1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ตรีโกณมิติ
(เนื้อหาตอนที่ 4)
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
โดย
รองศาสตราจารย์ จิตรจวบ เปาอินทร์
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ
สื่อการสอน เรื่อง ตรีโกณมิติ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 15 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
2. เนื้อหาตอนที่ 1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
3. เนื้อหาตอนที่ 2 เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติและวงกลมหนึ่งหน่วย
- เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
- วงกลมหนึ่งหน่วย การวัดมุม และหน่วยของมุม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติของค่าจริงและของมุม
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
- ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
6. เนื้อหาตอนที่ 5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
- ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างของมุม
- สูตรผลคูณ ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
7. เนื้อหาตอนที่ 6 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
- กฎของไซน์
- กฎของโคไซน์
8. เนื้อหาตอนที่ 7 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- การเปิดตารางหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. เนื้อหาตอนที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
- สมบัติและความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
12. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง มุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กฎของไซน์และกฎของโคไซน์
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรีโกณมิติ
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว
ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ยของ
คู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตรีโกณมิติ (ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 4 (4 / 8)
หัวข้อย่อย 1. ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
2. ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
ิ
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. อธิบายความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติกับฟังก์ชันตรีโกณมิติได้
2. นาความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติกับฟังก์ชันตรีโกณมิติไปใช้ประโยชน์ได้
3. เข้าใจความสัมพันธ์ของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 1 กับค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ของมุมในจตุภาคอื่น ๆ
4. สามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมบางมุมในจตุภาคที่ 2, 3 และ 4 ได้
ผลการเรียนรู้
ผู้เรียนสามารถ
1. หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลมโดยใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ
2. หาอัตราส่วนตรีโกณมิติได้จากค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
3. หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมบางมุมในจตุภาคที่ 2, 3 และ 4 ได้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาทั้งหมด
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ความแตกต่างและความสัมพันธ์
ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของ
อัตราส่วนตรีโกณมิติกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
หลังจากที่นักเรียนได้เรียนอัตราส่วนตรีโกณมิติในตอนที่ 1 และเรียนฟังก์ชันตรีโกณมิติในตอนที่ 3
แล้วนั้น เมื่อพิจารณาชื่อที่เหมือนกันของอัตราส่วนและฟังก์ชัน เรื่องที่ควรสนใจต่อไปก็น่าจะเป็นความสัมพันธ์
ของอัตราส่วนตรีโกณมิติกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่ก่อนอื่นก็ต้องกลับไปทบทวนบทนิยามของทั้งอัตราส่วน
ตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติกัน แล้วจะได้เห็นถึงความแตกต่าง ซึ่งถูกกาหนดไว้ตั้งแต่เริ่มต้น ดังนี้
และยิ่งไปกว่านั้นจะได้ด้วยว่า
0 < sin A < 1 , 0 < cos A < 1
1 < cosec A , 1 < sec A โดยที่ A เป็นมุมแหลม
0 < tan A , 0 < cot A
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
นั่นคือ –1  sin ()  1 , –1  cos()  1 ทุก 
และ 1  cosec () หรือ cosec()  –1 เมื่อ   n , n 
(2n  1)
1  sec () หรือ sec()  –1 เมื่อ  ,n
2
ส่วน tan() ไม่จากัดค่า เมื่อ   n , n 
(2n  1)
และ cot() ไม่จากัดค่า เมื่อ  ,n
2
เมื่อนักเรียนเห็นความแตกต่างของอัตราส่วนตรีโกณมิติกับฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว ลองมาพิจารณาต่อไปว่า
มีส่วนร่วมกันหรือไม่ ?
มุม (หน่วยเป็นเรเดียน) ในเรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ จะมีค่าได้เพียงในช่วง (0, 1) ซึ่งเป็นเซตย่อย
ของโดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และถ้าจากัดโดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติลงให้เหลือเพียงช่วง (0, 1) เท่านั้น
แล้วอัตราส่วนตรีโกณมิติจะสัมพันธ์กับฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างไร?
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปเป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ หาได้จากอัตราส่วนตรีโกณมิติ
และต่อไปเป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมบางมุมที่ไม่ได้กาหนดค่าไว้
นักเรียนสามารถใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งมีตารางแสดงค่ากาหนดไว้แล้ว แทนได้
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เพิ่มเติมตัวอย่าง

