#Πατήστε Σελιδοδείκτες (bookmarks) να δείτε τα περιεχόμενα εκάστου τόμου.
#Συλλογή Μαθηματικών εργασιών σε 6 τόμους
#Συν έναν 7ο συμπληρωματικό τόμο Μαθηματικών Εργασιών
# Τρεις τόμοι Α,Β,Γ με Εκπαιδευτικές εργασίες είτε για τα κοινά τοπικού ενδιαφέροντος της Μεσσήνης θέματα.
#Πατήστε Σελιδοδείκτες (bookmarks) να δείτε τα περιεχόμενα εκάστου τόμου.
#Συλλογή Μαθηματικών εργασιών σε 6 τόμους
#Συν έναν 7ο συμπληρωματικό τόμο Μαθηματικών Εργασιών
# Τρεις τόμοι Α,Β,Γ με Εκπαιδευτικές εργασίες είτε για τα κοινά τοπικού ενδιαφέροντος της Μεσσήνης θέματα.
#Πατήστε Σελιδοδείκτες (bookmarks) να δείτε τα περιεχόμενα εκάστου τόμου.
#Συλλογή Μαθηματικών εργασιών σε 6 τόμους
#Συν έναν 7ο συμπληρωματικό τόμο Μαθηματικών Εργασιών
# Τρεις τόμοι Α,Β,Γ με Εκπαιδευτικές εργασίες είτε για τα κοινά τοπικού ενδιαφέροντος της Μεσσήνης θέματα.
Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις_.pdfΓιάννης Πλατάρος
1. Πώς επηρέασαν τα φιλοσοφικά δίπολα των θέσεων Αριστοτέλη-Πλάτωνα και KantMill
την
μετάβαση
από
τις
Ευκλείδειες
στις
μη-Ευκλείδειες
Γεωμετρίες;
Κατά
πόσο
οι
εφαρμογές
των Ευκλειδείων και μη-Ευκλειδείων Γεωμετριών οδήγησαν στην
ανάπτυξή τους;
2. Ποίες οι βασικές θέσεις των ante rem δομών του στρουκτουραλισμού και ποία η
διαφοροποίηση στο κίνημα του στρουκτουραλισμού χωρίς δομές ; Ποια κενά των
προγενέστερων φιλοσοφικών ρευμάτων ήρθαν να καλύψουν οι δύο ανωτέρω
προσεγγίσεις;
3. Ποια η σύνδεση του ιστού της πεποίθησης με τους οντολογικούς ρεαλιστές; Ένα
παράδειγμα από συγκεκριμένο μαθηματικό κλάδο Μαθηματικών.
4. Η διαδρομή σκέψης των Núñez και Lakoff στην ανάπτυξη της θεωρίας τους για τις
εννοιολογικές μεταφορές. Επιτυχημένα και αποτυχημένα παραδείγματα στην
διδακτική πράξη σε έννοιες που εισάγονται διδακτικά με την χρήση εννοιολογικών
μεταφορών.
5. Οι τρεις κόσμοι του D. Tall και πώς συνδέονται με αντίστοιχες θεωρίες μάθησης,
μέσα από τα επίπεδα γνώσης.
6. Ο ρόλος της υπολογιστικής πολυπλοκότητας στην εξέλιξη των μεθόδων επίλυσης
προβλημάτων (problem solving) Κάποια παραδείγματα προβλημάτων.
Σύγκριση δυνατοτήτων Γεωμετρίας Άλγεβρας και Ανάλυσης μέσω κοινού προβλήματος...Γιάννης Πλατάρος
Σύγκριση δυνατοτήτων Γεωμετρίας Άλγεβρας και Ανάλυσης
μέσω κοινού προβλήματος σε περιβάλλον Δυναμικού Λογισμικού
Ιωάννης Π. Πλατάρος Εκπαιδευτικός Π.Ε.03
Περίληψη
Η εργασία αυτή, αναφέρεται σε μια ενδεικτική ανάδειξη των δυνατοτήτων τριών κλάδων
των
Μαθηματικών,
όπως
ιστορικά
εξελίχθηκαν,
μέσω
ενός
κοινού,
εύκολου,
προβλήματος
εύρεσης
ελαχίστου,
όπου
αναδεικνύονται
με
ενάργεια,
οι
επί
μέρους
ποιοτικές
διαφορές
του
πιο
αρχαίου
εργαλείου,
της
Γεωμετρίας,
με
του
πλέον
σύγχρονου,
της
Ανάλυσης,
με ιστορικά ενδιάμεση βαθμίδα την Άλγεβρα, με το πλαίσιο υλοποίησής
τους- το δυναμικό Γεωμετρικό λογισμικό- να εκπέμπει πολλαπλά εκπαιδευτικά μηνύματα
Λέξεις -Κλειδιά: Δυναμικό Γεωμετρικό Λογισμικό, Άλγεβρα, Ανάλυση, ακρότατα,
Sketchpad
Περίληψη
Η αντίληψη για το ίδιο το μαθηματικό άπειρο γίνεται περισσότερο κατανοητή μέσω
της προσέγγισης κάποιων απλών ερωτημάτων μέσω της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Στην
ίδια προσέγγιση, γίνεται κατανοητή η έννοια της κατανομής απειροσυνόλων σε απειροσύνολα,
είτε
είναι
αριθμήσιμα
ή
υπεραριθμήσιμα.
