ลำดับอนันต์

1. ลิมิตของลำดับ
(1) พิจารณากราฟของลาดับ n n
1
a
2

กราฟ
ถ้า n มีมากขึ้นไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว na มีค่าลดลงเข้าใกล้ 0 แต่ไม่เท่ากับ 0
(2) พิจารณากราฟของลาดับ na 5
กราฟ
ถ้า n มีมากขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด แล้ว na มีค่าเท่ากับ 5 เสมอ
(3) พิจารณากราฟของลาดับ
 
n
n
1
a 1
n

 
กราฟ
ถ้า n มีมากขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด แล้ว na มีค่าเข้าใกล้ 1 แต่ไม่เท่ากับ 1
เมื่อ n มีมากขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด และพจน์ที่ n มีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับจานวนจริง L เพียงจานวน
เดียวเท่านั้น เรียก L ว่า ลิมิตของลำดับ (Limit of a sequence)
และกล่าวว่า ลาดับนั้นมีลิมิตเท่ากับ L เขียนแทนด้วย n
n
lima L

 (อ่านว่า ลิมิตของลาดับ na เมื่อ
n มีมากขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด เท่ากับ L )
ลาดับ n n
1
a
2
 มีลิมิตเท่ากับ 0 เขียนแทนด้วย nn
1
lim 0
2

ลาดับ na 5 มีลิมิตเท่ากับ 5 เขียนแทนด้วย n
lim5 5


ลาดับ
 
n
n
1
a 1
n

  มีลิมิตเท่ากับ 0 เขียนแทนด้วย
 
n
n
1
lim 1 1
n
 
  
  
เรียกลาดับอนันต์ที่มีลิมิตว่า ลำดับลู่เข้ำ (Convegent sequence)
(4) พิจารณากราฟของลาดับ na 2n 1 

2. กราฟ
เมื่อ n มีมากขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด พจน์ที่ n ของลาดับมีค่ามากขึ้นไม่เข้าใกล้จานวนใดจานวนหนึ่ง ลาดับ
นี้จึงไม่มีลิมิตและไม่เป็นลาดับลู่เข้า เรียกลาดับอนันต์นี้ว่า ลำดับลู่ออก (Divegent sequence)
(5) พิจารณากราฟของลาดับ  
n 1
na 1

 
กราฟ
เมื่อ n เป็นจานวนคี่ na 1 และเมื่อ n เป็นจานวนคู่ na 1 
เมื่อ n มีมากขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด พจน์ที่ n ของลาดับมีค่ามากขึ้นไม่เข้าใกล้จานวนใดจานวนหนึ่ง ลาดับ
นี้จึงไม่มีลิมิต จึงเป็นลาดับลู่ออก เรียกลาดับลู่ออกนี้ว่า ลำดับแกว่งกวัด (Oscillating sequence)
ข้อสังเกตเกี่ยวกับลิมิตของลำดับ
1. ลาดับที่จะนามาพิจารณาลิมิตต้องเป็นลาดับอนันต์
2. ลาดับที่มีลิมิต เรียกว่า ลาดับลู่เข้า ลาดับที่ไม่มีลิมิต เรียกว่า ลาดับลู่ออก
3. การพิจารณาว่าลาดับใดจะมีลิมิตหรือไม่ อาจทาได้โดยการพิจารณากราฟของลาดับ
ทฤษฎีบท ให้ r เป็นจานวนจริงบวกใดๆ จะได้ว่า rn
1
lim 0
n
 และ r
n
lim n

หาค่าไม่ได้
ตัวอย่ำงที่ 1) nn
1
lim 0
5
 2) n
n
lim 5

หาค่าไม่ได้
ทฤษฎีบท ให้ n เป็นจานวนจริง
ถ้า r 1 ( 1 r 1   ) แล้ว n
n
lim r 0


ถ้า r 1 (r 1  หรือ r 1 ) แล้ว n
n
lim r

หาค่าไม่ได้
ตัวอย่ำงที่ 1)
n
n
1
lim 0
2
 
  
 
2)
n
n
1
lim 0
5
 
 
 
3)
n
n
3
lim
2
 
 
 
หาค่าไม่ได้

3. 4)
n
n
4
lim
3
 
 
 
หาค่าไม่ได้
ทฤษฎีบท ให้ n n na ,b ,t เป็นลาดับของจานวนจริง A,B เป็นจานวนจริง และ c เป็นค่าคงตัวใดๆ
โดยที่ n
n
lima A

 และ n
n
lim b B

 จะได้ว่า
(1) ถ้า nt c แล้ว n
n n
lim t limc c
 
 
(2) n n
n n
limca clima cA
 
 
(3)  n n n n
n n n
lim a b lima lim b A B
  
    
(4)  n n n n
n n n
lim a b lim a lim b A B
  
    
(5)  n n n n
n n n
lim a b lim a lim b A B
  
    
(6) ถ้า nb 0 ทุกจานวนเต็มบวก n และ B 0 แล้ว
n
nn
n
n n
n
limaa A
lim
b lim b B



 
  
