Φύλλα εργασίας Γεωμετρίας για την Α και Β Λυκείου [2018 - 19]

Σχ.Έτος 17-18
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια : Ιορδάνη Κοσόγλου
Msc μαθηματικού Γε. Λ
ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Ευκλείδειας Γεωμετρίας Α΄ Λυκείου – Κεφάλαιο 3ο

ΓΕ.Λ Εξαπλατάνου ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ Λυκείου
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη, μαθηματικού ΓΕ.Λ Εξαπλατάνου- http://blogs.sch.gr/iordaniskos - σελίδα 2
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 3.1
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
ΟΡΙΣΜΟΙ – ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ - ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ
 Σημείο είναι ότι δεν έχει μέρος - ( Ευκλείδειος Ορισμός-Βιβλίο Ι)
Α ) Σημεία : Συμβολίζονται με ΚΕΦΑΛΑΙΑ γράμματα.
 Ευθεία είναι ότι έχει μόνο μήκος - (Ευκλείδειος Ορισμός-Βιβλίο Ι)
 Κάθε Ευθύγραμμο Τμήμα προεκτεινόμενο και από τα δυο άκρα καταλήγει
σε ευθεία. - ( Ευκλείδειο Αίτημα ΙΙ)
Β ) Ευθύγραμμα Τμήματα : Γράφουμε κολλητά την αρχή και το πέρας του
τμήματος. Π.χ ΑΒ , ΑΓ , ΒΓ . Είτε γράψω ΑΒ είτε ΒΑ αναφέρομαι στο ΙΔΙΟ τμήμα.
 Το μέρος που περιέχεται από δυο μη αντικείμενες ημιευθείες καλείται
γωνία. (Ευκλείδειος Ορισμός-Βιβλίο Ι)
Γ ) Γωνίες : Συμβολίζονται είτε με ένα γράμμα (κορυφή), είτε με τρία γράμματα.
Μερικές φορές τις αριθμούμε. Η κορυφή στο κέντρο .
π. χ 𝛢̂ ή Γ 𝛢̂Β ή Β 𝛢̂Γ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ :Να γράψετε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα και τις γωνίες που
βλέπετε στο σχήμα.
…………………………………………………………………………………….

Δ ) Στοιχεία Τριγώνου : Είναι οι πλευρές , οι γωνίες , οι διάμεσοι , οι διχοτόμοι
και τα ύψη (δευτερεύοντα). Τις πλευρές τις συμβολίζουμε είτε όπως τα τμήματα
ή με μικρά γράμματα. Για π. χ την ΑΓ = β , την ΑΒ = ……… και την ΒΓ = ……….
Δηλαδή απέναντι από την γωνία 𝛢̂ είναι η πλευρά α. Ομοίως οι άλλες.
Οι διάμεσοι συμβολίζονται με μα , μβ , μγ , ή όπως τα ευθ. τμήματα.
Οι διχοτόμοι συμβολίζονται με δα , δβ , δγ , ή όπως τα τμήματα.
Τα ύψη συμβολίζονται με ………………….., ή …………………..
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ :Γράψτε πάνω στο σχήμα τα δευτερεύοντα στοιχεία του
τριγώνου.
…………………………………………………………………………………….
Λίγη Μαθηματική Λογική
Προτάσεις ( p, q , r )
Απλή Πρόταση, στα μαθηματικά, καλείται μια δήλωση (statement) που μπορεί
να χαρακτηριστεί ως Αληθής ή Ψευδής (True – False). Συμβολίζονται με p, q, r.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Ποιες από τις παρακάτω είναι προτάσεις ;
i ) Το 2 είναι άρτιος.
ii ) Καλημέρα σας !!
iii ) Τι κάνετε ;
iv ) Το 45 διαιρείται με το 4.
v ) Ο καθηγητής των μαθηματικών είναι 45 χρόνων.
vi ) Σήμερα θα βρέξει.

Σύνθετες Προτάσεις ,είναι προτάσεις που περιέχουν συνδέσμους. Σύνδεσμοι
είναι το ή ( ∨ ) , το και ( ∧ ) και η άρνηση (  ). Στις παρενθέσεις είναι οι
συμβολισμοί αυτών.
Δείτε κάποιες σύνθετες προτάσεις.
i ) Το 2 είναι άρτιος και πρώτος.
ii ) Το 45 διαιρείται με το 5 και το 6.
iii ) O καθηγητής των μαθηματικών είναι 45 χρόνων ή 50.
iv ) Δεν είμαι κινέζος.
 Η Αντίθετη Πρόταση της p είναι η  p.
Γράψτε τις αντίθετες των παρακάτω προτάσεων.
i ) x ≠ 3.
ii ) α = 0 ή β = 0 .
iii ) O καθηγητής των μαθηματικών είναι 45 χρόνων.
iv ) Είμαι ελέφαντας.
v ) x ≥ 3.
vi ) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΕΣ – ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗΣ: «Αν χιονίζει , τότε κάνει κρύο».
Μαθηματικά : Χιονίζει  Κάνει Κρύο.
Ονομάζω την 1η πρόταση ( p ) την φράση « Χιονίζει ». Η φράση αυτή
θεωρείται ΔΕΔΟΜΕΝΟ ή ΥΠΟΘΕΣΗ.
Ονομάζω 2η πρόταση ( q ) την φράση « κάνει κρύο ». Η φράση αυτή είναι το
ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ ή ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ.
ΑΛΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συνεπαγωγών
i ) Αν θέλω να πάρω κινητό , τότε χρειάζομαι 200€.
ii ) Αν x > 5 , τότε x > 3.
iii ) Αν το ΑΒΓ είναι ισοσκελές , τότε οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΕΣ
 Η Αντίστροφη της συνεπαγωγής pq , είναι η q  p

ΑΣΚΗΣΗ : Μπορείτε να γράψετε τις αντίστροφες των παραπάνω συνεπαγωγών;
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ
Αν ισχύουν ταυτόχρονα οι συνεπαγωγές pq , q  p , τότε γράφουμε p  q.
Διαβάζουμε «p αν και μόνο αν q» ή « αν p τότε και μόνον τότε q » .
i ) Το ΑΒΓ είναι ισοσκελές αν και μόνο αν οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.
ii ) α∙β= 0 αν και μόνο αν α = 0 ή β = 0 .
iii ) Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ισαπέχει από τα
άκρα Α , Β του ευθυγράμμου τμήματος.
Αντιθετοαντιστροφή
Όπως είπαμε παραπάνω η αντίθετη της p είναι η  p και η αντίστροφη της
pq είναι η q  p . Συνεπώς η αντιθετοαντίστροφη της συνεπαγωγής
p  q είναι η  q   p
ΑΣΚΗΣΗ : Μπορείτε να γράψετε τις αντιθετοαντίστροφες των παρακάτω
συνεπαγωγών ;
i ) Αν θέλω να πάρω κινητό , τότε χρειάζομαι 200€.
ii ) Αν x > 5 , τότε x > 3.
iii ) Αν το ΑΒΓ είναι ισοσκελές , τότε οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.
iv ) α∙β= 0 αν και μόνο αν α = 0 ή β = 0 .
AΠΑΝΤΗΣΗ
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
Τι παρατηρείτε ; …………………………………………………………………………………….
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΡΙΤΗΡΙΟ (Π-Γ-Π)
Περιεχόμενη Γωνία
ι ) Η περιεχόμενη γωνία των ΑΒ , ΑΓ είναι η : …………
ιι ) Η περιεχόμενη γωνία των ΑΒ , ΒΓ είναι η : …………
ιιι ) Η περιεχόμενη γωνία των ΒΓ , ΑΓ είναι η : ………
1ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων
ΑΣΚΗΣΗ 1
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
Ισοσκελές Τρίγωνο
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

ΑΣΚΗΣΗ 2
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
Μεσοκάθετος Ευθ. τμήματος
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
Τόξα και Χορδές Κύκλου – Υπενθυμίσεις
……………………………………
……………………………………
…………………………………….
…………………………………….
………………………………….....
……………………………………..
Για το Σπίτι : Άσκηση 3 Αποδεικτικές

