SlideShare a Scribd company logo
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 1
ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ3
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού)
(1) Θεωρούµε την παράσταση Α(x) = (1 + x + x2
+ x3
+ …. )n
. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και
ποιες όχι;
1. Ο συντελεστής του xk
στην A(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των διανοµών n ίδιων αντικειµένων σε k
διακεκριµένες υποδοχές.
2. Ο συντελεστής του xk
στην A(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των διανοµών k ίδιων αντικειµένων σε n
διακεκριµένες υποδοχές.
3. Ο συντελεστής του xk
στην A(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους n που
περιέχουν k µηδενικά.
4. Ο συντελεστής του xk
στην A(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους n+k–1
που σχηµατίζονται από k άσσους και n – 1 µηδενικά.
(2) Ο αριθµός των διαφορετικών 11άδων που µπορούµε να σχηµατίσουµε από 18 παίκτες ποδοσφαίρου,
εφόσον έχει σηµασία η θέση όπου αγωνίζεται κάθε παίκτης, είναι ίσος µε:
1. Τον συντελεστή του x11
στην παράσταση (1 + x ) 18
.
2. Τον συντελεστή του x11
/11! στην παράσταση e18x
.
3. Τον συντελεστή του x11
/11! στην παράσταση (1 + x ) 18
.
4. 18!/11!
(3) Ο συντελεστής του στην 1 ⋯ είναι ίσος µε:
1. To συντελεστή του στην 1 .
2. To συντελεστή του στην 1 .
3. Τους τρόπους να διατάξουµε άσσους και 1 µηδενικά.
4. Τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης ⋯ όπου ∈ , 1 για 1,2, … ,
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 2
(4) Έστω φ, ψ ικανοποιήσιµοι προτασιακοί τύποι που δεν είναι ταυτολογίες. Ποιες από τις παρακάτω
ταυτολογικές συνεπαγωγές αληθεύουν και ποιες όχι;
1. ψ ∧ ¬ψ |= φ
2. φ |= ψ ∧ ¬ψ
3. ψ → (φ → ψ) |= φ
4. φ |= ψ → (φ → ψ)
(5) Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη
γλώσσα αυτή σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα µε σύνολο κορυφών {v1,v2,v3} και σύνολο ακµών
{(v1,v1),(v1,v2),(v2,v1),(v3,v3)} ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται ως κορυφές και το σύµβολο P µε τη
σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) για τα οποία υπάρχει ακµή από την a στην
b. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν σε αυτήν την ερµηνεία;
1. ∃ ∀ ,
2. ∃ ∀ ,
3. ∀ ∃ ,
4. ∀ ∃ ,
(6) Ένα απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα µε 10 κορυφές:
1. Αν είναι πλήρες έχει 36 ακµές.
2. Αν είναι 3-κανονικό έχει 30 ακµές.
3. Αν είναι δένδρο έχει 9 ακµές.
4. Αν είναι επίπεδο έχει το πολύ 24 ακµές.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 3
(7) Θεωρούµε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Κάθε συνδεόµενο γράφηµα µε άρτιο πλήθος ακµών έχει κύκλο Euler
2. Κάθε συνδεόµενο γράφηµα που δεν έχει κύκλο Euler, έχει τουλάχιστον µία γέφυρα.
3. Το Kn,n έχει κύκλο Euler για κάθε n≥2
4. Το Kn,n έχει κύκλο Hamilton για κάθε n≥2
(8) Ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα G µε n κορυφές είναι δένδρο αν και µόνο αν
1. Είναι άκυκλο και έχει n-1 ακµές.
2. Είναι συνδεόµενο, αλλά η αφαίρεση έστω µιας ακµής θα χωρίσει το γράφηµα σε δύο συνεκτικές
συνιστώσες.
3. Είναι απλό και δεν έχει κύκλο µήκους ≥3.
4. Είναι συνδεόµενο και έχει n-1 ακµές.
(9) ∆ίνεται το γράφηµα Kn,m µε σύνολα ανεξαρτησίας Α και Β µε βάρη 1 σε όλες τις ακµές (Θεωρούµε n<m).
1. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά βάθος παράγει δένδρο ύψους n+m
2. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά πλάτος παράγει δένδρο ύψους 2.
3. Το βάρος του ελάχιστου συνδετικού δένδρου είναι n+m-1
4. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά πλάτος παράγει δένδρο ίσου βάρους µε το συνδετικό δένδρο που παράγει
ο αλγόριθµος του Prim.
(10) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Κάθε γράφηµα µε n κορυφές (n≥3) που έχει κύκλο Hamilton έχει και κύκλο Euler
2. Κάθε γράφηµα µε n κορυφές (n≥3) που έχει κύκλο Euler έχει και κύκλο Hamilton
3. Εάν ένα γράφηµα έχει κύκλο Euler, τότε και το συµπλήρωµα του έχει κύκλο Euler.
4. Η προσθήκη 2 ακµών σε ένα συνεκτικό γράφηµα µε n κορυφές (n≥4) τέσσερις εκ των οποίων έχουν
περιττό βαθµό αρκεί για να δηµιουργηθεί στο γράφηµα ένας κύκλος Euler.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 4
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού)
Άσκηση 1 (Μονάδες 25)
(Για τα παρακάτω χρησιµοποιήστε γεννήτριες συναρτήσεις)
Στο ποδοσφαιρικό πρωτάθληµα µια οµάδα παίρνει τρεις βαθµούς για την νίκη, ένα για την ισοπαλία και µηδέν
για την ήττα.
1. Πόσα διαφορετικά αποτελέσµατα µπορούν να υπάρξουν για την οµάδα σε ένα πρωτάθληµα 36
αγωνιστικών, αν υποθέσουµε ότι θα κάνει 5 εώς 8 νίκες και έχει σηµασία η σειρά των αποτελεσµάτων
2. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί µια οµάδα να συγκεντρώσει 40 βαθµούς αν δεν έχει σηµασία η
σειρά των αποτελεσµάτων;
3. Πόσα διαφορετικά αποτελέσµατα µπορούν να υπάρξουν για την οµάδα σε ένα πρωτάθληµα 36
αγωνιστικών, αν υποθέσουµε ότι θα κάνει περισσότερες νίκες από ισοπαλίες, και τουλάχιστον τόσες
ισοπαλίες όσες οι ήττες, χωρίς να έχει σηµασία η σειρά των αποτελεσµάτων.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 5
Άσκηση 2 (Μονάδες 35)
(Ερώτηµα 1)
∆εδοµένου ότι το σύνολο τύπων T = {φ, χ, ψ} είναι αντιφατικό, κατασκευάστε όλα τα τυπικά
θεωρήµατα που εµπλέκουν τους τύπους φ, χ και ψ, χρησιµοποιώντας (ίσως και περισσότερες από µια
φορές) τα θεωρήµατα Απαγωγής και Απαγωγής σε Άτοπο
(Ερώτηµα 2)
Να βρείτε την κανονική ποσοδεικτική µορφή του τύπου: ∀ ∧
(Ερώτηµα 3)
Να εξετάσετε αν ο τύπος: ∀ , → ∃ , είναι λογικά έγκυρος
(Ερώτηµα 4)
1. Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο Q. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα
αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµατα χωρίς παράλληλες ακµές όπου το σύµπαν είναι οι κορυφές του
γραφήµατος και το διµελές κατηγόρηµα Q(x,y) ερµηνεύεται ως «Υπάρχει ακµή από την κορυφή x στην
κορυφή y»
A. ∆ίνεται η πρόταση ! ∃ ∃ ∃ ∃ "# , ∧ # , ∧ # , $. Να εξηγήσετε (στην φυσική γλώσσα)
ποια γραφήµατα επαληθεύουν την !. Να δώσετε µια δοµή µε τουλάχιστον 4 κορυφές που επαληθεύει
την πρόταση !. Να δώσετε µια δοµή µε το πολύ 2 κορυφές που επαληθεύει την πρόταση !.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 6
Άσκηση 3 (Μονάδες 20)
1. Αν ένα απλό συνδεδεµένο διµερές γράφηµα έχει τουλάχιστον έναν κύκλο, είναι επίπεδο και έχει m
ακµές, δείξτε ότι % & 2 ' ( 2 , όπου ', ( είναι ο αριθµός των κόµβων στα δύο µέρη του γραφήµατος.
2. ∆είξτε ότι δεν υπάρχει διµερές συνδεδεµένο γράφηµα που να είναι επίπεδο και 4-κανονικό.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 7
Άσκηση 4 (Μονάδες 20)
Έστω Τ ένα δένδρο στο οποίο ο αριθµός των κορυφών που έχουν βαθµό i, για i=1,…,∆ (όπου ∆ ο µέγιστος
βαθµός κορυφής στο Τ) είναι pi. Να αποδείξετε ότι:
' ') 2'* 3', ⋯ Δ 2 '. 2

