหา
อัตราส่วนร่วมของอนุกรมนี้
17. จงเขียนทศนิยมซ้าต่อไปนี้ในรูปเศษส่วน
1) 0.45
2) 0.4567
สัญลักษณ์แทนการบวก
อักษรกรีก  เรียกว่า ซิกมา เป็นสัญลักษณ์แทนการบวก
ซึ่ง
n
i
i 1
a

  1 2 3 na a a ... a   
i
i 1
a


  1 2 3 na a a ... a ...    

8. 8
สมบัติของ 
1.
n
i 1
c

  nc
2.
n
i
i 1
ca

 
n
i
i 1
c a


3.  
n
i i
i 1
a b

 
n n
i i
i 1 i 1
a b
 
 
4.  
n
i i
i 1
a b

 
n n
i i
i 1 i 1
a b
 
 
การใช้  หาผลบวก
1 2 3 ... n    
n
i 1
i

   
n
n 1
2

2 2 2 2
1 2 3 ... n    
n
2
i 1
i

    
n
n 1 2n 1
6
 
3 3 3 3
1 2 3 ... n    
n
3
i 1
i

   
2
n
n 1
2
 
  
ตัวอย่าง
1.
5
i 1
4

  5 4  20
2.
3
i 1
4n

 
3
i 1
4 n


  4 1 2 3 
3.  
4
2
i 1
n n 2

  
4 4 4
2
i 1 i 1 i 1
n n 2
  
   
    2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 4 2        

9. 9
กิจกรรมที่ 1.2 ข
1. จงเขียนในรูปการบวก
1)  
5
i 1
i 3

     1 3 2 3    ……………………………………………………………………………………..
2)  
4
k 1
2k 5

       2 1 5 2 2 5   ………………………………………………………………………
3)  
4
2
m 2
6 m

       2 2
6 2 6 1      ………………………………………………………………..
4)  
3
i 0
5 i 3

   5 0 3 ………………………………………………………………………….…………………..
5)  
i 15
i 1
3 2


   
1 1
3 2

 ……………………………………………………………………………..…………………..
6)
i4
i 1
1
5
3
 
 
 
 
1
1
5
2
 
 
 
……………………………………………………………………………..…..……………….
7)  
4
2
k 1
2k k

    2
2 1 1  …………………………………………………………………………..…………..
8)
4
k 0
k 1
k 1


 
0 1
0 1



………………………………………………………….………………………..…………………..
9)
4
2
n 1
2n 1
n

 
 
2
2 1 1
1

 ………………………………………………………..…………………..…………………..
10)  
3
2
i 1
i i 1

   2
1 1 1  ………………………………………………………………………..…………..………..
11)   
13
k 11
k 6 k 7

     11 6 11 7   ……………………………………………………..……………….
12)  
12
2
k 10
k 4

  ……………………………………………………………………………..……….……………….……..
2. จงเขียนอนุกรมต่อไปนี้ในรูปสัญลักษณ์แทนการบวก
1)  1 2 2 3 3 4 4 5 ... n n 1           ………………………………………..……….……………….……
2)  
22 2 2 2
1 3 5 7 ... 2n 1 ...        ………………………………………..……….……………….……..
3)
 
1 1 1 1 1
... ...
2 6 12 20 n n 1
     

 ………………………………………..……….……………….……..
4) n
1 2 3 n
... ...
5 25 125 5
      ………………………………………..……….……………….…………………….
5) 2 1 3 2 2 3 n 1 n
... ...
1 2 2 3 3 2 n n 1
    
    
    
 …………………………………………………

10. 10
3. จงหาค่าของ
1)  
4
2
k 1
k 3

         2 2 2 2
1 3 2 3 3 3 4 3      
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
2)  
4
2
k 1
k 3

 ………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
3)  
49
k 0
50

 ……………………………………………………………………………………………….…………………..
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
4)  
52
k 50
k k 5

       50 50 5 51 51 5 52 52 5    
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
4. ถ้าพจน์ที่ n ของอนุกรมเลขคณิตหนึ่ง คือ 5n 2 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมนี้
5. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 2 2 2 2 2
1 3 5 7 9 ...    
6. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 3 3 3 3
2 5 8 11 ...   
7. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้
1) 2 4 10 28 ...   
2) 1 5 13 29 ...   
8. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 2 3 5 8 8 13 11 18 ...       
9. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม 1 3 6 10 15 ...    