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 3.3 – 3.4
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΡΙΤΗΡΙΑ (Γ-Π-Γ) , (Π-Π-Π)
Προσκείμενη Γωνία
ι ) Οι προσκείμενες γωνίες στην πλευρά ΑΓ είναι: …
ιι ) Οι προσκείμενες γωνίες στην πλευρά ΒΓ είναι: …
ιιι ) Οι προσκείμενες γωνίες στην πλευρά ΑΒ είναι: ..
ΑΣΚΗΣΗ 1
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
ΑΣΚΗΣΗ 2
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………

Ισοσκελές Τρίγωνο
Μεσοκάθετος Ευθ. τμήματος
 Ποια η σχέση του παραπάνω Πορίσματος με το Πόρισμα ΙΙΙ της
Παραγράφου 3.2 ; ………………………………………………………………….
Τόξα και Χορδές Κύκλου
 Ποια η σχέση των παραπάνω Πορισμάτων με το Πόρισμα ΙV της
Παραγράφου 3.2 ; ………………………………………………………………….
ΑΣΚΗΣΗ 3
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
Για το Σπίτι : Ασκήσεις 1-3 Κατανόησης

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ : 3.11 - 3.12
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΛΕΥΡΩΝ ΓΩΝΙΩΝ – ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
( Η απόδειξη του Θεωρήματος είναι ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ)
 Για παράδειγμα :
β > γ 


 Να διαβαστούν οπωσδήποτε τα Πορίσματα της Παραγράφου 3.11
 Να διαπραγματευτείτε την Ερώτηση Κατανόησης 1.
ΑΣΚΗΣΗ 1
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
Τριγωνική Ανισότητα

ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
ΑΣΚΗΣΗ 2
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
Δραστηριότητα για το Σπίτι (αφού μελετήσετε πρώτα την Εφαρμογή 4)
Για το Σπίτι : Ασκήσεις 2,3 Κατανόησης – 5 , 6 , 10 Εμπέδωσης

ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ
Διάκεντρος
Ονομάζεται το ………………………………………………………………………………………………..
Συμβολίζεται με …………… .
 Οι σχετικές θέσεις 2 κύκλων εξαρτώνται απ τη σχέση της διακέντρου με το
άθροισμα ή τη διαφορά των ακτίνων τους.
Σχετική Θέση 1 – Οι κύκλοι δεν έχουν κοινά σημεία (Εξωτερικοί)
δ > ……….. + …………..
Σχετική Θέση 2 – Οι κύκλοι τέμνονται
Σχηματίζεται το τρίγωνο ΑΟΚ.
Ισχύει σε αυτό , η τριγωνική ανισότητα.
…………….. < ………………. <…………………
Το ευθ. τμήμα ΑΒ καλείται κοινή χορδή.
Σχετική Θέση 3 – Οι κύκλοι εφάπτονται ΕΞΩΤΕΡΙΚΑ
δ ………..………..…………..

Σχετική Θέση 4– Οι κύκλοι εφάπτονται ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ
Η δ είναι το ευθ. τμήμα ΟΚ.
Ισχύει : ΟΚ + ΚΜ = ΟΜ 
δ + ρ = R  δ = ………………..
Σχετική Θέση 5 – Οι κύκλοι δεν έχουν κοινά σημεία (Εσωτερικοί)
δ ………..………..…………..
Θεώρημα
«Η διάκεντρος δυο τεμνόμενων κύκλων ( σχετική θέση 2) είναι μεσοκάθετος της
κοινής χορδής τους.»
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
…………………………………………………..
……………………………………………………
 Αν οι κύκλοι είναι ίσοι , δηλαδή με ίσες ακτίνες , τότε η κοινή χορδή……..
……………………………………………………………………………….ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Σχολικού
Για το Σπίτι : Ασκήσεις 1,2 Κατανόησης – 1 , 2 , 3 Εμπέδωσης

17-18
Γε.Λ Εξαπλατάνου
«Μενέλαος Λουντέμης»
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ & Β΄
[ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ]
Επιμέλεια : Ιορδάνη Κοσόγλου , Msc μαθηματικού - http://blogs.sch.gr/iordaniskos

Γε.Λ Εξαπλατάνου «Μεν. Λουντέμης» Α΄& Β΄ Λυκείου
Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη ,Msc μαθηματικού - http://blogs.sch.gr/iordaniskos
14
ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 4.1 – 4.5
Σχετικές Θέσεις 2 ευθειών στο επίπεδο
Με τη βοήθεια του σχολικού Παράγραφος 4.1 , συμπληρώστε τα παρακάτω.
Δυο ευθείες ε1 , ε2 στο επίπεδο μπορούν να ,
α ) ……………………………..
β ) ……………………………., το Α καλείται …………………..
γ )………………………………
Τέμνουσα 2 ευθειών
Πάλι , με τη βοήθεια του σχολικού, Παράγραφος 4.2 , συμπληρώστε :
Οι ε3 καλείται ……………………….. των ε1 , ε2 .
Οι γωνίες γ , δ , ζ , ε λέγονται …………… των ε1 , ε2.
Οι γωνίες α , β , η , θ λέγονται ………….. των ε1 , ε2.
Οι α , δ , ε , θ καλούνται ……………………της ε3.
Ομοίως οι γωνίες ………………………………………. .
Οι δ , ζ λέγονται ………………………………………… .
Οι α , ε καλούνται ………………….………….. καθώς επίσης και οι …………………… .
Γράψτε δυο εντός εναλλάξ γωνίες : ……………………… .
Γράψτε δυο εντός και επι τα αυτά γωνίες απ το σχήμα : …………………… .
Θεώρημα
Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες
ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Αν ω = φ ,  ε1 // ε2. Δεδομένο είναι ότι : …………………
και ζητούμενο ότι : …………………………………………………….
Μπορείτε να δοκιμάσετε να το αποδείξετε , χωρίς να
βλέπετε το σχολικό με τη βοήθεια του σχήματος 3 και
της ,μεθόδου της απαγωγής σε άτοπο ;
……………………………………………………………………………………………………………………….
▄
Πρόταση Ι
Αν δυο παράλληλες ευθείες ε1 , ε2 τέμνονται από Τρίτη , σχηματίζουν τις εντός
εναλλάξ γωνίες ίσες. ▄
Τι σχέση έχει η Πρόταση Ι με το Θεώρημα ; ……………………………………… .

15
Άσκηση 1 Κατανόησης σχολικού
Λύση
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
Πόρισμα Ι
Αν δυο παράλληλες ευθείες ε1 , ε2 τέμνονται από τρίτη ευθεία και σχηματίζουν
δυο εντός , εκτός και επι τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή δυο εντός και επι τα αυτά
μέρη παραπληρωματικές , τότε είναι παράλληλες. ▄
Πρόταση ΙΙ (Αντίστροφη του Πορίσματος Ι)
Μπορείτε να τη διατυπώσετε μόνοι σας ; (χωρίς το σχολικό)
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
▄
Λύση
…………………………………………………………………
………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
Λύση
………………………………………………………………….
…………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
▄
Άσκηση 1 Εμπέδωσης σχολικού
Λύση
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….

16
Πόρισμα ΙΙ
Δυο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία , σε διαφορετικά σημεία, είναι μεταξύ τους
παράλληλες. ▄
Λύση
………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
Πρόταση ΙΙ
Αν δυο ευθείες ε1 , ε2 είναι παράλληλες προς τρίτη ευθεία ε , τότε είναι και
μεταξύ τους παράλληλες. Δηλαδή, αν ε1 // ε και ε2 // ε , τότε………………. ▄
Λύση
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
Λύση
………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
Για το σπίτι : 2 και 3 Εμπέδωσης σχολικού.
Αξιοσημείωτοι κύκλοι Τριγώνου
ΘΕΩΡΗΜΑ
Οι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από
το ίδιο σημείο , το οποίο είναι κέντρο κύκλου που
διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου.
Ο κύκλος καλείται ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ.
Το σημείο (κέντρο) καλείται ΠΕΡΙΚΕΝΤΡΟ.

17
ΘΕΩΡΗΜΑ
Οι τρεις διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο
σημείο , το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται
και στις πλευρές του τριγώνου.
Ο κύκλος καλείται ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟΣ.
Το σημείο (κέντρο) καλείται ΕΓΚΕΝΤΡΟ.
Άσκηση 5 Αποδεικτικές σχολικού
Λύση
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
▄
Δραστηριότητα Δ17 του ΑΠΣ
Να διερευνήσετε πότε από τρία διαφορετικά σημεία Α , Β , Γ, διέρχεται κύκλος.
Λύση
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….
Μπορούν δυο διαφορετικοί κύκλοι να διέρχονται από 3 διαφορετικά σημεία ;
……………………………………………………………………………………………………………………….