ตัวอย่าง ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี B เป็นมุมฉาก ถ้าด้าน BC ยาว 5 หน่วย
 51
และ A มีค่า เรเดียน จงหาความยาว AB และ AC
360
วิธีทา C
b=?
a=5
A c=? B
เลือกอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A ที่มีค่า a ปรากฏอยู่
a a
sin A = ดังนั้น b =
b sin A
a a
tan A = ดังนั้น c =
c tan A
จากตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ (จะได้เรียนในตอนที่ 7)
 51 
sin A = sin    = sin 2530  0.4305
 360 
 51 
tan A = tan    = tan 2530  0.4770
 360 
5
ฉะนั้น b   11.6144
0.4305
5
และ c   10.4822
0.4770
สรุปได้ว่า AB ยาวประมาณ 10.4822 หน่วย
AC ยาวประมาณ 11.6144 หน่วย
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. ถ้ามุม A เป็นมุมแหลม จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม A เมื่อกาหนด
2 1
1.1 cos A = 1.2 tan A =
3 7
12 5
1.3 sin A = 1.4 sec A =
13 2
6
1.5 cosec A = 1.6 cot A = 3
2
1.7 sin A = x 1.8 cos A = x

2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี B เป็นมุมฉาก ถ้ากาหนดความยาวด้านและมุมต่อไปนี้
จงหาความยาวด้านที่เหลือ
 
2.1 ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 5 หน่วย A มีค่า เรเดียน
9

2.2 ด้านประชิดมุม A ยาว 5 หน่วย A มีค่า 50
 2
2.3 ด้านตรงข้ามมุม A ยาว 4 หน่วย A มีค่า เรเดียน
5
พร้อมทั้งกาหนดตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติบางส่วน มาให้ดังนี้
 sin() cos() tan()
20 0.3420 0.9397 0.3640
50 0.7660 0.6428 1.1918
72 0.9511 0.3090 3.0777
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
ก่อนอื่น ๆ มาทาความรู้จัก จตุภาคต่าง ๆ ของระนาบ XY กัน
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
มุมที่กล่าวถึงต่อไปต้องเป็นมุมในตาแหน่งมาตรฐาน ซึ่งมีหน่วยเป็นองศาก็ได้ หรือมีหน่วยเป็นเรเดียน
ก็ได้ แต่ถ้าหน่วยของมุมเป็นเรเดียน เราสามารถมองเป็นค่าจริงซึ่งได้จากวงกลมหนึ่งหน่วย
ตัวอย่าง 1. พิจารณามุม 50
เนื่องจาก 0 < 50 < 90 ดังนั้นมุม 50 อยู่ในจตุภาคที่ 1
7
2. พิจารณามุม เรเดียน
3
เนื่องจาก 2 < 7  < 2 +  ดังนั้นมุม 7
อยู่ในจตุภาคที่ 1
3 3 3
3. พิจารณามุม –700
เนื่องจาก –720 < –700 < –720 + 90 ดังนั้นมุม –700 อยู่ในจตุภาคที่ 1
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 1. พิจารณามุม 160
เนื่องจาก 90 < 160 < 180 ดังนันมุม 160 อยู่ในจตุภาคที่ 2
้
4
2. พิจารณามุม เรเดียน
5
 4 4
เนื่องจาก < < ดังนั้นมุม อยู่ในจตุภาคที่ 2
2 5 5
8
ตัวอย่าง 1. พิจารณามุม เรเดียน
7
8 3 8
เนื่องจาก < < ดังนั้นมุม อยู่ในจตุภาคที่ 3
7 2 7
2. พิจารณามุม 550
เนื่องจาก 360 + 180 < 550 < 360 + 270 ดังนั้นมุม 550 อยู่ในจตุภาคที่ 3
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง 1. พิจารณามุม 350
เนื่องจาก 270 < 350 < 360 ดังนั้นมุม 350 อยู่ในจตุภาคที่ 4