Εισαγωγή
Με βασικά εργαλεία τον ορισμό της πιθανότητας και την έννοι α του ορίου όπως και με
λίγα πορίσματα της Θεωρίας Μέτρου, μπορούν να γίνουν πιο κατανοητές οι έννοιες
του απείρου, της αριθμησιμότητας της υπεραριθμησιμότητας όπως και της κατανομής
διάφορων γνωστών υποσυνόλων του R σε διάφορα υποσύνολά του. Το πλέον γόνιμο
μαθησιακά, είναι η σύγκρουσης της πεπερασμένης φύσης του ανθρώπου με την κατα-
νόηση του απείρου. Ναι μεν τα ίδια τα Μαθηματικά αναπτύσσονται με διαδικασίες
αφαίρεσης της φύσης αλλά ιδίως για το άπειρο, έχομε από την ίδια την φύση του το
σχήμα:
έπεπερασµ νο∞− =∞
. Έχουμε λοιπόν, μια διαρκή σύγκρουση αφ΄ενός των
νοητικών δομών, των «ενσώματων Μαθηματικών» της ανθρώπινης γλώσσας, των ιδιαιτεροτήτων
του
ανθρώπινου
σώματος
και
μυαλού
και
αφ΄ετέρου
των
μαθηματικών
αξιωμάτων,
που δεν μπορούν να δώσουν εξηγήσεις για την φύση του αριθμήσιμου ή
υπεραριθμήσιμου απείρου και την φύση του πραγματικού άπειρου. (Πατέρας, Ι. 2016)
Στα παρακάτω παραδείγματα έχουμε δειγματικούς χώρους αριθμησίμως άπειρους (διακριτούς)
είτε
μη
αριθμήσιμους(συνεχείς)
και
θεωρούμε
την
πιθανότητα
είτε
κατά
Von
Mises
είτε κατά την κλασική αξιωματική θεμελίωση της έννοιας. (Χαραλαμπίδης, Χ.
2003)
110. Ποιές βασικές γνώσεις παραμένουν στους αποφοίτους των Λυκείων;.docxΓιάννης Πλατάρος
Στο παρόν σημείωμα, παρουσιάζουμε κάποια ευρήματα όπως και σχόλια που ανιχνεύσαμε μέσω ενός τεστ με την εφαρμογή «Φόρμες Google» μέσω του διαδικτύου και συγκεκριμένα μέσω του Facebook. Το βασικό πρόβλημα είναι η αξιοπιστία μιας τέτοιας έρευνας, καθώς το δείγμα, δεν είναι αντιπροσωπευτικό, η τυχάρπαστη δειγματοληψία είναι ενάντια σε κάθε αρχή αντιπροσωπευτικού δείγματος και σε κάθε βασική οδηγία Επιστημονικής Έρευνας. Για να παρακαμφθεί αυτό το πρωταρχικό εμπόδιο, κάναμε έναν σχεδιασμό έτσι ώστε να αντλήσουμε -εξορύξουμε απολύτως έγκυρα στοιχεία, που να αποτελούν ανώτερα και κατώτερα φράγματα της ίδιας της πραγματικότητας.
