1) Ερμηνείες εμπνευσμένες από τον πραγματικό κόσμο
1.1) Σύμπαν με μία κατηγορία δεδομένων
1.1.1) Παραδείγματα
1.2) Σύμπαν με περισσότερες κατηγορίες δεδομένων
1.2.1) Παραδείγματα
2) Ερμηνείες των αριθμών
2.1) Σύμπαν Ακεράιων – Πραγματικών
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Μη Κατευθυνόνομενο Γράφημα
2) Ορισμοί στα Μη Κατευθυνόμενα Γραφήματα
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων.
Ασκήσεις
1) Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων
1.1) Εισαγωγή
2) Υπενθυμίσεις από ΜΑΘ0.1
2.1) Δυναμοσύνολο
2.2) Σχέση Υποσυνόλου
2.3) Σχέση Γνησίου Υποσυνόλου
3) Ασκήσεις
3.1) Στοιχειώδεις προτάσεις με ποσοδείκτες
3.2) Μετάφραση στα ελληνικά
3.3) Περαιτέρω ασκήσεις
Ασκήσεις
1) Η πρωτοβάθμια γλώσσα
2) Νέα Στοιχεία σε Σχέση με την Προτασιακή γλώσσα
2.1) Τα συναρτησιακά σύμβολα
2.2) Τα κατηγορηματικά σύμβολα
2.3) Ο ποσοδείκτης για κάθε: ∀
2.4) Ο ποσοδείκτης υπάρχει: ∃
2.5) Το σύμβολο ≈
3) Το συντακτικό της Κατηγορηματικής Λογικής
3.1) Εισαγωγή
3.2) Όρος
3.3) Ατομικός Τύπος
3.4) Μη Ατομικός Τύπος
3.5) Δενδροδιάγραμμα Τύπου και Προτεραιότητα Τελεστών
3.6) Πρόταση
4) Δομές και Αποτιμήσεις
4.1) Δομή (ή Ερμηνεία)
4.2) Αποτίμηση
5) Συντομογραφίες Τύπων
5.1) Ορισμός Συντομογραφίας
5.2) Χρήση Συντομογραφίας
6) Μεταφραστικός Πίνακας
Ασκήσεις
1) Ερμηνείες εμπνευσμένες από τον πραγματικό κόσμο
1.1) Σύμπαν με μία κατηγορία δεδομένων
1.1.1) Παραδείγματα
1.2) Σύμπαν με περισσότερες κατηγορίες δεδομένων
1.2.1) Παραδείγματα
2) Ερμηνείες των αριθμών
2.1) Σύμπαν Ακεράιων – Πραγματικών
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Μη Κατευθυνόνομενο Γράφημα
2) Ορισμοί στα Μη Κατευθυνόμενα Γραφήματα
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων.
Ασκήσεις
1) Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων
1.1) Εισαγωγή
2) Υπενθυμίσεις από ΜΑΘ0.1
2.1) Δυναμοσύνολο
2.2) Σχέση Υποσυνόλου
2.3) Σχέση Γνησίου Υποσυνόλου
3) Ασκήσεις
3.1) Στοιχειώδεις προτάσεις με ποσοδείκτες
3.2) Μετάφραση στα ελληνικά
3.3) Περαιτέρω ασκήσεις
Ασκήσεις
1) Η πρωτοβάθμια γλώσσα
2) Νέα Στοιχεία σε Σχέση με την Προτασιακή γλώσσα
2.1) Τα συναρτησιακά σύμβολα
2.2) Τα κατηγορηματικά σύμβολα
2.3) Ο ποσοδείκτης για κάθε: ∀
2.4) Ο ποσοδείκτης υπάρχει: ∃
2.5) Το σύμβολο ≈
3) Το συντακτικό της Κατηγορηματικής Λογικής
3.1) Εισαγωγή
3.2) Όρος
3.3) Ατομικός Τύπος
3.4) Μη Ατομικός Τύπος
3.5) Δενδροδιάγραμμα Τύπου και Προτεραιότητα Τελεστών
3.6) Πρόταση
4) Δομές και Αποτιμήσεις
4.1) Δομή (ή Ερμηνεία)
4.2) Αποτίμηση
5) Συντομογραφίες Τύπων
5.1) Ορισμός Συντομογραφίας
5.2) Χρήση Συντομογραφίας
6) Μεταφραστικός Πίνακας
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ)
1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ
2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη
2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων
2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens
2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3
2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1
2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2
2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3
2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική
2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική
2.4) Τυπικά Θεωρήματα
2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές
3) Μεθοδολογία
3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική
3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ)
1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ
2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη
2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων
2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens
2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3
2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1
2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2
2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3
2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική
2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική
2.4) Τυπικά Θεωρήματα
2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές
3) Μεθοδολογία
3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική
3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική
Ασκήσεις
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου (2016 2017)Natasa Liri
Συνοπτική Θεωρία και Λυμένες Ασκήσεις.