18
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 4.8 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΚΥΡΤΟΥ Ν – ΓΩΝΟΥ
α ) Στο προηγούμενο μάθημα αποδείξαμε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε
τριγώνου είναι ……………0. Δηλαδή , A

+……………… = 2L.
β ) Έστω ότι έχουμε ένα κυρτό Τετράπλευρο ΑΒΓΔ.
Θα προσπαθήσουμε να βρούμε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του.
Παίρνουμε ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο Ο, τότε το ΑΒΓΔ χωρίζεται σε ……….
τρίγωνα. Τα ……….. , …………. , ………….. , ……………
Στο τρίγωνο ΑΟΒ , ισχύει :
1A

+ 1

+ 1

= 2L (1)
Στο τρίγωνο ΒΟΓ ισχύει :
1

+ 2

+ 2

= 2L (2)
Στο τρίγωνο ΔΟΓ ισχύει :
………………………………. (3)
Τέλος στο τρίγωνο ΑΟΔ είναι : …………………….. (4)
Προσθέτω τις (1) , (2) , (3) , (4) και προκύπτει : ………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………..
γ ) Έστω ότι έχουμε ένα κυρτό Πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ.
Θα προσπαθήσουμε να βρούμε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του.
Παίρνουμε ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο Ο, τότε το ΑΒΓΔΕ χωρίζεται σε ……….
τρίγωνα. Τα ……….. , …………. , ………….. , …………… , ……………………
Στο τρίγωνο ΑΟΒ , ισχύει :
……………………………….. (1)
Στο τρίγωνο ΒΟΓ ισχύει :
………………………………… (2)
Στο τρίγωνο ΔΟΓ ισχύει :
……………………………………. (3)
LL 442  


19
Στο τρίγωνο ΟΔΕ είναι : …………………….. (4) και τέλος στο ΑΟΕ είναι :
………………………………. (5)
Προσθέτω τις (1) , (2) , (3) , (4) , (5) και προκύπτει : …………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………..
δ ) Έστω ότι έχουμε ένα κυρτό Εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ. Ο παραπάνω τύπος θα γίνει :
………………………………………………………………………………………………………………………
ε ) Αν έχω ένα Κυρτό ν – γωνο, ο τύπος που δίνει το άθροισμα των γωνιών του
είναι : ………………………. ……………………….
ΠΟΡΙΣΜΑ
Το άθροισμα των Εξωτερικών γωνιών κυρτού ν – γώνου είναι 4 L.
Η απόδειξη δυστυχώς είναι Εκτός Ύλης.
Ασκήσεις : 3, 5 Ερωτήσεις Κατανόησης , 7 Εμπέδωσης σχολικού βιβλίου.
LL 452  


20
ΕΝΟΤΗΤΑ : Παραλληλία – Άθροισμα Γωνιών Τριγώνου
ΑΣΚΗΣΕΙΣ

21
Υπόδειξη :β ) Έστω Κ το ζητούμενο σημείο. Θέλουμε το τρίγωνο ΑΚΔ να είναι ισοσκελές. Το Ε είναι μέσο της ΑΔ. Άρα
φέρνω από το Ε …………………

22
ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
Ορισμός : Παραλληλόγραμμο λέγεται το…………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………..
Ιδιότητες :
1 ) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες , δηλαδή
ΑΒ = ……….. , ΒΓ = …………
2 ) Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες , δηλαδή
………. = ……….. , ……….. = …………
3 ) Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται , δηλαδή ΑΟ = ΟΓ , ……… = ……….
Μέθοδος : Πως αποδεικνύω ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλ/μο ;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
1 ) Αποδεικνύω ότι έχει τις απέναντι πλευρές του ………………….. (Ορισμός)
2 ) Αποδεικνύω ότι οι απέναντι πλευρές του ………………………….. (Ιδιότητα 1)
3 ) Αποδεικνύω ότι δυο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1o ( Άσκηση 3 Εμπέδωσης )
Έστω Ε , Ζ τα μέσα των ΑΒ , ΓΔ πλευρών παραλληλογράμμου. Να αποδείξετε ότι
ι ) το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
ιι ) Οι ΑΓ , ΒΔ , ΕΖ συντρέχουν .(σημαίνει τέμνονται και οι τρεις – κοινό σημείο
τομής). ΥΠΟΔΕΙΞΗ : Χρησιμοποιήστε το ερώτημα ι)
…………………………………………………..
…………………………………………………..
…………………………………………………

23
4 ) Αποδεικνύω ότι οι απέναντι γωνίες ανα δυο ……………………….. (Ιδιότητα 2)
5 ) Αποδεικνύω ότι οι διαγώνιοι ………………………………………………. (Ιδιότητα 3)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2o ( Άσκηση 2 Εμπέδωσης)
Έστω Ο κέντρο παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Αν Ε και Ζ σημεία των ΟΑ και ΟΓ
αντίστοιχα , ώστε ΟΕ = ΟΖ , να αποδείξετε ότι το ΒΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο.
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Άσκηση 2 Αποδεικτικές : Αν ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο και Ε σημείο της ΑΓ.
Φέρνω ΔΖ // ΒΕ (Ζ σημείο της ΑΓ). Να αποδείξετε ότι ΔΕ // ΒΖ.
ΥΠΟΔΕΙΞΗ : Αρκεί να δείξω ότι το ΒΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Συνευθειακά Σημεία
Α΄ Τρόπος : Όταν μου ζητούν να δείξω ότι τρία σημεία Α , Γ , Β , είναι
συνευθειακά , όπου Α, Β είναι στην ίδια ευθεία , τότε αρκεί να δείξω ότι η γωνία
Γ είναι ίση με 1800.
Β΄ Τρόπος : Αρκεί να δειχθεί ότι ΑΓ // σε ευθεία και ΓΒ// στην ίδια ευθεία.
Από ένα σημείο , πόσες ευθείες παράλληλες μπορώ να φέρω σε δοσμένη ευθεία;
(Ευκλείδειο Αίτημα)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3ο ( Άσκηση 3 Αποδεικτικές)
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Προεκτείνουμε τη ΔΓ κατά ΓΕ = ΔΓ , και την
ΔΑ κατά ΑΖ = ΔΑ. Να δείξετε ότι τα σημεία Ζ , Β , Ε είναι συνευθειακά.
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Για το σπίτι : 1 , 4 εμπέδωσης , 1 αποδεικτικές.

24
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 5.3 - 5.4
ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ – ΡΟΜΒΟΣ
Ορισμός : Ορθογώνιο καλείται το Παραλληλόγραμμο που έχει μια ορθή
γωνία. (Προσοχή ! Ο ορισμός περιέχει τις ελάχιστες απαιτήσεις).
Γιατί ; Αν ένα παραλληλόγραμμο έχει μια ορθή γωνία τότε και η απέναντι της
γωνία θα είναι ……...και επειδή το άθροισμα των γωνιών του παραλληλογράμμου
είναι (ν-2)∙1800 = 3600 , άρα και οι άλλες δυο γωνίες θα είναι από ……..0 (η κάθε
μία).
1 ) Οι διαγώνιοι του είναι ίσες , δηλαδή
ΑΓ = ………..
Αρκεί τα τρίγωνα ……… , ………. να είναι ίσα.
Είναι ; ……………………………………………………..
2 ) Επίσης έχει τις ιδιότητες του
παραλληλογράμμου.
Μέθοδος : Πως αποδεικνύω ότι ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο ;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
1 ) Αποδεικνύω ότι είναι παραλληλόγραμμο και έχει μια ………….γωνία (Ορισμός)
2 ) Αποδεικνύω την ιδιότητα του ορθογωνίου , δηλαδή ότι είναι ……………... και
έχει …………. διαγωνίους. (Ιδιότητα)
3 ) Αποδεικνύω ότι έχει 3 γωνίες ορθές. Γιατί τότε και η τέταρτη γωνία θα είναι
και αυτή ορθή. Μην ξεχνάς άθροισμα γωνιών τετραπλεύρου είναι …………0
4 ) Αποδεικνύω ότι όλες οι γωνίες του …………………….
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Άσκηση 1ι) Κατανόησης )
………………………………………………………………………………………….
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Άσκηση 1 Εμπέδωσης)
Έστω παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Φέρνω ΑΕ  ΔΓ και ΓΖ  ΑΒ. Να αποδείξετε ότι
το ΑΖΓΕ είναι ορθογώνιο.
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………………………………….