11. 11
10. จงหาผลบวกของอนุกรม
  1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... n n 1 n 2 ... 20 21 22               
11. กาหนดอนุกรม 2 2 3
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 ...
3 3 3 3 3 3
     
              
     
จงหา
1) พจน์ที่ n
2) ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม
3) ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรม
12. กาหนด  
30
n 1
a n 1 d

     5,865 และ  
20
n 1
a n 1 d

     2,610 จงหา
 
50
n 1
a n 1 d

   
13. จงหาค่าของ
1)  
7
2
n 1
n 4n 1

 
2)
 
 
n
n 2
n 1
1 cosn
3 1



   
 
  

3)
 
 
n
n 1
n 3
n 1
sin n 1
2
1 5




  
    
  
  
  

14. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม แล้วพิจารณาว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า
หรือไม่ ถ้าเป็นจงหาผลบวกของอนุกรม
1)
  
n
i 1
1
2i 1 2i 1  
 
  
1 1 1 1 1
...
1 3 3 5 5 7 5 7 2n 1 2n 1
    
     
2)
 
n
i 1
1
i i 4 
 
1
1 5


………………………………………………………………………………………………………

12. 12
15. จงหาผลบวกของอนุกรมในแต่ละข้อต่อไปนี้
1)
  n 1
1
4n 3 4n 1

  

2)  
 
n 1
n 1
2n 1
1
n n 1







3)
  n 1
1
n n 1 n 2

  

16. กาหนดให้ลาดับ na สอดคล้องกับสมการ
1 2 3 na 2a 3a ... na    
n 1
n 2


ทุก n 1 จงหาค่าของ n
n 1
a



17. กาหนดให้  a R 1
  และ
3 n
2 2 2 2
a a a a
log a log a log a ... log a     2,970
จงหาค่าของ  1 3 5 ... 2n 1
2 4 6 ... 2n
    
   
18. กาหนดให้ π
0 θ
2
  และ 2 3 4
sinθ sin θ sin θ sin θ ...    
1
4
จงหาผลบวกของอนุกรม 2 3
cosθ cos θ cos θ ...  
19. กาหนดให้ na       k
1
1 2 2 3 3 3 ... n n ... n
n
           
โดยที่ k เป็นค่าคงตัว ที่ทาให้ n
lim

na  L, L 0 แล้ว  6 L k มีค่าเท่าไร
20. กาหนดให้ na 
n 1 n 1
n
2 3
4
 

และ nb 
1
1 2 ... n  
ถ้า A และ B เป็นผลบวกของอนุกรม n
n 1
a


 และ n
n 1
b


 ตามลาดับ แล้ว A B มีค่าเท่าไร

13. 13
21. กาหนดให้ na และ nb เป็นลาดับ ซึ่งมีเงื่อนไขดังนี้
na 
2
3n
n 1
เมื่อ n 500 nb  3 เมื่อ n 500
6 เมื่อ n 500
2
3n n 1
n 7
 

เมื่อ n 500

14. 14
กิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ
1. จงตรวจสอบว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก ถ้าเป็นอนุกรมลู่เข้า จงหาผลบวก
ของอนุกรมนั้น
1) 1 1
4 1 ...
4 16
   
2) 3 9 27
1 ...
2 4 8
   
3) 5 7 9
3 ...
2 3 4
   
4) 3 4
3 3 3 3 ...   
5)
  n 1
1
4n 3 4n 1

  

6)
 
22
n 1
2n 1
n n 1





7)
n
3
n 1
e
n


 
2 3 4
e e e
e ...
8 27 64
   
8)
n 1
1
n n 1

  

9)
n 1
n
ln
n 1

 

10) n n
n 1
1 1
2 5


 
 
 


15. 15
2. จงตรวจสอบว่าอนุกรมในข้อใดเป็นอนุกรมลู่เข้า ลิอนุกรมในข้อใดเป็นอนุกรมลู่ออก
1)
k
k 1
k
2k 100


 
 
 

2)
k
k 1
3k
2k 1


 
 
 

3)
 
k 1
k
k 0
2
3 k 1

 

4)
k
k 1
k 0
k
5




5)
k
k 1
10
k!