Λίγα εισαγωγικά θεωρητικά στοιχεία
Όσοι εκπαιδευτικοί έχουν αρκετή ευαισθησία και αρκετοί έως πάρα πολλοί έχουν, προβληματίζονται πάντα για το επίπεδο που έχουν οι μαθητές τους. Βλέπουν τα γραπτά τους και την εικόνα τους στην τάξη και εικάζουν πράγματα για το τι τελικά «τους μένει». Εν τω μεταξύ από τον περίγυρο τον κοινωνικό και κυρίως των ΜΜΕ, εισπράττουν μια χειρότερη εικόνα αρκετά ζοφερότερη, την οποία κατά κανόνα - για ευνόητους ψυχολογικούς λόγους- δεν μπορεί να αποδεχθούν, αλλιώς έχουμε το αδήριτο ερώτημα «…και εμείς τι δουλειά κάνουμε στο Σχολείο και γιατί πληρωνόμαστε έστω με αυτούς τους ολίγιστους μισθούς;» Βγαίνει λ.χ. ο Μπαμπινιώτης και αποφαίνεται ότι «…Στην καλύτερη ηλικία των 15 με 18 ετών έχουμε βάλει τα παιδιά στο λούκι της εισαγωγής στην ανώτατη εκπαίδευση. Μόνο το φροντιστήριο έχει αξία γι’ αυτούς, οδηγώντας στην αχρήστευση του σχολείου και στην υποβάθμιση των δασκάλων. Και τι επιτυγχάνουμε τελικά; Να φεύγουν τα παιδιά από τα σχολεία χωρίς να θυμούνται απολύτως τίποτα.» Αυτή η φράση συνήθως εισπράττεται ως υπερβολή του ζωντανού λόγου. Μαθαίνουμε ότι «1 στους 4 πιστεύει ότι μας ψεκάζουν» Σχολιάζουμε: «χμ…και λίγοι είναι…» Διαβάζουμε ότι «μόλις το 66% των νέων πιστεύει πως η Γη είναι πράγματι σφαιρική. Και η θεωρία της Επίπεδης Γης εξαπλώνεται…Το υπόλοιπό 34% δεν είναι και τόσο σίγουρο. Ευτυχώς οι άνω των 55 ετών δεν αμφιβάλλουν… »
Αλλά και οι ειδικώς εκπαιδευμένοι , δεν πάνε πίσω: Ακούνε, ότι «αύριο η Σελήνη θα είναι 7% μεγαλύτερη από ό,τι κατά μέσον όρο και 15% λαμπρότερη» και στήνονται στις ταράτσες να δούνε το «πρωτοφανές φαινόμενο του αιώνα» Ξεχνούν όμως ότι το μάτι εκτιμά περίπου σωστά μόνο γραμμικές αποστάσεις ενώ λιγότερο τα εμβαδά και ακόμα λιγότερο τους όγκους. Έτσι μια αύξηση στην διάμετρο του Φεγγαριού κατά 3.5% δεν υπάρχει άνθρωπος που να μπορεί να την δει σε ένα τόσο μικρό φαινόμενο μέγεθος και μάλιστα χωρίς μέτρο σύγκρισης. Θυμόμαστε και βιβλία Φυσικής που «εξηγούσαν» ότι λόγω μεγάλου πάχους ατμόσφαιρας και λειτουργίας «μεγεθυντικού φακού» το Φεγγάρι κι ο Ήλιος, φαίνονται μεγαλύτερα κοντά στον ορίζοντα, ενώ είναι μια απόλυτη ψυχολογική ψευδαίσθηση καθώς ο εγκέφαλος τα συγκρίνει με τα οπτικώς διπλανά βουνά που τα θεωρεί πολύ «πολύ μεγάλα», ενώ όταν είναι υπερυψωμένα η εικόνα τους φαντάζει μικρότερη αφού δεν φαίνεται δίπλα κάτι «εγνωσμένα μεγάλο» αφού είναι εκτός οπτικού πεδίου.
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdfΓιάννης Πλατάρος
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται
Γιάννης Π. Πλατάρος
plataros@gmail.com
Περίληψη
Ενώ είναι γνωστές οι διδακτικές δυσκολίες μετάβασης από την Αριθμητική στην Άλγεβρα, κάποιες φυσικές υπάρχουσες γέφυρες μετάβασης πρέπει να φωτιστούν επαρκώς έτσι ώστε να γίνονται αντιληπτές από τους διδάσκοντες στην πρωτοβάθμια, ώστε η όντως προβληματική μετάβαση μα γίνεται το δυνατόν ομαλότερα δεδομένου, ότι οι ρίζες των λαθών υπάρχουν σε πρωταρχικές έννοιες της Αριθμητικής , όπως το 1+1=2, την πρόσθεση είτε τον πολλαπλασιασμό δύο αριθμών κ.ο.κ.