2. พิจารณามุม  เรเดียน
5
3 
เนื่องจาก –2 + = – < –  < –2 + 2 ดังนั้นมุม –

อยู่ในจตุภาคที่ 4
2 2 5 5
เหตุจูงใจที่ชวนให้ศึกษาเรื่องความสัมพันธ์ของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 1
กับค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคอื่น ๆ คือ
เนื่องจากตอนที่ 3 เราหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมบางมุม (30 45 และ 60) ได้แล้ว
ถ้านักเรียนหาความสัมพันธ์ของมุมเหล่านี้ซึ่งอยู่ในจตุภาคที่ 1 กับมุมในจตุภาคอื่น ๆ (จตุภาคที่ 2, 3 และ 4)
แล้วนักเรียนจะสามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตของมุมบางมุมในจตุภาคใด ๆ ได้ ซึ่งในตอนแรกนี้ฟังก์ชัน
ิ
ตรีโกณมิติที่จะกล่าวถึงก่อน คือ ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เราเริ่มจากการหาความสัมพันธ์ของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 1 กับมุมในจตุภาคที่ 2
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปเป็นความสัมพันธ์ของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 1 กับมุมในจตุภาคที่ 3
และสุดท้ายเราหาความสัมพันธ์ของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 1 กับมุมในจตุภาคที่ 4
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เราสามารถสรุปความสัมพันธ์ของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 2, 3, และ 4 กับค่าฟังก์ชัน
ตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 1 และในทางกลับกัน จากค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 1
สามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 2, 3 และ 4 ที่มีความสัมพันธ์กันได้
และต่อไปเมื่อนักเรียนได้เรียนตรีโกณมิติตอนที่ 5 ซึ่งกล่าวถึง ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่าง
ของมุมใด ๆ จะทาให้ได้สูตร
sin ( – ) = sin  cos ( – ) = – cos 
sin ( + ) = – sin  cos ( + ) = – cos  เมื่อ 
sin (2 – ) = – sin  cos (2 – ) = cos 
นักเรียนสามารถจาเครื่องหมายของค่าฟังก์ชันไซน์และค่าฟังก์ชันโคไซน์ของมุมในจตุภาคต่าง ๆ ดังนี้
Y Y
+ + – +
X X
0 0
– – – +
sin cos
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
และสรุปได้ด้วยว่า sin ( – ) = sin  และ sin ( + ) = sin(2 – )
เมื่อ 
cos ( – ) = sin ( + ) และ cos (2 – ) = cos 
นั่นคือ ถ้าพิจารณามุมในช่วง [0, 2] จะมีมุม 2 มุมที่ให้ค่า sin เท่ากัน
และมีมุม 2 มุมที่ให้ค่า cos เท่ากัน
สาหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ
tan ( – ) = – tan  cot ( – ) = – cot 
(2n  1) 
tan ( + ) = tan  เมื่อ   n, cot ( + ) = cot  เมื่อ  ,
2
tan (2 – ) = – tan  n cot (2 – ) = – cot  n
cosec ( – ) = cosec  sec ( – ) = – sec 
(2n  1) 
cosec ( + ) = – cosec  เมื่อ  , sec ( + ) = – sec  เมื่อ   n,
2
cosec (2 – ) = – cosec  n sec (2 – ) = sec  n
และสามารถจาเครื่องหมายของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ ดังนี้
Y Y Y
– + + + – +
X X X
0 0 0
+ – – – – +
tan และ cot sin และ cosec cos และ sec
ประโยชน์ของความสัมพันธ์ของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
1. สามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมบางมุมในจตุภาคที่ 2, 3 และ 4 ได้
 