More Related Content

What's hot

ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
Dimitris Psounis
 

What's hot (20)

ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 19
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 9
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 29
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 14
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 14ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 14
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 14
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 10
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
 

Viewers also liked

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
Dimitris Psounis
 

Viewers also liked (14)

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 10
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 3
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 5
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 6
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 11
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 4
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 5
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 8
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
 

Similar to ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3

ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
Dimitris Psounis
 
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης .pdf
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης .pdfΗ γραφική παράσταση μιας συνάρτησης .pdf
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης .pdf
Μαυρουδης Μακης
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.7
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.7 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.7
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
Dimitris Psounis
 
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
 
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ ΛυκείουΜαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Natasa Liri
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
Dimitris Psounis
 
Bolzano2
Bolzano2Bolzano2
Bolzano2
A Z
 
Bolzano2
Bolzano2Bolzano2
Bolzano2
guest105511
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
Dimitris Psounis
 
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου (2016 2017)
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου (2016 2017)Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου (2016 2017)
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου (2016 2017)
Natasa Liri
 
μεθοδολογια συναρτησεων 2
μεθοδολογια συναρτησεων 2μεθοδολογια συναρτησεων 2
μεθοδολογια συναρτησεων 2
ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΙΤΟΜΙΧΕΛΑΚΗΣ
 
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
gorgiakourtesi
 
Μαθηματικά Επαναληπτικό διαγώνισμα - μέχρι και εξίσωση εφαπτομένης
Μαθηματικά   Επαναληπτικό διαγώνισμα - μέχρι και εξίσωση εφαπτομένηςΜαθηματικά   Επαναληπτικό διαγώνισμα - μέχρι και εξίσωση εφαπτομένης
Μαθηματικά Επαναληπτικό διαγώνισμα - μέχρι και εξίσωση εφαπτομένης
Billonious
 
Math-Polyonyma.pdf
Math-Polyonyma.pdfMath-Polyonyma.pdf
Math-Polyonyma.pdf
Cyclos Cyclos
 
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Μάκης Χατζόπουλος
 
Συναρτήσεις Γραφική παράσταση
Συναρτήσεις   Γραφική παράστασηΣυναρτήσεις   Γραφική παράσταση
Συναρτήσεις Γραφική παράσταση
Billonious
 

Similar to ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 (20)

ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
 
Plh20 test 21
Plh20 test 21Plh20 test 21
Plh20 test 21
 
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης .pdf
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης .pdfΗ γραφική παράσταση μιας συνάρτησης .pdf
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης .pdf
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.7
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.7 ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.7
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 3.7
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
 
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
αλγ β΄λ ιδιοτ συν 2017
 
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ ΛυκείουΜαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 24ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 24
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
 
Bolzano2
Bolzano2Bolzano2
Bolzano2
 
Bolzano2
Bolzano2Bolzano2
Bolzano2
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
 
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου (2016 2017)
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου (2016 2017)Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου (2016 2017)
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ' Λυκείου (2016 2017)
 
μεθοδολογια συναρτησεων 2
μεθοδολογια συναρτησεων 2μεθοδολογια συναρτησεων 2
μεθοδολογια συναρτησεων 2
 
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
 
Μαθηματικά Επαναληπτικό διαγώνισμα - μέχρι και εξίσωση εφαπτομένης
Μαθηματικά   Επαναληπτικό διαγώνισμα - μέχρι και εξίσωση εφαπτομένηςΜαθηματικά   Επαναληπτικό διαγώνισμα - μέχρι και εξίσωση εφαπτομένης
Μαθηματικά Επαναληπτικό διαγώνισμα - μέχρι και εξίσωση εφαπτομένης
 
ΠΛΗ10 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ10 ΤΕΣΤ 32ΠΛΗ10 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ10 ΤΕΣΤ 32
 
Math-Polyonyma.pdf
Math-Polyonyma.pdfMath-Polyonyma.pdf
Math-Polyonyma.pdf
 
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
 
Συναρτήσεις Γραφική παράσταση
Συναρτήσεις   Γραφική παράστασηΣυναρτήσεις   Γραφική παράσταση
Συναρτήσεις Γραφική παράσταση
 

More from Dimitris Psounis

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 

More from Dimitris Psounis (20)

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
 

ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3

  • 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 1 ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ3 ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού) (1) Θεωρούµε την παράσταση Α(x) = (1 + x + x2 + x3 + …. )n . Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι; 1. Ο συντελεστής του xk στην A(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των διανοµών n ίδιων αντικειµένων σε k διακεκριµένες υποδοχές. 2. Ο συντελεστής του xk στην A(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των διανοµών k ίδιων αντικειµένων σε n διακεκριµένες υποδοχές. 3. Ο συντελεστής του xk στην A(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους n που περιέχουν k µηδενικά. 4. Ο συντελεστής του xk στην A(x) είναι ίσος µε τον αριθµό των δυαδικών συµβολοσειρών µήκους n+k–1 που σχηµατίζονται από k άσσους και n – 1 µηδενικά. (2) Ο αριθµός των διαφορετικών 11άδων που µπορούµε να σχηµατίσουµε από 18 παίκτες ποδοσφαίρου, εφόσον έχει σηµασία η θέση όπου αγωνίζεται κάθε παίκτης, είναι ίσος µε: 1. Τον συντελεστή του x11 στην παράσταση (1 + x ) 18 . 2. Τον συντελεστή του x11 /11! στην παράσταση e18x . 3. Τον συντελεστή του x11 /11! στην παράσταση (1 + x ) 18 . 4. 18!/11! (3) Ο συντελεστής του στην 1 ⋯ είναι ίσος µε: 1. To συντελεστή του στην 1 . 2. To συντελεστή του στην 1 . 3. Τους τρόπους να διατάξουµε άσσους και 1 µηδενικά. 4. Τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης ⋯ όπου ∈ , 1 για 1,2, … ,
  • 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 2 (4) Έστω φ, ψ ικανοποιήσιµοι προτασιακοί τύποι που δεν είναι ταυτολογίες. Ποιες από τις παρακάτω ταυτολογικές συνεπαγωγές αληθεύουν και ποιες όχι; 1. ψ ∧ ¬ψ |= φ 2. φ |= ψ ∧ ¬ψ 3. ψ → (φ → ψ) |= φ 4. φ |= ψ → (φ → ψ) (5) Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο P. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα µε σύνολο κορυφών {v1,v2,v3} και σύνολο ακµών {(v1,v1),(v1,v2),(v2,v1),(v3,v3)} ώστε οι µεταβλητές να ερµηνεύονται ως κορυφές και το σύµβολο P µε τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a,b) για τα οποία υπάρχει ακµή από την a στην b. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν σε αυτήν την ερµηνεία; 1. ∃ ∀ , 2. ∃ ∀ , 3. ∀ ∃ , 4. ∀ ∃ , (6) Ένα απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα µε 10 κορυφές: 1. Αν είναι πλήρες έχει 36 ακµές. 2. Αν είναι 3-κανονικό έχει 30 ακµές. 3. Αν είναι δένδρο έχει 9 ακµές. 4. Αν είναι επίπεδο έχει το πολύ 24 ακµές.
  • 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 3 (7) Θεωρούµε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν; 1. Κάθε συνδεόµενο γράφηµα µε άρτιο πλήθος ακµών έχει κύκλο Euler 2. Κάθε συνδεόµενο γράφηµα που δεν έχει κύκλο Euler, έχει τουλάχιστον µία γέφυρα. 3. Το Kn,n έχει κύκλο Euler για κάθε n≥2 4. Το Kn,n έχει κύκλο Hamilton για κάθε n≥2 (8) Ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα G µε n κορυφές είναι δένδρο αν και µόνο αν 1. Είναι άκυκλο και έχει n-1 ακµές. 2. Είναι συνδεόµενο, αλλά η αφαίρεση έστω µιας ακµής θα χωρίσει το γράφηµα σε δύο συνεκτικές συνιστώσες. 3. Είναι απλό και δεν έχει κύκλο µήκους ≥3. 4. Είναι συνδεόµενο και έχει n-1 ακµές. (9) ∆ίνεται το γράφηµα Kn,m µε σύνολα ανεξαρτησίας Α και Β µε βάρη 1 σε όλες τις ακµές (Θεωρούµε n<m). 1. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά βάθος παράγει δένδρο ύψους n+m 2. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά πλάτος παράγει δένδρο ύψους 2. 3. Το βάρος του ελάχιστου συνδετικού δένδρου είναι n+m-1 4. Ο αλγόριθµος διάσχισης κατά πλάτος παράγει δένδρο ίσου βάρους µε το συνδετικό δένδρο που παράγει ο αλγόριθµος του Prim. (10) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι; 1. Κάθε γράφηµα µε n κορυφές (n≥3) που έχει κύκλο Hamilton έχει και κύκλο Euler 2. Κάθε γράφηµα µε n κορυφές (n≥3) που έχει κύκλο Euler έχει και κύκλο Hamilton 3. Εάν ένα γράφηµα έχει κύκλο Euler, τότε και το συµπλήρωµα του έχει κύκλο Euler. 4. Η προσθήκη 2 ακµών σε ένα συνεκτικό γράφηµα µε n κορυφές (n≥4) τέσσερις εκ των οποίων έχουν περιττό βαθµό αρκεί για να δηµιουργηθεί στο γράφηµα ένας κύκλος Euler.
  • 4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού) Άσκηση 1 (Μονάδες 25) (Για τα παρακάτω χρησιµοποιήστε γεννήτριες συναρτήσεις) Στο ποδοσφαιρικό πρωτάθληµα µια οµάδα παίρνει τρεις βαθµούς για την νίκη, ένα για την ισοπαλία και µηδέν για την ήττα. 1. Πόσα διαφορετικά αποτελέσµατα µπορούν να υπάρξουν για την οµάδα σε ένα πρωτάθληµα 36 αγωνιστικών, αν υποθέσουµε ότι θα κάνει 5 εώς 8 νίκες και έχει σηµασία η σειρά των αποτελεσµάτων 2. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί µια οµάδα να συγκεντρώσει 40 βαθµούς αν δεν έχει σηµασία η σειρά των αποτελεσµάτων; 3. Πόσα διαφορετικά αποτελέσµατα µπορούν να υπάρξουν για την οµάδα σε ένα πρωτάθληµα 36 αγωνιστικών, αν υποθέσουµε ότι θα κάνει περισσότερες νίκες από ισοπαλίες, και τουλάχιστον τόσες ισοπαλίες όσες οι ήττες, χωρίς να έχει σηµασία η σειρά των αποτελεσµάτων.
  • 5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 5 Άσκηση 2 (Μονάδες 35) (Ερώτηµα 1) ∆εδοµένου ότι το σύνολο τύπων T = {φ, χ, ψ} είναι αντιφατικό, κατασκευάστε όλα τα τυπικά θεωρήµατα που εµπλέκουν τους τύπους φ, χ και ψ, χρησιµοποιώντας (ίσως και περισσότερες από µια φορές) τα θεωρήµατα Απαγωγής και Απαγωγής σε Άτοπο (Ερώτηµα 2) Να βρείτε την κανονική ποσοδεικτική µορφή του τύπου: ∀ ∧ (Ερώτηµα 3) Να εξετάσετε αν ο τύπος: ∀ , → ∃ , είναι λογικά έγκυρος (Ερώτηµα 4) 1. Θεωρούµε µια πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο Q. Ερµηνεύουµε τη γλώσσα αυτή σε κατευθυνόµενα γραφήµατα χωρίς παράλληλες ακµές όπου το σύµπαν είναι οι κορυφές του γραφήµατος και το διµελές κατηγόρηµα Q(x,y) ερµηνεύεται ως «Υπάρχει ακµή από την κορυφή x στην κορυφή y» A. ∆ίνεται η πρόταση ! ∃ ∃ ∃ ∃ "# , ∧ # , ∧ # , $. Να εξηγήσετε (στην φυσική γλώσσα) ποια γραφήµατα επαληθεύουν την !. Να δώσετε µια δοµή µε τουλάχιστον 4 κορυφές που επαληθεύει την πρόταση !. Να δώσετε µια δοµή µε το πολύ 2 κορυφές που επαληθεύει την πρόταση !.
  • 6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 6 Άσκηση 3 (Μονάδες 20) 1. Αν ένα απλό συνδεδεµένο διµερές γράφηµα έχει τουλάχιστον έναν κύκλο, είναι επίπεδο και έχει m ακµές, δείξτε ότι % & 2 ' ( 2 , όπου ', ( είναι ο αριθµός των κόµβων στα δύο µέρη του γραφήµατος. 2. ∆είξτε ότι δεν υπάρχει διµερές συνδεδεµένο γράφηµα που να είναι επίπεδο και 4-κανονικό.
  • 7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 3 7 Άσκηση 4 (Μονάδες 20) Έστω Τ ένα δένδρο στο οποίο ο αριθµός των κορυφών που έχουν βαθµό i, για i=1,…,∆ (όπου ∆ ο µέγιστος βαθµός κορυφής στο Τ) είναι pi. Να αποδείξετε ότι: ' ') 2'* 3', ⋯ Δ 2 '. 2