Λέξεις –Κλειδιά : Άλγεβρα, Αριθμητική, λάθη άλγεβρας, ιδιότητες δυνάμεων,
Διδακτικές μεταφορές στις Φυσικές επιστήμες.docxΓιάννης Πλατάρος
Περίληψη
Οι διδακτικές μεταφορές, σύμφωνα με την θεωρία όταν είναι οικείες στον μαθητή, είναι ένα διαμεσολαβητικό στάδιο για επίτευξη μάθησης. Στην παρούσα εργασία αναφέρουμε κάποια παραδείγματα κυρίως των Φυσικών επιστημών, ενδιαφέροντα για την αντίστοιχη διδασκαλία, που αναφέρονται στην διάθλαση του φωτός, μεταφορά ηλεκτρικού ρεύματος, κ.ά. εμβαθύνοντας στην φύση της μεταφοράς και αναλογικής σκέψης.
Λέξεις –κλειδιά : Αναλογική σκέψη, διδακτική μεταφορά, Φυσικές επιστήμες.
Teaching metaphors in the Natural Sciences
Plataros Ioannis Teacher P.E.03 &P.E. 80
M.Edu. "Mathematics Teaching and Methodology" & M.Edu. "Teaching Theory, Practice and Evaluation"
Papadopoulos Konstantinos
Dr.
Abstract
Teaching metaphors, when students are familiar with them, is a mediating stage in achieving learning. In the present work we mention some interesting examples mainly of Natural Science, for the corresponding teaching, which refer to the refraction of light, the transmission of electricity, etc. delving into the nature of metaphor and analogical thinking.
Keywords: Analogue thinking, reaching metaphor, Natural sciences.
Θεωρία Μέτρου με μαθηματικά Γυμνασίου για Γεωμετρία Β΄Λυκείου.docxΓιάννης Πλατάρος
Περίληψη
Στην παρούσα εργασία γίνεται μια απλοποίηση -χωρίς απλούστευση- της προχωρημένης Μαθηματικά Θεωρίας Μέτρου με στοιχειώδη Μαθηματικά, έτσι ώστε να απαντηθούν αποτελεσματικά, κάποια Γεωμετρικά ερωτήματα που δυνητικά μπορεί να τεθούν και να εμφανίζουν τον βασικό ορισμό της ισότητας Γεωμετρικών σχημάτων («ίσα σχήματα είναι τα συμπτώσιμα και τα συμπτώσιμα σχήματα είναι ίσα») ως αντιφάσκοντα με τους θεμελιώδεις κοινούς μαθηματικούς χειρισμούς των Γεωμετρικών σχημάτων. Ταυτόχρονα, να υποστηριχθεί και η φιλοσοφία των Μαθηματικών με τις έννοιες του αριθμήσιμου και του υπεραριθμήσιμου.
Λέξεις –κλειδιά: Μέτρο, Θεωρία μέτρου, Πυθαγόρειο θεώρημα, μήκος διαστήματος , υπεραριθμησιμότητα, αριθμησιμότητα,
Περί της υποστάσεως της μέτρησης «μήκος 3m».docxΓιάννης Πλατάρος
Abstract: The possibility of measuring the physical size “3m length” accurately or not is a question of exploration related to Physics, Mathematics and finally to Philosophy, as the mathematical answer is that “it is impossible to measure exactly” and which is in conflict with the common empirical intuition of an average human. Thus, a small documentation of acceptance of the result is made with some similar examples.
Περίληψη: Η δυνατότητα ακριβούς ή όχι μέτρησης του φυσικού μεγέθους «μήκος 3m» συνιστά ένα διερευνητικό ερώτημα που άπτεται της Φυσικής, των Μαθηματικών και τελικά και της Φιλοσοφίας, καθώς η Μαθηματική απάντηση είναι ότι «είναι αδύνατον να μετρηθεί ακριβώς» και η οποία έρχεται σε αντίθεση με την κοινή εμπειρική διαίσθηση ενός μέσου ανθρώπου. Γίνεται έτσι και μια μικρή τεκμηρίωση αποδοχής του αποτελέσματος με κάποια ανάλογα παραδείγματα.