2. ถ้ากาหนดค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในช่วง  0,  ให้แล้ว สามารถหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
 2
ของมุมใด ๆ ได้ ซึ่งทาให้เขียนกราฟของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ได้
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
 
ให้นักเรียนลองเขียนกราฟ y = sin  x   , x
 2
จะเห็นว่ากราฟนี้เหมือนกราฟ y = cos x , x
 
นั่นคือ sin  x   = cos x , x
 2
 
และถ้านักเรียนลองเขียนกราฟ y = cos  x   , x
 2
จะเห็นว่ากราฟนี้เหมือนกราฟ y = sin x , x
 
นั่นคือ cos  x   = sin x , x
 2
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างการใช้ความสัมพันธ์ของค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 1 กับค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ของมุมในจตุภาคอื่น ๆ
เพิ่มเติมตัวอย่าง
ตัวอย่าง จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้
3 3
1. sin และ cos
4 4
3  3  2
วิธีทา =– ดังนั้น sin = sin =
4 4 4 4 2
3  2
และ cos = – cos = –
4 4 2
29 29
2. sin และ cos
6 6
29 5  
วิธีทา = 4 + = 4 +     ดังนั้น
6 6  6
29 5  1
sin = sin = sin = และ
6 6 6 2
29 5
cos = cos = – cos  =–
3
6 6 6 2
3. sin 585 และ cos 585
วิธีทา 585 = 360 + 225 = 360 + (180 + 45) ดังนั้น
2
sin 585 = sin 225 = – sin 45 =  และ
2
2
cos 585 = cos 225 = – cos 45 =  และ
2
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
11
4. sin และ cos 11
6 6
11  11  1
วิธีทา = 2 – ดังนั้น sin = – sin = –
6 6 6 6 2
11  3
และ cos = cos =
6 6 2
5. sin (–120) และ cos (–120)
3
วิธีทา sin (–120) = – sin (120) = – sin (180 – 60) = – sin 60 = –
2
1
และ cos (–120) = cos (120) = cos (180 – 60) = – cos 60 = –
2
ข้อสังเกต มุม –120 เป็นมุมในจตุภาคที่ 3 ดังนั้นค่าฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ มีค่าเป็นลบทั้งคู่
2
ตัวอย่าง จงหาค่าจริง  ที่ทาให้ sin  =
2
 2
วิธีทา เราทราบแล้วว่า sin =
4 2
  
และจากสูตร sin     = sin
 4 4
และ sin(2 + ) = sin  ทุก 
 3
ดังนั้น  คือ + 2n หรือ + 2n เมื่อ n
4 4
  3  1
ตัวอย่าง จงหาค่าจริง  ในช่วง  ,  ที่ทาให้ cos  = –
2 2  2
 1
วิธีทา เราทราบแล้วว่า cos =
3 2
     1
และจากสูตร cos     = cos     = – cos = –
 3  3 3 2
4 2
ดังนั้น  คือ หรือ
3 3
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5 5
3 sin  2 tan
ตัวอย่าง จงหาค่าของ 3
5
4
cos
6
5    3
วิธีทา sin = sin  2   = – sin = 
3  3 3 2
5    3
cos = cos     = – cos = 
6  6 6 2
5   
tan = tan     = tan = 1
4  4 4
 3
5 5 3   2 1 3
3 sin  2 tan  2
แล้ว 3 4 =  2  = 2 
1
5 3 3 3
cos  
6 2 2
sec 2 ( 45 )  tan 2 (330 )
ตัวอย่าง จงหาค่าของ
sin(150 )
1 1
วิธีทา sec(– 45) =   2
cos( 45 ) cos(45 )
1
tan(330) = tan(360 – 30) = – tan 30 = 
3
1
sin(150) = sin(180 – 30) = sin 30 =
2
1
2
sec (45 )  tan (330 )
2 2
3  14
แล้ว =
1
sin(150 ) 3
2
 
