2. 57
วิธีทา 1. ลาดับ n
1
พิจารณา lim a = lim
1
=0
n n n n
ดังนั้น n เป็นลาดับลู่เข้า และลู่เข้าหาค่า 0
1
2. ลาดับ {n2}
พิจารณา lim a n = lim n 2 = (หาค่าไม่ได้)
n n
ดังนั้น {n2} เป็นลาดับลู่ออก
3. ลาดับ {(–1)n}
พิจารณา lim a n = lim (1)n = หาค่าไม่ได้
n n
ดังนั้น {(–1)n} เป็นลาดับลู่ออก
4. ลาดับ 3n 4
2n 1
3n 4
พิจารณา lim a = lim = 3
n n n 2n 1 2
ดังนั้น 3n 4 เป็นลาดับลู่เข้า และลู่เข้าหาค่า
2n 1
3
2
5.1.2 ลาดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence)
นิยาม 5.1 ลาดับ {an} = {a1, a2, a3, …} จะเป็นลาดับเลขคณิต ถ้า an+1 – an = d, d R ทุกค่า n ที่เป็น
จานวนนับ ค่า d ของลาดับเลขคณิต เรียกว่าเป็นผลต่างร่วม (Common Difference) ทั้งนี้พจน์ที่ n ของ
ลาดับจะหาได้จาก an = a1 + (n – 1)d
ตัวอย่างเช่น {3n – 1} = {2, 5, 8, 11, …, 3n – 1, …} เป็นลาดับเลขคณิตที่มีค่า d = 3
{2n + 1} = {3, 5, 7, 9, …, 2n + 1, …} เป็นลาดับเลขคณิตที่มีค่า d = 2
5.1.3 ลาดับเรขาคณิต (Geometric Sequence)
นิยาม 5.2 ลาดับ {an} = {a1, a2, a3,…} จะเป็นลาดับเรขาคณิต ถ้า a n 1
an
= r, an 0 และ r R ทุกค่า n
ที่เป็นจานวนนับ ค่า r ของลาดับเรขาคณิต เรียกว่าอัตราส่วนร่วม (Common Ratio) โดยที่พจน์ที่ n
ของลาดับ จะหาได้จาก an = a1rn - 1
3. 58
ตัวอย่างเช่น {2(3n - 1)} = {2, 6, 18, 54, …, 2(3n - 1),…} เป็นลาดับเรขาคณิตที่มีค่า r = 3
1 1 1 1 1
n = , , , , ...,
1
n
, ... เป็นลาดับเรขาคณิตที่มีค่า r = 1
3 3 9 27 81 3 3
5.2 อนุกรม
อนุกรมเป็นการนาเอาสมาชิกของลาดับ {an} มาบวกกัน สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุกรมคือ an
n
ดังตัวอย่าง
= 1+ 1 + 1 + 1 +…+ 1 + …
1
n 1 n 2 3 4 n
2n 1
1
= 1+ 1 + 1 + 1 +…+ 1
+…
n 1
2 4 8 2n
( 1)
n 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + … + (–1)n + 1 + …
n 1
1
n (n 1)
= 1
+ 1
+ 1
+…+ 1
+…
n 1 1 2 23 3 4 n(n 1)
5.2.1 อนุกรมลู่เข้า และอนุกรมลู่ออก (Convergent and Divergent Series)
สาหรับอนุกรม a
n
ถ้าให้
n 1
S 1 = a1
S 2 = a1 + a2
S 3 = a1 + a 2 + a3
…
S n = a1 + a2 + a 3 + … + an
จะเรียกว่า {Sn} เป็นลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม a
n
n 1
ถ้า lim Sn = k กล่าวได้ว่า {Sn} เป็นลาดับลู่เข้า และนั่นหมายถึง a
n
เป็นอนุกรมลู่เข้า
n n 1
และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ k
ถ้า lim S n = หาค่าไม่ได้ กล่าวได้ว่า {Sn} เป็นลาดับลู่ออกหรือ a
n
เป็นอนุกรมลู่ออก
n n 1
4. 59
ตัวอย่าง 5.2 กาหนด
1
= 1
+ 1
+ 1
+… จงพิจารณาว่า อนุกรมดังกล่าวเป็น
n 1 (n 1)(n 2) 23 3 4 45
อนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
วิธีทา ให้ Sn = 1
+ 1
+ 1 1 +…+
23 3 4 ( n 1)( n 2 )
45
1 1 1
พิจารณา ( n 1)( n 2 ) = n 1 – n 2
ดังนั้น Sn = 1 1
+ 1 1 + 1 1 + … +
1
1
2 3 3 4 4 5 (n 1) (n 2)
= 1
2
– 1
n2
1 1
lim Sn = lim = 1
n n 2 n 2 2
ดังนั้น
1
( n 1)( n 2)
เป็นอนุกรมลู่เข้าที่มีผลบวกเท่ากับ 1
n 1 2
ตัวอย่าง 5.3 จงพิจารณาอนุกรม ln
n
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
n 1 n 1
วิธีทา ให้ Sn = ln 1 + ln 2 + ln 4 + … + ln n 1
2 3
3 n
