ลำดับเลขคณิต

1. ลำดับเลขคณิต
พิจารณาลาดับ 1, 4, 7, 10, 13, ... จะเห็นว่าเมื่อนาพจน์หลังลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่
ติดกันมีผลต่างเป็นค่าคงตัวเท่ากับ 3 เสมอ
นั่นคือ 4 1  3
7 4  3
10 7  3
13 10  3
ลาดับที่มีผลต่างของพจน์หลังลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมีค่าคงตัวเท่ากันเสมอนี้ จะเรียกว่า
“ลำดับเลขคณิต” และเรียกผลต่างที่มีค่าคงตัวเท่ากันเสมอว่า “ผลต่ำงร่วม”
ตัวอย่างลาดับอื่นๆ ที่เป็นลาดับเลขคณิต เช่น
(1) 3, 7, 11, 15, ... เป็นลาดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 4
7 3  11 7  15 11  4
(2) 27, 15, 3, 9, ... เป็นลาดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 12
15 27  3 15  9 3   12
(3) 1, 2, 3, 4, ... เป็นลาดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 1
2 1  3 2  4 3  1
(4) 3,
11
,
4
5
,
2
9
,
4
2, ... เป็นลาดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 1
4

11
3
4




5 11
2 4
 
9 5
4 2
 
9
2
4
 
1
4

 

จากที่กล่าวมานี้ จะให้ความหมายของลาดับเลขคณิตได้ดังบทนิยามต่อไปนี้
บทนิยำม ลาดับเลขคณิต (arithmetic sequence) คือ ลาดับที่ผลต่างซึ่งเกิดจากพจน์ที่ n 1 ลบด้วยพจน์ที่
n มีค่าคงตัว และค่าคงตัวนี้เรียกว่า ผลต่ำงร่วม (common difference) เขียนแทนผลต่างร่วมนี้ด้วย d

2. จำกบทนิยำม จะได้ว่ำ n 1 nd a a 
ถ้ำ 1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,... เป็นลำดับเลขคณิต จะได้ว่ำ
2 1a a d  นั่นคือ 2 1a a d  หรือ  2 1a a 2 1 d  
3 2a a d  นั่นคือ 3 2a a d 
 1a d d  
3 2a a 2d  หรือ  3 1a a 3 1 d  
4 3a a d  นั่นคือ 4 3a a d 
 1a 2d d  
4 2a a 3d  หรือ  4 1a a 4 1 d  
.
.
.
ดังนั้น จะได้พจน์ที่ ของลำดับเลขคณิต คือ
 n 1a a n 1 d  
ตัวอย่ำงที่ 1 จงเขียนสี่พจน์แรกของลาดับเลขคณิต ซึ่งกาหนดค่า 1a และค่า d ให้ได้ดังนี้
(1) 1a 3, d 2
(2) 1a 4, d 3
(3) 1a 2, d 5
(4) 1a 8, d 2 
(5) 1a 5,
1
d
2
 
วิธีทำ พจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิต คือ  n 1a a n 1 d  
(1) กำหนด 1a 3, d 2 จะได้
2 1a a d 3 2 5    
 3 1a a 2d 3 2 2 7    
 4 1a a 3d 3 3 2 9    
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับเลขคณิต คือ 3,5,7,9
n

3. หมายเหตุ ค่า 2a , 3a และ 4a อาจจะหาได้อีกแบบหนึ่ง ดังนี้ คือ
2 1a a d 3 2 5    
3 2a a d 5 2 7    
4 3a a d 7 2 9    
(2) กาหนด 1a 4, d 3 จะได้
2 1a a d 4 3 7    
3 2a a d 7 3 10    
4 3a a d 10 3 13    
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับเลขคณิต คือ 4,7,10,13
(3) กาหนด 1a 2, d 5 จะได้
2 1a a d 2 5 7    
3 2a a d 7 5 12    
4 3a a d 12 5 17    
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับเลขคณิต คือ 2,7,12,17
(4) กาหนด 1a 8, d 2  จะได้
 2 1a a d 8 2 6     
 3 2a a d 6 2 4     
 4 3a a d 4 2 2     
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับเลขคณิต คือ 8,6,4,2
(5) กาหนด 1a 5,
1
d
2
  จะได้
2 1
1 9
a a d 5
2 2
 
      
 
3 2
9 1 8
a a d 4
2 2 2
 
       
 
4 3
8 1 7
a a d
2 2 2
 
      
 