Οι σημειώσεις αυτές αφορούν την εξεταστέα ύλη για τις ενδοσχολικές εξετάσεις του μαθήματος: Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου για το σχολικό έτος 2016-2017
Περίληψη
Η αντίληψη για το ίδιο το μαθηματικό άπειρο γίνεται περισσότερο κατανοητή μέσω
της προσέγγισης κάποιων απλών ερωτημάτων μέσω της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Στην
ίδια προσέγγιση, γίνεται κατανοητή η έννοια της κατανομής απειροσυνόλων σε απειροσύνολα,
είτε
είναι
αριθμήσιμα
ή
υπεραριθμήσιμα.
Εισαγωγή
Με βασικά εργαλεία τον ορισμό της πιθανότητας και την έννοι α του ορίου όπως και με
λίγα πορίσματα της Θεωρίας Μέτρου, μπορούν να γίνουν πιο κατανοητές οι έννοιες
του απείρου, της αριθμησιμότητας της υπεραριθμησιμότητας όπως και της κατανομής
διάφορων γνωστών υποσυνόλων του R σε διάφορα υποσύνολά του. Το πλέον γόνιμο
μαθησιακά, είναι η σύγκρουσης της πεπερασμένης φύσης του ανθρώπου με την κατα-
νόηση του απείρου. Ναι μεν τα ίδια τα Μαθηματικά αναπτύσσονται με διαδικασίες
αφαίρεσης της φύσης αλλά ιδίως για το άπειρο, έχομε από την ίδια την φύση του το
σχήμα:
έπεπερασµ νο∞− =∞
. Έχουμε λοιπόν, μια διαρκή σύγκρουση αφ΄ενός των
νοητικών δομών, των «ενσώματων Μαθηματικών» της ανθρώπινης γλώσσας, των ιδιαιτεροτήτων
του
ανθρώπινου
σώματος
και
μυαλού
και
αφ΄ετέρου
των
μαθηματικών
αξιωμάτων,
που δεν μπορούν να δώσουν εξηγήσεις για την φύση του αριθμήσιμου ή
υπεραριθμήσιμου απείρου και την φύση του πραγματικού άπειρου. (Πατέρας, Ι. 2016)
Στα παρακάτω παραδείγματα έχουμε δειγματικούς χώρους αριθμησίμως άπειρους (διακριτούς)
είτε
μη
αριθμήσιμους(συνεχείς)
και
θεωρούμε
την
πιθανότητα
είτε
κατά
Von
Mises
είτε κατά την κλασική αξιωματική θεμελίωση της έννοιας. (Χαραλαμπίδης, Χ.
2003)
How much more comprehensible is mathematical Infinity through Lakoff & Núñezl's "Basic Metaphor of Infinity"?
Abstract
The present work investigates through examples, whether or not the Basic Metaphor of Infinity (B.M.I.) helps the teaching of the difficult concept of mathematical infinity and we come to the conclusion for overestimating the BMI as it does not predict, while there are other better transports to approach the concept of infinity, always with a transition vehicle the mathematics themselves.