= (ln 1 – ln 2) + (ln 2 – ln 3) + (ln 3 – ln 4) + … + (ln n – ln (n + 1))
= ln 1 – ln (n + 1)
= – ln (n + 1)
lim Sn = lim ln(n 1) = – (หาค่าไม่ได้)
n n
ดังนั้น ln
n
เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n 1
5.2.2 อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)
พิจารณาลาดับเรขาคณิต {an} = {a, ar, ar2, ar3, …, arn - 1, …}
n 1
ซึ่งจะได้อนุกรมเรขาคณิต an = ar
n 1 n 1
= a + ar + ar2 + ar3 + …
พิจารณา Sn = a + ar + ar2 +ar3 + …+ ar n - 1
rSn = ar + ar2 +ar3 + …+ ar n-1 + ar n
Sn – rSn = a – ar n - 1
5. 60
Sn(1 – r) = a(1 – r n - 1)
(1 r n 1)
Sn = lim a
1 r
,r1
n
(1 r n 1)
lim S = lim a
1 r
= a
เมื่อ | r | < 1
n n n 1 r
= หาค่าไม่ได้ เมื่อ | r | > 1
n 1
ดังนั้น ar จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ | r | < 1 โดยมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ a
n 1 1 r
และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ | r | 1
ตัวอย่าง 5.4 จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
2 n 1 n
1. 2. 3
n 1 3 n 1 2
4 n
3. 2
n 1 3
= 2 + 2 + 2 + …
2 n 2 3
วิธีทา 1.
3 3
n 1 3 3
เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่พจน์แรก a = 2
และ r = 2
3 3
2
2 n
ดังนั้น เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ 3 =2
n 1 3 1
2
3
1 n 2 3
2. 3 = 3 1 + 3 1 + 3 1 + …
n 1 2 2 2 2
เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่พจน์แรก a = 3 1 และ r = 1
2 2
1
3
1 n
ดังนั้น 3 เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ 2
1
= -1
n 1 2 1
2
4 n 2 3
3. 2 = 2 3 + 2 3 + 2 3 + …
4
4
4
n 1 3
เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่พจน์แรก a = 2 3 และ r =
4
4
3
4 n
ดังนั้น 2 เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 3
6. 61
5.2.3 การทดสอบความเป็นอนุกรมลู่ออกโดยการใช้พจน์ที่ n
กาหนดอนุกรม an เป็นอนุกรมลู่เข้าโดยมีผลบวกเท่ากับ S ถ้า Sn เป็นผลบวก n เทอมของ
n 1
อนุกรมดังกล่าว จะได้ว่า an = Sn – Sn – 1 จะได้ว่า
lim a = lim (S S
n 1
)
n n n n
= lim S – lim S
n n n n 1
= S–S = 0
ทฤษฎีบท 5.1 ถ้า an เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว lim a =0
n 1 n n
อย่างไรก็ตามการนาทฤษฎีบทดังกล่าวไปใช้นั้น ไม่สามารถนาไปใช้ได้โดยตรง แต่ถ้า
พิจารณาถึงข้อความที่สมมูลกับทฤษฎีบทดังกล่าวคือ
ถ้า lim a หาค่าไม่ได้ หรือหาค่าได้แต่ไม่เท่ากับ 0 แล้ว an เป็นอนุกรมลู่ออก
n n n 1
ซึ่งสามารถนาไปใช้ในการทดสอบความเป็นอนุกรมลู่ออกได้ทันที ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง 5.5 จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือลู่ออก
3n 4 n2
1. 2
n 1 2n n 1 n 4
3. ( 1)
n
n 1
3n 4
วิธีทา 1. พิจารณา
n 1 2n
3n 4
จะเห็นได้ว่า lim = 3
0
n 2n 2
3n 4
ดังนั้น เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 2n
n2
2. พิจารณา
n 1 n 4
n2
จะเห็นได้ว่า lim = (หาค่าไม่ได้)
n n 4
n2
ดังนั้น เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n 4
7. 62
3. พิจารณา ( 1)
n
n 1
เนื่องจาก lim (1)n = หาค่าไม่ได้
n
ดังนั้น ( 1)
