1. เรื่อง อัตราส่วนร่วม
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ ลาดับ พจน์ที่ 2 พจน์ที่ 3 พจน์ที่ 4 พจน์ที่ n อัตราส่วน
พจน์ที่ 1 พจน์ที่ 2 พจน์ที่ 3 พจน์ที่ n ลบหนึง
่ ร่วม
1 5, 10. 20, 40, . . . , 5(2)n – 2, 10
 2
20
 2
40
 2 5(2) n - 1
 2
2
5 10 20
5(2)n – 1, . . . 5(2) n-2
2 2, 12, 72, 432, . . ., 2(6)n – 2,
2(6)n – 1, . . .
3 1, 3, 9, 27, . . . , 3n – 2, 3n – 1,
...
4 8, 16, 32, 64, . . . , 8(2)n – 2,
8(2)n – 1, . . .
5 7, -7, 7, -7, . . . , (-1)n(7),
(-1)n + 1(7), . . .
6 5, 0.5, 0.05, 0.005, . . . ,
n-2 n -1
5 1 
   
1
, 5  10  ,...
 10   
สรุป ลาดับเรขาคณิต…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………..

2. 83
เฉลยเอกสารแนะแนวทางที่ 5
เรื่อง อัตราส่วนร่วม
ข้อที่ พจน์ที่ 2 พจน์ที่ 3 พจน์ที่ 4 พจน์ที่ n อัตราส่วนร่วม
พจน์ที่ 1 พจน์ที่ 2 พจน์ที่ 3 พจน์ที่ n - 1
2 12
 6
72
 6
432
 6 2(6) n - 1
 6
6
2 12 72 n-2
2(6)
3 3
 3
9
 3
27
 3 3n - 1
 3
3
1 3 9 3 n-2
4 16
 2
32
 2
64
 2 8(2) n - 1
 2
2
8 16 32 n-2
8(2)
5 7
 -1
7
 -1
7
 -1 (1) n  1 (7)
 -1
-1
7 7 7 n
(1) (7)
6 0.5
 0.1
0.05
 0.1
0.005
 0.1 1 
5 
n -1
0.1
5 0.5 0.05
 10 
 0.1
n-2
1 
5 
 10 
สรุป ลาดับเรขาคณิต คือ ลาดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n + 1 ต่อพจน์ที่ n
หรือพจน์หลังต่อพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่ ค่าคงที่นี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม
(Common Ratio)

3. 84
แบบฝึกหัดที่ 5
คาชี้แจง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ ลาดับ อัตราส่วนร่วม ลาดับเรขาคณิต
เป็น ไม่เป็น
1 4, 8, 16, 32, . . . 2 / -
2 3. 6, 9, 12, . . . , 3n - - /
3 3, 18, 108, . . . , 3(6)n – 1, . . .
4 5, 12, 19, . . . , 7n – 2 , . . .
5 1, 4, 16, 64, . . . 4n – 1, . . .
6 6, 12, 24, 48, . . . , 6(2)n – 2, 6(2)n – 1, . . .
7 7, 14, 28, 56, . . . 7(2)n – 1
8 3, 9, 27, 81, . . . , 3n, . . .
9 5, 15, 45, 135, . . . , 5(3)n – 2, 5(3)n – 1, . . .
10 6, 10, 14, 18, . . . , 4n + 2

4. 85
เฉลยแบบฝึกหัดที่ 5
ข้อที่ อัตราส่วนร่วม ลาดับเรขาคณิต
เป็น ไม่เป็น
3 6 / -
4 - - /
5 4 / -
6 2 /
7 2 / -
8 - - /
9 3 / -
10 - - /

5. 86
ใบความรู้ที่ 5
การหาพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต
จากลาดับเรขาคณิต 2, 10, 50, 250, . . . พิจารณาความสัมพันธ์ของพจน์ต่าง ๆ กับ
พจน์ที่ 1 และอัตราส่วนร่วม (r) ดังนี้
a1 = 2
a2 = 10 = 2(5)1 = 2(5)2 – 1
a3 = 50 = 2(5)2 = 2(5)3 – 1
a4 = 250 = 2(5)3 = 2(5)4 – 1
..
.
ab = 2(5)n – 1
ถ้าให้ r = 5 , a1 = 2
จะได้ an = a1 (r)n – 1
 สูตรการหาพจน์ที่ n (an) หรือพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต คือ
an = a1 rn – 1
เมื่อ an เป็นพจน์ที่ n
r เป็นอัตราส่วนร่วม
a1 เป็นพจน์ที่ 1
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดลาดับเรขาคณิต คือ 4, 16, 64, 256, . . . จงหาพจน์ที่ n (an)
วิธีทา จากลาดับเรขาคณิต 4, 16, 64, 256, . . .
จะได้ a1 = 4 , r = 16 = 4 4
จากสูตร an = a1 r n - 1
= 4(4)n - 1
= 4n

