การแยกตัวประกอบพหุนาม

1. 1
เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนาม
รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน
รหัสวิชา ค31101
จัดทาโดย
นายนรินทร์โชติ บุณยนันท์สิริ
ครู คศ.3
โรงเรียนจตุรพักตรพิมานรัชดาภิเษก อ.จตุรพักตรพิมาน จ.ร้อยเอ็ด
สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 27
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน
กระทรวงศึกษาธิการ

2. 2
คานา
บทเรียนสาเร็จรูป รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 1 รหัสวิชา ค31101 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4
เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนาม จัดทาขึ้นเพื่อใช้เป็นสื่อการเรียนการสอนใน ซึ่งผู้เรียนสามารถ
ศึกษาหาความรู้ด้วยตนเอง ทั้งยังสามารถประเมินผลการเรียนด้วยตนเองได้ในชั่วระยะหนึ่ง
แต่ทั้งนี้ผู้เรียนจะต้องตั้งอยู่บนพื้นฐานของความซื่อสัตย์ จึงจะรู้ว่ามีความสามารถในด้านสติปัญญา
ในการแก้ไขปัญหามากน้อยเพียงใด สาระที่ปรากฏอยู่ในบทเรียนสาเร็จรูปนั้น จะช่วยให้ผู้เรียน
เข้าใจเนื้อหาเป็นอย่างดี ก่อให้เกิดความรู้ ความเข้าใจ และสามารถนาไปใช้ให้เกิดประโยชน์
ในชีวิตประจาวันได้
ข้าพเจ้าหวังเป็นอย่างยิ่งว่า บทเรียนสาเร็จรูปชุดนี้ คงจะเป็นประโยชน์ต่อการเรียน
การสอนได้เป็นอย่างดี
นายนรินทร์โชติ บุณยนันท์สิริ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

3. 3
คาแนะนาสาหรับครู
1. ใช้บทเรียนสาเร็จรูปชุดนี้ประกอบการเรียนรู้ เรื่อง การแยกตัวประกอบ
2. ศึกษาบทเรียนสาเร็จรูปตั้งแต่กรอบแรกจนถึงกรอบสุดท้าย ทั้งเนื้อหาและกิจกรรม ให้
เข้าใจก่อน
3. ศึกษาว่ากิจกรรมในกรอบใดที่ครูต้องเป็นผู้ให้คาแนะนาช่วยเหลือ หรือ
ให้คาปรึกษาบ้าง
4. ชี้แจงให้นักเรียนอ่านคาแนะนาในการใช้บทเรียนสาเร็จรูป และปฏิบัติตามทุกขั้นตอน
ทุกกรอบ ทั้งเนื้อหา กิจกรรม คาถาม คาตอบหรือแบบทดสอบ ก่อนเรียน และหลังเรียน

4. 4
คาแนะนาสาหรับนักเรียน
บทเรียนที่นักเรียนกาลังศึกษาอยู่นี้เรียกว่า บทเรียนสาเร็จรูป ไม่ใช่ข้อทดสอบ นักเรียนจะ
สามารถเรียนรู้ในเรื่อง “การแยกตัวประกอบ” ได้ด้วยตนเอง ขอให้นักเรียนทาตามคาแนะนาต่อไปนี้
1. นักเรียนต้องซื่อสัตย์ต่อตนเอง ไม่ดูเฉลยก่อนทาแบบทดสอบหรือแบบฝึกหัด
2. ก่อนที่นักเรียนจะศึกษา ควรทาแบบทดสอบก่อนเรียนเป็นอันดับแรก
3. ตั้งใจทาและศึกษาเนื้อเรื่องไปตามลาดับทีละกรอบอย่างรอบคอบ ไม่เปิดข้ามเพราะจะ
ทาให้สับสน
4. อ่านคาอธิบายและคาถามช้า ๆ ให้เข้าใจ คิดให้ดี แล้วจึงตอบคาถามลงในกระดาษเปล่า
อย่าขีดเขียนข้อความใดๆ ลงในบทเรียนสาเร็จรูปนี้
5. เมื่อตอบคาถามเสร็จกรอบหนึ่ง จึงเปิดดูคาตอบในกรอบต่อไป เพื่อตรวจสอบดูว่า
ถูกหรือผิด ถ้าตอบถูกจงทากรอบต่อไป ถ้าตอบผิด ให้ย้อนกลับไปอ่านทบทวน ทาความเข้าใจกับ
เนื้อเรื่องเดิมอีกครั้ง เมื่อเข้าใจดีแล้วจึงแก้คาตอบที่ผิดให้ถูกต้อง
6. ศึกษาเนื้อเรื่องไปเรื่อย ๆ “เหนื่อยก็พัก” สักครู่แล้วค่อยศึกษาต่อไป
7. เมื่อศึกษาจบทุกกรอบแล้ว ให้นักเรียนทาแบบทดสอบหลังเรียนด้วย เสร็จแล้ว
ตรวจคาตอบในเฉลยหน้าต่อไป เพื่อดูความก้าวหน้าของตนเอง