n
เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1
5.3 การทดสอบอนุกรมว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือลู่ออก
สาหรับอนุกรม an โดยที่ an 0 และ Sn เป็นผลบวก n เทอมของอนุกรมดังกล่าว ดังนั้น
n 1
{Sn} จะเป็นลาดับที่มีค่าไม่ลดลง (Non-Decreasing) ทั้งนี้เพราะ Sn = Sn-1 + an และ an 0 ดังนั้น S1
S2 S3 … Sn Sn + 1 … ดังนั้นถ้า {Sn} ถูกกาหนดขอบเขตจากทางด้านบน ก็จะได้ว่า {Sn} เป็น
ลาดับลู่เข้าและนั่นหมายถึงว่า an เป็นอนุกรมลู่เข้า ด้วยเหตุนี้จึงได้มีการนาเอาแนวความคิดนี้มา
n 1
พัฒนาเป็นวิธีการที่จะใช้ในการทดสอบการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรม ซึ่งวิธีทดสอบที่สาคัญๆ เช่น
1. การทดสอบโดยใช้อินทิกรัล (Integral Test)
2. การทดสอบโดยใช้การเปรียบเทียบ (Comparison Test)
3. การทดสอบโดยใช้การเปรียบเทียบลิมิต (Limit Comparison Test)
4. การทดสอบโดยใช้อัตราส่วน (Ratio Test)
5. การทดสอบโดยใช้ราก (Root Test)
5.3.1 การทดสอบโดยใช้อินทิกรัล
ทฤษฎีบท 5.2 กาหนด {an} เป็นลาดับที่ a n 0 ถ้า a n = f (n) โดยที่ f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง มีค่าเป็น
บวก และเป็นฟังก์ชันที่มีค่าลดลง สาหรับ n N (N เป็นจานวนเต็มบวก) จะได้ว่า
ถ้า f (x)dx หาค่าได้ จะได้ว่า a n เป็นอนุกรมลู่เข้า และ
n 1
N
ถ้า f (x)dx หาค่าไม่ได้ จะได้ว่า a n เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1
N
ตัวอย่าง 5.6 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก
1
1.
2
n 1 n
1
2.
n 1 n
8. 63
1
วิธีทา 1.
2
n 1 n
1
กาหนดให้ f (x) =
x2
จะเห็นได้ว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง มีค่าเป็นบวก และมีค่าลดลงเมื่อ x 1
1
พิจารณา f (x)dx = 12 dx = x
x 1
1 1
1
= lim +1= 1
x x
1
ดังนั้น
2
เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n
1
2.
n 1 n
ให้ f (x) = 1
x
f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง มีค่าเป็นบวกและมีค่าลดลง เมื่อ x 1
1
พิจารณา 1
dx = x 2 dx
x
1 1
1
2
= 2x
1
= lim 2 x –2
x
= หาค่าไม่ได้
1
ดังนั้น เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n
1
นิยาม 5.3 อนุกรมพี (P-Series) คืออนุกรมที่อยู่ในรูปของ
p
, p เป็นจานวนจริง
n 1 n
ทฤษฎีบท 5.3 สาหรับอนุกรมพี ใดๆ
1
ถ้า p > 1
p
เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n
1
ถ้า p 1
p
เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n
อนุกรมพี สามารถพิสูจน์ได้โดย การทดสอบโดยใช้อินทิกรัล
9. 64
1
ตัวอย่างเช่น เป็นอนุกรมพี โดยที่ p = 3 ดังนั้นเป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n n 2
1
เป็นอนุกรมพี โดยที่ p = 1 ดังนั้นเป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n
5.3.2 การทดสอบโดยใช้การเปรียบเทียบ
ทฤษฎีบท 5.4 กาหนด an เป็นอนุกรมโดยที่ an 0 จะได้ว่า an เป็นอนุกรมลู่เข้าถ้ามีอนุกรมลู่
n 1 n 1
เข้า bn โดย an bn ทุกค่า n > N เมื่อ N เป็นจานวนเต็ม และ an เป็นอนุกรมลู่ออก ถ้ามีอนุกรม
n 1 n 1
ลู่ออก bn โดยที่ bn 0 โดยที่ an bn ทุกค่า n > N เมื่อ N เป็นจานวนเต็ม
n 1
ตัวอย่าง 5.7 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
1
1. 2.