6) 2
k 1
k!
k



7)
 
2
2
2
k 1
k
2k 1

 

8)
  
2
k 1
k
k 2 k 4

  

9) 4
k 1
3 cosk
k




10) 3
k 1
k 1
k 1





11)
k 1
1
1 k

 

12)
  
2
k 1
k 3
k k 1 k 2



 


16. 16
แบบทดสอบก่อนเรียน – หลังเรียน
จงเลือกคาตอบที่ถูกต้อง
1. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. na 
n 1
n 1 n 1

  
เป็นลาดับลู่ออก
ข. na 
n
1 r
1 r


เป็นลาดับลู่ออก เมื่อ r 1
ค.
n
1 1 1 1
... ...
10 100 1000 10
 
       
 
เป็นอนุกรมลู่เข้ามีผลบวกเท่ากับ 1
11

ข้อใดต่อไปนี้สรุปเกี่ยวกับข้อความข้างต้นได้ถูกต้อง
1. ก และ ข เป็นจริง
2. ก และ ค เป็นจริง
3. ข และ ค เป็นจริง
4. ก, ข และ ค เป็นจริง
2.  
7
2
n 1
n 2

 มากกว่า
 
 
nn
n 2
n 1
1 cosn
3 1



   
 
  
 อยู่เท่าไร
1. 33
2. 54
3. 56
4. 58
3. ลาดับในข้อใดเป็นลาดับลู่ออก
1. na  2 21 1
sin cos
n n

2. na 
 
n 1
1
2n 1



3. na   
n 1 n 1
1
n
  
  
 
4. na 
n
2
3
 
 
 

17. 17
4. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ถ้า 1 2 3a a a ...   เป็นอนุกรมเรขาคณิต และ nS 
n
k
k 1
a

 แล้ว n
lim

nS หาค่าได้เสมอ
2. ถ้า na เป็นพจน์ที่ n ของลาดับ ซึ่งมี n 1 na a  สาหรับทุกๆ n แล้วลาดับนี้เป็นลาดับลู่ออก
3. ให้ na เป็นลาดับซึ่งกาหนดโดย na 1 เมื่อ n เป็นจานวนคี่ และ na  2
n 1
n 3


เมื่อ n เป็น
จานวนคู่ แล้ว na เป็นลาดับลู่เข้า
4. ผลบวกของอนุกรม 2 3 4
5 12 22 35
1 ...
3 3 3 3
     เท่ากับ 45
8
5. ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง
1. 2 3 4
1 1 1 1
...
2 2 2 2
    เป็นอนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 2
2. ถ้า a 0 แล้วอนุกรม
2 3
a a a
1 ...
1 a 1 a 1 a
   
      
     
เป็นอนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ
2
3. 1 2 3 4
ln ln ln ln ...
2 3 4 5
    เป็นอนุกรมลู่ออก
4. ถ้า na เป็นลาดับซึ่ง n
lim

na  0 แล้ว n
1
0 a
n
  สาหรับทุกค่าของ n
6. ผลบวก 18 พจน์แรกของอนุกรม 1 9 25 49 81 ...     เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 7,734
2. 7,751
3. 7,753
4. 7,770
7. ผลบวกของอนุกรม 3 n3 3 3 3
log 3 log 3 log 3 ... log 3    เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.  
1
n 1 log3
2

2.  
n
n 1 log3
2

3.  
1
n 1
2

4.  
n
n 1
2


18. 18
8. กาหนดอนุกรม 2 3
A:1 m m m ...    และ 2 4 6
B:1 m m m ...    ถ้าทั้ง A และ B เป็น
อนุกรมลู่เข้า ผลบวกของอนุกรม A เป็นสองเท่าของผลบวกของอนุกรม B แล้ว m มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 1
2. 1 m 1  
3. 1
4. ข้อมูลที่ให้มาไม่ถูกต้อง
9. กาหนด c เป็นค่าคงตัว และถ้า
 
3 2
3 nn
5cn 3n 5c 1 1 1
lim 1 ... ...
2 4 2n 1
 
     

แล้ว c เท่ากับข้อใด
ต่อไปนี้
1. 2
5
2. 1
5
3. 1
10
4. 1
20
10. กาหนดอนุกรม
 
5 5 5 5
A : ... ...
1 2 2 3 3 4 n n 1
    
   
1 1 1 1
B:1 ... ...
2 3 4 n
     
n 1
27 3
C:15 9 ... 15 ...
5 5

 
     