5. 5
จุดประสงค์การเรียนรู้
สามารถแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองได้ถูกต้อง

6. 6
สารบัญ
หน้า
คานา
คาแนะนาสาหรับครู
คาแนะนาสาหรับนักเรียน
แบบทดสอบก่อนเรียน 1
การแยกตัวประกอบ
กรอบที่ 1การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองโดยใช้สมบัติการแจกแจง 4
กรอบที่ 2การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง cbxax 2
เมื่อ a=1, c0 8
กรอบที่ 3การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง cbxax 2
เมื่อ a1, c0 12
แบบทดสอบหลังเรียน 17
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและหลังเรียน 19
เอกสารอ้างอิง 20

7. 7
แบบทดสอบก่อนเรียน
รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ค41101 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนาม
คาชี้แจง ให้นักเรียนทาเครื่องหมาย x ในกระดาษคาตอบหน้าข้อ ก,ข,ค, และ ง ที่ถูกต้อง
1. ตัวประกอบของ 562
 xx ตรงกับข้อใด
ก. (x+5)(x-1)
ข. (x-5)(x-1)
ค. (x+5)(x+1)
ง. (x+3)(x+2)
2. ตัวประกอบของ 57162
 xx ตรงกับข้อใด
ก. (x+19)(x-3)
ข. (x-19)(x+3)
ค. (x-19)(x-3)
ง. (x+19)(x+3)
3. (x+5)(x-7) เป็นตัวประกอบของพหุนามในข้อใด
ก. x2
+2x – 35
ข. x2
-12x – 35
ค. x2
-2x + 35
ง. x2
-2x-35
4. (x-4)(x-6) เป็นตัวประกอบของพหุนามในข้อใด
ก. x2
+10x+24
ข. x2
-10x+24
ค. x2
-10x-24
ง. x2
-2x+24
5. ตัวประกอบของ 3103 2
 xx ตรงกับข้อใด
ก. )3)(13(  xx
ข. (3x+3)(x+1)
ค. (3x-1)(x-3)
ง. (x+3)(3x-1)

8. 8
6. (2x-3)(x+5) เป็นตัวประกอบของพหุนามในข้อใด
ก. 2x2
-7x-15
ข. 2x2
-7x+15
ค. 2x2
+7x+15
ง. 2x2
+7x-15
7. (3x-5)(x+1) เป็นตัวประกอบของพหุนามในข้อใด
ก. 3x2
+4x-5
ข. 3x2
-4x-5
ค. 3x2
-2x-5
ง. 3x2
-2x+5
8. ตัวประกอบของ 2x2
+2x-4 ตรงกับข้อใด
ก. (2x-4)(x-1)
ข. (2x+4)(x-1)
ค. (x+4)(2x-1)
ง. (x-4)(2x+1)
9. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. x2
-11x+30 = (x+5)(x+6)
ข. x2
-x-72 = (x+9)(x-8)
ค. x2
+8x+12 = (x+6)(x+2)
ง. x2
+11x-80 = (x-16)(x+5)
10. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
ก. x2
+11x+18 = (x+9)(x+2)
ข. x2
-13x+42 = (x-6)(x-7)
ค. x2
-16x-39 = (x-13)(x-3)
ง. x2
+8x-48 = (x-12)(x+4)