1
; n (n 1)
n 1 n! n 1
1
วิธีทา 1. = 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+…
n 1 n! 1! 2! 3! 4! 5!
= 1+ 1 + 1 +
2 6
1
24
+ 1
120
+…
1
พิจารณา = 1 + 1 + 1 + 16 +
1 1
+…
n 1 n! 4 9 36
จะเห็นได้ว่า n ! < 12 ทุกค่า n, n > 3
1
n
1
เนื่องจาก
2
เป็นอนุกรมลู่เข้า (เป็นอนุกรมพี ที่ p = 2)
n 1 n
1
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.4 จะได้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n!
= ln 2 + ln 3 + ln14 + ln 5 + …
1 1 1
2.
1
n 1 ln(n 1)
1
พิจารณา = 1+ 1 + 1 + 1 +…
n 1 n 2 3 4
จะเห็นได้ว่า ln1n > 1 ทุกค่า n, n > 1
n
1
เนื่องจาก เป็นอนุกรมลู่ออก (เป็นอนุกรมพี ที่ p = 1)
n 1 n
ดังนันจากทฤษฎีบท 5.4 จะได้ว่า
้
1
ln(n 1)
เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1
10. 65
5.3.3 การทดสอบโดยใช้การเปรียบเทียบลิมิต
ทฤษฎีบท 5.5 กาหนด an , an > 0 ทุกค่า n > N ถ้ามีอนุกรม bn , b n > 0 ทุกค่า n > N และ
n 1 n 1
an
1. lim = c, c > 0 จะได้ว่า
n bn
ถ้า bn เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว an เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n 1
ถ้า bn เป็นอนุกรมลู่ออก แล้ว an เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n 1
an
2. lim = 0 จะได้ว่า
n bn
ถ้า bn เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว an เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n 1
an
3. lim หาค่าไม่ได้ จะได้ว่า
n bn
ถ้า bn เป็นอนุกรมลู่ออก แล้ว an เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n 1
ตัวอย่าง 5.8 จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
1.
1
2 3
n 1 2n
2.
3n
2
n 1 5n 4
วิธีทา 1.
1
2 3
n 1 2n
1
จาก
2
เป็นอนุกรมลู่เข้า (อนุกรมพี ที่ p = 2)
n 1 n
1
n2
พิจารณา = =
2
lim 2n 3
1
lim
n 1 n 2n 2 3 2
n2
1
เนื่องจาก
2
เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.5 จะได้ว่า
1
2 3
เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 2n
11. 66
2.
3n
2
n 1 5n 4
1
จาก เป็นอนุกรมลู่ออก (อนุกรมพี ที่ p = 1)
n 1 n
3n
3n 2
พิจารณา = =
2
lim 5n 4
3
lim
n 1 n 5n 2 4 5
n
1
เนื่องจาก เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.5 จะได้ว่า
3n
2
เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 5n 4
5.3.4 การทดสอบโดยใช้แบบอัตราส่วน
a n 1
ทฤษฎีบท 5.6 กาหนด an เป็นอนุกรมที่ a n 0 และ lim =r
n 1 n a n
ถ้า r < 1 แล้ว an จะเป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1
ถ้า r > 1 หรือ r หาค่าไม่ได้ แล้ว an เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1
ถ้า r = 1 แล้วยังสรุปไม่ได้
ตัวอย่าง 5.9 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือออก
n2 3n
1.
n
2.
n 1 2 n 1 n!
( 2n!)
3.
n 1 n!n!
n2
วิธีทา 1.
n
n 1 2
(n 1)2
2n 1
a n 1
พิจารณา lim = lim
n a n n n 2
2n
(n 1)2
= lim = 1
n 2n 2 2
n2
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.6 จะได้ว่า
n
เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 2
12. 67
n
2. 3n!
n 1
3n 1
a n 1 (n 1)!
พิจารณา lim = lim
n a n n 3n
n!
= lim
3
n 1
=0
n
3n
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.6 จะได้ว่า เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n!
( 2n!)
3.
n 1 n!n!
( 2n 2)!
a n 1 ( n 1)!( n 1)!
พิจารณา lim = lim
( 2n )!
n a n n
n!n!
( 2n 2)( 2n 1)
= lim =4
n ( n 1)( n 1)
( 2n!)
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.6 จะได้ว่า เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n!n!