ตัวอย่าง จงหาค่าจริง  ในช่วง   ,  ที่ทาให้ 3 sin  – cos  = 0

 2 2
วิธีทา จาก 3 sin  – cos  = 0
3 sin  = cos 
1
tan  =
3
 1    
เรามีว่า tan  และ     ,  ดังนั้น  =
6 3  2 2 6
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต่อไปจะหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมป้าน
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างเพิ่มเติม
ตัวอย่าง ถ้า A เป็นมุมในจตุภาคที่ 3 และ cos A = x จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม A
วิธีทา เนื่องจาก A เป็นมุมในจตุภาคที่ 3 ดังนั้น cos A < 0 นั่นคือ x < 0
จากสูตร cos A = – cos (A – ) จะได้ว่า cos (A – ) = –x
ใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
หาด้านตรงข้ามมุม A– ได้เท่ากับ 1  ( x) 2  1 x2
1
1 x2
A–
–x
แล้ว sin A = – sin(A – ) =  1  x 2 มีค่าเป็นลบ
1 x2
tan A =  มีค่าเป็นบวก
x
1
cosec A =  มีค่าเป็นลบ
1 x2
1
sec A = มีค่าเป็นลบ
x
x
cot A =  มีค่าเป็นบวก
1 x2
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง
ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
1. จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่อไปนี้
31
1.1 1.2 – 60
6
11
1.3 1.4 150
4
14 
1.5  1.6 225
3
1
2. กาหนดให้ sin x = และ cos x < 0
2
จงหาค่าของ sin(–x) และ cos(–x)
3
3. กาหนดให้ sin x =  และ cos x > 0
5
จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม –x ,  + x ,  – x
4. จงหาค่าของ
 5 
tan  2 cos ec(135 )  sin(300 )
4.1  4  4.2
7 1  cos( 150 )
1  sin
6
2
5. ถ้า A เป็นมุมป้าน และ sin A = จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม A
3
1
6. ถ้า A เป็นมุมป้าน และ cos A =  จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม A
5
7. ถ้า A เป็นมุมในจตุภาคที่ 3 และ cot A = 3 จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม A
8. ถ้า sin A < 0 แต่ cos A > 0 และ tan A = x จงหาค่าของ sin A และ cos A
2
9. จงหาค่าจริง  ในช่วง [0, ] ที่ทาให้ sin 2 = 
2
  1
10. จงหาค่าจริง  ในช่วง  0, 2  ที่ทาให้ cos 3 =
  2
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เอกสารอ้างอิง
1. ดารงค์ ทิพย์โยธา, เสริมความรู้มุ่งสู่โอลิมปิกคณิตศาสตร์โลกตรีโกณมิติ,
โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2550.
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด / เนื้อหาเพิ่มเติม
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
15
1. กาหนดให้ sin  = และ  อยู่ในจตุภาคที่ 2 จงพิจารณาว่าข้อใดต่อไปนี้ผิด
17
8 15
ก. cos  =  ข. tan  = 
17 8
3 1
ค. cosec  + cot  = ง. sec  – tan  =
5 4
5
2. กาหนดให้ cosec  =  และ cos  > 0 จงหาค่าของ 3 tan  – 4 cot  + 5 cos 
4
ก. – 2 ข. 2 ค. – 4 ง. 4
2
3. กาหนดให้ cos ( – ) = และ  อยู่ในจตุภาคที่ 3 จงหาค่าของ 3 sin  + 2 tan 
3
ก. 0 ข. 2 5 ค. 2 5 ง. 5
5
4. กาหนดให้ sin  = และ cos  < 0 จงหาค่าของ sin ( – ) + cos ( – )
13
17 7 7 17
ก. ข.  ค. ง. 
13 13 13 13
2 cos 3  cos 4
5. กาหนดให้  = 75 จงหาค่าของ
2 sin 3  3 sin 4
ก. 1 ข. –1 ค. 3 ง. 
3
5 5
 