Το «γιατί»το «πώς» και το «διότι» της ισότητας 0,999…=1 και η αντίληψη για ...Γιάννης Πλατάρος
Η ισότητα 0,999…=1 είναι αντικείμενο παγκόσμιων συζητήσεων στο διαδίκτυο, μεταξύ φοιτητών και όχι μόνον. Αυτή η ισότητα αμφισβητείται πεισματικά. Ακόμα και συγκεκριμένες μαθηματικές αποδείξεις, δεν πείθουν όλους, παρ΄ό,τι διαθέτουν την στοιχειώδη μαθηματική παιδεία της αποδοχής μιας απόδειξης. Η «ενσώματη» (πεπερασμένη) διαίσθηση περί μη αποδοχής υπερτερεί. Διαφαίνεται έτσι η δυσκολία στην διαισθητική κατανόηση του απείρου, διαφαίνονται τα όρια της πεπερασμένης φύσης του ανθρώπου, τα όρια των «ενσώματων μαθηματικών», ενώ παράλληλα, αναδεικνύεται η ίδια η δύναμη και η πρακτική αξία των μαθηματικών αποδείξεων που μας καθοδηγεί για το εκάστοτε σωστό στα πλαίσια των αξιωμάτων των Μαθηματικών.
How much more comprehensible is mathematical Infinity through Lakoff & Núñezl's "Basic Metaphor of Infinity"?
Abstract
The present work investigates through examples, whether or not the Basic Metaphor of Infinity (B.M.I.) helps the teaching of the difficult concept of mathematical infinity and we come to the conclusion for overestimating the BMI as it does not predict, while there are other better transports to approach the concept of infinity, always with a transition vehicle the mathematics themselves.
Υπάρχει θεσμική λύση για τις καταλήψεις των Σχολείων.docxΓιάννης Πλατάρος
Η μόνη διαφορά που έχουν τα ιδιωτικά Σχολεία με τα Δημόσια, είναι ότι στα πρώτα δεν γίνονται καταλήψεις.
Αυτοί που ομνύουν στην υπεράσπιση της Δημόσιας εκπαίδευσης εμμέσως συνήθως ανέχονται τις καταλήψεις όταν δεν τις προωθούν ..,
εν τω μεταξύ είναι ένα θέμα που ναι μεν το έχουν κάνει οιονεί έθιμο, αλλά ΛΥΝΕΤΑΙ....
#Για να δείτε τα περιεχόμενα πηγαίνετε στους σελιδοδείκτες *Bookmarks)
# Έξι τόμοι με Μαθηματικές εργασίες, συν 7ος συμπληρωματικός
# Τρεις τόμοι με Εκπαιδευτική και τοπική για Μεσσήνη αρθρογραφία.
#Για να δείτε τα περιεχόμενα πηγαίνετε στους σελιδοδείκτες *Bookmarks)
# Έξι τόμοι με Μαθηματικές εργασίες, συν 7ος συμπληρωματικός
# Τρεις τόμοι με Εκπαιδευτική και τοπική για Μεσσήνη αρθρογραφία.
1. Γεωµετρικά υποδείγµατα συναρτήσεων .
Ιωάννης Π. Πλατάρος
Μαθηµατικός , Καπετάν Κρόµπα 37 , Τ.Κ. 24 200 ΜΕΣΣΗΝΗ
ηλ./ταχ. Plataros@sch.gr
Περίληψη
Κάποια απλά υποδείγµατα της Ευκλείδειας Γεωµετρίας µπορούν να δείξουν
την ύπαρξη απεικονίσεων µεταξύ ευθ. τµηµάτων, ευθειών , ηµιευθιών ,
τόξων κύκλων κ.τ.λ. οι οποίες έχουν εξαιρετικό ενδιαφέρον καθ΄ εαυτές και
επάγουν σε αντίστοιχες πραγµατικές συναρτήσεις. Έτσι , συνδέεται
περισσότερο η Ευκλείδεια Γεωµετρία και µε τις συναρτήσεις, πράγµα που
συµβάλει στην ανάδειξη του ενιαίου της συνέχειας και της συνεκτικότητας
των µαθηµατικών κλάδων.