5.3.5 การทดสอบโดยใช้รากที่ n
ทฤษฎีบท 5.7 กาหนด an เป็นอนุกรมโดยที่ a n 0 และ lim n a n =r
n 1 n
ถ้า r < 1 แล้ว an เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1
ถ้า r > 1 หรือ r = หาค่าไม่ได้ แล้ว an เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1
ถ้า r = 1 แล้วยังสรุปไม่ได้
ตัวอย่าง 5.10 จงพิจารณาว่า อนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือออก
4n
1.
n
n 1 (ln n )
( n!) n
2.
n
n 1 n
13. 68
4n
วิธีทา 1.
n
n 1 (ln n )
4n
พิจารณา lim n a = lim
n
= lim
4
=0
n n n (ln n )n n ln n
4n
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.7 จะได้ว่า
n
เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 (ln n )
( n!) n
2.
n
n 1 n
n (n!)n
พิจารณา lim n a = lim
n n n nn
= n!
lim
n n
= หาค่าไม่ได้
( n!) n
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.7 จะได้ว่า
n
เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 n
5.4 อนุกรมสลับ (Alternating Series)
นิยาม 5.4 อนุกรมสลับ คืออนุกรมที่แต่ละเทอมในอนุกรม มีเครื่องหมายบวกและลบสลับกัน
ตัวอย่างเช่น
( 1)
n1
= –1 + 1 – 1 + 1
– 1
+ … + (–1)n n + …
1
n 1 n 2 3 4 5
(1)
n 1 2n 1
= 1
–3 + 5
– 7
+ 9
+ … (–1)n + 1 2 nn 1 + …
n 1 2n 2 4 8 16 32 2
ทฤษฎีบท 5.8 กาหนดอนุกรมสลับ n
( 1) a n ถ้า an 0 และ an an + 1 สาหรับทุกค่า n N โดยที่
n 1
N เป็นจานวนบวก และ lim a = 0 แล้ว ( 1) n a n เป็นอนุกรมลู่เข้า
n n n 1
ตัวอย่าง 5.11 จงพิจารณาว่า อนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือออก
n 1 2n 1
1. ( 1)
n1
n
2. (1)
3n
n 1 n 1
เป็นอนุกรมสลับที่มี an = 1
วิธีทา 1. ( 1)
n1
n n
n 1
จะเห็นได้ว่า 1 0 ทุกค่า n
n
14. 69
และ 1
n
1
n 1 ทุกค่า n 1
และ lim
1
=0
n n
ดังนั้น ( 1)
n1
n
เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1
เป็นอนุกรมสลับที่มี an = 2 n3 1
n 1 2n 1
2. (1)
3n n
n 1
จะเห็นได้ว่า 2 n 1 0 ทุกค่า n
3n
= 1 – 5 + 7 – 12 + 15 + … + … (–1)n + 1 2 n 1 + …
n 1 2n 1
จาก (1)
3n
9 11
3n
n 1 6 9
เห็นได้ว่า an an + 1 ทุกค่า n 1
2n 1
แต่ lim = 2
n 3n 3
n 1 2n 1
ดังนั้น (1)
3n
เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1
5.4.1 การลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ หรืออย่างมีเงื่อนไข (Absolute or Conditional Convergence)
นิยาม 5.5 อนุกรม an จะถูกเรียกว่าเป็นอนุกรมที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ ถ้าอนุกรม | an | เป็น
n 1 n 1
อนุกรมลู่เข้า
นิยาม 5.6 อนุกรม an จะถูกเรียกว่าเป็นอนุกรมที่ลู่เข้าอย่างมีเงื่อนไข ถ้าอนุกรม an เป็น
n 1 n 1
อนุกรมลู่เข้า แต่อนุกรม | an | เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1
ตัวอย่าง 5.12 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ หรืออย่างมีเงื่อนไข หรือ
เป็นอนุกรมลู่ออก
n 1 2
n
1. ( 1)
n1
2. (1)
n 1 n n 1 3
3. n
( 1) 3
n 1
15. 70
เป็นอนุกรมสลับโดยที่ an = 1
วิธีทา 1. ( 1)
n1
n n
n 1
เนื่องจาก 1 > 0 และ 1
n n
1 ทุกค่า n ที่ n เป็นจานวนเต็มบวก
n 1
และ lim
1
= 0 ดังนั้น ( 1)
n1
เป็นอนุกรมลู่เข้า
n n n 1 n
1
พิจารณา | ( 1)
n1|
n
= ซึ่งเป็นอนุกรมลู่ออก (เป็นอนุกรมพี ที่ P = 1)
n 1 n 1 n
ดังนั้น ( 1)
n1
n
เป็นอนุกรมลู่เข้าอย่างมีเงื่อนไข
n 1
n n
2. (1)
n 1 2
เป็นอนุกรมสลับโดยที่ an = 3
2
n 1 3
n n n 1
2 2
เนื่องจาก > 0 และ 3
