อนุกรมเลขคณิต

1. อนุกรม
ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับ เรียกว่ำ อนุกรม (series) และผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับ
จำกัด ..., na เขียนในรูปของ จะเรียกผลรวมของพจน์ทุกพจน์ของ
ลำดับจำกัดว่ำ อนุกรมจำกัด
ตัวอย่ำงที่ 1 จงเขียนอนุกรมจำกัดของลำดับจำกัดต่อไปนี้
(1)
(2)
(3)
(4)
วิธีทำ (1) เป็นอนุกรมจำกัดของลำดับ
(2) เป็นอนุกรมจำกัดของลำดับ
(3) เป็นอนุกรมจำกัดของลำดับ
(4) 3 3 3
1 2 3 ...   เป็นอนุกรมจำกัดของลำดับ ...
1a , 2a , 3a , 1 2 3 na a a ... a   
12, 9, 6, 3
1, 3, 9, 27, 81
1
,
2 2
1
,
2 3
1
,
2 4
1
,
2 5
1
,
2 6
1
,
2 7
1
2
3
1 , 3
2 , 3
3 , ..., 3
10
12 9 6 3   12, 9, 6, 3
1 3 9 27 81    12, 9, 6, 3
2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
     
1
,
2 2
1
,
2 3
1
,
2 4
1
,
2
5
1
,
2 6
1
,
2 7
1
2
3
1 , 3
2 , 3
3 ,
nS  1 2 3 na a a ... a   
ข้อตกลง ถ้ำ 1a , 2a , 3a , ..., na เป็นลำดับจำกัด ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรม
1 2 3 na a a ... a    เขียนด้วยด้วย 5S
นั่นคือ 5S  1 2 3 4 5a a a a a   
ในทำนองเดียวกัน ผลบวก 6 พจน์แรกของอนุกรม 1 2 3 na a a ... a    เขียนด้วยด้วย 6S
นั่นคือ 6S  1 2 3 4 5 6a a a a a a    
ในกรณีทั่วไป จะเขียนแทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมด้วย nS
นั่นคือ nS  1 2 3 na a a ... a   
จำกข้อตกลงนี้จึงได้ว่ำ
1S  1a
2S  1 2a a
3S  1 2 3a a a 
.
.
.

2. ตัวอย่ำงที่ 2 กำหนดลำดับจำกัด
(1) จงเขียนอนุกรมของลำดับนี้
(2) จงหำผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมในข้อ (1)
(3) จงหำผลบวกของทุกพจน์ของอนุกรมในข้อ (1)
วิธีทำ (1) เป็นอนุกรมจำกัด
(2) ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมในข้อ (1)
(3) ผลบวกของทุกพจน์ของอนุกรมในข้อ (1)
2
1 , 2
2 , 2
3 , 2
4 , 2
5 , 2
6 , 2
7 , 2
8 , 2
9 , 2
10
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10         2
1 , 2
2 , 2
3 ,
2
4 , 2
5 , 2
6 , 2
7 , 2
8 , 2
9 , 2
10
 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5   
 1 4 9 16 25   
 55
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10        
 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100        
 385
ข้อตกลง
1. เพื่อควำมสะดวก ต่อไปนี้จะเขียนอนุกรมจำกัดที่มีหลำยพจน์ โดยเขียนเฉพำะ 3 พจน์แรก และ
พจน์สุดท้ำย โดยละพจน์อื่นๆ ไว้ในฐำนที่เข้ำใจ เช่น ในตัวอย่ำงที่ 2 ข้อ (1) จะเขียนอนุกรม
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10         ย่อๆ เป็น 2 2 2 2
1 2 3 ... 10   
2. อนุกรมที่เกิดจำกลำดับเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเลขคณิต และอนุกรมที่เกิดจำกลำดับเรขำคณิต
เรียกว่ำ อนุกรมเรขำคณิต