6. 87
1
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดลาดับเรขาคณิต a1 = 9
และ a6 = 27 จงหาอัตราส่วนร่วม
วิธีทา จากสูตร an = a1 r n - 1
 a6 = a1 r 6 – 1
a6 = a1r5
แทนค่า 27 = 1 (r)5
9
27  9 = r5
33  33 = r5
35 = r5
 r = 3
 อัตราส่วนร่วมเท่ากับ 3
1 2
ตัวอย่างที่ 3 กาหนดลาดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 
3
และ a10 =
39
จงหาพจน์ที่ 1 (a1)
วิธีทา จากสูตร an = a1rn – 1
 a10 = a1r10 – 1
a10 = a1r9
9
2  1
แทนค่า = a1  
39  3
2
= a1  - 1 

 9

39 3 
 a1 = 2
 พจน์ที่ 1 (a1) เท่ากับ 2

7. 88
แบบฝึกหัดที่ 6
คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทา แก้โจทย์ปัญหาต่อไปนี้
1. กาหนด a1 = 6 และ r = 6 จงหาลาดับเรขาคณิตนี้
2. กาหนด a1 = 1 และ r = 7 จงหาลาดับเรขาคณิตนี้
3. กาหนด a1 = 2 และ r = 3 จงหาลาดับเรขาคณิตนี้
4. กาหนด a1 = 3 และ r = -2 จงหา a5 ของลาดับเรขาคณิต
1
5. กาหนด a1 = 2 และ r =  จงหา a10 ของลาดับเรขาคณิต
2
1
6. กาหนด a1 = -3 และ r = จงหา a5 ของลาดับเรขาคณิต
4
7. กาหนดลาดับเรขาคณิต มี a1 = 1 และ a5 = 81 จงหาอัตราส่วนร่วม
8. กาหนดลาดับเรขาคณิต มี a1 = 10 และ a7 = 640 จงหาอัตราส่วนร่วม
9. กาหนดลาดับเรขาคณิต มี r = 5 และ a5 = 2,500 จงหา a1
10. กาหนดลาดับเรขาคณิต มี r = -1 และ a8 = -2 จงหา a1

8. 89
เฉลยแบบฝึกแบบหัดที่ 6
1) 6, 36, 216, . . .
2) 1, 7, 49, . . .
3) 2, 6, 18, . . .
4) 48
1
5) 512
3
6) 
256
7) 4
8) 2
9) 4
10) 2

9. 90
ใบความรู้ที่ 6
การหาจานวนพจน์ของลาดับเรขาคณิต
ในการหาจานวนพจน์ของลาดับเรขาคณิต ใช้สูตร an = a1 rn – 1 ซึ่งเราจะต้องทราบ
พจน์ที่ 1 (a1) , อัตราส่วนร่วม (r) และพจน์ที่ n (an) ก่อนเสมอ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาว่าลาดับเรขาคณิต 3, 6, 12, . . ., 6144 มีกี่พจน์
วิธีทา จากลาดับเรขาคณิต 3, 6, 12, . . ., 6144 จะได้
a1 = 3 , r = 6 = 2 และ an = 6,144
3
จากสูตร an = a1 rn – 1
แทนค่า 6,144 = 3(2)n – 1
2048 = 2n - 1
211 = 2n - 1
 n–1 = 11
 n = 12
ดังนั้น ลาดับเลขคณิต 3, 6, 12, . . ., 6144 มี 12 พจน์
ตัวอย่างที่ 2 224 เป็นพจน์ที่เท่าใดของลาดับเรขาคณิต
243
7,
14 28
3
,
9
, ...
2 224
วิธีทา จากโจทย์ จะได้ a1 = 7 , r = 3
และ a = n
243
จากสูตร an = a1 rn – 1
n -1
224 2
แทนค่า 243
= 7 
3
n -1
224 2
243  7
=  
3
n -1
32 2
243
=  
3
5 n -1
2 2
  =  
3 3
 n–1 = 5
n = 6
224
 243
เป็นพจน์ที่ 6