Ο αγαπητός φίλος Γιώργος Πολύζος (τ. Πάρεδρος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου (Π.Ι) και μέλος της συγγραφικής ομάδας σχολικών βιβλίων) παρουσίασε στη Λιβαδειά 14/10/2018 και Χίο 21/10/2018 το εξής θέμα:
"Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ Η ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
(Τα διαδοχικά βήματα από τον ορισμό μέχρι και την πλήρη μελέτη τους)".
Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.com
Έξι Φιλοσοφικά και Μαθηματικά Ερωτήματα με Διδακτικές προσεγγίσεις_.pdfΓιάννης Πλατάρος
1. Πώς επηρέασαν τα φιλοσοφικά δίπολα των θέσεων Αριστοτέλη-Πλάτωνα και KantMill
την
μετάβαση
από
τις
Ευκλείδειες
στις
μη-Ευκλείδειες
Γεωμετρίες;
Κατά
πόσο
οι
εφαρμογές
των Ευκλειδείων και μη-Ευκλειδείων Γεωμετριών οδήγησαν στην
ανάπτυξή τους;
2. Ποίες οι βασικές θέσεις των ante rem δομών του στρουκτουραλισμού και ποία η
διαφοροποίηση στο κίνημα του στρουκτουραλισμού χωρίς δομές ; Ποια κενά των
προγενέστερων φιλοσοφικών ρευμάτων ήρθαν να καλύψουν οι δύο ανωτέρω
προσεγγίσεις;
3. Ποια η σύνδεση του ιστού της πεποίθησης με τους οντολογικούς ρεαλιστές; Ένα
παράδειγμα από συγκεκριμένο μαθηματικό κλάδο Μαθηματικών.
4. Η διαδρομή σκέψης των Núñez και Lakoff στην ανάπτυξη της θεωρίας τους για τις
εννοιολογικές μεταφορές. Επιτυχημένα και αποτυχημένα παραδείγματα στην
διδακτική πράξη σε έννοιες που εισάγονται διδακτικά με την χρήση εννοιολογικών
μεταφορών.
5. Οι τρεις κόσμοι του D. Tall και πώς συνδέονται με αντίστοιχες θεωρίες μάθησης,
μέσα από τα επίπεδα γνώσης.
6. Ο ρόλος της υπολογιστικής πολυπλοκότητας στην εξέλιξη των μεθόδων επίλυσης
προβλημάτων (problem solving) Κάποια παραδείγματα προβλημάτων.
Σύγκριση δυνατοτήτων Γεωμετρίας Άλγεβρας και Ανάλυσης μέσω κοινού προβλήματος...Γιάννης Πλατάρος
Σύγκριση δυνατοτήτων Γεωμετρίας Άλγεβρας και Ανάλυσης
μέσω κοινού προβλήματος σε περιβάλλον Δυναμικού Λογισμικού
Ιωάννης Π. Πλατάρος Εκπαιδευτικός Π.Ε.03
Περίληψη
Η εργασία αυτή, αναφέρεται σε μια ενδεικτική ανάδειξη των δυνατοτήτων τριών κλάδων
των
Μαθηματικών,
όπως
ιστορικά
εξελίχθηκαν,
μέσω
ενός
κοινού,
εύκολου,
προβλήματος
εύρεσης
ελαχίστου,
όπου
αναδεικνύονται
με
ενάργεια,
οι
επί
μέρους
ποιοτικές
διαφορές
του
πιο
αρχαίου
εργαλείου,
της
Γεωμετρίας,
με
του
πλέον
σύγχρονου,
της
Ανάλυσης,
με ιστορικά ενδιάμεση βαθμίδα την Άλγεβρα, με το πλαίσιο υλοποίησής
τους- το δυναμικό Γεωμετρικό λογισμικό- να εκπέμπει πολλαπλά εκπαιδευτικά μηνύματα
Λέξεις -Κλειδιά: Δυναμικό Γεωμετρικό Λογισμικό, Άλγεβρα, Ανάλυση, ακρότατα,