9. 9
สวัสดีครับน้อง ๆ พี่มีเรื่องมาฝากให้น้องชั้น ม.4
พี่รู้มาว่าตอนนี้น้อง ๆ กาลังเรียนคณิตศาสตร์
เรื่อง การแยกตัวประกอบ กันอยู่ใช่ไหมครับ อยากรู้อะไรเกี่ยวกับ
การแยกตัวประกอบเปิดเข้าไปดูได้เลยครับ

10. 10
บทนิยาม การแยกตัวประกอบของพหุนาม หมายถึง การเขียนพหุนามให้อยู่ในรูป
ผลคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ากว่า
การแยกตัวประกอบพหุนาม
ในการเขียนสัญลักษณ์แทนจานวน นิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น x, y แทนจานวน
และเรียกอักษรเหล่านั้นว่าตัวแปร สาหรับตัวเลขที่แทนจานวน เช่น 1, 2, 3 เรียกว่า ค่าคงตัว เรียก
ข้อความในรูปสัญลักษณ์ เช่น 2, 3x, 5+x, x-8,
2
x
ว่านิพจน์ เรียกนิพจน์ที่เขียนให้อยู่รูปการคูณของค่า
คงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่มีเลขชี้กาลังของตัวแปรเป็นจานวนเต็มบวกหรือศูนย์เช่น -3,
2x, 3xy, x2
ว่า เอกนาม และเรียกนิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปของเอกนามหรือการบวกเอกนามตั้งแต่
สองเอกนามขึ้นไปว่า พหุนาม
1. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยใช้สมบัติการแจกแจง
สมบัติการแจกแจง
ถ้า a, b, c เป็นจานวนจริงใด ๆ แล้ว )()()( cabacba 
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยใช้สมบัติการแจกแจง
1. xx 22

2. xx 33 2

3. xx 416 2

4. 2
255 pp 
วิธีทา 1. xx 22
 = x.x+2.x
= x(x+2)
2. xx 33 2
 = 3.x.x+3x
= 3x(x+1)
3. xx 416 2
 = 42
x.x-4.x
= 4x(x-4)
4. 2
255 pp  = 5.p-5.5.p.p
= 5p(1-5p)

11. 11
คราวนี้ลองทาแบบฝึกหัดเองบ้างนะครับ
น้อง ๆ คงจะเข้าใจแล้วใช่ไหม
ครับว่าวิธีการการแยกตัวประกอบนั้น
เราสามารถโดยใช้สมบัติการแจกแจง
เข้ามาช่วยได้

12. 12
แบบฝึกหัดกรอบที่ 1
จงแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยใช้สมบัติการแจกแจง
1. xx 52

2. yy 636 2

3. xx 24 2

4. 2
93 pp 
5. 7m-49m2
6. m-3m2
7. 2
5aa 
8. 2
42 aa 
9. 2
255 aa 
10. pp 189 2

11. 2
164 qq 
12. 2
749 xx 

13. 13
เฉลยแบบฝึกหัดกรอบที่ 1
จงแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยใช้สมบัติการแจกแจง
1. )5(52
 xxxx
2. )16(6636 2
 yyyy
3. xx 24 2
 = )12(2 xx
4. 2
93 pp  = )31(3 pp 
5. 7m-49m2
= 7m (1-7m)
6. m-3m2
= m (1-3m)
7. 2
5aa  = )51( aa 
8. 2
42 aa  = )21(2 aa 
9. 2
255 aa  = )51(5 aa 
10. pp 189 2
 = )21(9 pp 
11. 2
164 qq  = )41(4 qq 
12. 2
749 xx  = )7(7 xx 
เข้าใจแล้วใช่ไหมครับว่า การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจก
แจงทาได้อย่างไร คราวนี้ มารู้จักกับการแยกตัวประกอบที่อยู่ในรูป ax2
+bx+c
นั้นมีวิธีการคิดอย่างไร ตามมาเลยครับ

14. 14
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป cbxax 2
เมื่อ a=1, c0
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 1072
 xx
วิธีทา หาจานวนสองจานวนที่คูณกันได้10 และบวกกันได้7
เพราะว่า 52 = 10 และ 5+2 = 7
ดังนั้นตัวประกอบของ 1072
 xx = )2)(5(  xx
การแยกตัวประกอบของ เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a=1, c0
ดังนั้นจะได้ การแยกตัวประกอบสามารถทาได้ดังนี้
หาจานวนที่ และ
ดังนั้นตัวประกอบของ =
การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง
ในรูป เมื่อ a=1, c0 มี
วิธีการดังนี้