 
ข้อใดต่อไปนี้สรุปเกี่ยวกับอนุกรมข้างต้นได้ถูกต้อง
1. อนุกรมทั้งสามเป็นอนุกรมลู่เข้าทั้งหมด
2. อนุกรม A และ B เท่านั้นเป็นอนุกรมลู่เข้า
3. อนุกรม A และ C เท่านั้นเป็นอนุกรมลู่เข้า
4. ลิมิตของลาดับของพจน์ของอนุกรม B มีค่าเท่ากับศูนย์ จึงทาให้อนุกรม B เป็นอนุกรมลู่เข้า

19. 19
11. ลิมิตของลาดับ na 
1
3
2
43
1
1 3 n
n
5 n n
  
   
  
 
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 0
2. 1
5
3. 3
5
4. หาค่าไม่ได้
12. ถ้า        2 3 n
a a a alog ax 2log a x 3log a x ... nlog a x 110     แล้ว x มีค่าเท่ากับข้อใด
ต่อไปนี้
1. 10
1
a
2. 5
1
a
3. 5
2
1
a
4. 5
4
1
a
13. ข้อใดต่อไปนี้เป็นเซตคาตอบของอสมการ  3 3 3 3log x log 2x log 4x log 8x ... 1    
1.  0, 3
2.  3,
3.  0,3 3
4.  3 3,
14. ข้อใดต่อไปนี้เป็นเซตคาตอบของอสมการ
2 3 9 10
1 1 1 1
... 1
log x log x log x log x
    
1.  0,1
2.  10!,
3.    0,1 10!, 
4.    0,1 1, 

20. 20
15. ผลบวกของอนุกรม
 n
n 1
5 3
2 n n 1


 
 
  
 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 0
2. 2
3. 4
4. 5
16. ถ้า
  
15
n 2
2 a
n 2 n 1 b

 
 โดยที่ a และ b เป็นจานวนเต็ม ซึ่ง ห.ร.ม. ของ a และ b เป็น 1 แล้ว
a b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 240
2. 329
3. 569
4. 580
17. กาหนดให้ na 
n
1
1
2i
 
 
 
และ nb 
n
1
1
2i
 
 
 
เมื่อ 2
i 1  ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1. n n
n n
lim a lim b
 

2. n n
n
lim a b 0

 
3. n n
n
lim a b 1


4. n
n
n
a
lim 1
b

18. ผลบวกของอนุกรมจากัด 1 40 3 38 5 36 ... 39 2        เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 5,740
2. 6,480
3. 17,220
4. 18,060

21. 21
19. ให้ na เป็นลาดับของจานวนจริงโดยที่ na 
 
 
ln n 2
ln n 1


ทุก n 1 และให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่ง
นิยามโดย   x
f x e ถ้า y 
n
2009
n 1 a
1
log e
 แล้วค่าของ  f y เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. ln2007
2. ln2008
3. ln2010
4. ln2011
20. กาหนดเศษที่ได้จากการหาร  
80
2
n 3
k! k 3k 1

  ด้วย 2,550 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2,510
2. 2,520
3. 2,530
4. 2,540
21. กาหนดพจน์ที่ n ของลาดับสองลาดับ ดังนี้
na 
 
 2 2 2 2
n 1 2 3 ... n
3 1 2 3 ... n
   
   
nb 
3n 2 3n 1
n 2 n 1
  
  
 n n
n
lim a b

 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 1
1
3

2. 1 3
3. 1 1
2 3

4. 1
3
2


22. 22
22. ถ้า na เป็นลาดับซึ่ง a 0 และ
2
n 1
n
n 1 n
a
a
a 2a




สาหรับทุกจานวนเต็มบวก n แล้ว
10
n
n 11
1
a
a 
 มี
ค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 511
2. 512
3. 1,023
4. 1,024
23. ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวก ซึ่งทาให้ 3 n
2
2 2 2
1 log 2 log 2 ... log 2 n 21      แล้ว
2 n
1 2 2 ... 2    มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 63
2. 127
3. 255
4. 511
24. ผลบวกของอนุกรม 2 2 2 2
1 2 2 3 3 4 ... 19 20        เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 40,130
2. 42,230
3. 42,130
4. 43,120
25. ให้ na เป็นลาดับของจานวนจริงบวกที่สอดคล้องสมการ    n n 1loga loga
n n 1a a 
 เมื่อ n 1
1a 8 และ 2a 16 แล้ว 2 2554log a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
2554
3
4
4
 
 
 
2.
2553
3
4
4
 
 
 
3.
2553
4
4
3
 
 
 
4.
2554
4
4
3
 
 
 