More Related Content
Similar to ลิมิตของลำดับ (12)
More from aoynattaya (15)
ลิมิตของลำดับ
- 1. เรื่อง ลิมิตของลำดับ
แบบฝึกหัดที่ 9
คำชี้แจง ให้นักเรียนเขียนกราฟเพื่อตรวจสอบดูว่าลาดับใดเป็นลาดับลู่เข้า(ลาดับคอนเวอร์เจนต์)
ลาดับใดเป็นลาดับลู่ออก(ลาดับไดเวอร์เจนต์)ถ้าเป็นลาดับลู่เข้า(ลาดับคอนเวอร์เจนต์) จงหาลิมิต
1) an 11
2n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128
1
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
เป็นลาดับ................................................. lim n 1
........................
n
2
2) an (1) n 1
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 -1 1 -1 ........ ........ ........ ........
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
- 2. เป็นลาดับ................................................. lim (1) n1 ........................
n
1
3) an n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 1 1 1 ........ ........ ........ ........
2 3 4
1
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
เป็นลาดับ................................................. lim n ........................
n
4) 1
an 2 1 1
n 1
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 0 1 0 ........ ........ ........ ........
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
เป็นลาดับ................................................. lim 2 1 1n1 ........................
1
n
- 3. n
5
5) a
4
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1.25 1.56 1.95 ........ ........ ........ ........ ........
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
n
5
เป็นลาดับ................................................. lim ........................
n
4
6) an 1 n
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 0 1 0 ........ ........ ........ ........
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
เป็นลาดับ................................................. lim 1 n ........................
n
n
- 4. เฉลย แบบฝึกหัดที่ 9
คำชี้แจง ให้นักเรียนเขียนกราฟเพื่อตรวจสอบดูว่าลาดับใดเป็นลาดับลู่เข้า(ลาดับคอนเวอร์เจนต์)
ลาดับใดเป็นลาดับลู่ออก(ลาดับไดเวอร์เจนต์)ถ้าเป็นลาดับลู่เข้า(ลาดับคอนเวอร์เจนต์) จงหาลิมิต
1) an 11 n
2
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128
1
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
เป็นลาดับ.......คอนเวอร์เจนต์.......................... lim n 1
0
n
2
2) an (1) n 1
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
เป็นลาดับ.....ไดเวอร์เจนต์......... lim (1) n1
n
- 5. 3) an 1
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 7 8
1
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
เป็นลาดับ...........คอนเวอร์เจนต์.................. lim n 0
n
4) an 1 1 1n1
2
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1 0 1 0 1 0 1 0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
เป็นลาดับ.............ไดเวอร์เจนต์................ lim 2 1 1n1
1
n
- 6. n
5
5) a
4
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 1.25 1.56 1.95 2.44 3.05 3.81 4.77 5.96
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
n
5
เป็นลาดับ..............ไดเวอร์เจนต์.............. lim
4
n
6) an 1 n
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an -1 2 -3 4 -5 6 -7 8
4
0 1
2 3 4 5 6 7 8
-4
เป็นลาดับ.............ไดเวอร์เจนต์............. lim 1 n
n
n
- 7. แบบฝึกหัดที่ 10
คำชี้แจง จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลาดับ ตรวจสอบว่าลาดับในข้อใ ดเป็นลาดับ
คอนเวอร์เจนต์หรือลาดับไดเวอร์เจนต์
3 1
1) a n
4) a 5 n
2
n
5n
3 3 1 n
lim 5n 5 lim n
n n
1 1
lim 5 2 n 5 lim 2
n n
=
3
0
5 = ……………… 1 1
= …………... 2
= ……………
เป็นลาดับ................................ เป็นลาดับ................................
n
2) a 2
n n
5) 2
3 a n
1
n
n n
2
lim 2 lim 3
n
2
lim (1 n ) lim1 2 lim
1
n
3 n
n n
n
n
= ……………… 2 1
3 = ……………
= ……………
เป็นลาดับ................................
n
เป็นลาดับ................................