15. 15
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 62
 xx
วิธีทา หาจานวนสองจานวนที่คูณกันได้ -6 และบวกกันได้1
เพราะว่า (-2)3 = -6 และ (-2)+3 = 1
ดังนั้นตัวประกอบของ 62
 xx = )3)(2(  xx
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 232
 xx
วิธีทา หาจานวนสองจานวนที่คูณกันได้ 2 และบวกกันได้-3
เพราะว่า (-2)(-1) = 2 และ (-2)+(-1) = -3
ดังนั้นตัวประกอบของ 232
 xx = )1)(2(  xx
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 92
x
วิธีทา หาจานวนสองจานวนที่คูณกันได้ -9 และบวกกันได้0
เพราะว่า (-3)(3) = -9 และ (-3)+3 = 0
ดังนั้นตัวประกอบของ 232
 xx = )3)(3(  xx
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 5052
 xx
วิธีทา หาจานวนสองจานวนที่คูณกันได้ -50 และบวกกันได้-5
เพราะว่า (-10)(5) = -50 และ (-10)+5 = -5
ดังนั้นตัวประกอบของ 5052
 xx = )5)(10(  xx

16. 16
แบบฝึกหัดกรอบที่ 2
จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
1. 962
 xx
2. 1492
 xx
3. 2082
 xx
4. 1662
 xx
5. 36122
 xx
6. 49142
 xx
7. 1002
x
8. 812
x
9. 11102
 xx
10. 5052
 xx

17. 17
เฉลยแบบฝึกหัดกรอบที่ 2
จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
1. 962
 xx = )3)(3(  xx
2. 1492
 xx = )2)(7(  xx
3. 2082
 xx = )2)(10(  xx
4. 1662
 xx = )2)(8(  xx
5. 36122
 xx = )6)(6(  xx
6. 49142
 xx = )7)(7(  xx
7. 1002
x = )10)(10(  xx
8. 812
x = )9)(9(  xx
9. 11102
 xx = )1)(11(  xx
10. 5052
 xx = )5)(10(  xx

18. 18
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป cbxax 2
เมื่อ a1, c0
การแยกตัวประกอบของ cbxax 2
เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a1, c0
ดังนั้นจะได้ cbxax 2
การแยกตัวประกอบสามารถทาได้ดังนี้
เช่น จงแยกตัวประกอบของ 144 2
 xx
1) หาพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามที่คูณกันได้ 2
4x เช่น (2x)(2x) หรือ (4x)(x) เขียนสอง
พหุนามที่ได้ให้เป็นพจน์หน้าของผลคูณของพหุนามใหม่ดังนี้
(2x )(2x ) หรือ (4x )(x )
2) หาจานวนสองจานวนที่มีผลคูณเท่ากับ 1 ซึ่งเท่ากับ (1)(1) หรือ (-1)(-1) เขียนจานวนทั้ง
สองเป็นพจน์หลังของพหุนามในข้อ 1) ดังนี้
(2x +1)(2x + 1) หรือ (4x +1)(x + 1)
(2x - 1)(2x - 1) หรือ (4x -1)(x - 1)
การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง
ในรูป เมื่อ a1, c0
มีวิธีการดังนี้

19. 19
3) หาพจน์กลางของพหุนามจากผลคูณของพหุนามแต่ละคู่ในข้อ 2 ที่มีผลบวก
เท่ากับ -4x จะได้
-2x
จากผลคูณ (2x - 1)(2x - 1) ได้พจน์กลางเท่ากับ -4x
-2x
ดังนั้น พหุนาม 144 2
 xx = (2x - 1)(2x - 1) หรือ (2x-1)2
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของพหุนาม
1) 4106 2
 xx
2) 8192 2
 xx
วิธีทา
1) 4106 2
 xx = )13)(42(  xx หรือ )2)(26(  xx
2) 8192 2
 xx = )9)(92(  xx