Sketchpad
110. Ποιές βασικές γνώσεις παραμένουν στους αποφοίτους των Λυκείων;.docxΓιάννης Πλατάρος
Στο παρόν σημείωμα, παρουσιάζουμε κάποια ευρήματα όπως και σχόλια που ανιχνεύσαμε μέσω ενός τεστ με την εφαρμογή «Φόρμες Google» μέσω του διαδικτύου και συγκεκριμένα μέσω του Facebook. Το βασικό πρόβλημα είναι η αξιοπιστία μιας τέτοιας έρευνας, καθώς το δείγμα, δεν είναι αντιπροσωπευτικό, η τυχάρπαστη δειγματοληψία είναι ενάντια σε κάθε αρχή αντιπροσωπευτικού δείγματος και σε κάθε βασική οδηγία Επιστημονικής Έρευνας. Για να παρακαμφθεί αυτό το πρωταρχικό εμπόδιο, κάναμε έναν σχεδιασμό έτσι ώστε να αντλήσουμε -εξορύξουμε απολύτως έγκυρα στοιχεία, που να αποτελούν ανώτερα και κατώτερα φράγματα της ίδιας της πραγματικότητας.
Λίγα εισαγωγικά θεωρητικά στοιχεία
Όσοι εκπαιδευτικοί έχουν αρκετή ευαισθησία και αρκετοί έως πάρα πολλοί έχουν, προβληματίζονται πάντα για το επίπεδο που έχουν οι μαθητές τους. Βλέπουν τα γραπτά τους και την εικόνα τους στην τάξη και εικάζουν πράγματα για το τι τελικά «τους μένει». Εν τω μεταξύ από τον περίγυρο τον κοινωνικό και κυρίως των ΜΜΕ, εισπράττουν μια χειρότερη εικόνα αρκετά ζοφερότερη, την οποία κατά κανόνα - για ευνόητους ψυχολογικούς λόγους- δεν μπορεί να αποδεχθούν, αλλιώς έχουμε το αδήριτο ερώτημα «…και εμείς τι δουλειά κάνουμε στο Σχολείο και γιατί πληρωνόμαστε έστω με αυτούς τους ολίγιστους μισθούς;» Βγαίνει λ.χ. ο Μπαμπινιώτης και αποφαίνεται ότι «…Στην καλύτερη ηλικία των 15 με 18 ετών έχουμε βάλει τα παιδιά στο λούκι της εισαγωγής στην ανώτατη εκπαίδευση. Μόνο το φροντιστήριο έχει αξία γι’ αυτούς, οδηγώντας στην αχρήστευση του σχολείου και στην υποβάθμιση των δασκάλων. Και τι επιτυγχάνουμε τελικά; Να φεύγουν τα παιδιά από τα σχολεία χωρίς να θυμούνται απολύτως τίποτα.» Αυτή η φράση συνήθως εισπράττεται ως υπερβολή του ζωντανού λόγου. Μαθαίνουμε ότι «1 στους 4 πιστεύει ότι μας ψεκάζουν» Σχολιάζουμε: «χμ…και λίγοι είναι…» Διαβάζουμε ότι «μόλις το 66% των νέων πιστεύει πως η Γη είναι πράγματι σφαιρική. Και η θεωρία της Επίπεδης Γης εξαπλώνεται…Το υπόλοιπό 34% δεν είναι και τόσο σίγουρο. Ευτυχώς οι άνω των 55 ετών δεν αμφιβάλλουν… »