3. กำรหำผลบวกของอนุกรมจำกัด
กำรหำผลบวกของอนุกรมจำกัด สำมำรถหำด้วยวิธีหำผลบวกตำมปกติได้ แต่กรณีที่อนุกรมจำกัดนั้นมี
หลำยๆ พจน์ กำรหำผลบวกของอนุกรมด้วยวิธีหำผลบวกตำมปกติจะไม่สะดวก
พิจำรณำผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้
(1) 3 5 7 9 11   
(2) 1 1 1
4 2 1
2 4 8
    
(3) 1 1 1 1 1 1
4 2 1
2 4 8 16 32 64
       
จะเห็นได้ว่ำ ผลบวกของอนุกรม 3 5 7 9 11    หำด้วยวิธีหำผลบวกปกติได้เท่ำกับ 35 ซึ่งหำได้
ง่ำยๆ
ผลบวกของอนุกรม 1 1 1
4 2 1
2 4 8
     
32 16 8 4 2 1
8
    

63
8
ผลบวกของอนุกรม 1 1 1 1 1 1
4 2 1
2 4 8 16 32 64
       

256 128 64 32 16 8 4 2 1
63
       

511
63
จะเห็นว่ำ ในบำงกรณีผลบวกของอนุกรมที่มีจำนวนพจน์หลำยๆ พจน์ จะหำผลบวกตำมปกติไม่
สะดวก ต้องหำผลบวกด้วยวิธีคำนวณจำกสูตร
ในหัวข้อนี้ จะกล่ำวถึงกำรหำผลบวกด้วยวิธีคำนวณจำกสูตรเฉพำะของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรม
เรขำคณิต ดังนี้

4. อนุกรมเลขคณิต
อนุกรมที่ได้จำกลำดับเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเลขคณิต และเรียกผลต่ำงร่วมของลำดับ
เลขคณิต ว่ำเป็นผลต่ำงร่วมของอนุกรมเลขคณิต เช่น
เป็นลำดับเลขคณิต มีค่ำ
เป็นอนุกรมเลขคณิต มีค่ำ
กำรหำผลบวกของทุกพจน์ของอนุกรมนี้ (มีทั้งหมด 5 พจน์) ทำได้อีกวิธีหนึ่ง ดังนี้
เนื่องจำก
ดังนั้น
ในกรณีของกำรหำผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต จะหำได้ดังนี้
จำก และ
จะได้
------------ 
 d
3, 5, 7, 9, 11 d 2, 1a 3, 5a 11
3 5 7 9 11    d 2, 1a 3, 5a 11
3 5 7  9 11
11 9 7  5 3
14 14 14 14 14
14 14 14 14 14  5 14
3 5 7 9 11    
5 14
2

 35
n
nS  1 2 3 n 2 n 1 na a a ... a a a        n 1a a n 1 d  
nS         1 1 1 1 1a a d a 2d ... a n 3 d a n 2 d                
 1a n 1 d    
อนุกรมที่ได้จำกลำดับเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเลขคณิต และเรียกผลต่ำงร่วมของลำดับเลขคณิต
ว่ำเป็นผลต่ำงร่วมของอนุกรมเลขคณิต
สูตร อนุกรมเลขคณิต
หรือ
 d
nS    1
n
2a n 1 d
2
 
nS   1 n
n
a a
2


5. จำก  สำมำรถเขียน ในรูปผลบวกของพจน์ที่ เรียงตำมลำดับไปถึงพจน์ที่
1 ได้เป็น
------------ 
นำ   จะได้
ดังนั้น ---------- (สูตรที่ 1)
เรำสำมำรถแปลงสูตรที่ 1 ให้ง่ำยยิ่งขึ้น โดยใช้สูตร แทนในสูตรที่ 1 ดังนี้
จำก
จะได้
ดังนั้น ---------- (สูตรที่ 2)
nS n
nS       1 1 1a n 1 d a n 2 d a n 3 d ...                   
   1 1 1a 2d a d a   