20. 20
น้องอย่าลืมนะครับ
การแยกตัวประกอบนั้นยิ่งฝึกทาเยอะ
เท่าไหร่น้อง ๆ ก็จะสามารถแยกตัว
ประกอบของพหุนามดีกรีสองได้เร็ว
เท่านั้น ทดสอบความเข้าใจด้วยการ
ทาแบบฝึกหัดนะครับ

21. 21
แบบฝึกหัดกรอบที่ 3
จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
1) 3103 2
 xx
2) 62 2
 xx
3) 12 2
 xx
4) 328 2
 xx
5) 954 2
 xx
6) 1543 2
 xx

22. 22
เฉลยแบบฝึกหัดกรอบที่ 3
จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
1) 3103 2
 xx = )3)(13(  xx
2) 62 2
 xx = )2)(32(  xx
3) 12 2
 xx = )1)(12(  xx
4) 328 2
 xx = )12)(34(  xx
5) 954 2
 xx = )1)(94(  xx
6) 1543 2
 xx = )3)(53(  xx

23. 23
แบบทดสอบหลังเรียน
รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ค41101 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เรื่อง การแยกตัวประกอบ
คาชี้แจง ให้นักเรียนทาเครื่องหมาย x ในกระดาษคาตอบหน้าข้อ ก,ข,ค, และ ง ที่ถูกต้อง
1. ตัวประกอบของ 562
 xx ตรงกับข้อใด
ก. (x+5)(x-1)
ข. (x-5)(x-1)
ค. (x+5)(x+1)
ง. (x+3)(x+2)
2. ตัวประกอบของ 57162
 xx ตรงกับข้อใด
ก. (x+19)(x-3)
ข. (x-19)(x+3)
ค. (x-19)(x-3)
ง. (x+19)(x+3)
3. (x+5)(x-7) เป็นตัวประกอบของพหุนามในข้อใด
ก. x2
+2x – 35
ข. x2
-12x – 35
ค. x2
-2x + 35
ง. x2
-2x-35
4. (x-4)(x-6) เป็นตัวประกอบของพหุนามในข้อใด
ก. x2
+10x+24
ข. x2
-10x+24
ค. x2
-10x-24
ง. x2
-2x+24
5. ตัวประกอบของ 3103 2
 xx ตรงกับข้อใด
ก. )3)(13(  xx
ข. (3x+3)(x+1)
ค. (3x-1)(x-3)
ง. (x+3)(3x-1)

24. 24
6. (2x-3)(x+5) เป็นตัวประกอบของพหุนามในข้อใด
ก. 2x2
-7x-15
ข. 2x2
-7x+15
ค. 2x2
+7x+15
ง. 2x2
+7x-15
7. (3x-5)(x+1) เป็นตัวประกอบของพหุนามในข้อใด
ก. 3x2
+4x-5
ข. 3x2
-4x-5
ค. 3x2
-2x-5
ง. 3x2
-2x+5
8. ตัวประกอบของ 2x2
+2x-4 ตรงกับข้อใด
ก. (2x-4)(x-1)
ข. (2x+4)(x-1)
ค. (x+4)(2x-1)
ง. (x-4)(2x+1)
9. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
ก. x2
-11x+30 = (x+5)(x+6)
ข. x2
-x-72 = (x+9)(x-8)
ค. x2
+8x+12 = (x+6)(x+2)
ง. x2
+11x-80 = (x-16)(x+5)
10. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
ก. x2
+11x+18 = (x+9)(x+2)
ข. x2
-13x+42 = (x-6)(x-7)
ค. x2
-16x-39 = (x-13)(x-3)
ง. x2
+8x-48 = (x-12)(x+4)

25. 25
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน
รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ค41101 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เรื่อง การแยกตัวประกอบ
ข้อที่ คาตอบ ข้อที่ คาตอบ
1 ข 6 ง
2 ก 7 ค
3 ง 8 ข
4 ข 9 ก
5 ก 10 ง

26. 26
เอกสารอ้างอิง
ศึกษาธิการ กระทรวง. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้พื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4. พิมพ์ครั้งที่ 1. กรุงเทพมหานคร ; 2546.
ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. คู่มือคณิตศาสตร์ ม.3 เล่มที่ 2. กรุงเทพมหานคร; 2541