ดังนั้น สี่พจน์แรกของลาดับเลขคณิต คือ
9 7
9, ,4,
2 2

4. ตัวอย่ำงที่ 2 กาหนดให้ลาดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 1 เท่ากับ 15 และมีผลต่างร่วมเป็น 3 จงหา
พจน์ที่ 7 และพจน์ที่ 12
วิธีทำ กาหนด 1a 15 และ d 3
จำก  n 1a a n 1 d  
พจน์ที่ 7 คือ  7 1a a 7 1 d  
 15 6 3 
33
พจน์ที่ 12 คือ  12 1a a 12 1 d  
 15 11 3 
48
ดังนั้น 7a 33 และ 12a 48
ตัวอย่ำงที่ 3 กาหนดให้ลาดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 9เท่ากับ 19 และ 31 ตามลาดับ
จงหา 1a และ d
วิธีทำ กาหนด 5a 19 และ 9a 31
 5 1a a 5 1 d  
119 a 4d  ......................................(1)
 9 1a a 9 1 d  
131 a 8d  ......................................(2)
(2)- (1) ; 12 4d
d 3
แทนค่า d 3 ใน (1) จะได้
119 a 4d 
 1a 19 4 3 7  
ดังนั้น 1a 7 และ d 3

5. ตัวอย่ำงที่ 4 กาหนดให้ลาดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 3 เท่ากับ 12 และมีผลต่างร่วมเท่ากับ
3 จงหาพจน์ที่ 21
วิธีทำ กาหนด 3a 12 และ d 3 
จาก  n 1a a n 1 d  
จะได้ 3 1a a 2d 
 112 a 2 3   ......................................(1)
1a 18
ดังนั้น  21 1a a 21 1 d  
 18 20 3  
42 
ตัวอย่ำงที่ 5 กาหนดให้ลาดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 3 และพจน์ที่ 7 เท่ากับ 7 และ 9 ตามลาดับ
จงหาพจน์ที่ 15
วิธีทำ กาหนด 3a 7 และ 7a 9 
 3 1a a 3 1 d  
17 a 2d  ......................................(1)
 7 1a a 7 1 d  
19 a 6d   ......................................(2)
(2)- (1) ; 16 4d 
d 4 
แทนค่า d 4  ใน (1) จะได้
 17 a 2 4  
1a 15
ดังนั้น 15 1a a 14d 
 15 14 4 41    

6. ตัวอย่ำงที่ 6 ถ้า 11,x,y,z,23 เป็นลาดับเลขคณิต จงหาค่าของ x y z 
วิธีทำ กาหนด 1a 11 และ 5a 23
จาก  n 1a a n 1 d  
จะได้  5 1a a 5 1 d  
23 11 4d 
23 11
d
4


d 3
นั่นคือ x  11 d  11 3  14
y  x d  14 3  17
z  y 3  17 3  20
ตัวอย่ำงที่ 7 ระหว่าง 13 กับ 2,014 จานวนที่ 11 หารลงตัวทั้งหมดมีกี่จานวน
วิธีทำ จานวนแรกที่มากกว่า 13 และ 11 หารลงตัว คือ 22
เนื่องจาก 2,014 หารด้วย 11 ได้ผลหาร 183 เหลือเศษ 1 แสดงว่าจานวนที่มากที่สุดที่
น้อยกว่า 2,014 และ 11 หารลงตัว คือ 2,014 1  2,013
ดังนั้น จานวนที่อยู่ระหว่าง 13 กับ 2,014 ที่ 11 หารลงตัว คือ 22, 33, 44, ...,
2,013 ซึ่งจานวนกลุ่มนี้เป็นลาดับซึ่งมี 1a 22, d 11, na 2,013
จาก na  1a (n 1)d 
จะได้ 2,013  22 (n 1)(11) 
2,013  22 11n 11 
2,013 22 11   11n
n 
2002
11
 182
นั่นคือ ระหว่าง 13 กับ 2,014 มีจานวนที่ 11 หารลงตัวทั้งหมด 182 จานวน

7. ตัวอย่ำงที่ 8 โรงละครแห่งหนึ่งจัดเก้าอี้นั่งสาหรับผู้ชมแถวแรกอยู่ด้านหน้าสุด 14 ที่นั่ง แถวที่
สองจัดเก้าอี้นั่งจานวน 18 ที่นั่ง และแถวต่อๆ ไปจะจัดเก้าอี้นั่งเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ แถวละ 4 ที่นั่ง แถวที่ 15 จะมี
เก้าอี้นั่งจานวนกี่ที่นั่ง
วิธีทำ เขียนจานวนเก้าอี้นั่งตั้งแต่แถวแรกในแบบรูปของลาดับ ได้ดังนี้
14, 18, 22, ..., 15a
ซึ่งจะได้ 1a 14, d 4, n 15
จาก na  1a (n 1)d 
15a  14 (15 1)(4) 
 14 14(4)
 14 56
 70
ดังนั้น ในแถวที่ 15 จะมีเก้าอี้นั่งจานวน 70 ที่นั่ง