6. ถ้า sin  = cos  , << และ tan  = cot  , 0 <  < จงหาค่าของ +
2 2

ก. ข.  ค. 3
ง. 
4 2 4
1 1  
7. ถ้า sin (x + y) = , sin (x – y) = – เมื่อ x, y   0,  จงหาค่าของ 3x + 2y
2 2  2
ก. 0 ข.  ค.  ง. 2
2
1 a
8. ถ้า cos  = และ  อยู่ในจตุภาคที่ 3 จงหาค่าของ cot 
1 a
1 a a 1 1 a 2 a
ก. ข. ค. ง.
2 a 2 a 2 a 1 a
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
7
9. กาหนดให้ sec 2   tan 2   และ  อยู่ในจตุภาคที่ 4 จงหาค่าของ cos 
2
3 3 2 2
ก. ข.  ค. ง. 
4 4 3 3
10. จงหาค่าจริง  ในช่วง [0, 2) ที่ทาให้ 1 + 2 sin  = 3 cosec 
 
ก. ข. ค.  ง. 
4 3 6 2
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ความแตกต่างและความสัมพันธ์ของ
อัตราส่วนตรีโกณมิติกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1.
ข้อ 1.1 1.2 1.3 1.4
sin A 5 1 12 1
3 5 2 13 5
cos A 2 7 5 2
3 5 2 13 5
tan A 5 1 12 1
2 7 5 2
cosec A 3 13
5 2 5
5 12
sec A 3 5 2 13 5
2 7 5 2
cot A 2 5
7 2
5 12
ข้อ 1.5 1.6 1.7 1.8
sin A 2 1 x 1 x2
6 10
cos A 2 3
1 x2 x
6 10
tan A 2 1 x 1 x2
2 3 1 x2 x
cosec A 6 1 1
10
2 x 1 x2
sec A 6 10 1 1
2 3 1 x 2 x
cot A 2 3 1 x2 x
2 x 1 x2
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.
ข้อ ด้านตรงข้ามมุม A ด้านประชิดมุม A ด้านตรงข้ามมุมฉาก
2.1 1.71 4.6985 5
2.2 5.959 5 7.7785
2.3 4 1.2997 4.2057
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่าง ๆ
1.
ข้อ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
มุม  31 – 60 11 150 14  225

6 4 3
sin  1 3 2 1 3 2
   
2 2 2 2 2 2
cos  3 1 2 3 1 2
    
2 2 2 2 2 2
tan  1  3 1 3
–1  1
3 3
cosec  2 2 2  2
–2  2 
3 3
sec  2  2 2  2
 2  –2
3 3
cot  3 1  3 1
 –1 1
3 3
1 3
2. sin(–x) =  และ cos(–x) = 
2 2
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.
มุม –x +x –x
sin 3 3 3

5 5 5
cos 4 4 4
 
5 5 5
tan 3 3 3

4 4 4
cosec 5 5 5

3 3 3
sec 5 5 5
 
4 4 4
cot 4 4 4

3 3 3
2 2 3
4. 4.1 2 4.2
2 3
ข้อ sin A cos A tan A cosec A sec A cot A
5 2

5 
2 3

3

5
3 3 5 2 5 2
6 2 6

1 2 6
5 –5 
1
5 5 2 6 2 6
7 
1

3 1
 10 
10 3
10 10 3 3
8 x 1
x 1 x2 1 x2
1
1 x 2
1 x 2
x x
5 7  
9. , 10.
8 8 9
39

41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. ง 2. ข 3. ก 4. ค 5. ค
6. ง 7. ง 8. ข 9. ค 10. ง
40

42. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
41

43. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
42

44. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
43

45. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
44