Αλλά και οι ειδικώς εκπαιδευμένοι , δεν πάνε πίσω: Ακούνε, ότι «αύριο η Σελήνη θα είναι 7% μεγαλύτερη από ό,τι κατά μέσον όρο και 15% λαμπρότερη» και στήνονται στις ταράτσες να δούνε το «πρωτοφανές φαινόμενο του αιώνα» Ξεχνούν όμως ότι το μάτι εκτιμά περίπου σωστά μόνο γραμμικές αποστάσεις ενώ λιγότερο τα εμβαδά και ακόμα λιγότερο τους όγκους. Έτσι μια αύξηση στην διάμετρο του Φεγγαριού κατά 3.5% δεν υπάρχει άνθρωπος που να μπορεί να την δει σε ένα τόσο μικρό φαινόμενο μέγεθος και μάλιστα χωρίς μέτρο σύγκρισης. Θυμόμαστε και βιβλία Φυσικής που «εξηγούσαν» ότι λόγω μεγάλου πάχους ατμόσφαιρας και λειτουργίας «μεγεθυντικού φακού» το Φεγγάρι κι ο Ήλιος, φαίνονται μεγαλύτερα κοντά στον ορίζοντα, ενώ είναι μια απόλυτη ψυχολογική ψευδαίσθηση καθώς ο εγκέφαλος τα συγκρίνει με τα οπτικώς διπλανά βουνά που τα θεωρεί πολύ «πολύ μεγάλα», ενώ όταν είναι υπερυψωμένα η εικόνα τους φαντάζει μικρότερη αφού δεν φαίνεται δίπλα κάτι «εγνωσμένα μεγάλο» αφού είναι εκτός οπτικού πεδίου.
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται.pdfΓιάννης Πλατάρος
Γέφυρες από την Αριθμητική προς την Άλγεβρα που πρέπει να αξιοποιούνται
Γιάννης Π. Πλατάρος
plataros@gmail.com
Περίληψη
Ενώ είναι γνωστές οι διδακτικές δυσκολίες μετάβασης από την Αριθμητική στην Άλγεβρα, κάποιες φυσικές υπάρχουσες γέφυρες μετάβασης πρέπει να φωτιστούν επαρκώς έτσι ώστε να γίνονται αντιληπτές από τους διδάσκοντες στην πρωτοβάθμια, ώστε η όντως προβληματική μετάβαση μα γίνεται το δυνατόν ομαλότερα δεδομένου, ότι οι ρίζες των λαθών υπάρχουν σε πρωταρχικές έννοιες της Αριθμητικής , όπως το 1+1=2, την πρόσθεση είτε τον πολλαπλασιασμό δύο αριθμών κ.ο.κ.
Λέξεις –Κλειδιά : Άλγεβρα, Αριθμητική, λάθη άλγεβρας, ιδιότητες δυνάμεων,
Διδακτικές μεταφορές στις Φυσικές επιστήμες.docxΓιάννης Πλατάρος
Περίληψη
Οι διδακτικές μεταφορές, σύμφωνα με την θεωρία όταν είναι οικείες στον μαθητή, είναι ένα διαμεσολαβητικό στάδιο για επίτευξη μάθησης. Στην παρούσα εργασία αναφέρουμε κάποια παραδείγματα κυρίως των Φυσικών επιστημών, ενδιαφέροντα για την αντίστοιχη διδασκαλία, που αναφέρονται στην διάθλαση του φωτός, μεταφορά ηλεκτρικού ρεύματος, κ.ά. εμβαθύνοντας στην φύση της μεταφοράς και αναλογικής σκέψης.
Λέξεις –κλειδιά : Αναλογική σκέψη, διδακτική μεταφορά, Φυσικές επιστήμες.
Teaching metaphors in the Natural Sciences
Plataros Ioannis Teacher P.E.03 &P.E. 80
M.Edu. "Mathematics Teaching and Methodology" & M.Edu. "Teaching Theory, Practice and Evaluation"
Papadopoulos Konstantinos
Dr.
Abstract
Teaching metaphors, when students are familiar with them, is a mediating stage in achieving learning. In the present work we mention some interesting examples mainly of Natural Science, for the corresponding teaching, which refer to the refraction of light, the transmission of electricity, etc. delving into the nature of metaphor and analogical thinking.