Εισαγωγή
Στο Λύκειο, υπάρχουν κλασικά προβλήµατα , όπως. π.χ. µεγίστων και
ελαχίστων στα εµβαδά , τα οποία µπορούν να επιλυθούν µε γεωµετρικές,
αλγεβρικές ή και αναλυτικές µεθόδους και να φανεί η ενότητα των τριών
κλάδων των µαθηµατικών , οι διαφορές τους καθώς και τα πλεονεκτήµατα
ή µειονεκτήµατα κάθε µιας. Π.χ. το πρόβληµα της εύρεσης του
παραλληλογράµµου µε µέγιστο εµβαδόν, από όλα όσα έχουν σταθερή
περίµετρο, µπορεί να επιλυθεί και µε τις τρεις µεθόδους. Ωστόσο , ένα
τµήµα ύλης που θα συνέδεε την κλασική Ευκλείδεια γεωµετρία απ΄ ευθείας
µε τις απεικονίσεις και ιδία τις συναρτήσεις δεν υπάρχει στα βιβλία της
Μέσης εκπαίδευσης .Αν εξαιρέσουµε τις κλασικές απεικονίσεις «συµµετρία
ως προς κέντρο» , «συµµετρία ως προς σηµείο» «στροφή» και «µεταφορά»
(όπου κι αυτές παρουσιάζονται χωρίς ιδιαίτερες επεκτάσεις και εφαρµογές)
κάτι άλλο δεν υπάρχει και µια τέτοια απόπειρα θα κάνουµε µε την
παρούσα εργασία.
Πρόβληµα Ι.
Να βρεθεί συνάρτηση f :[a, β ] → [γ , δ ] η οποία να είναι «1-1» και «επί»
Στο παρακάτω σχήµα [1] έχω ΑΒ // Γ∆ και φαίνεται , ότι κάθε σηµείο του
ευθ. τµήµατος ΑΒ απεικονίζεται ένα και µόνο ένα σηµείο του ευθυγράµµου
O τµήµατος Γ∆ και αντιστρόφως. Έτσι
έχω µια «1-1» και «επί» απεικόνιση
A Ê B
÷
Ã Ë Σχ ήµα 1.
Ä
f(x)
2. του ΑΒ στο Γ∆. Αν θεωρήσω το ΑΒ ως το [α,β] και το Γ∆ ως [γ,δ] , τότε
ΟΑ ΑΚ χ −α
από τα όµοια τρίγωνα ΟΑΚ &ΟΓΛ έχω = = (1)
ΟΓ ΓΛ f ( x) − γ
ΟΑ ΑΒ β − α
Από τα όµοια τρίγωνα ΟΑΒ & ΟΓ∆ , έχω: = = (2) Από
ΟΓ Γ∆ δ − γ
(1)&(2) κάνοντας τις πράξεις , έχω τελικά ότι
δ −γ Σχ ήµα 2.
f ( x) = (χ − α ) + γ
β −α
Χωρίς το γεωµετρικό πρότυπο των οµοίων
τριγώνων αλλά στο πεδίο γραφικής
παράστασης, θα µπορούσαµε να δούµε την
εξίσωση της διαγωνίου ως µία λύση στο
πρόβληµα και να την βρούµε ως τµήµα ευθείας
που διέρχεται από δύο γνωστά σηµεία (α,γ) και
(β,δ) και η οποία ως γνησίως µονότονη είναι «1-
1» και «επί» . Αντί του γραφήµατος της
διαγωνίου, θα µπορούσε να είναι το γράφηµα
οποιασδήποτε «1-1» συνάρτησης (συνεχούς ή µη) που διέρχεται από τα
προηγούµενα σηµεία ή τα σηµεία (α,δ) και (β,γ).
Έτσι, εκ πρώτης όψεως, φαίνεται ότι η δεύτερη θεώρηση υπερκαλύπτει
το αρχικό γεωµετρικό πρότυπο, όµως, το αρχικό προσφέρεται διδακτικά
για τα εξής:
• ∆είχνει την έννοια της απεικόνισης ως φυσική επέκταση της
συνάρτησης σε µη αριθµητικά σύνολα
• ∆είχνει, ότι το πλήθος των σηµείων όλων των ευθυγράµµων τµηµάτων
είναι το ίδιο , πράγµα µη προφανές και που δεν προκύπτει διαισθητικά ,
µιας και στα απειροσύνολα έχουν άλλους νόµους από αυτούς των
πεπερασµένων που αντιλαµβάνονται συνήθως οι άνθρωποι. Εννοείται
ότι πρέπει να έχει γίνει µια γενικότερη νύξη για το πώς η
ισοπληθικότητα µεταξύ δύο συνόλων πεπερασµένων ή απείρων
ουσιαστικά φανερώνεται από µια «1-1» και «επί» απεικόνιση µεταξύ
τους.