25
Ορισμός : Ρόμβος καλείται το Παραλληλόγραμμο που έχει δυο διαδοχικές
πλευρές ίσες. (Προσοχή ! Ο ορισμός περιέχει τις ελάχιστες απαιτήσεις).
Γιατί ; Αν ένα παραλληλόγραμμο έχει δυο διαδοχικές πλευρές ίσες τότε όλες του
οι πλευρές είναι ίσες. Συμφωνείτε ;
1 ) Οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα , δηλαδή
ΑΓ  ……..
Γιατί ; Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ……………..
και ΟΔ = ……… , άρα ……………………
2 ) Οι διαγώνιες του διχοτομούν τις γωνίες του.
3 ) Επίσης έχει τις ιδιότητες του
παραλληλογράμμου.
Μέθοδος : Πως αποδεικνύω ότι ένα
τετράπλευρο είναι ρόμβος ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ
1 ) Αποδεικνύω ότι είναι παραλληλόγραμμο και έχει …… ……………πλευρές ίσες.
(Ορισμός)
2 ) Αποδεικνύω ότι είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοι του ………………
κάθετα. (Ιδιότητα 1)
3 ) Αποδεικνύω ότι είναι παραλληλόγραμμο και μια διαγώνιος του διχοτομεί μια
γωνία του. (Ιδιότητα 2)
4 ) Αποδεικνύω ότι όλες οι πλευρές του ………………………..
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Άσκηση 1ιι) Κατανόησης )
………………………………………………………………………………………….
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Άσκηση 1 Αποδεικτικές)
Έστω ΑΒΓ τρίγωνο , ΒΔ η διχοτόμος του και Μ μέσο της ΒΔ. Από το Δ φέρνω
παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Ε . Αν η ΕΜ τέμνει τη ΒΓ στο Ζ να
αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι ρόμβος.
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………
Για το σπίτι : 2, 4 εμπέδωσης , 3 Aποδεικτικές.

26
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΙ : 5.5
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
Ιδιότητες Τετραγώνου:
1 ) Οι απέναντι πλευρές του είναι ……………….
2 ) Όλες οι πλευρές του είναι ………………….
3 ) Όλες οι γωνίες του είναι …………….. μοίρες.
4 ) Οι διαγώνιοι του είναι ……………. , τέμνονται ………………. και διχοτομούν
τις………………… του.
Κριτήρια : Πως αποδεικνύω ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο ;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Άσκηση 4 Κατανόησης )
ι ) Ομοιότητες :……………………………………………………………….
Διαφορές :…………………………………………………………………..
ιι ) Ομοιότητες :……………………………………………………………….
Διαφορές :…………………………………………………………………..
ιιι ) Ομοιότητες :……………………………………………………………….
Διαφορές :…………………………………………………………………..

27
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
ΛΥΣΗ
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
Για το σπίτι :

28
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ
ΑΠΟΔΕΙΞΗ (Θέμα Θεωρίας Ενδοσχολικών Εξετάσεων 2017 )
Δ, Ε είναι τα μέσα των ΑΒ , ΑΓ
αντίστοιχα. Προεκτείνω την ΔΕ κατά
ίσο τμήμα ΕΖ άρα , ΔΕ = ΕΖ .
Το ΑΖΓΔ είναι ………………………….
γιατί …………………………………….
Άρα : …………………………………..
………………………………………….
Εφαρμογή 1 (Άσκηση Κατανόησης)
Να βρεθεί το μήκος του τμήματος x ή ΔΕ.
……………………………………………………..
………………………………………………………
Εφαρμογή 2 (Άσκηση Εμπέδωσης)
ΛΥΣΗ
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Υπόδειξη : Κάνε σχήμα και χρησιμοποίησε την απαγωγή σε Άτοπο.

29
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Βρείτε το μήκος των τμημάτων χ και y.
…………………………………………………….
……………………………………………………..
………………………………………………………
Αν ε1 // ε2 // ε3 // ε4 ,
βρείτε το μήκος των τμημάτων χ και y.
………………………………………………
……………………………………………….
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
Για το Σπίτι - Δραστηριότητα: Μπορείτε να χωρίσετε ένα ευθ. τμήμα μήκους 10εκ
σε τρία ίσα μέρη μόνο με τη χρήση ενός διαβήτη ;

30
ΜΙΑ ΙΔΙΟΤΗΤΑ του ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Φέρνουμε τη διάμεσο ΜΔ. Το Μ μέσο της ΒΓ ,
το Δ μέσο της ……….άρα από το θεώρημα …..
……………………………………………………..
……………………………………………………..
………………………………………………………
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Το Θεώρημα ΙΙ είναι το …………………. του
Θεωρήματος Ι.
Το τρίγωνο ΑΜΓ είναι …………… και η Γ = ……
Το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ……………και η Β = …….
Α1 + Α2 = …………… ή Α = ………………
Όμως Α + Β + Γ = 1800 …………………………..
………………………………………………………………………………………….
Εφαρμογή 1 (Άσκηση 1 Κατανόησης)
Να βρεθεί το μήκος του τμήματος x ή ΑΜ
……………………………………………………..
………………………………………………………
……………………………………………………….

31
Εφαρμογή 2 (Άσκηση 1 Κατανόησης)
Ομοίως να βρεθούν τα μήκη των χ , y.
………………………………………………..
……………………………………………….
Εφαρμογή 3 (Άσκηση 1 Αποδεικτική)
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
()
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
( )
………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………….
Για το σπίτι : 2, 4 Κατανόησης , 3,4,7 Εμπέδωσης , 8 Αποδεικτικές.

32
ΤΡΑΠΕΖΙΟ - ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ
Τραπέζιο – Διάμεσος Τραπεζίου
Βρείτε τον ορισμό στο βιβλίο και γράψτε τον εδώ. …………………………..………………
………………………………………………………………………………………….
Στο παρακάτω σχήμα, παράλληλες πλευρές είναι οι ……… , ………… , οι οποίες
ονομάζονται και …………….., επίσης μη παράλληλες οι ………… , ………….
Διάμεσος Τραπεζίου , είναι το ευθ. Τμήμα που
ενώνει τα μέσα των μη – παράλληλων
πλευρών, δηλαδή το …………………
Ύψος Τραπεζίου, είναι το ευθ. Τμήμα που είναι
κάθετο στις βάσεις ή αλλιώς το ευθ. Τμήμα που
μας δίνει την απόσταση των δυο παραλλήλων.
Συνεπώς στο σχήμα είναι το ……..
Η απόδειξη είναι στο σχ. Βιβλίο , αξίζει να διαβαστεί.
Εφαρμογή 1 (Άσκηση Κατανόησης 1 σχολικού)
Να βρεθούν τα x , y. Αιτιολογήστε την απάντηση.
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Να βρεθεί ο αριθμός x. Αιτιολογήστε.
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………

33
Ισοσκελές Τραπέζιο – Ιδιότητες αυτού.
Βρείτε τον ορισμό στο βιβλίο και γράψτε τον εδώ. …………………………..………………
………………………………………………………………………………………….
Ερωτήσεις : 1 ) Σε ποιο άλλο σχήμα, ισχύει η i) ; ……………………………………………..
2 ) Αναφέρετε ένα σχήμα που έχει την ιδιότητα ii). ……………………………………….
ΛΥΣΗ
………………………………………
………………………………………
Εφαρμογή 4 (Άσκηση Εμπέδωσης 2 σχολικού)
ΛΥΣΗ
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Ασκήσεις για το σπίτι : 3 – 5 Εμπέδωσης και 1 – 2 Αποδεικτικές .