Keywords: Analogue thinking, reaching metaphor, Natural sciences.
Θεωρία Μέτρου με μαθηματικά Γυμνασίου για Γεωμετρία Β΄Λυκείου.docxΓιάννης Πλατάρος
Περίληψη
Στην παρούσα εργασία γίνεται μια απλοποίηση -χωρίς απλούστευση- της προχωρημένης Μαθηματικά Θεωρίας Μέτρου με στοιχειώδη Μαθηματικά, έτσι ώστε να απαντηθούν αποτελεσματικά, κάποια Γεωμετρικά ερωτήματα που δυνητικά μπορεί να τεθούν και να εμφανίζουν τον βασικό ορισμό της ισότητας Γεωμετρικών σχημάτων («ίσα σχήματα είναι τα συμπτώσιμα και τα συμπτώσιμα σχήματα είναι ίσα») ως αντιφάσκοντα με τους θεμελιώδεις κοινούς μαθηματικούς χειρισμούς των Γεωμετρικών σχημάτων. Ταυτόχρονα, να υποστηριχθεί και η φιλοσοφία των Μαθηματικών με τις έννοιες του αριθμήσιμου και του υπεραριθμήσιμου.
Λέξεις –κλειδιά: Μέτρο, Θεωρία μέτρου, Πυθαγόρειο θεώρημα, μήκος διαστήματος , υπεραριθμησιμότητα, αριθμησιμότητα,
Περί της υποστάσεως της μέτρησης «μήκος 3m».docxΓιάννης Πλατάρος
Abstract: The possibility of measuring the physical size “3m length” accurately or not is a question of exploration related to Physics, Mathematics and finally to Philosophy, as the mathematical answer is that “it is impossible to measure exactly” and which is in conflict with the common empirical intuition of an average human. Thus, a small documentation of acceptance of the result is made with some similar examples.
Περίληψη: Η δυνατότητα ακριβούς ή όχι μέτρησης του φυσικού μεγέθους «μήκος 3m» συνιστά ένα διερευνητικό ερώτημα που άπτεται της Φυσικής, των Μαθηματικών και τελικά και της Φιλοσοφίας, καθώς η Μαθηματική απάντηση είναι ότι «είναι αδύνατον να μετρηθεί ακριβώς» και η οποία έρχεται σε αντίθεση με την κοινή εμπειρική διαίσθηση ενός μέσου ανθρώπου. Γίνεται έτσι και μια μικρή τεκμηρίωση αποδοχής του αποτελέσματος με κάποια ανάλογα παραδείγματα.
Το «γιατί»το «πώς» και το «διότι» της ισότητας 0,999…=1 και η αντίληψη για ...Γιάννης Πλατάρος
Η ισότητα 0,999…=1 είναι αντικείμενο παγκόσμιων συζητήσεων στο διαδίκτυο, μεταξύ φοιτητών και όχι μόνον. Αυτή η ισότητα αμφισβητείται πεισματικά. Ακόμα και συγκεκριμένες μαθηματικές αποδείξεις, δεν πείθουν όλους, παρ΄ό,τι διαθέτουν την στοιχειώδη μαθηματική παιδεία της αποδοχής μιας απόδειξης. Η «ενσώματη» (πεπερασμένη) διαίσθηση περί μη αποδοχής υπερτερεί. Διαφαίνεται έτσι η δυσκολία στην διαισθητική κατανόηση του απείρου, διαφαίνονται τα όρια της πεπερασμένης φύσης του ανθρώπου, τα όρια των «ενσώματων μαθηματικών», ενώ παράλληλα, αναδεικνύεται η ίδια η δύναμη και η πρακτική αξία των μαθηματικών αποδείξεων που μας καθοδηγεί για το εκάστοτε σωστό στα πλαίσια των αξιωμάτων των Μαθηματικών.