2
ทุกค่า n ที่ n เป็นจานวนเต็มบวก
3 3
n n
2 n 1 2
และ lim = 0 ดังนั้น (1) เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 3 n 1 3
n
n 1 2 | 2 n
พิจารณา | (1) = ซึ่งเป็นอนุกรมลู่เข้า เพราะ
n 1 3 n 1 3
เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r = 2
3
n 1 2
n
ดังนั้น (1) เป็นอนุกรมลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์
n 1 3
3. n
( 1) 3 เป็นอนุกรมสลับโดยที่ an = 3
n 1
จะเห็นได้ว่า an = 3 > 0 และ an an + 1 ทุกค่า n เป็นจานวนนับ
แต่ lim 3 3 0 ดังนั้น n
( 1) 3 เป็นอนุกรมลู่ออก
n n 1
ทฤษฎีบท 5.9 ถ้า | an | เป็นอนุกรมลู่เข้าแล้ว an เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n 1
ตัวอย่างเช่น ( 1)
n 1
n 1 n3
1
เมื่อพิจารณา | ( 1)
n 1 |
= ซึ่งเป็นอนุกรมลู่เข้า (เพราะเป็นอนุกรมพี โดยที่ p = 3)
n 1 n3 n 1 n
3
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.9 จะได้ว่า ( 1)
n 1
เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 1 n3
16. 71
5.5 อนุกรมกาลัง (Power Series)
นิยาม 5.7 อนุกรมกาลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = 0 เป็นอนุกรมที่เขียนได้ในรูปของ
cn x
n
= c0 + c1x + c2x2 + … + cnxn + …
n 0
นิยาม 5.8 อนุกรมกาลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = a เป็นอนุกรมที่เขียนได้ในรูปของ
cn ( x a )
n
= c0 + c1(x – a) + c2(x – a)2 + … + cn(x – a)n + …
n 0
เป็นอนุกรมกาลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = 0 โดยที่ Cn = 1 !
xn
ตัวอย่างเช่น
n
n 0 n!
( x 3)n
2
เป็นอนุกรมกาลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = 3 โดยที่ Cn = 1
n 0 (n 1) ( n 1) 2
5.5.1 รัศมีการลู่เข้าและช่วงการลู่เข้า (Radius and Interval of Convergence)
สาหรับอนุกรมกาลัง cn ( x a )
n
จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่า ถ้า x = a อนุกรมดังกล่าวจะเป็น
n 0
อนุกรมลู่เข้า อย่างไรก็ตามเราอาจสนใจค่าจานวนจริง x ที่มีค่าอื่นๆอีก ที่ทาให้อนุกรมกาลังดังกล่าว
เป็นอนุกรมลู่เข้า
นิยาม 5.9 สาหรับอนุกรมกาลัง cn ( x a )
n
ถ้า R เป็นจานวนเต็มบวกที่ทาให้ cn ( x a )
n
เป็น
n 0 n 0
อนุกรมลู่เข้าเมื่อ |x – a| < R และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ |x – a| > R แล้วจะเรียก R ว่าเป็นรัศมีการลู่เข้า
หมายเหตุ 1. สาหรับอนุกรมกาลัง cn ( x a )
n
ที่มีรัศมีการลู่เข้าเท่ากับ R นั้น อนุกรมดังกล่าวอาจจะ
n 0
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้ที่จุด x = a – R และจุด x = a + R
2. สาหรับอนุกรมกาลังที่ลู่เข้าทุกค่าจานวนจริง x นั้น สามารถกล่าวได้ว่ารัศมีการลู่เข้ามีค่า
ไม่จากัดหรือ R =
3. สาหรับอนุกรมกาลังที่ลู่เข้าที่ทุกค่าจานวนจริง x = a เพียงค่าเดียวนั้น สามารถกล่าวได้ว่า
รัศมีการลู่เข้ามีค่าเท่ากับศูนย์หรือ R = 0
นิยาม 5.10 สาหรับอนุกรมกาลัง cn ( x a )
n
เซตของจานวนจริง x ที่ทาให้อนุกรมดังกล่าวเป็น
n 0
อนุกรมลู่เข้า เรียกว่าเป็นช่วงการลู่เข้า
17. 72
นั่นคือสาหรับอนุกรมกาลังที่มีรัศมีการลู่เข้าเท่ากับ R จะได้ว่าช่วงการลู่เข้าอาจเป็นช่วง
1. (a – R, a + R) หรือ
2. [a – R, a + R) หรือ
3. (a – R, a + R] หรือ
4. [a – R, a + R]
อย่างใดอย่างหนึ่ง ทั้งนี้ขึ้นกับว่า อนุกรมลู่เข้าที่จุด x = a – R, หรือ a + R หรือไม่
ตัวอย่าง 5.13 จงหารัศมีการลู่เข้าและช่วงการลู่เข้าของอนุกรมกาลังต่อไปนี้
n ( x 3)
n xn
1. (1)
3n
2.
n 1 n 0 n!
n ( x 1)
n
3. n
(1) n!( x 2)
n
4. (1)
n 0 n 0 4n
n ( x 3)
n
วิธีทา 1. (1)
3n
n 1
(1)n 1( x 3)n 1
a
พิจารณา =
3 n 1
lim n 1 lim
n a n n (1)n ( x 3)n
3n
= lim ( x 3)3
n
n 1
n
= |x–3|
n ( x 3)
n
จากทฤษฎีการทดสอบอนุกรมโดยใช้อัตราส่วนจะได้ (1)
3n
เป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้า |
n 0
x – 3 | < 1 นั่นคือ รัศมีการลู่เข้าเท่ากับ 1
จาก | x – 3 | < 1 จะได้ว่า –1 < x – 3 < 1 หรือ 2 < x < 4
พิจารณาอนุกรมกาลังที่ x = 2 จะได้
n ( x 3)
n n (2 3)
n
(1)
3n
= (1)
3n
n 0 n 0
( 1) 2 n
=
3n
n 0
1
=
3
ซึ่งเป็นอนุกรมลู่ออก (เป็นอนุกรมพี โดยที่ p = 1 )
n 0 n 3
18. 73
พิจารณาอนุกรมกาลังที่ x = 4 จะได้
n ( x 3)
n n (4 3)
n
(1)
3n
= (1)
3n
n 1 n 0
( 1) n
=
3
n 0 n
เป็นอนุกรมสลับที่มี an = 3 1
( 1) n
3
n 1 n n
เนื่องจาก 3 1 > 0 และ 3 1 1
n n
3 n 1 ทุกค่า n ที่เป็นจานวนนับ
( 1) n
และ lim
1
= 0 ดังนั้น
3
เป็นอนุกรมลู่เข้า
n 3 n n 1 n
n ( x 3)
n
ดังนั้นช่วงของการลู่เข้าของอนุกรม (1)
3n
คือ (2, 4]
n 1
xn
2.
n 0 n !
x n 1
(n 1)!
พิจารณา lim
a n 1
= lim = 0 ทุกค่า x ที่เป็นจานวนจริง
n a n n xn
n!
xn
ดังนั้นจากทฤษฎีบทการทดสอบอนุกรมโดยใช้อัตราส่วน จะได้วา
่ เป็นอนุกรมลู่
n 0 n !