n nS S         1 1 1 1a a (n 1)d a d a n 2 d          
         1 1 1 1a 2d a n 3 d ... a n 3 d a 2d                
     1 1 1 1a n 2 d (a d) a n 1 d a             
n2S 
      1 1 12a n 1 d 2a d nd 2d 2a 2d nd 2d ...           
      1 1 12a nd 3d 2d 2a nd 2d d 2a n 1 d         
n2S 
        1 1 12a n 1 d 2a n 1 d 2a n 1 d ...         
        1 1 12a n 1 d 2a n 1 d 2a n 1 d       
n2S    1n 2a n 1 d 
 n 1a a n 1 d  
nS    1
n
2a n 1 d
2
 
nS    1 1
n
a a n 1 d
2
    
nS    1
n
2a n 1 d
2
 
nS   1 n
n
a a
2


6. ตัวอย่ำงที่ 1 จงหำผลบวกของอนุกรมเลขคณิตต่อไปนี้
(1)
(2)
(3)
วิธีทำ (1) วิธีที่ 1 หำผลบวกจำกกำรหำผลบวกตำมปกติ จะได้
ผลบวก
วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร ; จะได้
ผลบวก
(2) วิธีที่ 1 หำผลบวกจำกกำรหำผลบวกตำมปกติ จะได้
ผลบวก
วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร ; 10a 47 จะได้
ผลบวก
3 5 7 9 11   
2 7 12 17 22 27 32 37 42 47        
4 5 7 8 10 11 13 14
1 2 3 4
3 3 3 3 3 3 3 3
          
 3 5 7 9 11   
 35
nS   1 n
n
a a
2
 n 5, 1a 3, 5a 11
 5S   
5
3 11
2


5
14
2

 35
 2 7 12 17 22 27 32 37 42 47        
 245
nS   1 n
n
a a
2
 n 10, 1a 2,
 10S   
10
2 47
2

 5 49
 245

7. (3) วิธีที่ 1 หำผลบวกจำกกำรหำผลบวกตำมปกติ จะได้
ผลบวก
วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร ; จะได้
ผลบวก
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหำผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมที่กำหนดค่ำ และ ให้ดังนี้
(1)
(2)
(3)
วิธีทำ (1) วิธีที่ 1 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้
จำก
จะได้
วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้

4 5 7 8 10 11 13 14
1 2 3 4
3 3 3 3 3 3 3 3
          

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3
          

102
3
 34
nS   1 n
n
a a
2
 n 12, 1a 1, 12
14
a
3

 12S 
12 14
1
2 3
 
  

17
6
3
 
 
 
 34
1a d
1a 3, d 2
1a 2, d 5
1a 8, d 2 
nS   1 n
n
a a
2

8a  1a 7d
  3 7 2
 17
8S   1 8
8
a a
2

  
8
3 17
2

 80
nS   1
n
2a n 1 d
2
   
5S     
8
2 3 8 1 2
2
   
  4 6 14 
 80

8. (2) วิธีที่ 1 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้
จำก
จะได้
วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้
(3) วิธีที่ 1 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้
จำก
จะได้
วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้
nS   1 n
n
a a
2

8a  1a 7d
  2 7 5
 37
8S   1 8
8
a a
2

  
8
2 37
2

 156
nS   1
n
2a n 1 d
2
   
5S     
8
2 2 8 1 5
2
   
  4 4 35 
 156
nS   1 n
n
a a
2

8a  1a 7d
  8 7 2 
 6
8S   1 8
8
a a
2

  
8
8 6
2
   
 8
nS   1
n
2a n 1 d
2
   
5S      
8
2 8 8 1 2
2
    
  4 16 14
 8

9. ตัวอย่ำงที่ 3 จงหำผลบวกของอนุกรม
วิธีทำ อนุกรมนี้มี จะต้องหำค่ำ
จำก
จะได้
จำก หำผลบวกของ หรือหำ
จำก
จะได้
ตัวอย่ำงที่ 4 กำหนดให้อนุกรมเลขคณิตมีพจน์ที่ 2 เท่ำกับ 10 และมีผลต่ำงร่วมเท่ำกับ จงหำ
และ
วิธีทำ กำหนด และ
จำก
จะได้
จำก
จะได้
และ
ดังนั้น และ
5 9 13 17 ... 81    
1a 5, na 81, d 4 n
na   1a n 1 d 
81   5 n 1 4 
81  5 4n 4 
n  20
n  20 5 9 13 17 ... 81     20S
nS   1 n
n
a a
2