4
3) a
3 4n 3
n
6) a n
3n
n n
4 4
lim 3 lim 3
n
4n 3 4n 3
n
lim lim
n 3n n 3n 3n
= ……………… 4 1
3
lim
4n
lim
3
n 3n
3n
เป็นลาดับ................................ n
- 8. 4
lim lim
1
n 3
n
n 4n 2 1
9) an
= …………… 3n n 2
= ……………
1
n2 4 2
เป็นลาดับ................................ = n
3
n 2 1
n
3 5n 2
7) an n2
1
4
= n2
3 5n 2 3 5n 2
lim n 2 lim 2 2
3
1
n n n n n
3 1
lim 4
n 2 lim
5 4n 1
2
n n lim n2
lim 3n n
n 3
n
1
n
1
3 lim = …………………………
n n 2 lim 5
n
= …………… = …………………………
= …………… เป็นลาดับ..................................................
n 2 2n 1
เป็นลาดับ................................ 10) an 2n 2 1
3n 2 2n 1
8) an 2 1
n 2 1 2
n2
= n n
1
3n 2 2n 1 3n 2 2n 1 n2 2 2
lim 2
lim 2 2 2
n
n n n n
n
n = …………………
2 1 n 2 2n 1
lim 3 lim lim 2
n n n n n lim 2n 2 1 ...............................
n
= …………………
= …………… = …………………
= ……………
เป็นลาดับ................................ เป็นลาดับ..................................................
- 9. เฉลยแบบฝึกหัดที่ 10
คำชี้แจง จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลาดับ ตรวจสอบว่าลาดับในข้อใดเป็นลาดับ
คอนเวอร์เจนต์หรือลาดับไดเวอร์เจนต์
3 4
n
4
n
1) a n
lim 3 lim 3
5n n n
3 3 1
lim 5n 5 lim n
n n =∞ 4
1
3
=
3
0 เป็นลาดับ ไดเวอร์เจนต์
5
=0
1
4) a 5 n
2
n
เป็นลาดับ คอนเวอร์เจนต์
n
n 1 1
2) a 2
n n
lim 5 2 n 5 lim 2
n n
3
1
n
2
n = 5(0) 1
lim 2 n
lim
n 3
2
n
3 = 0
=0 2
1 เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
3
เป็นลาดับ..คอนเวอร์เจนต์
2
5) a n
1
n
n
4
3) a n 3 2 1
lim (1 n ) lim1 2 lim
n n
n
n
- 10. 1
3 lim
n 2 lim 5
= 1 – 2(0) n n
=1 = 3(0) - 5
= 0 – 5 = -5
เป็นลาดับ คอนเวอร์เจนต์. เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
3n 2 2n 1
8) an
4n 3 n2
6) a n
3n
3n 2 2n 1 3n 2 2n 1
lim 2
lim 2 2 2
4n 3 4n 3
n
n n n n n
lim lim
n 3n n 3n 3n
2 1
lim 3 lim lim 2
3 n n n n n
4n
lim lim
n 3n
n
3n
= 3–0-0
=3
4
lim lim
1
n 3
n เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
n
4
= 0
3
4n 2 1
= 4 9) an 3n n 2
3
1
n2 4 2
= n
เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
3
3 5n 2 n 2 1
7) a n
n
n2
1
3 5n 2 3 5n 2 4
lim n 2 lim 2 2
= n2
n n n n 3
1
n
3
lim
n 2 lim
5
n n
- 11. 1
4
4n 1
2
n2
lim 3n n lim
n 3
n
1
n
40
=
0 1
= -4
เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์
n 2 2n 1
10) an 2n 2 1
2 1
n 2 1 2
= n n
1
n2 2 2
n
2 1
21
= n n
1
2 2
n
1 1
1 2
n 2n 1
2
n n
lim 2n 2 1 .lim
n n 1
2 2
n
1 0 0
=
20
1
=
2
เป็นลาดับคอนเวอร์เจนต์