34
ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕΣ , ΕΠΙΚΕΝΤΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ -ΓΩΝΙΑ ΧΟΡΔΗΣ και ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ
Ορισμοί
 Εγγεγραμμένη ονομάζεται, …………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..
 Επίκεντρη …………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..
 Γωνία χορδής και Εφαπτομένης …………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………..
Σχέση Εγγεγραμμένης – Επίκεντρης
Η απόδειξη είναι στο σχ. Βιβλίο , αξίζει να διαβαστεί.
Εφαρμογή 1 (Άσκηση Εμπέδωσης 1 α ) σχολικού)
ΛΥΣΗ
………………………………
………………………………
………………………………
………………………………

35
ΛΥΣΗ
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Γωνία Χορδής και εφαπτομένης
ΛΥΣΗ
………………………………
………………………………
………………………………
………………………………
 Σημαντικό ! Να διαβαστεί το σχόλιο της Παραγράφου 6.2
Ασκήσεις για το σπίτι : 1 - 3 Κατανόησης και 1β) Εμπέδωσης

36
ΕΝΟΤΗΤΑ : Παραλληλόγραμμο – Ορθογώνιο – Ρόμβος - Τετράγωνο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ

37
ΕΝΟΤΗΤΑ : Τμήμα που ενώνει τα μέσα πλευρών – Διάμεσος Ορθογωνίου - Θεώρημα 300
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Προσοχή ! Το Ε ταυτίζεται με το Γ.
Υπόδειξη : γ ) Συγκρίνω τρίγωνα και κάνω χρήση της παραλληλίας ΛΜ//ΑΓ

38
Υπόδειξη : γ ) Οι ΔΜ // ΒΓ ,τότε η γωνία ΕΔΜ είναι εντός εκτός και ……………
Θέματα Γραπτών Προαγωγικών Εξετάσεων Σχολικού Έτους 16-17
Θέμα 1ο
α ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) καθεμία απ
τις προτάσεις που ακολουθούν :
1. Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου παραλληλογράμμου τέμνονται κάθετα. Σ Λ
2.
Αν δυο ευθείες ε1 , ε2 , τεμνόμενες από τρίτη ευθεία ε3 σχηματίζουν δυο
εντός εναλλάξ γωνίες ίσες , τότε οι ε1 και ε2 είναι παράλληλες.
Σ Λ
3. Το τετράγωνο είναι και ρόμβος. Σ Λ
4.
Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται από σημείο εκτός αυτού
είναι ίσα μεταξύ τους.
Σ Λ
5. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι δυο ορθές. Σ Λ
μονάδες 5∙2=10
β ) Να αποδειχθεί ότι : « Αν Δ, Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ , ΑΓ αντίστοιχα ,
τριγώνου ΑΒΓ , τότε το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο και ίσο με το
μισό της πλευράς ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ.» μονάδες 15
Θέμα 2ο
Δίνεται το παρακάτω σχήμα. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και η ΑΓ διάμεσος
του.
α ) Να υπολογιστεί η γωνία ω.
β ) Να υπολογιστεί το μήκος του ευθυγράμμου
τμήματος x.
γ ) Να υπολογιστεί το μήκος του ευθυγράμμου
τμήματος y. Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας.
μονάδες α) 7 , β) 9 , γ) 9
Θέμα 3ο
Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι θέσεις στο χάρτη πέντε χωριών Α, Β , Γ , Δ
και Ε και οι δρόμοι που τους συνδέουν. Το χωριό Ε ισαπέχει (απέχει ίση
απόσταση) από τα χωριά Β , Γ και επίσης από τα χωριά Α και Δ.Να αποδείξετε
ότι :

39
α ) Η απόσταση των Α και Β είναι ίση με την απόσταση των Γ και Δ.
μονάδες 9
β ) Αν οι δρόμοι ΑΒ και ΓΔ έχουν δυνατότητα να προεκταθούν , να αποδείξετε
ότι αποκλείεται να συναντηθούν. μονάδες 6
γ ) Τα χωριά Β και Γ ισαπέχουν από το δρόμο ΑΔ. μονάδες 10
Θέμα 4ο
Έστω Ε και Ζ , τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ
αντίστοιχα.
Αν για το ΑΒΓΔ επιπλέον ισχύει ΑΒ > ΑΔ , να εξετάσετε αν είναι αληθείς οι
ακόλουθοι ισχυρισμοί :
Ισχυρισμός 1 : Το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο.
Ισχυρισμός 2: Α E

Δ = Β 

Γ
Ισχυρισμός 3 : Οι ΔΕ και ΒΖ είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών Δ και Β.
α ) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής , να τον
αποδείξετε. μονάδες 18
β ) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να
βρείτε τη σχέση των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι
αληθής. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. μονάδες 7
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Να απαντήσετε σε όλα τα Θέματα.
2. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3ΟΥ ΚΑΙ 4ΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ
Από υπόθεση ισχύει ότι : ΒΕ = ΕΓ και ΕΑ = ΕΔ.
α) Αρκεί να δείξω ότι
ΑΒ = ΓΔ.
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΕΓΔ
έχουν :
1) ΑΕ = ΕΔ
2) ΒΕ = ΕΓ
3) Ε1 = Ε2 (κατακορυφήν
γωνίες ίσες)
Άρα από κριτήριο (ΠΓΠ) προκύπτει
ότι ΑΒ = ΓΔ.

40
Επίσης η γωνία Δ του τριγώνου ΕΓΔ είναι ίση με την Α του τριγώνου ΑΒΕ.
β ) Από ι) η γωνία Δ του τριγώνου ΕΓΔ είναι ίση με την Α του τριγώνου ΑΒΕ ,
αυτές είναι εντός εναλλάξ και ίσες άρα οι ΑΒ , ΓΔ παράλληλες , συνεπώς δεν θα
συναντηθούν ποτέ.
γ ) Φέρνω κάθετες από τα Β και Γ αντίστοιχα προς την ΑΔ.
Αρκεί να δείξω ότι ΒΚ = ΓΠ.
Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΚΕ και ΕΓΠ
1 ) Ορθογώνια
2 ) Ε1 = Ε2 (κατακορυφήν γωνίες ίσες)
3 ) ΒΕ = ΕΓ
Θέμα 4ο
Οι ισχυρισμοί :
Ισχυρισμός 1 : Το
τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι
παραλληλόγραμμο.
Ισχυρισμός 2:
Α E

Δ = Β 

Γ
Ισχυρισμός 3 : Οι ΔΕ και
ΒΖ είναι διχοτόμοι των
απέναντι γωνιών Δ και
Β.
Ο ισχυρισμός 1 ισχύει , γιατί ΔΖ = //ΕΒ άρα το ΔΖΒΕ είναι παραλληλόγραμμο.
Ο ισχυρισμός 2 ισχύει , γιατί οι γωνίες E

και 

του παραλληλογράμμου ΔΕΒΖ
είναι ίσες ως απέναντι γωνίες και οι Α E

Δ , Β 

Γ είναι παραπληρωματικές ίσων
γωνιών, άρα ίσες.
Ο ισχυρισμός 3 ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΛΗΘΗΣ.
Για να είναι αληθής θα πρέπει ΑΕ = ΑΔ = ΕΒ δηλαδή η πλευρά ΑΔ του ΑΒΓΔ
πρέπει να είναι η μισή της ΑΒ ή της ΔΓ ή 2ΑΔ = ΑΒ = ΔΓ.