20S   
20
5 81
2

 860
3
15S 20S
2a 10 d 3
na   1a n 1 d 
10   1a 2 1 3 
10  1a 3
1a  7
nS   1
n
2a n 1 d
2
   
15S     
15
2 7 15 1 3
2
   
  
15
14 42
2

 420
20S     
15
2 7 20 1 3
2
   
  
15
14 57
2

 710
15S  420 20S  710

10. ตัวอย่ำงที่ 5 กำหนดให้อนุกรมเลขคณิตมีพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 9 เท่ำกับ และ
ตำมลำดับ จงหำผลบวก 20 พจน์แรก
วิธีทำ กำหนด และ
จำก
-----------
-----------
 ;
แทนค่ำ ลงใน  จะได้
จำก
ดังนั้น ผลบวก 20 พจน์แรก คือ
ตัวอย่ำงที่ 6 จงหำผลบวกของจำนวนเต็มคี่ตั้งแต่ ถึง
วิธีทำ เนื่องจำก เป็นอนุกรมเลขคณิตที่มี
จำก
จำก
จะได้
ดังนั้น ผลบวกของจำนวนเต็มคี่ตั้งแต่ ถึง เท่ำกับ
19 35
5a 19 9a 35
na   1a n 1 d 
5a   1a 5 1 d 
19  1a 4d
9a   1a 9 1 d 
35  1a 8d
 16  4d
d  4
d  4
19  1a 4(4)
1a  3
20a  1a 19d
 3 19(4)
 79
20S   1 20
20
a a
2

  10 3 79
 820
9 251
9 11 13 ... 251    1a 9, d 2
na   1a n 1 d 
251   9 n 1 2 
251  9 2n 2 
n 
244
2
 122
nS   1 n
n
a a
2

122S   
122
9 251
2

 15,860
9 251 15,860

11. ตัวอย่ำงที่ 7 ผู้รับเหมำก่อสร้ำงคนหนึ่งนำปูนซีเมนต์วำงซ้อนกันเป็นชั้นๆ ถ้ำเขำวำงปูนซีเมนต์ไว้ชั้นล่ำงสุด
ถุง และวำงปูนซีเมนต์ไว้ชั้นบนสุดจำนวน 24 ถุง โดยให้แต่ละชั้นที่สูงขึ้นมีปูนซีเมนต์ลดลงชั้นละ ถุง
เสมอ จงหำว่ำ
(1) ปูนซีเมนต์กองนี้มีกี่ชั้น
(2) ปูนซีเมนต์กองนี้มีทั้งหมดกี่ถุง
วิธีทำ (1) ถ้ำเรียงจำนวนถุงปูนซีเมนต์จำกบนลงล่ำงจะได้อนุกรมนี้ คือ
โดยที่
จำก
จะได้
100
ดังนั้น ปูนซีเมนต์กองนี้มี ชั้น
(2) จำนวนถุงทั้งหมดของปูนซีเมนต์กองนี้ คือ หรือ
จำก
จะได้
ดังนั้น ปูนซีเมนต์กองนี้มีทั้งหมด ถุง
100 4
24 28 32 ... 100   
1a 24, d 4
na   1a n 1 d 
100   24 n 1 4 
 24 4n 4 
4n  80
n  20
20
24 28 32 ... 100    20S
nS   1 n
n
a a
2

20S   
20
24 100
2

 1,240
1,240