• Με ένα δυναµικό εκπαιδευτικό λογισµικό που έχει κίνηση , όπως είναι
το Cabri ή το Sketchpad µπορούµε να δείξουµε πάρα πολύ καλά, ότι
καθώς το χ διαγράφει το ΑΒ, η εικόνα του f(x) διαγράφει το ΒΓ.
Παράλληλα µπορεί να γίνει και η γραφική παράσταση του µήκους
ΓΛ(:=f(x) ) ως συνάρτηση του µήκους Γ∆(:=x) που είναι ευθ. τµήµα.
3. Πρόβληµα ΙΙ.
Να βρεθεί συνάρτηση f :[a, β ) → [a, +∞) που να είναι
«1-1» και «επί»
Στο παρακάτω σχήµα εµφανίζεται η απεικόνιση του ευθυγράµµου τµήµατος
ΟΑ στην ηµιευθεία Οχ . [2]
Σχ ήµα 3.
Στο τυχόν σηµείο Π1 του ΟΑ , υψώνουµε κάθετο, η οποία τέµνει την
διαγώνιο του τετραγώνου ΟΑΒΓ στο Ρ. Η προέκταση της ΓΡ , τέµνει την
Οχ στο Π , που είναι η εικόνα του Π1.
Αν τώρα ταυτίσοµε το ΟΑ µε το [α,β) , την Οχ µε το [α,+ ∞ ) , το Π1 µε το
x και το Π µε το f(x) , τότε από τα όµοια ορθογώνια τρίγωνα ΟΠΓ και
Π1ΠΡ , έχοµε την ισότητα λόγων
ΟΠ ΟΓ f ( x) β −α
= ⇔ = (1)
ΟΠ − ΟΠ1 ΡΠ1 f ( x) − x x
(β − α )x
Από την (1) τελικά παίρνουµε ότι f ( x) = που είναι η
β −α − x
ζητούµενη αναλυτική έκφραση .
Ας δούµε τώρα τα πιθανά οφέλη της εφαρµογής αυτής:
• Η δικαιολόγηση του γιατί έχουµε απεικόνιση µέσω αυτής της
διαδικασίας. Γεωµετρικά είναι ίσως τετριµµένη, (δύο ευθείες του
επιπέδου όταν δεν είναι παράλληλες τέµνονται σε µοναδικό σηµείο)
αλλά συµβάλλει στην βαθύτερη κατανόηση της έννοιας της
απεικόνισης.
• Φανερώνει στους µαθητές το εκπληκτικό και πέραν της συνήθους
διαισθήσεως αποτέλεσµα, ότι το πεπερασµένου µήκους ευθύγραµµο
τµήµα ΟΑ , έχει τα ίδια σηµεία µε την απείρου µήκους ηµιευθεία.
• Με χρήση των Sketchpad ή Cabri , εκτός του να δειχθεί η απεικόνιση
και η αντίστοιχη συνάρτηση µε δυναµικό τρόπο, µπορεί να δειχθεί και
4. ότι το όριο του χ τείνοντος στο α , είναι το + ∞ , κατ΄ απολύτως εποπτικό
τρόπο. ∆ηλ. ακριβώς στο α έχω παραλληλία και άρα δεν έχω εικόνα του
χ, αλλά οσοδήποτε κοντά στο α , έχω εικόνα , η οποία γίνεται
οσοδήποτε µεγάλη.
Πρόβληµα ΙΙΙ.
Να βρεθεί συνάρτηση f : (a, β ) → που να είναι «1-1» και «επί» [3],[4]
Στο παρακάτω σχήµα έχω απεικόνιση του (α,β) στο :
α+β
2
α x Α y β
Q
Ρ1
Q1 Σχ ήµα 4.
K
Ρ2 Q2
f ( x) f ( y)
α+β
Το µέσον του τµήµατος απεικονίζεται στο 0 , τα δε τυχαία x και y
2
στα f(x) , f(y) αντιστοίχως. Από τα όµοια τρίγωνα ΑΡΡ1 και Ρ2ΟΑ έχω τους
λόγους µηκών των αντιστοίχως τµηµάτων:
− f ( x) Κ
= , απ΄ όπου παίρνω την αναλυτική
a+β 2 2
−χ β −α α + β
2 − −χ
2 2
α+β
Κχ −
2
έκφραση της f δηλ. f(x)= (*)
( χ − α )( β − χ )
Πιθανά οφέλη της εφαρµογής θα µπορούσαν να είναι:
• Η εκπληκτική ανακάλυψη ότι τα σηµεία ενός ευθυγράµµου
τµήµατος και µιας ευθείας είναι ισοπληθικά.