41
ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΜΗΜΑΤΟΣ – ΛΟΓΟΣ ΤΜΗΜΑΤΩΝ – ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ – ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
Λίγη Επανάληψη
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ : Μπορείτε να χωρίσετε ένα ευθ. τμήμα μήκους 10εκ σε τρία
ίσα μέρη μόνο με τη χρήση ενός διαβήτη ;
……………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………..
Αν ΔΕΝ Μπορείτε , ρίξτε μια ματιά στην παρακάτω ΘΕΩΡΙΑ , από Α΄ Λυκείου
Αν ε1 // ε2 // ε3 // ε4 ,
βρείτε το μήκος των τμημάτων χ και y.
………………………………………………
……………………………………………….
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………
………………………………………………………………
Λόγος Τμημάτων – Σύμμετρα και Ασύμμετρα Τμήματα
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1Ο

42
Στο παραπάνω σχήμα το τμήμα ΕΙ έχει χωριστεί σε 4 ίσα ευθ. Τμήματα. Ισχύει :
ΕΙ = 4ΕΖ ή 4
EZ
EI
. Ο θετικός ρητός αριθμός 4 καλείται λόγος των
τμημάτων ΕΙ , ΕΖ.
Αλλιώς το τμήμα ΕΙ είναι τετραπλάσιο (τέσσερις φορές μεγαλύτερο) του ΕΖ.
Αντίστοιχα : ΕΖ = ……….ΕΙ ή αλλιώς το τμήμα ΕΖ είναι ………………………………
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2Ο
Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα , ΑΓ = …….. ΑΒ και ΓΔ = ………ΑΒ
Τα τμήματα ΑΓ , ΓΔ καλούνται σύμμετρα με κοινό μέτρο ή μονάδα μέτρησης
το τμήμα ΑΒ.
Δύο τμήματα που δεν είναι σύμμετρα , ονομάζονται Ασύμμετρα. Ο λόγος δυο
ασύμμετρων τμημάτων είναι άρρητος αριθμός. Μπορείτε να σκεφτείτε δυο
ασύμμετρα τμήματα ;
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………

43
Αναλογίες
Η ισότητα δυο λόγων καλείται Αναλογία. Θεωρώντας τα α, β, γ ,δ, ως μήκη
ευθυγράμμων τμημάτων προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες αναλογιών.
ΜΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ (Για περισσότερα δες εφαρμογή 1 σελίδα 50 , Άλγεβρα Α΄ Λυκείου)
( ) 




 , άρα 


 ή α = λβ , ομοίως γ = λδ . Συνεπώς






a
. Ομοίως το αντίστροφο.
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………
ΛΥΣΗ
………………………………………………………………
Ασκήσεις για το σπίτι : 3 Εμπέδωσης και 1 Αποδεικτικές

44
ΘΕΩΡΗΜΑ Ι: Το τετράγωνο μιας πλευράς τριγώνου η οποία βρίσκεται απέναντι
από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων
πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μιας από τις πλευρές αυτές
επι την προβολή της άλλης πάνω σε αυτήν.
Παράδειγμα 1ο : Φτιάξτε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και εφαρμόστε το
παραπάνω Θεώρημα Ι , για 2 πλευρές του (όποιες θέλετε).
Παράδειγμα 2ο : Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ=ΑΓ=9 και ΒΓ=6.
Υπολογίστε τη ΒΔ.
ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ: Το τετράγωνο μιας πλευράς τριγώνου η οποία βρίσκεται απέναντι
από αμβλεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων
πλευρών αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μιας από τις πλευρές αυτές
επι την προβολή της άλλης πάνω σε αυτήν.
Παράδειγμα 3ο : Φτιάξτε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο και εφαρμόστε το
παραπάνω Θεώρημα ΙΙ για την πλευρά που είναι απέναντι απ την αμβλεία
γωνία.
Παράδειγμα 4ο : 1 Κατανόησης σχολικού βιβλίου

45
Νόμος Συνημιτόνων : Γενικά και απ τις δυο περιπτώσεις
(Θεώρημα Ι + ΙΙ ) προκύπτει ο νόμος των συνημιτόνων.
α2 = β2+γ2-2βγσυνΑ , β2=α2+γ2-2αγσυνΒ , γ2 = α2+β2-2αβσυνΓ
Εφαρμογή : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ οξυγώνιο με ΑΓ=3 , ΒΓ=8 , και Γ=600.
Υπολογίστε το μήκος της ΑΒ.
Παράδειγμα 5ο : 4 Κατανόησης σχολικού
Πόρισμα : Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει :
α ) Αν α2 < β2 + γ2 , τότε Α < 900
β ) Αν α2 = β2 + γ2 , τότε Α = 900
γ ) Αν α2 > β2 + γ2 , τότε Α > 900
Υπενθυμίσεις : 1 ) Σε κάθε τρίγωνο απέναντι απ τη μεγαλύτερη
πλευρά βρίσκεται η μεγαλύτερη γωνία και αντιστρόφως.
2 ) Σε κάθε τρίγωνο ισχύει η τριγωνική ανισότητα.
Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη απ το άθροισμα των δυο άλλων.
Δηλαδή : α < β + γ , β < α + γ , γ < α + β
Παράδειγμα 6ο : 2,3 Κατανόησης σχολικού
Άσκησεις για το σπίτι
1 ) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ( ως προς τις γωνίες του ) , αν ισχύει :
α ) α2 = 2β2 + γ2
β ) α2 = β2 – γ2
γ ) α2 < β2 – γ2
2 ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 2 και β = 3 και γ = 7 . Να δείξετε ότι Γ = 600.
3 ) Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι α = 8 , β = 6 , γ = 5.
α ) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο
β ) να υπολογίσετε τις προβολές της ΑΓ στις ΑΒ και ΒΓ.
4 ) 3 + 4 Εμπέδωσης σχολικού βιβλίου.

46
ΟΡΙΣΜΟΙ
Αφού μελετήσετε τις σελίδες των παραγράφων 10.1-10.2 του σχ. βιβλίου
απαντήστε στα παρακάτω :
 Πολυγωνικό χωρίο ονομάζεται…………………………………………….
 Πολυγωνική Επιφάνεια ονομάζεται το σχήμα ……………………………
 Ισοδύναμα σχήματα λέγονται…………………………………………….
Αξιώματα
 Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν………………………………………………
 Αν ένα πολυγωνικό χωρίο (ή επιφάνεια) χωρίζεται σε πεπερασμένου
πλήθους πολυγωνικά χωρία , που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία ,
τότε…………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
 Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς 1 είναι ίσο με ……………………….
 Αν πολύγωνο Ρ περιέχεται στο εσωτερικό ενός πολυγώνου Π , τότε :
( Εμβαδόν Ρ ) …………..( Εμβαδόν Π )
Εμβαδά ( αφού πρώτα μελετήσετε τα Θεωρήματα )
1 ) Τετραγώνου : Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α είναι ίσο με :
Ε = ………………..
2 ) Ορθογωνίου : Το εμβαδόν ορθογωνίου με πλευρές α, β είναι ίσο με :
Ε = ………………………………………
3 ) Παραλληλογράμμου : Το ύψος που αντιστοιχεί στην ΔΓ ,
δηλαδή στην α , είναι το...............
Ομοίως το ύψος που αντιστοιχεί
στην ΒΓ είναι το ………………..
Το (ΑΒΓΔ) =…………..=………….
☺ Προσοχή στο ύψος που θα πάρουμε !

47
4 ) Τριγώνου : Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΒΓ είναι ………….. γιατί
έχουν : 1 ) ………………..
2 ) ………… και 3 ) ………… άρα
από το κριτήριο …………… τα τρίγωνα
είναι…………. Άρα είναι και ….………………. δηλαδή έχουν
ίσα……..……………..
(ΑΒΓΔ) = …………. + …………… = 2· …………….
(ΑΔΓ) = ………………………………………………………………….
5 ) Τραπεζίου : Θα αποδείξουμε τον τύπο του εμβαδού σύμφωνα με
το παρακάτω σχήμα.
Σύμφωνα με το 2ο αξίωμα είναι :
(ΑΒΓΔ) = …….. + …….. +…….
…………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………….
6 ) Ισόπλευρο Τρίγωνο : Έστω ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α .
Tο ΑΔ είναι ……….. , ………… και …………….
Άρα ΒΔ = ΔΓ = ………….. Από Πυθαγόρειο Θ.
έχω : ΑΓ2 = ………… + …………
……………………………………………………………………………………………………………
Άρα (ΑΒΓ) = ……………………………………………………………………….
7 ) Κυρτού Τετραπλεύρου με κάθετες Διαγώνιους - Ρόμβος : Στον
παρακάτω ρόμβο είναι ΑΓ , ΒΔ οι διαγώνιοι.
Συμβολίζω ΑΓ= δ1 και ΒΔ = δ2. Οι δ1, δ2
τέμνονται …………….. (ΑΒΓΔ) = ……..+…….
………………………………………………………………
Ασκήσεις για το σπίτι : Μπορείτε να
διαπραγματευτείτε τις Κατανόησης 1-4 και 6,
Εμπέδωσης 1-6.