10. 91
แบบฝึกหัดที่ 7
คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทา แก้โจทย์ปัญหาต่อไปนี้
5 5 5
1. จงหาว่าลาดับเรขาคณิต 10, -5, 2
, - , ... , -
4 64
มีกี่พจน์
2. จงหาว่าลาดับเรขาคณิต 1, 4, 16, 64, . . ., 4096 มีกี่พจน์
3. จงหาว่าลาดับเรขาคณิต 9 , 2 , 4 , 9 , . . . , 512 มีกี่พจน์
9 9
8
9
1
4. 15,552 เป็นพจน์ที่เท่าใดของลาดับเรขาคณิต 3
, 2, 12, 72, . . .
3 3 3
5. 
256
เป็นพจน์ที่เท่าใดของลาดับเรขาคณิต 6, -3, , - , ...
2 4

11. 92
เฉลยแบบฝึกหัดที่ 7
1) 8
2) 7
3) 10
4) 7
5) 10

12. 93
ใบความรู้ที่ 7
โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับลาดับเรขาคณิต
ในการแก้โจทย์ปัญหาลาดับเรขาคณิต จะใช้สูตร an = a1 rn – 1 เข้าร่วมเสมอ
ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 ถ้าผลบวกของลาดับเรขาคณิต 3 จานวนเท่ากับ 38 และผลคูณมีค่าเท่ากับ
1728 แล้ว จงหาลาดับเรขาคณิตดังกล่าว
วิธีทา สมมติให้สามจานวนของลาดับเรขาคณิต คือ a , a, a r
r
ผลคูณของ 3 จานวนของลาดับเรขาคณิตมีค่าเท่ากับ 1728
 a  a  ar = 1728
r
a3 = 1728
a 3
= 12 3
 a = 12
แต่ผลบวกของลาดับเรขาคณิต 3 จานวน เท่ากับ 38
a
 a  ar = 38
r
แทนค่า a = 12
12
 12  12r = 38
r
12  12r  12r 2 = 38 r
12 - 26r  12r 2 = 0
2
6r - 13r  6 = 0
(3r - 2)(2r - 3) = 0
2 3
r = 3
,
2
ดังนั้น ลาดับเรขาคณิตที่เป็นไปได้มี 2 กรณี คือ
ถ้า r = 2 3
ลาดับเรขาคณิต คือ 18, 12, 8
3
ถ้า r = 2
ลาดับเรขาคณิต คือ 8, 12, 18
 ลาดับเรขาคณิตชุดนี้ คือ 18, 12, 8 หรือ 8, 12, 18
ตัวอย่างที่ 2 มงคลส่งจดหมาย 4 ฉบับ ถึงเพื่อน 4 คน เมื่อทุกคนได้รับแล้วหลังจากนั้น
1 สัปดาห์ จะต้องส่งจดหมายคนละ 2 ฉบับไปยังเพื่อนอีก 2 คน ทาเช่นนี้
เรื่อยไป ในสัปดาห์ที่ 6 จะมีการส่งจดหมายกี่ฉบับ
วิธีทา เริ่มแรก ส่งจดหมาย 4 ฉบับ
สัปดาห์ที่ 2 มีการส่งจดหมาย 8 ฉบับ

13. 94
สัปดาห์ที่ 3 มีการส่งจดหมาย 16 ฉบับ
จาก an = a1 rn – 1
จะได้ a1 = 4 , r = 2
a6 = a1 r5
= 4(2)5
= 4  32
= 128
 ในสัปดาห์ที่ 6 จะมีการส่งจดหมาย 128 ฉบับ

14. 95
แบบฝึกหัดที่ 8
คาชี้แจง ให้นักเรียนแสดงวิธีทา แก้โจทย์ปัญหาต่อไปนี้
1. จานวน 3 จานวนเรียงกันเป็นลาดับเรขาคณิต มีผลบวกเป็น 52 และผลคูณเป็น 1728
จงหาจานวน 3 จานวนนั้น
2. ผลบวกของพจน์สามพจน์ที่เรียงกันเป็นลาดับเรขาคณิตเท่ากับ 26 และผลคูณเท่ากับ 216
จงหาพจน์ 3 พจน์นี้
3. ปัจจุบันเงินเดือนของวุฒิชัยเท่ากับ 4,000 บาท และเขาได้รับเงินเดือนเพิ่มขึ้นปีละ 10%
ของเงินเดือนที่ผ่านมาในแต่ละปี จงหาว่าอีก 11 ปีข้างหน้าเงินเดือนของเขาเป็นเท่าใด
4. ในปี พ.ศ. 2530 ประชากรในตาบลหนึ่งมี 10,000 คน ถ้าประชากรของตาบลนี้ เพิ่มขึ้น
ปีละ 5% จงหาจานวนประชากรในปี พ.ศ. 2546

15. 96
เฉลยแบบฝึกหัดที่ 8
1) 36, 12, 4 หรือ 4, 12, 36
2) 18, 6, 2 หรือ 2, 6, 18
3) 10,375
4) 21,829