ความน่าจะเป็น การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

1. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com
ความน่าจะเป็น
กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทางานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทาได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่จะ
ทางานอย่างที่สองได้อีก n2 วิธี จานวนวิธีที่จะเลือกทางานทั้งสองอย่างเท่ากับ n1n2 วิธี
กฎข้อที่ 2 การทางานหลายอย่าง ถ้าทางานอย่างแรกมีวิธีทาได้ n1 วิธี ซึ่งในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกมีวิธีที่จะทางาน
อย่างที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทางานอย่างแรกและงานอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทางานอย่างที่สามได้อีก n3 วิธี
เป็นดังนี้ต่อๆ ไป จานวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทางาน k อย่างจะเท่ากับ n1n2n3…nk วิธี
การคูณ มักมีคาว่า “และ”
ถ้างานหรือเหตุการณ์อย่างหนึ่งตั้งแต่ต้นจนจบงานมี k ขั้นตอนต่อเนื่องกัน
ขั้นตอนที่ 1 มีวิธีกระทาได้ m1 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 มีวิธีกระทาได้ m2 วิธี
ขั้นตอนที่ 3 มีวิธีกระทาได้ m3 วิธี
ขั้นตอนที่ k มีวิธีกระทาได้ mk วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีที่จะกระทาได้ทั้งหมดเท่ากับ m1m2m3…mk วิธี
การบวก มักมีคาว่า “หรือ”
ถ้างานหรือเหตุการณ์อย่างหนึ่งตั้งแต่ต้นจนจบงานมีหลายแบบ และในแต่ละแบบไม่ต่อเนื่องกัน
แบบที่ 1 มีวิธีกระทาได้ m1 วิธี
แบบที่ 2 มีวิธีกระทาได้ m2 วิธี
แบบที่ 3 มีวิธีกระทาได้ m3 วิธี
แบบที่ k มีวิธีกระทาได้ mk วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีที่จะกระทาได้ทั้งหมด = m1+m2+m3+…+mk วิธี
ตัวอย่างที่ 1 นาย ก มีกางเกง 2 ตัว เสื้อ 4 ตัว และถุงเท้า 3 คู่ อยากทราบว่าเขาจะมีจานวนการแต่งกาย
ด้วยกางเกง เสือ และถุงเท้าได้กีชุด
้ ่
วิธีทา
ตัวอย่างที่ 2 ในการรับประทานอาหารครั้งหนึ่ง มีอาหารคาว 5 อย่าง ของหวาน 3 อย่าง และเครื่องดื่ม 4 ชนิด
อยากทราบว่า พี่แอมจะรับประทานอาหารชนิดละ 1 อย่าง พี่แอมจะรับประทานอาหารในครั้งนี้ได้กี่วิธี
วิธีทา
ตัวอย่างที่ 3 เป้ มีกางเกง 2 สี คือสีเขียวและสีแดง มีเสื้อ 4 สี คือสีขาว, สีแดง, สีเหลือง, และสีชมพู
3.1 เป้จะเลือกแต่งตัวได้กี่แบบโดยสามารถใส่เสื้อและกางเกงคู่ไหนก็ได้
ตอบ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
3.2 ถ้าเป้ไม่ใส่เสื้อและกางเกงสีเดียวกัน เป้จะแต่งตัวได้กี่แบบ
ตอบ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
1

2. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com
ตัวอย่างที่ 4 จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 6 ถ้านามาจัดเป็นเลข 4 หลัก จะมีกี่จานวนที่เป็นจานวนคู่ (ใช้ตัวเลขไม่ซ้ากัน)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
ตัวอย่างที่ 5
5.1 นก 5 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่ง ได้กี่วิธี 5.2 นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 5 กิ่งได้กี่วิธี
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
5.3 นก 5 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 3 กิ่งได้กี่วิธี 5.4 นก 3 ตัว จะเลือกเกาะกิ่งไม้ 3 กิ่งได้กี่วิธี
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
ตัวอย่างที่ 6 ให้ S = {0, 1, 2, 3, …, 9} จะสร้างจานวนเต็มบวก โดยใช้ตัวเลขจากเซต S ได้กี่จานวน
6.1 จานวนเต็มบวก 4 หลัก 6.2 จานวนเต็มบวก 4 หลัก เป็นจานวนเต็มหลักสิบ
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
6.3 จานวนเต็มบวกคี่ 4 หลัก 6.4 จานวนเต็มคู่บวก 4 หลัก
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………
ตัวอย่างที่ 7 มีเรือโดยสารข้ามฟากระหว่างท่าคลองสานกับท่าสี่พระยา 2 ขนาด คือ เรือขนาดใหญ่ 3 ลา และเรือขนาดเล็ก
5 ลา ถ้าดารงซึ่งพักอยู่ทางฝั่งคลองสานต้องใช้เรือข้ามฟากจากคลองสานไปสี่พระยาทั้งไปและกลับทุกวัน ดารงจะเลือกลง
เรือโดยสารไปและกลับได้กี่วิธี ถ้า
7.1. ไปและกลับด้วยเรือขนาดใหญ่ 7.2 ไปและกลับด้วยเรือขนาดเล็ก 7.3 ไปด้วยเรือขนาดใหญ่ และกลับ
…………………………………………………………….. ………………………………………………. ด้วยเรือขนาดเล็ก
…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….
…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….
…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….
…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….
…………………………………………………………….. ………………………………………………. ………………………………………………….
2

3. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com
ทดสอบฝีมือ จ้ะ
1. จะจัดชาย 4 คน และหญิง 4 คน เข้าแถวตรงได้กี่วิธี ถ้าให้ชายและหญิงยืนสลับกัน
2. จากคา “CHULA” ถ้านาตัวอักษรจากคานี้มาจัดเป็นคาใหม่ (โดยไม่คานึงถึงความหมาย) จะได้กี่คา (ไม่นับคาเดิม)
3. ต้องการสร้างคาจากตัวอักษรของคาว่า mathematics โดยสร้างคาที่ประกอบไปด้วยตัวอักษร 4 ตัว ไม่ซ้ากัน
และคาที่สร้างขึ้นมาไม่จาเป็นต้องมีความหมาย จงหาจานวนคาทั้งหมดเมื่อ
3.1 ตัวอักษรทั้งสี่ตัวจะเป็นตัวใดก็ได้ 3.2 ตัวอักษรทั้งสี่ตัวเป็นพยัญชนะล้วน
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
3.3 คาที่สร้างขึ้นต้นด้วยสระและลงท้ายด้วยพยัญชนะ 3.4 คานั้นต้องมีสระอย่างน้อย 1 ตัว
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
แฟกทอเรียล (Factorial) คือผลคูณของเลขจานวนเต็มบวกที่ต่อเนื่องกันตั้งแต่ 1 ถึง n
เขียนแทนด้วย n! อ่านว่า “แฟกทอเรียล n” หรือ “n แฟกทอเรียล”
ข้อสังเกต อาจเขียน n! ในรูปผลคูณของจานวนเต็มบวกตั้งแต่ n แล้วลดลงทีละ 1 จนถึง 1
หรือ จานวนเต็มทีมากกว่า 1 ก็ได้
่
นั่นคือ n! = 1 x 2 x 3 x … x n หรือ n! = n(n-1)(n-2)…321 หรือ n! = n(n-1)(n-2)…(n-r)! เมื่อ r < n
เช่น 7! = 1234567 หรือ 7! = 7654321 หรือ 7! = 765!
ตัวอย่าง 8 จงเขียนแฟกทอเรียลต่อไปนี้ในรูปผลคูณ
1. 0! = 1
2. 1! = 1
3. 2! = 2x1 =2
4. 3! = 3x2x1 =6
5. 4! = 4x3x2x1 = 24
6. 5! =………………………………………………………………………………………………………………………
6. n! =………………………………………………………………………………………………………………………
7. (n+1)! = ………………………………………………………………………………………………………………
8. (n-2)! = ………………………………………………………………………………………………………………
9. (n+r)! = ……………………………………………………………………………………………………………..
3

4. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com
ตัวอย่างที่ 9 จงหาค่าแฟกทอเรียลต่อไปนี้
4! 12!
9.1 = 9.2 =
3! 10!
5! 11!
9.3 = 9.4 =
6! 12!
n! n+1 !
9.5 = 9.6 =
n-1 ! n-3 !
41! 6! n-3 ! n-5 !
9.7 + = 9.8 =
39! 2!3! n-4 ! n-6 !
ตัวอย่างที่ 10 จงหาค่าของ n จากสมการต่อไปนี้
n! n!
10.1 = 10 10.2 = 72
n-1 ! n-2 !
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
n! n+1 !
10.3 =156 10.4 =420
n-2 ! n-1 !
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
n+2 ! n+1 n!
10.5 10(n - 3)!n! = (n - 2)!(n + 1)! 10.6 =4! n-1 !
(n+1)!
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………….
วิธีเรียงสับเปลี่ยน
4

5. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com
การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) หมายถึง การเรียงลาดับสิ่งของจานวนหนึ่งโดยเรียงครั้งละกี่สิ่งก็ได้ ขึ้นอยู่กับ
รูปแบบการจัดเรียงสิ่งของ
1. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ n สิ่ง ในแนวตรง
กฎข้อที่ 3 การจัดเรียงลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ n สิ่ง ในแนวตรง จะมีวิธีจัดทั้งหมด n! วิธี
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Pn, n= n!
ตัวอย่างที่ 9 มีนักเรียนชาย 4 คน และนักเรียนหญิง 4 คน ยืนเรียงเป็นแถวตรง จงหาจานวนวิธีจัดนักเรียนทั้งหมด โดยที่
9.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม
9.2 เพศเดียวกันยืนติดกัน
9.3 ชายและหญิงยืนสลับที่ทีละ 1 คน
ข้อสังเกต ชาย n คน หญิง n คน นามาจัดสลับแนวตรงทีละ r คน (จะจัดได้เมื่อ r หาร n ลงตัว)
จานวนวิธีจดเท่ากับ 2n!n! หรือ 2(n!)2 วิธี
ั
2. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ r สิ่ง ในแนวตรง
n!
กฎข้อที่ 4 การจัดเรียงลาดับสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยจัดครั้งละ r สิ่ง ในแนวตรง จะมีวิธีจัดทั้งหมด วิธี
n-r !
n!
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Pn, r =
n-r !
ตัวอย่างที่ 10 กาหนดเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 จะสร้างจานวนที่มี 5 หลัก โดยที่แต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ากันจะสร้างได้ทั้งหมด
กี่จานวน โดยที่
10.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม
10.2 แต่ละหลักสลับเลขคี่และเลขคู่
3. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด
5

6. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com
กฎข้อที่ 5 มีสิ่งของ n สิ่ง แบ่งเป็น k กลุ่ม ในแต่ละกลุ่มมีสิ่งของเหมือนกัน ดังนี้
กลุ่มที่ 1 มีของเหมือนกัน n1 สิ่ง
กลุ่มที่ 2 มีของเหมือนกัน n2 สิ่ง
กลุ่มที่ 3 มีของเหมือนกัน n3 สิ่ง
. .
. .
. .
กลุ่มที่ k มีของเหมือนกัน nk สิ่ง
โดยที่ n1 + n2 + n3 + … + nk = n
n!
จะได้จานวนวิธีจัด
n1 !n2 !n3 !…nk !
ตัวอย่างที่ 11 ต้องการสร้างคาจากคาว่า “fibonacci” โดยไม่จาเป็นต้องมีความหมาย จะสร้างได้ทั้งหมดกี่คา โดยที่
11.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม
11.2 อักษร c อยู่ติดกัน
11.3 อักษร c อยู่ริม
4. การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของแบบวงกลม
กฎข้อที่ 6 ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่ต่างกัน นามาจัดเรียงเป็นวงกลม (พลิกไม่ได้) จะจัดได้ทั้งหมด (n-1)! วิธี
ตัวอย่างที่ 12 ครอบครัวหนึ่งมีพ่อ แม่ และลูกอีก 4 คน นามาจัดให้ยืนเป็นวงกลม จะจัดได้กี่วิธี โดยที่
12.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม
12.2 พ่อและแม่ยืนติดกัน และลูกทั้งสี่คนยืนติดกัน
12.3 พ่อและแม่ยืนไม่ติดกัน
(n-1)!
ตัวอย่างที่ 13 มีมีดของ n สิ่งที่ต่างกันดอกละ ด1เรีสีงเป็ามาร้อยเป็นพวงมาลัย ดได้ทั้งกี่วิธี โดยที่
หมายเหตุ ถ้า สิ่ง อกไม้ 10 ดอก นามาจั ย น นวงกลม (ที่พลิกได้) จะจั จะได้ หมด
2
6

7. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com
13.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม
13.2 ดอกไม้สีชมพูและสีเหลืองอยู่ติดกัน
วิธีจัดหมู่หรือวิธีการเลือก
กฎข้อที่ 7 ถ้ามีสิ่งของที่ต่างกัน n สิ่ง นามาจัดหมู่คราวละ r สิ่ง (0  r  n) จะจัดได้
n n!
Cn, r = =
r n-r !r!
ตัวอย่างที่ 14 กาหนดจุด 6 จุด บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง จงหา
14.1 จานวนส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมระหว่าง 2 จุด
14.2 จานวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดมุม
14.3 จานวนเส้นทแยงมุมของรูปหกเหลี่ยม
ความน่าจะเป็น
การทดลองสุ่ม (random experiment) คือการทดลองซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้
อย่างถูกต้องแน่นอนว่าในแต่ละครั้งที่ทดลอง ผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นได้เหล่านั้น
แซมเปิลสเปซ (sample space) คือเซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม โดย
จานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน แทนด้วย n(S)
เหตุการณ์ (event) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ หรือ คือเหตุการณ์ที่เราสนใจตามเงื่อนไข โดย จานวนสมาชิกของ
เหตุการณ์ แทนด้วย n(E)
ตัวอย่างที่ 15 ทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง สนใจผลรวมของของลูกเต๋าทั้งสองลูก จงเขียน
15.1 แซมเปิลสเปซ และ n(S)
15.2 E1 แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเป็นจานวนคี่
15.2 E2 แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มมีค่าน้อยกว่า 7
ความน่าจะเป็น (Probability) คือ อัตราส่วนระหว่างจานวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจกับจานวนสมาชิก
7

8. คณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น http://ampmaths.wordpress.com
ของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
ให้ n(E) แทนจานวนสมาชิกของเหตุการณ์
n(S) แทนจานวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน
P(E) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E
n(E)
จะได้ P(E) =
n(S)
ตัวอย่างที่ 16 ต้องการสร้างคาที่ประกอบด้วยตัวอักษร 4 ตัว จากคาว่า “lofrance” โดยไม่คานึงถึงความหมาย
จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้
16.1 อักษรตัวแรกเป็นสระ
16.2 อักษรตัวแรกและตัวสุดท้ายเป็นพยัญชนะ
16.3 คาที่ประกอบด้วยสระ 2 ตัวอยู่ติดกัน
ตัวอย่างที่ 17 ถ้าสุ่มหยิบลูกปิงปอง 3 ลูก จากกล่องที่มีลูกปิงปองสีส้ม 4 ลูก และสีขาว 7 ลูก
ความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกปิงปองสีส้มทั้ง 3 ลูก เป็นเท่าใด
8