48
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ : Έστω φν η πλευρά κανονικού πολυγώνου. Μπορείτε να
βρείτε μια σχέση που συνδέει το πλήθος των πλευρών του κανονικού
πολυγώνου ν και την γωνία φν;
Θυμηθείτε το άθροισμα γωνιών ενός πολυγώνου είναι (2ν-4)·90ο !
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………..
Ομοιότητα Κανονικών Πολυγώνων
Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι πάντα όμοια.
Η R του περιγεγραμμένου κύκλου καλείται ακτίνα
του κανονικού πολυγώνου.
Η ρ του εγγεγραμμένου κύκλου καλείται απόστημα
του πολυγώνου.
Η γωνία ΑΟΒ καλείται κεντρική του πολυγώνου και
συμβολίζεται με ων. Είναι ων = ……………………..

49
ι ) Το τρίγωνο ΟΑΘ είναι …………….. και ισχύει
το ……………….Θεώρημα , άρα :
…………………………………………………………………..
ιι ) Ρν η περίμετρος του κανονικού πολυγώνου.
Το πολύγωνο έχει ν ………….ίσες άρα :
……………………………………………………………………
ιιι ) το κάναμε πριν. ιν ) ……………………..
…………………………………………………………………..
Εφαρμογή 2 (Ασκήσεις Κατανόησης)
………………………………
………………………………
……………………………..
(Ασκήσεις Εμπέδωσης για το σπίτι)

50
ΕΝΟΤΗΤΑ : Ομοιότητα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να χρησιμοποιήσετε τις πληροφορίες που σας δίνονται για το κάθε ζεύγος
τριγώνων των παρακάτω σχημάτων και να απαντήσετε στα ακόλουθα :
α ) Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι όμοια και ποιο δεν είναι; Να
αιτιολογήσετε.
β ) Για το ζεύγος των όμοιων τριγώνων του α) ερωτήματος ,
ι ) να γραφεί η ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών.
ιι ) Να βρεθεί ο λόγος ομοιότητας τους.
2.
Στο διπλανό σχήμα ΔΕ // ΒΓ .
α ) Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα
ΑΒΓ , ΑΔΕ είναι όμοια.
β ) Να συμπληρωθούν τα κενά
στην ισότητα :
.......
.......
......




3. Στα παρακάτω όμοια τρίγωνα ισχύουν : 

= 

και 

= 

.
α ) Να γραφεί η ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών.
β ) Να υπολογιστούν τα μήκη των x , y.

51
4. Δίνονται τα παρακάτω τρίγωνα.
α ) Να αποδειχθεί ότι είναι όμοια.
β ) Να γραφεί η ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών.
5.
ΕΝΟΤΗΤΑ : Μετρικές Σχέσεις στο Τρίγωνο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
6. Τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι α=8, β=6 και γ=5.
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. (Μονάδες 11)
β) Να υπολογίσετε τις προβολές της πλευράς ΑΒ στις πλευρές ΑΓ και ΒΓ.
(Μονάδες 14)
7. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆ = 90° ) με ύψος ΑΔ και ΑΓ = 8 ,

52
ΔΓ =
5
32
.Να υπολογίσετε τα μήκη των παρακάτω τμημάτων:
α) ΒΓ (Μονάδες 9)
β) ΑΒ (Μονάδες 8)
γ) ΑΔ (Μονάδες 8)
8. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ = 6 , ΒΓ = 9 και ˆ = 60° .
α) Να αποδείξετε ότι ΑΓ = 3 7 . (Μονάδες 8)
β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του.
(Μονάδες 8)
γ) Να υπολογίσετε την προβολή της ΑΒ πάνω στη ΒΓ.
(Μονάδες 9)
9. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών α=5, β=7 και γ=3.
α) Να αποδείξετε ότι ˆ =1200 (Μονάδες 12)
β) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς α πάνω στην ευθεία ΑΒ.
(Μονάδες 13)
10. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=12, ΑΓ=6, ΒΓ=8.
α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του.
(Μονάδες 10)
β) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΑΓ πάνω στην ευθεία ΒΓ.
(Μονάδες 15)
11. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆ >900 ) φέρουμε τα ύψη του ΑΔ, ΒΕ και
ΓΖ.
=4 και γ=5, να
υπολογίσετε την π
Ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι λανθασμένη; Στη συνέχεια να την
γράψετε σωστά.
Α. β2=α2+γ2-2α⋅ΒΔ Β. γ2=β2+α2-2β⋅ΑΕ Γ. α2=β2+γ2+2β⋅ΑΕ
(Μονάδες 12)
β) Αν α=7, β=4 και γ=5, να υπολογίσετε την προβολή της ΒΓ πάνω στην ΑΓ.
(Μονάδες 13)
12. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε το ύψος του ΒΔ. Αν ΑΒ=7, ΑΓ=10 και
Αˆ Δ = 300 , να υπολογίσετε:
α) το τμήμα ΑΔ. (Μονάδες 8) β) την πλευρά ΒΓ. (Μονάδες 17)

53
ΕΝΟΤΗΤΑ : Εμβαδόν Επίπεδων Σχημάτων
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
13. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και ΒΕ το ύψος του. Αν είναι
ΑΒ=3, ΓΔ=7 και ΒΓ=4 τότε,
α) να αποδείξετε ότι ΒΕ = 2 3 . (Μονάδες 13)
β) να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 12)
14. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆ = 90° ) με ΑΓ = 4 και ύψος ΑΔ =
5
12
.
α) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΔΓ. (Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι ΔΒ =
5
9
. (Μονάδες 10)
γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 5)
15. Στο τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε Δ εσωτερικό σημείο της ΒΓ και έστω Μ στο
μέσον της ΑΔ. Να αποδείξετε ότι:
α) (ΑΜΒ)=
2
1
(ΑΒΔ)
(Μονάδες 12)
β) (ΑΜΒ) + (ΜΔΓ) =
2
1
(ΑΒΓ)
(Μονάδες 13)
16. Με ένα σύρμα μήκους c κατασκευάζουμε
ένα κανονικό εξάγωνο.
α) Να εκφράσετε την πλευρά του εξαγώνου ως
συνάρτηση του c. (Μονάδες 10)

54
β) Να αποδείξετε ότι, το εμβαδόν του εξαγώνου ισούται με c2
24
3
(Μονάδες 15)
17. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α , θεωρούμε σημείο Ε της ΔΓ ώστε ΔΕ =
2cm. Αν ισχύει ότι : (ΒΕΔ) =
8
1
(ΑΒΓΔ) ,
τότε ,
α ) Να αποδειχθεί ότι η α = 8
(Μονάδες 13)
β ) Να υπολογίσετε το μήκος του ΒΕ.
(Μονάδες 12)
18. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ θεωρούμε Μ το μέσο της ΑΔ. Προεκτείνουμε
τη ΔΓ προς το Γ κατά ΓΕ=2ΔΓ. Να αποδείξετε ότι:
α) (ΑΜΒ)=
2
)(
(Μονάδες 12) β) (ΑΒΓΔ) = (ΒΓΕ) (Μονάδες 13)
19. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ = 2cm ΒΓ = 3 cm και γωνία ˆ = 30ο . α)
Να αποδείξετε ότι ΑΒ = 1cm. (Μονάδες 10)
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 8)
γ) Να υπολογίσετε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
ΑΒΓ. (Μονάδες 7)
ΕΝΟΤΗΤΑ : Κανονικά Πολύγωνα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ
20. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α. Στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε ένα
τμήμα ΑΕ =
5
3
AB και στην ΑΔ ένα τμήμα ΑΖ =
5
4
AB . Αν το εμβαδόν του πενταγώνου ΕΒΓΔΖ είναι
76, να υπολογίσετε:
α) Το μήκος α της πλευράς του τετραγώνου ΑΒΓΔ.
(Μονάδες 13)

55
β) Την περίμετρο του πενταγώνου ΕΒΓΔΖ. (Μονάδες 12)
ΛΥΣΗ
α ) (ΑΒΓΔ) = (ΑΖΕ)+(ΕΒΓΔΖ) 
α2 =
2
5
4
5
3
2
1
a +76  α2 =
2
50
12
a +76  2
50
38
a =76  α2 =
38
3800