 
ตัวอย่ำง 1) na 8
เนื่องจาก 8 เป็นค่าคงตัว ดังนั้น n
lim8 8


2) n
8
a
n

เนื่องจาก
8 1
8
n n
 
  
 
เป็นค่าคงตัว ดังนั้น n
8
lim
n

n
1
8lim
n
  8 0
 0
3)
2
n 2
2n n
a
3n


เนื่องจาก
2
2
2n n
3n


2
2 2
2n n
3n 3n
 
2 1 1
3 3 n
 
  
 
2
2n
2n n
lim
3n


n
2 1 1
lim
3 3 n
  
   
  

n n
2 1 1
lim lim
3 3 n 

  
2 1
0
3 3


2
3

4. 4)
  
n 2
n 1 n 2
a
2n
 

วิธีที่ 1 na 
  
2
n 1 n 2
2n
 
na 
2
2
n n 2
2n
 
na 
2
2 2 2
n n 2
2n 2n 2n
 
 2
1 1 1
2 2n n
 
n
n
lima

 2n n n
1 1 1 1
lim lim lim
2 2 n n  
 
  
1 1
0 0
2 2
 

1
2
วิธีที่ 2 na 
1 n 1 n 2
2 n n
   
  
  
na 
1 1 2
1 1
2 n n
  
   
  
n
n
lima


n n n n
1 1 1
lim1 lim lim1 2lim
2 n n   
  
   
  
     1
1 0 1 2 0
2
 
   
1
1 1
2

1
2
ทฤษฎีบท ให้ na เป็นลาดับของจานวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0 และให้ m เป็นจานวนเต็มที่
มากกว่าหรือเท่ากับ 2
ถ้า n
n
lima L


แล้ว mm m
n n
n n
lim a lima L
 
 
ตัวอย่ำงที่ 1 จงพิจารณาลาดับ na 
2
3
2
n 27n
8n 3n


ว่าเป็นลาดับลู่เข้าหรือไม่ ถ้าเป็นลาดับลู่เข้าจงหา
ลิมิตของลาดับ

5. วิธีทำ เนื่องจาก
2
2n
n 27n
lim
8n 3n



2
n
2
27
n 1
n
lim
3
n 8
n

 
 
 
 
 
 
 n
27
1
nlim
3
8
n




n n
n n
1
lim1 27lim
n
1
lim8 3lim
n
 
 



1 0
8 0



1
8
จะได้
2
3
2n
n 27n
lim
8n 3n



2
3
2n
n 27n
lim
8n 3n


 3
1
8

1
2
ดังนั้น ลาดับ na 
2
3
2
n 27n
8n 3n


เป็นลาดับลู่เข้า และมีลิมิตเป็น
1
2
ตัวอย่ำงที่ 2 จงพิจารณาลาดับ nb 
2
n 2n
n

ว่าเป็นลาดับลู่เข้าลาดับลู่ออก
วิธีทำ เนื่องจาก
2
n
n 2n
lim
n


 
n
n n 2
lim
n

  n
lim n 2

 หาค่าไม่ได้
ดังนั้น ลาดับ nb 
2
n 2n
n

เป็นลาดับลู่ออก ไม่มีลิมิต
กิจกรรมที่ 1.1 ข

6. 1) na  n 1
1
2 
1 1 1 1
1, , , , ,...
2 4 8 16
 
 
 
2) na   
n 1
1

  1, 1,1, 1,... 
3) na 
1
n
1 1 1
1, , , ,...
2 3 4
 
 
 
4) na   
n 11
1 1
2

  
   1,0,1,0,1,0,...
5) na 
1
2n
1 1 1 1
, , , ,...
2 4 6 8
 
 
 
6) na 
1
2n 1
1 1 1
1, , , ,...
3 5 7
 
 
 
7) na 
n
n 1
1 2 3 4 5
, , , , ,...
2 3 4 5 6
 
 
 
8) na   
n 1 1
1
n

  ..............................................................
9) na 
n
n 1
n
 
 
 
2 2 2
2 3 4 5
, , , ,...
1 2 3 4
      
             
หมำยเหตุ
x
n
1
lim 1
x
 
 
 
 e (e มีค่าประมาณ 2.718281828...)
10) na 
n 1
ln
n
 2 3 4
ln ,ln ,ln ,...
1 2 3
 
 
 
ใช้เครื่องคานวณ
11) na  n
1
1
10
  0.9,0.99,...
12) na 
n 1
4
5

 
 
 
 ..............................................................
13) na 
n
5
4
 
 
 
5 25 125 625
, , , ,...
4 16 64 256
 
 
 
14) na   
n
1 n  ..............................................................
15) na 
n
2
n
n 1
 ..............................................................
16)