เข้า สาหรับทุกค่า x ที่เป็นจานวนจริง นั่นคือ รัศมีการลู่เข้าเท่ากับ และช่วงของการลู่เข้า คือ
(– , )
3. n
( 1) n !( x 2)
n
n 0
a (1)n 1(n 1)!( x 2)n 1)
พิจารณา lim n 1 = lim
n a n n (1)n n!( x 2)n
= lim (n 1) x 2
n
0 เมื่อ x 2
=
เมื่อ x 2
ดังนั้นจากทฤษฎีบทการทดสอบอนุกรมโดยใช้อัตราส่วน จะได้ว่า n
(1) n!( x 2)
n
เป็น
n 0
อนุกรมลู่เข้าเมื่อ x = 0 ดังนั้น รัศมีการลู่เข้าเท่ากับ 0 และช่วงของการลู่เข้า = {0}
19. 74
n ( x 1)
n
4. (1)
n 0 4n
( x 1)n
พิจารณา lim n | a n | = lim
n
| (1)n |
n n 4n
= lim
x 1
= | x 1 |
4
n 4
n ( x 1)
n
จากทฤษฎีบทการทดสอบอนุกรมโดยใช้รากที่ n จะได้ว่า (1) จะเป็น
n 0 4n
อนุกรมลู่เข้า ถ้า | x 1 | < 1 นั่นคือ | x – 1| < 4
4
ดังนั้น รัศมีการลู่เข้า = 4
จาก | x – 1| < 4 จะได้ว่า – 4 < x – 1 < 4 หรือ – 3 < x < 5
พิจารณาที่ x = – 3
n ( x 1)
n n (3 1)
n
(1) = ( 1)
n 0 4n n 0 4n
n ( 4 )
n
= ( 1)
n 0 4n
= ( 1)
2n
n 0
= 1
n0
1 เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะ nlim a n = nlim 1 1 0
n 0
พิจารณาที่ x = 5
n ( x 1)
n n (5 1)
n
(1) = (1)
n 0 4n n 0 4n
4n
= ( 1)
n
n 0 4n
= ( 1)
n
n 0
( 1)
n
เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะ lim (1)n = หาค่าไม่ได้
n 0 n
n ( x 1)
n
ดังนั้น (1) มีรัศมีการลู่เข้า = 4 และช่วงการลู่เข้า = (– 3, 5)
n 0 4n
20. 75
5.5.2 อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor Series) และอนุกรมแมคลอริน (Maclaurin Series)
นิยาม 5.11 กาหนด f เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ สาหรับทุกช่วงที่รวมจุด a จะ
f ( n ) (a ) f '' (a ) f (n ) (a )
กล่าวว่า
n!
( x a )n = f (a) + f (a) (x – a) + ( x a )2 + …+ ( x a )n + …
n 0 2! n!
f ( n ) (a )
เป็นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน f ที่จุด a และ f (x) =
n!
( x a )n
n 0
นิยาม 5.12 อนุกรมแมคลอริน ของฟังก์ชัน f คืออนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน f ที่จุด 0 นั่นคืออนุกรม
แมคลอรินของ f คือ
f ( n ) (0) n f '' (0) f (n ) (0) n
n!
x = f (0) + f /(0) x + 2!
+…+
n!
x +…
n 0
f ( n ) ( 0) n
และ f (x) =
n!
x
n 0
ตัวอย่าง 5.14 จงหาอนุกรมเทย์เลอร์ของ f (x) = 1 ที่จุด 3
x
วิธีทา f (x) = 1 ,
x f (3) = 1
3
1
f (x) = – 2 , f (3) = – 1
x 32
f (x) = 23 , f (3) = 2
x 33
f (x) = – 64 , f (3) = – 6
x 34
…
f n(x) = (1)n
n!
n 1
, f n (3) = (1)n
n!
x 3n 1
เพราะฉะนั้นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน 1 ที่จุด 3 คือ
x
f ( n ) (a ) (1) n n!
( x 3)n =
n 1
( x 3) n
n 0 n! n 0 n!3
n ( x 3)
n
= (1)
n 0 3n 1
นั่นคือ 1 = 1 –
x 3
(x 3)
+ ( x 3) 2
– ... + ( 1) n
( x 3) n
32 33 3n 1
21. 76
ตัวอย่าง 5.15 จงหาอนุกรมแมคลอริน ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1. f (x) = sin x
2. f (x) = ex
วิธีทา 1. f (x) = sin x, f (0) = 0
f (x) = cos x, f(0) = 1
f (x) = – sin x, f (0) = 0
f (x) = –cos x, f (0) = –1
…
และจะได้ว่า f (2n)(x) = (–1) nsin x, f (2n)(0) = 0
f (2n + 1)(x) = (–1) ncos x, f (2n + 1)(0) = (–1) n
ดังนั้นอนุกรมแมคลอรินของ sin x คือ
f ( n ) ( 0) x3 x5 )n 2n 1
n! x n = x – 3! + 5 ! – … + ((12n x 1)! + …
n 0
x3 x5 )n 2n 1
หรือ sin x = x – 3 ! + 5 ! – … – ((12n x 1)! – …
2. f (x) = e x
f (x) = e x, f (0) = 1
f (x) = e x, f (0) = 1
f (x) = e x, f (0) = 1
…
n n
f ( )(x) = e x, f ( )(0) = 1
ดังนั้นอนุกรมแมคลอรินของ e x คือ
f ( n ) ( 0) n 1 n
x = x
n 0 n! n 0 n!
3
x2 xn
= 1+x+ 2!
+ x3! +… +
n!
+…
นั่นคือ e x = 1 + x +
3
x2 xn
+ x3! + … + +…
2! n!
