1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
(เนื้อหาตอนที่ 5)
อสมการลอการิทึม
โดย
รองศาสตราจารย์ เพ็ญพรรณ ยังคง
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
สื่อการสอน เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16
ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
2. เนื้อหาตอนที่ 1 เลขยกกาลัง
- เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
- เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานอนตรรกยะ
- เขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนอตรรกยะ
3. เนื้อหาตอนที่ 2 ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
- ฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
- กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
- สมการเลขชี้กาลัง
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลอการิทึม
- ฟังก์ชันลอการิทึม
- กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
- สมการลิการิทึม
5. เนื้อหาตอนที่ 4 อสมการเลขชี้กาลัง
- ทบทวนสมบัติที่สาคัญของเลขยกกาลัง
- สมการและอสมการของเลขยกกาลัง
- ฟังก์ชันเลขชี้กาลังในชีวิตประจาวัน
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการลอการิทึม
- ทบทวนสมบัติที่สาคัญของลอการิทึม
- สมการและอสมการลอการิทึม
- ปัญหาในชีวิตประจาวันที่เกียวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชัน
ลอการิทึม
7. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 4)
11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
1

3. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการ
สอนส าหรั บ ครู และนั ก เรี ย นทุ ก โรงเรี ย นที่ ใ ช้ สื่ อ ชุ ด นี้ ร่ ว มกั บ การเรี ย นการสอน วิ ช า
คณิตศาสตร์ เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอน
วิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และ
ชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เรื่อง ฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 5 (5/5)
หัวข้อย่อย 1. ทบทวนสมบัติที่สาคัญของลอการิทึม
2. สมการและอสมการลอการิทึม
3. ปัญหาในชีวิตประจาวันที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. สามารถแก้สมการลอการิทึมได้
2. สามารถแก้อสมการลอการิทึมได้
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายหลักการและแก้สมการลอการิทึมได้
2. อธิบายหลักการและแก้อสมการของลอการิทึมได้
3

5. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เนื้อหาในสื่อการสอน
4

6. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1. ทบทวนสมบัตที่สาคัญของลอการิทึม
ิ
5

7. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1. ทบทวนสมบัตที่สาคัญของลอการิทึม
ิ
6

8. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เพื่อให้นักเรียนได้ทบทวนสมบัติที่สาคัญของลอการิทึมจะได้นาไปใช้ในการแก้สมการและ
อสมการลอการิทึม ผู้สอนให้นักเรียนทาแบบฝึกหัดย่อยต่อไปนี้
แบบฝึกหัดย่อย
1. จงหาค่าของลอการิทึมต่อไปนี้
1.1 log5 5 5 1.2 log3 36 log3 4
1.3 log7 3
49 1.4 log81 3
1
1.5 log 62500 log10
10
2
25
1
1.6 log
4 2 256
2. กาหนดให้ log 2 a , log 3 b และ n 2 c, n 3 d
จงหาค่าของลอการิทึมต่อไปนี้
1
2.1 log log 3
9 log 0.0002
64
7

9. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
4 1
23 35
2.2 log 1
=
3
10
243
2.3 n 3 =
128
2.4 n 8 81 =
2.5 log
2
0.00001 =
3. จงหาค่าของจานวนจริง x
3.1 log x 729 3 แล้ว x
3.2 log (log x ) 0 แล้ว x
3.3 log x (log 3) 1 แล้ว x
3.4 n x n 3 1 แล้ว x
2
3.5 n (x ) n (x 6) 0 แล้ว x
คาตอบ
3 2 1
1. 1.1 1.2 2 1.3 1.4
2 3 4
16
1.5 1 1.6
5
2 4a b 1
2. 2.1 7a b 4 2.2
3 3 5 3
1 4d
2.3 (5d 7c) 2.4
3 3c
10
2.5
a
3. 3.1 9 3.2 10 3.3 log 3 3.4 3e
3.5 3, 2
8

10. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ผู้สอนอาจยกตัวอย่างการเปลี่ยนฐานของลอการิทึม ในกรณีที่เรามีตารางลอการิทึมสามัญ
(ฐานสิบ) หรือตารางลอการิทึมธรรมชาติ (ฐาน e ) เพื่อช่วยให้นักเรียนคานวณค่าของลอการิทึมฐาน
อื่นๆ ของฐานต่างๆ ได้ ให้ผู้สอนลองให้นักเรียนทาแบบฝึกหัดย่อยต่อไปนี้ (ให้นักเรียนใช้เครื่อง
คานวณได้)
แบบฝึกหัดย่อย
กาหนดให้
m 2 3 5 7
log m 0.3010 0.4771 0.6990 0.8451
n m 0.6932 1.0986 1.6094 1.9459
1. จงหาค่าของลอการิทึมต่อไปนี้
1.1 log 2 3 
1.2 log 3 7 
1.3 n 15 
9

11. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
3
1.4 n 
2
1.5 log0.6 3.5 
2. จงหาค่าโดยประมาณของ x
2x 5
2.1 ถ้า 3 4 แล้ว x
0.7 x
2.2 ถ้า e 0.25 แล้ว x
0.3x
2.3 ถ้า 10 2.7 แล้ว x
3x
2.4 ถ้า 30 2 7 แล้ว x
คาตอบ
1. 1.1 1.5850 1.2 1.7712 1.3 2.7081 1.4 0.4055
1.5 2.4524
2. 2.1 3.13093 2.2 1.9804 2.3 1.4379 2.4 0.6999
10

12. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2. สมการและอสมการลอการิทึม
11

13. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2. สมการและอสมการลอการิทึม
นอกเหนือจากที่นักเรียนรู้ว่าฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขยกกาลังแล้ว
ผู้สอนอาจเพิ่มเติมความรู้เกี่ยวกับการเชื่อมโยงของความสัมพันธ์ระหว่างลอการิทึมและเลขยกกาลัง
ซึ่งจะเป็นประโยชน์ต่อนักเรียนมากในการแก้สมการและอสมการของลอการิทึมและเลขยกกาลัง
12

14. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
13

15. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ผู้สอนให้นักเรียนตอบคาถามสั้นๆ ต่อไปนี้
log x
1. 3 3
= เมื่อ x
log 0.5 x 1
2. 0.5 = เมื่อ x
log (x 3)
3. 2 2
= เมื่อ x
log x
4. 2 4
= เมื่อ x
log x
5. 4 2
= เมื่อ x
x
6. log 9 3 = เมื่อ x
x
7. log
2
2 = เมื่อ x
x 4
8. n (e) = เมื่อ x
x
9. n ( e) = เมื่อ x
log (3x 5)
10. 4 2
= เมื่อ x
คาตอบ
1. x, 2. x 1 , ( 1, ) 3. (x 3) , (3, )
2 x
4. x , 5. x , 6. ,
2
x
7. x, 8. x 4, 9. ,
2
5
10. 4(3x 5) , ( , )
3
14

16. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ในการแก้สมการ เราอาศัยสมบัติที่ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งอยู่เสมอ เช่น
ถ้าเราได้ว่า log 3 (x 5) log 3 (2x 1)
เนื่องจาก ลอการิทึมฐาน 3 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น
x 5 2x 1 และมีเงื่อนไขแฝงว่า 1. (x 5) 0
x 6 และ 2. (2x 1) 0
ผู้สอนต้องย้าเตือนนักเรียนว่า ต้องตรวจสอบจานวนจริง x ที่หาได้ว่าสอดคล้องกับสมบัติ
การเป็นเลขหลังลอการิทึมหรือไม่ (ตรวจสอบเงื่อนไขแฝง) เช่น จากข้างต้นต้องตรวจสอบว่า
(x 5) 0 และ (2x 1) 0
เนื่องจาก x 5 เป็นเลขหลังลอการิทึม เมื่อ x 6 ดังนั้น (x 5) 0 ทาให้
x 6 เป็นคาตอบที่สอดคล้อง และต้องตรวจสอบต่อไปว่า (2x 1) สอดคล้องกับการเป็นเลข
หลังลอการิทึมหรือไม่
ก็จะเห็นว่า เมื่อ x 6 จะได้ (2x 1) 0 ดังนั้นก็จะสอดคล้องกับสมบัติการเป็นเลขหลัง
ลอการิทึม สรุปได้ว่า x 6 เป็นคาตอบของสมการข้างต้น
15

17. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เพื่อให้ง่ายต่อการพิจารณา ผู้สอนอาจแนะให้นักเรียนดูผังต่อไปนี้
ถ้า log A log B
a a
แล้ว A B เงื่อนไขแฝง
1. A 0
และ 2. B 0
(ซึ่งเงื่อนไขแฝงเก็บไว้ตรวจสอบคาตอบขั้นสุดท้าย)
เช่น 1. ถ้า log 7 (3x 1) log 7 (x 5)
ดังนั้น 3x 1 x 5 และมีเงื่อนไขแฝงว่า 1. (3x 1) 0
และ 2. (x 5) 0
2
2. ถ้า n (x 3x 1) n (x 2)
2
ดังนั้น x 3x 1 x 2 และมีเงื่อนไขแฝงว่า
2
1. (x 3x 1) 0
และ 2. (x 2) 0
จะเห็นว่าเงื่อนไขแฝงทั้งหมดก็คือ สมบัติการเป็นเลขหลังลอการิทึมนั่นเอง และเงื่อนไขแฝงนี้ต้องมี
การตรวจสอบไม่ว่าจะเป็นการแก้สมการหรืออสมการลอการิทึม
ในการแก้สมการหรืออสมการลอการิทึมและเลขยกกาลัง ยังมีความรู้เพิ่มเติมที่นักเรียน
สามารถนาไปอ้างใช้ได้ ดังนี้
1
1. log b
a log a
b
log c log a
2. a b
c b
16

18. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
log x log a
3. a a
x a
x
log 7 log 2
ตัวอย่าง 1. 2 2
= 7
2
= 7
log 5 log 9 2
2. 9 3
= 5
3
= 5 = 25
log 3 log 8 3
3. 8 2
= 3
2
= 3 = 27
1
4. log x 7 =
log 7 x
log (x 2) log 3
5. 3 4
= (x 2) 4
log 5x log 9
6. 9 0.2
= 5x 0.2
n (3) n x
7. x = 3
log 3 x log 3 2 3 log 2 3
8. 2 2
= x 2
= x 2
= x
log 1 x log 1 81 log 3
4 4
log 3 4
9.
1 1 3
81 3
= x 3
= x 3
= x = x
17

19. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
18

20. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ตัวอย่างเพิ่มเติม
ตัวอย่าง จงหาเซตคาตอบของสมการ
3
log x log x 2
2 2
วิธีทำ จากสมการ สมมติให้ A log
2
x
จะได้สมการใหม่ในรูป
1 3
A =
A 2
2
2A 3A 2 = 0
คูณสมการด้วย 2 จะได้
2
2A 3 2A 2 = 0
(2A 2 )(A 2) = 0
1
นั่นคือ A หรือ A 2
2
1
ดังนั้น log x หรือ log x 2
2 2 2
1
2 2
ดังนั้น x 2 หรือ x 2
19

21. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
1 1
2 2
ตรวจคำตอบ เนื่องจาก x 2 0 และ 2 1
ดังนั้นสอดคล้องกับสมการโจทย์
2 2
และเนื่องจาก x 2 0 และ 2 1
ดังนั้นสอดคล้องกับสมการโจทย์
1
2 2
เซตคาตอบของสมการคือ 2 , 2
ตัวอย่าง จงหาเซตคาตอบของสมการ
2
log (x 4x 6) 2
3 2x
วิธีทำ จากโจทย์จะได้
2 2
x 4x 6 = 3 2x ( เงื่อนไขแฝง 1. (3 2x ) 0
และ (3 2x ) 1
และ 2. (x 2 4x 6) 0 )
2
x 4x 6 = 3 2x
2
x 2x 3 = 0
2
x 2x 1 2 = 0
2
x 1 2 = 0
เพราะว่า x 1
2
2 0
ดังนั้น จะไม่มีจานวนจริง x ที่ทาให้ x 1 2 2 = 0
นั่นคือ ไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการที่โจทย์กาหนด
ดังนั้น เซตคาตอบของสมการคือ { }
20

22. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
แบบฝึกหัด 1
จงหาเซตของคาตอบของอสมการต่อไปนี้
3
1. 1.1 log 7 (x 1) 1
1.2 log 3 x 4 0
1.3 log 3 (4 x) log 3 (x 4) 1 0
1.4 log 2 (x 2) 2 log 2 (x 1)
1
1.5 log x 5 log x 3 log
3 1
2
4
21

23. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2
1.6 log 3 log 2 (x 3x 2) 1
2
1.7 log 3 log 6 (x x) 0
log 7 x
1.8 x 49
log 2 x (x 8)
1.9 log 7 log 4 log 3 4 0
2
1.10 n (x 4x 8) n x 2 0
คาตอบ
1. 1.1 x 2 1.2 x 3 1.3 x 2
5
1.4 x 2 1.5 x 3
2
1.6 x 5, 2
2 2
1.7 x 3, 2 1.8 x 7 ,7 1.9 x 9, 1
1.10 x 2
22

24. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ในการแก้อสมการลอการิทึม ผู้สอนควรเน้นให้นักเรียนพิจารณา 2 ส่วนต่อไปนี้
ส่วนที่ 1 ฐานของลอการิทึม
ส่วนที่ 2 เลขหลังลอการิทึม
23

25. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เลขหลังลอการิทึม
log b
a
0
ฐานของลอการิทึม
0 a 1 a 1
ฟังก์ชันลด ฟังก์ชันเพิ่ม
เครื่องหมายอสมกำรเปลี่ยนแปลง เครื่องหมายอสมกำรคงเดิม
x y loga x log y x y loga x log y
a a
เมื่อ x 0 และ y 0 เมื่อ x 0 และ y 0
ผู้สอนลองให้นักเรียนพิจารณาแบบฝึกหัดย่อยต่อไปนี้
1. ถ้า log 1 x log 1 y แล้ว x y
3 3
2. ถ้า log 3 x
2
log 3 y
2
แล้ว x y
2 2
3. ถ้า log 1 x log 1 y แล้ว x y
e e
4. ถ้า log (x 1)(x 3) log x(x 1) แล้ว (x 1)(x 3) x (x 1)
2 2
5. ถ้า n n 2x 1 แล้ว (2x 1)
x 3 x 3
คาตอบ
1.  2.  3.  4.  5. 
24

26. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
25

27. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
26

28. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
27

29. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
28

30. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
29

31. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ในการหาเซตคาตอบของอสมการบางกรณีอาจจะไม่มีจานวนจริง ซึ่งสอดคล้องตามอสมการ
ที่กาหนดให้ ดังนั้นเซตคาตอบของอสมการก็จะเป็นเซตว่าง ( ) ดังตัวอย่างต่อไปนี้
2
log (x x 2) log 3
ตัวอย่าง จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3 (x 1)
2
log (x x 2) log 3
วิธีทำ วิธีที่ (1) เพราะว่า 3 0 และ (x 1) 0
และจากอสมการที่กาหนด (ใช้ลอการิทึมฐาน 10 ช่วยในการพิจารณา) จะได้
2
log (x x 2) log 3
log 3 < log (x 1)
2
log (x x 2) log 3 < log 3 log (x 1)
2
 log (x x 2) < log (x 1) ( 0 log 3 1)
30

32. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2
ดังนั้น x x 2 < x 1
2
x 1 < 0 นั่นคือ x ( 1, 1)
แต่ x ( 1, 1) จะทาให้ (x 1) 0 แต่ (x 1) เป็นฐานของเลขยกกาลังซึ่งต้อง
มากกว่าศูนย์ ดังนั้น จึงไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องตามสมการที่กาหนดให้
นั่นคือ เซตคาตอบของอสมการนี้คือ
2
log (x x 2) log 3
วิธีที่ (2) จากโจทย์ 3 (x 1)
log 3 log (x 1)
เพราะว่า (x 1) 3
2
log (x x 2) log (x 1)
ดังนั้น 3 3
เพราะฐานของเลขยกกาลังคือ 3 ซึ่งมากกว่าศูนย์ ดังนั้นจะได้ว่า
2
log (x x 2) < log (x 1)
2
ดังนั้น x x 2 < x 1
2
x 1 < 0
(x 1)(x 1) < 0
x ( 1, 1) ………………....(1)
เนื่องจาก (x 1) เป็นฐานของเลขยกกาลัง ดังนั้น (x 1) 0 …………(2)
ดังนั้น จึงไม่มีจานวนจริง x ที่สอดคล้องตาม (1) และ (2)
นั่นคือ เซตคาตอบของอสมการคือ
แบบฝึกหัด 2
จงหาเซตของคาตอบของอสมการต่อไปนี้
1. log0.35 (5x 4) log (2x
0.35
5)
2
2. log
7
(x 9) log
7
(2x 1)
3. log 1 2x (x 1) log 1 (x 2)
e e
4. log
3
(2x 1) 2
31

33. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2
5. log 2 (1 x ) log 4 x 1
2
2
6. log 5 (2x x) log (x
25
2)
7. log
3
(2x 3) 2 log 3 (x 2) log
3
9
2
8. log 1 log (x
5
4x ) 0
2
9. log
5
log log x (x
3 2
2) 0
2
log 3x 4
10. log
30
log log e
3 2
e
0
คาตอบ
4
1. ( , 3] 2. (3, 4)
5
1 1
3. ( 2, ] [ 2, ) 4. ( , 2]
2 2
5. (0, 1) 6. ( , 2) ( 2, 1] [ 4, )
3 5
7. ( , ] 8. (0, 1)
2 2
9. [ 4, 1 3) ( 1 3, 2] 10. [ 2, 2) ( 2, 2]
32

34. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
3. ปัญหาในชีวิตประจาวันที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเลขชีกาลัง
้
และฟังก์ชันลอการิทม ึ
33

35. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
3. ปัญหาในชีวิตประจาวันที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเลขชีกาลัง
้
และฟังก์ชันลอการิทม ึ
34

36. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
35

37. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
36

38. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
37

39. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
38

40. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
39

41. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
40

42. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
แบบฝึกหัดระคน
log x log 8 log 8
1. เซตคาตอบของสมการ 8 5
x 5
x x
เป็นสับเซตของเซตใด
1. (0, 2) 2. (2, 5)
3. (5, 8) 4. (8, )
1
2. ผลรวมของคาตอบของสมการ log x log 32 2 log ตรงกับข้อใด
2 2 x 4
1. 24 2. 18
3. 12 4. 6
log 3
3. คาตอบของสมการ (log 0.25)(log
0.5
x) 4 2
อยู่ในเซตใด
3
3 3 5
1. (0, ) 2. ( , )
2 2 2
5
3. ( , 3) 4. (3, 7)
2
log 3 log (1 x )
2
2 6
4. เซตคาตอบของสมการ 4 3x x 3 6
เป็นสับเซตของเซตใด
1. ( 5, 1) 2. [1, 3)
3. [ 3, 5) 4. [ 5, ]
log 1 2 log 1 4
2
5. เซตคาตอบของอสมการ x 2 3
(x 4)
9
ตรงกับข้อใด
1. ( 3, 2) ( 3, ) 2. ( , 2) ( 2, )
3. ( , 2) ( 2, 3) 4. ( 2, 2) ( 2, 3)
log log x (x 2)
6. เซตคาตอบของอสมการ 2
3 2
1 ตรงกับข้อใด
1. ( ,1 3] [1 3, )
2. [1 3, 1 2) (1 2, 1 3]
3. [1 2, )
4. ( ,1 3) (1 2, )
41

43. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
2
log (x 3) log (2x 5)
2 2
7. เซตคาตอบของอสมการ sin sin ตรงกับข้อใด
3 3
5
1. ( , 3) (4, ) 2. [ , 3) ( 3 , 4)
2
5 5
3. ( , 2] [ 4, ) 4. ( , ) [ 3 , 4)
2 2
2
(x 3x 5)
8. เซตคาตอบของอสมการ log log 0 ตรงกับข้อใด
1
3
5 (2 x )
1. [ 5, 1 2 2] [ 3, 1 2 2) 2. ( , 5] (1 2 2, 3]
3. (1 2 2, 3] (1 2 2, ) 4. [ 5, 2) [ 3, )
log 5 log x
9. เซตคาตอบของอสมการ 5
x
9 3
ตรงกับข้อใด
1 1 1 1
1. (5 ,
2
) 2. 2
(5 , 5 )
2
(5 ,
2
)
1 1 1 1
3. (5 , 1)
2
(5 ,
2
) 4. (0, 5 )
2 2
(5 , )
2
log(x x 2)
log
10. เซตคาตอบของอสมการ x 1 6
ตรงกับข้อใด
6
1. ( , 2) (3, ) 2. (1, )
3. ( , 1) (2, ) 4. ( 1, 1)
42

44. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
43

45. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง อสมการลอการิทึม
แบบฝึกหัดระคน
1. 2 2. 2 3. 4 4. 1 5. 4 6. 2
7. 3 8. 1 9. 3 10. 2
44

46. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
45

47. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่ววมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
46

48. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชนอินเวอร์ส
ั
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทมึ
ลอการิทึม เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
47

49. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
่
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
้
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
48