α = 10.
β ) Περίμετρος = ΕΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΖ+ΖΕ = 4 + 10+10+2+10 = 36 μον.
21. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και μία διάμετρός του ΒΓ. Η κάθετος στο μέσο Ε της
ακτίνας ΟΒ τέμνει το ένα ημικύκλιο στο σημείο Α και η εφαπτομένη του
κύκλου στο σημείο Β τέμνει την προέκταση της χορδής ΑΓ στο σημείο Δ.
α) Να αποδείξετε ότι:
i. ΑΓ = λ3 = R 3 . (Μονάδες 8)
ii. ΑΔ =
3

. (Μονάδες 8)
β) Να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών:
)(
)(


(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α - ι) Το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισοσκελές , γιατί
ΑΕ διάμεσος και ύψος, άρα
ΑΒ=ΑΟ = R , όμως ΑΟ= BO = R , άρα
ΑΒ = ΑΟ = ΟΒ = R , συνεπώς το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισόπλευρο.
Συνεπώς η χορδή ΑΒ αντιστοιχεί σε τόξο 60ο. Τότε η χορδή ΑΓ αντιστοιχεί σε
τόξο 180ο – 60ο = 120ο. Άρα ΑΓ = λ3 = R 3 .
ιι ) Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ορθογώνιο γιατί ;
Η γωνία Β του τριγώνου αυτού είναι ίση με 30ο , μιας και στο Β έχουμε
εφαπτομένη του κύκλου και το ΑΒΟ απ το (α) είναι ισόπλευρο.
Συνεπώς η ΑΔ =
2
B
 2ΑΔ = ΒΔ (1)
Με Π.Θ στο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε : ΒΔ2 = ΑΒ2 + ΑΔ2  4ΑΔ2 = R2 + ΑΔ2
 3ΑΔ2 = R2  ΑΔ =
33
3 

R
.
β ) Τρίγωνο ΑΒΔ , πλευρές ΑΒ = R , ΑΔ =
3

, ΒΔ.
Τρίγωνο ΔΒΓ , πλευρές ΒΓ = 2R , ΒΔ , ΔΓ
Τα τρίγωνα ΑΒΔ , ΔΒΓ είναι όμοια γιατί είναι ορθογώνια και έχουν κοινή τη
γωνία Δ.

56
Άρα R
A
B
AB
B
B
 




, συνεπώς,
)(
)(


= .
R22
11


22. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 10, θεωρούμε τον εγγεγραμμένο κύκλο
του κέντρου Ο και εντός του κύκλου το εγγεγραμμένο τετράγωνο ΚΛΜΝ.
α) Να αποδείξετε ότι (ΚΛΜΝ)=50.
(Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του
γραμμοσκιασμένου χωρίου του κύκλου που
βρίσκεται στο εξωτερικό του τετραγώνου ΚΛΜΝ
και εσωτερικά του κύκλου, είναι 25(π-2).
(Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
α ) Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του ΑΒΓΔ
είναι ίση με 5 εκ.
Η πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου ΚΛΜΝ είναι 5 2 εκ.
Άρα (ΚΛΜΝ) = (5 2 )2 = 50 εκ2.
β ) Το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι : Ε = Εμβ εγγ.κύκλου – (ΚΛΜΝ) 
Ε = 25π – 50 = 25(π-2) εκ2.
23. Δίνεται κύκλος (O,R) και μία διάμετρός του ΑΒ. Με διάμετρο τα τμήματα
ΟΑ και ΟΒ γράφουμε τους κύκλους κέντρων Κ και Λ αντίστοιχα. Ένας τρίτος
κύκλος κέντρου Μ και ακτίνας ρ εφάπτεται εξωτερικά των κύκλων κέντρων
Κ και Λ και εσωτερικά του κύκλου κέντρου Ο.
α) Να εκφράσετε τις διακέντρους ΚΜ, ΛΜ και
ΟΜ των αντιστοίχων κύκλων ως συνάρτηση
των ακτίνων τους, δικαιολογώντας την
απάντησή σας. (Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι ρ=
3
R
(Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
α ) ΟΚ = ΟΛ =
2
R
, ΚΜ =
2
R
+ρ , ΛΜ =
2
R
+ρ ,
συνεπώς το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές. Η ΜΟ είναι διάμεσος , διχοτόμος
και ύψος.
Από Π.Θ είναι : ΜΟ2 = ΜΛ2 – ΟΛ2  ΜΟ2 = (
2
R
+ρ)2 – (
2
R
)2 
ΜΟ2 = ρ2 + Rρ  ΜΟ = )R( 
β ) Είναι ρ + ΜΟ = R  ΜΟ = R-ρ  ΜΟ2 = R2 +ρ2 – 2ρ R
 ρ2 + Rρ = R2 +ρ2 – 2ρ R  3ρ R – R2 = 0  R(3ρ- R) = 0 
ρ=
3
R
.

57
24. Σε κύκλο (Ο,R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά
ΑΒ=5. Να υπολογιστούν :
α) το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου
(O,R) (Mονάδες 9)
β) το εμβαδόν του ισοπλεύρου τριγώνου
ΑΒΓ (Mονάδες 9)
γ) το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται μεταξύ κύκλου και το
ισόπλευρου τριγώνου.
(Μονάδες 7)τα
ΛΥΣΗ
α ) ΑΒ = 5 , επίσης ΑΒ = λ3 = R 3  5
= R 3  R =
3
35
μον.
Άρα Ε = πR2 =
3
25
τ.μον
β ) (ΑΒΓ) =
4
325
τ.μον
γ ) Το ζητούμενο ε είναι : ε =
3
25
-
4
325
=
12
33425 )( 
τ. μον
25. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α, γράφουμε τεταρτοκύκλιο εσωτερικά του
τετραγώνου με κέντρο Α και ακτίνα α.
α ) Αν Χ1 είναι το χωρίο του τετραγώνου που
βρίσκεται εξωτερικά του τεταρτοκυκλίου , να
αποδείξετε ότι το εμβαδόν (Χ1) = )( 

4
4
2
β ) Με διάμετρο ΑΒ κατασκευάζουμε ημικύκλιο
εσωτερικά του τετραγώνου. Αν Χ2 είναι το χωρίο
του ημικυκλίου και Χ3 το χωρίο του
τεταρτοκυκλίου που είναι εξωτερικά του Χ2, να
υπολογιστούν τα (Χ2) , (Χ3).
γ ) Ποιο από τα δυο χωρία Χ1 και Χ2 έχει μεγαλύτερο εμβαδό ; Αιτιολογήστε.
ΛΥΣΗ
α ) Το τεταρτοκύκλιο είναι ο κυκλικός τομέας (Α τόξοΑΒ) ή (Α τόξοΑΔ) και
ισούται με
(Α τόξοΑΒ) =
4360
90 22
aa 
 τ.μ (1)
Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι α2.
Άρα (Χ1) = α2
4
2
a
 = )( 

4
4
2
τ.μον.

58
β ) (Χ2) =
8360
180
4
2
2
a
a

 τ.μον , η ακτίνα εδώ, προσοχή , είναι
2
a
.
Το (Χ3) = (Α τόξοΑΒ) – (Χ2) =
4
2
a
-
8
2
a
=
8
2
a
τ.μον.
γ ) (Χ1) – (Χ2) = )( 

4
4
2
-
8
2
a
= α2 -
4
2
a
-
8
2
a
= α2 - 3
8
2
a

(Χ1) – (Χ2) =
8
382
)(a 
< 0 , άρα (Χ1) < (Χ2).
ΠΗΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
[1] Τράπεζα Θεμάτων, Υπουργείο Παιδείας και Θρησκευμάτων ,
http://exams-repo.cti.gr/category/90-geometria?Itemid , Προσπελάστηκε
31.12.17 και ώρα 13:00.

Φύλλα εργασίας Γεωμετρίας για την Α και Β Λυκείου [2018 - 19]

Φύλλα εργασίας Γεωμετρίας για την Α και Β Λυκείου [2018 - 19]

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Φύλλα εργασίας Γεωμετρίας για την Α και Β Λυκείου [2018 - 19]

Similar to Φύλλα εργασίας Γεωμετρίας για την Α και Β Λυκείου [2018 - 19] (20)

More from Μάκης Χατζόπουλος

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (18)

Φύλλα εργασίας Γεωμετρίας για την Α και Β Λυκείου [2018 - 19]