Υπάρχει θεσμική λύση για τις καταλήψεις των Σχολείων.docxΓιάννης Πλατάρος
Η μόνη διαφορά που έχουν τα ιδιωτικά Σχολεία με τα Δημόσια, είναι ότι στα πρώτα δεν γίνονται καταλήψεις.
Αυτοί που ομνύουν στην υπεράσπιση της Δημόσιας εκπαίδευσης εμμέσως συνήθως ανέχονται τις καταλήψεις όταν δεν τις προωθούν ..,
εν τω μεταξύ είναι ένα θέμα που ναι μεν το έχουν κάνει οιονεί έθιμο, αλλά ΛΥΝΕΤΑΙ....
#Για να δείτε τα περιεχόμενα πηγαίνετε στους σελιδοδείκτες *Bookmarks)
# Έξι τόμοι με Μαθηματικές εργασίες, συν 7ος συμπληρωματικός
# Τρεις τόμοι με Εκπαιδευτική και τοπική για Μεσσήνη αρθρογραφία.
#Για να δείτε τα περιεχόμενα πηγαίνετε στους σελιδοδείκτες *Bookmarks)
# Έξι τόμοι με Μαθηματικές εργασίες, συν 7ος συμπληρωματικός
# Τρεις τόμοι με Εκπαιδευτική και τοπική για Μεσσήνη αρθρογραφία.
Πλατάρος Γιάννης Εκπαιδευτικές-εργασίες-και-αρθρογραφία ΤΟΜΟΣ Α΄ (361 σελίδες)Γιάννης Πλατάρος
#Για να δείτε τα περιεχόμενα πηγαίνετε στους σελιδοδείκτες *Bookmarks)
# Έξι τόμοι με Μαθηματικές εργασίες, συν 7ος συμπληρωματικός
# Τρεις τόμοι με Εκπαιδευτική και τοπική για Μεσσήνη αρθρογραφία.
#Για να δείτε τα περιεχόμενα πηγαίνετε στους σελιδοδείκτες *Bookmarks)
# Έξι τόμοι με Μαθηματικές εργασίες, συν 7ος συμπληρωματικός
# Τρεις τόμοι με Εκπαιδευτική και τοπική για Μεσσήνη αρθρογραφία.
Αρχές Οικονομικής Θεωρίας - Το γραπτό των πανελλαδικών εξετάσεωνPanagiotis Prentzas
Αρχές Οικονομικής Θεωρίας (ΑΟΘ): Τι πρέπει να προσέξουν οι υποψήφιοι κατά τη διάρκεια των πανελλαδικών εξετάσεων στη δομή των απαντήσεών τους, αλλά και στην εμφάνιση του γραπτού τους.
Μπορείτε να δείτε και τη διαδραστική παρουσίαση στο www.study4economy.edu.gr.
1. Διευκρίνιση εννοιών του Απειροστικού, μέσω παραδειγμάτων Εισήγηση: Γιάννης Π. Πλατάρος Μαθηματικός-Μ.Π.Ε. στην Διδακτική & Μεθοδολογία των Μαθηματικών Δ/ντής 1 ου Γεν. Λυκείου Μεσσήνης.
2. Τα περισσότερα παραδείγματα υπάρχουν στην περιοδική έκδοση Το Φ Νοέμβριος 2008 (Τεύχος 5) Περιοδική έκδοση επικοινωνίας και διαλόγου στα Μαθηματικά Υπεύθυνος έκδοσης Β.Ε. Βισκαδουράκης
3.