• Το ίδιο το γεγονός της αλγοριθµικής κατασκευής οικογένειας
συναρτήσεων µε πεδίο ορισµού ανοικτό και πεπερασµένο διάστηµα
και πεδίο τιµών το .
• Η κατασκευή του σχήµατος σε περιβάλλον Cabri ή Sketchpad, θα
δείξει -όπως και προηγουµένως- εξαιρετικά εποπτικά την
5. απεικόνιση, την αντίστοιχη συνάρτηση και ακόµη ότι η f
απειρίζεται θετικά ή αρνητικά καθώς το χ τείνει στο β ή στο α ,
αντιστοίχως.
Μία γενίκευση
Αν θελήσει κάποιος να προβεί σε γενικεύσεις και αντί ηµικυκλίου στο
Σχήµα.4 θέσει µια άλλη γνωστή συνάρτηση µε τα ίδια άκρα και στο ίδιο
ηµιεπίπεδο, τότε θα πάρει µια άλλη συνάρτηση . Για να είναι η νέα
συνάρτηση «1-1» χρειάζονται επί πλέον συνθήκες.
Στο Σχήµα 3 , αντί της διαγωνίου ΟΒ , θα µπορούσα να θέσει το γράφηµα
µιας γν. αύξουσας συνεχούς συνάρτησης στο [α,β) µε τα ίδια άκρα
Κάτι ανάλογο µπορεί να γίνει και στο Σχήµα1 , αν αντικατασταθεί το
ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µε γράφηµα συνάρτησης ή όταν ΑΒ // Γ∆ και να
διερευνηθούν ανάλογα ερωτήµατα. (Τα δυναµικά λογισµικά προσφέρονται
για σχετικό πειραµατισµό)
Συµπεράσµατα
Τα τρία προβλήµατα που παραθέσαµε, αναδεικνύουν µια σύνδεση σε δύο
περιοχές των µαθηµατικών , όπως είναι της Ευκλείδειας Γεωµετρίας και
των συναρτήσεων. Αυτή η ενότητα είναι προφανής όταν µεσολαβεί η
Αναλυτική Γεωµετρία. Αλλά. το πώς π.χ µε την βοήθεια οµοίων τριγώνων
βρίσκω συνάρτηση µε επιθυµητές ιδιότητες , δεν µπορεί να προκύψει άµεσα
από την ύλη του Λυκείου. Επίσης η χρήση δυναµικών εκπαιδευτικών
λογισµικών στην παρουσίαση των εφαρµογών αυτών µπορεί να αποδώσει
εποπτικότερα την έννοια της σύγκλισης , αλλά και να αναδείξει
παράπλευρες έννοιες, όπως του περιορισµού συνάρτησης και του εφικτού ή
όχι της συνεχούς επέκτασης συνάρτησης (π.χ. όταν τα ανοικτά διαστήµατα
των προβληµάτων τα θεωρήσουµε ως κλειστά )
Μια σοβαρή γενικότερη πιθανή ωφέλεια που προσλαµβάνει ο µαθητής,
είναι η διεύρυνση του πλαισίου (contex) αναφοράς των συναρτήσεων µέσω
των τριών αυτών προβληµάτων.
Αναφορές:
[1] Vilenkin Yak. Naum : «Αναζητώντας το άπειρο» Εκδόσεις Κάτοπτρο
σελ. 102-103
[2] Morris Kline «Τα Μαθηµατικά στον ∆υτικό Πολιτισµό» Τ.Β΄ εκδόσεις
«Κώδικας» σελ. 259
[3] ∆ρόσος Κώστας Α. «Εισαγωγή στην Μαθηµατική Σκέψη» Τόµος 1ος
Μαθηµατικές Περιηγήσεις –Τµήµα Μαθηµατικών Παν. Πατρών.
[4] Rucker Rudy : «Το άπειρο και ο νους» Παν. Εκδόσεις Κρήτης
Ηράκλειο 1999 σελ. 269-270