4. Είναι αληθές ότι οι πλέον συνηθισμένοι ρητοί αριθμοί που υπάρχουν είναι οι δεκαδικοί τερματιζόμενοι που χρησιμοποιούμε στην καθημερινή μας ζωή; “ Σχεδόν όλοι ” οι ρητοί, είναι δεκαδικοί περιοδικοί.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. Αν στο γράφημα μίας συνάρτησης υπάρχει εφαπτόμενη σε κάθε σημείο του, τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη παντού;
16. Το γράφημα μια συνάρτησης είναι απολύτως «λείο», δεν έχει «ακίδες», οξείες, ορθές ή αμβλείες γωνίες, ευθύγραμμες ή καμπυλόγραμμες, ενώ σε κάθε σημείο του, υπάρχει εφαπτομένη ευθεία. Όμως η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη! Πως μπορεί αυτό να είναι δυνατόν;
17. Ένας φοιτητής, επικαλούμενος το προηγούμενο παράδειγμα, έχει τη γνώμη, ότι η έννοια της παραγώγου είναι «ανεπαρκώς ορισμένη». Ισχυρίζεται ότι θα πρέπει να βρεθεί ένας τρόπος, ώστε για κάθε συνάρτηση (όπως και για την f(x)=x^(1/3) ) να υπάρχει η έννοια της παραγώγου σε κάθε σημείο της, εάν και μόνο εάν υπάρχει εφαπτόμενη ευθεία σε αυτό το σημείο της. Ισχυρίζεται, ότι με αυτό τον τρόπο καλύπτουμε την παραγωγισιμότητα της σε κάθε σημείο της, πράγμα που έρχεται σε απόλυτη συμφωνία με την γεωμετρική εποπτεία και την αίσθηση του «λείου» γραφήματος Υπάρχει αντιπαράδειγμα που να κλονίζει την πίστη και τους ισχυρισμούς του φοιτητή;
18.
19. «Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα Δ και γνησίως αύξουσα σε αυτό, τότε f’(x)>0 για κάθε χ που ανήκει στο Δ». Να αποδείξετε ότι η πρόταση είναι ψευδής.
20.
21.
22.
23.
24. Έστω συνάρτηση f :[ α,β] R συνεχής. Τότε το α είναι θέση τοπικού ακροτάτου ( α ,f( α ) ) ( β ,f( β ) ) Γεωμετρική –εποπτική προσέγγιση : Οσοδήποτε κοντά στο α , ή η f θα σχεδιάζεται: ή προς τα πάνω (άρα θα έχω τοπικό ελάχιστο) ή προς τα κάτω (άρα θα έχω τοπικό μέγιστο) ή θα σχεδιάζεται οριζόντια , άρα πάλι (υπό την ευρεία έννοια) θα έχω ακρότατο
25.
26.
27. Η ευθεία y =χ έχει άπειρα κοινά σημεία με την f(x) σε οποιαδήποτε περιοχή του απείρου (θετικού ή αρνητικού) και «παρ΄ όλα αυτά» είναι πλάγια ασύμπτωτη της f(x) , σύμφωνα με τον ορισμό.
28.
29.
30. Νέα αναδιατύπωση πλάνης _3 : «κάθε συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα, γράφεται με μονοκονδυλιά» Αντιπαράδειγμα _3 : με Δεν γράφεται με μονοκονδυλιά , αφού έχει άπειρο μήκος (η συγκεκριμένη) ή θα μπορούσε να έχει πεπερασμένο μεν, αλλά με άπειρη ταλάντωση . Επομένως, δεν μπορεί να την σχεδιάσει ικανοποιητικά , ούτε άνθρωπος ούτε Η/Υ
31. Έσχατη αναδιατύπωση 4 «Κάθε συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα, έχει «μονοκόμματο» (:=συνεκτικό) γράφημα Αντιπαράδειγμα: Δεν υπάρχει! Είναι σωστή η πρόταση……… Εν τούτοις υπάρχει κάτι περίεργο που διαφοροποιεί την διαισθητική (εξωμαθηματική ) έννοια της «συνάρτησης που σχεδιάζεται με μονοκονδυλιά» με την έννοια της «συνάρτησης που έχει συνεκτικό -μονοκόμματο γράφημα» Κάθε συνάρτηση που έχει συνεκτικό γράφημα σε διάστημα, δεν σημαίνει ότι είναι και συνεχής σε αυτό» Παράδειγμα:
