Επιμέλεια: Τριαντάφυλλος Πλιάτσιος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ
Επιμέλεια: Τριαντάφυλλο Πλιάτσιος
ΟΜΑΔΑ Α
1. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με τύπο
2
x α,x 1
f(x)
ln x,x 1
  
 
 
a. Να αποδείξετε ότι α 1  .
b. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f .
c. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της.
d. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .
e. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f .
2. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με τύπο
2
1 x
x ημα,x 1
f(x)
e 2α,x 1
  
 
 
a. Να αποδείξετε ότι α = 0
b. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f .
c. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της.
d. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .
e. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f .
3. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  
2
1
1 ,x 1
f x x
x α ,x 1

 
 
  
a. Να αποδείξετε ότι α = 1.
b. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle
στο διάστημα
1
,4
2
 
  
.
c. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία η
εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία
1
y x 2018
4
   και να γράψετε
τις εξισώσεις των εφαπτομένων στα σημεία αυτά.
d. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f .
4. Δίνεται η συνάρτηση
x
e α,x 0
f(x)
ln(x 1),x 0
  
 
 
a. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η f να είναι συνεχής.
02.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 8

2. Αν α 1  ,
b. Να δείξετε ότι για την f ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο  1,1 .
c. Να βρείτε τις εφαπτόμενες της fC που είναι παράλληλες στην ευθεία ε:
x y 2 0   .
d. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f .
e. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη fC ,τον x΄x
και τις ευθείες x 1  και x e .
5. Δίνεται η συνάρτηση x
α ημx, π x 0
f(x)
e 1,x 0
   
 
 
η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις
του Θ.Μ.Τ. στο κλειστό διάστημα  π,π .
a. Να αποδείξετε ότι α = 0.
b. Να βρείτε την εφαπτόμενη της fC που είναι κάθετη στην ευθεία ε:
y x 2019 
c. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC .
d. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f .
e. Να υπολογίσετε το
0
π
I xf (x)dx

 
6. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με τύπο
x
e α, x 1
f(x)
1 συνx, 0 x 2π

  
 
  
a. Να αποδείξετε ότι α 1  .
b. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f .
c. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f .
d. Να υπολογίσετε το
0
1
I xf (x)dx

 
7. Δίνεται η συνάρτηση
x 1
e α, x 1
f(x) ln x
1 ,x 1
x

  

 
 

a. Να βρείτε την τιμή του α, αν η f να είναι συνεχής.
Αν α 0 , τότε:
b. Να βρείτε την παράγωγο της f .
c. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της.
d. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC .
e. Να υπολογίσετε το
2
1
I f(x)dx  .
02.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 8

3. 8. Δίνεται η συνάρτηση
x
e ,x 0
f(x) α ,x 0
β συνx,x 0
 

 
  
η οποία είναι συνεχής στο 0x 0 .
a. Να αποδείξετε ότι α 1 και β 0 .
b. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0 .
c. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f .
d. Να υπολογίσετε το
π
1
I xf (x)dx

  .
9. Δίνεται η συνάρτηση
2 3
x x α , x 1
f(x)
ln x α,x 1
   
 
 
a. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η f να είναι συνεχής.
Αν α 0 , τότε:
b. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 0x 1 .
c. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της.
d. Να υπολογίσετε το
2
0
I f(x)dx  .
10. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
2
x 2x α, x 0
f(x)
2x 2,x 0
   
 
 
a. Να αποδείξετε ότι α 2 .
b. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 0x 0.
c. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f .
d. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα τοπικά της ακρότατα.
e. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη fC ,τον x΄x
και τις ευθείες x 1  και x 1 .
11. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
2
3 2
3x α, x 0
f(x)
x 3x 1,x 0
  
 
   
a. Να αποδείξετε ότι α 1 .
b. Να βρείτε f (x) και f (x) .
c. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 0x 0.
d. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε το σύνολο τιμών
της.
e. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f .
12. Δίνεται η συνάρτηση
ημx, x π
f(x)
αx β,x π

 
 
η οποία είναι παραγωγίσιμη στο
σημείο 0x π.
a. Να αποδείξετε ότι α 1  και β π .
b. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση g(x) 2f (x) x 3,x [0,π]   
02.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 8

4. c. Να δείξετε ότι η εξίσωση
1 3 3
ημx x x
2 2 2
   έχει ακριβώς μια ρίζα στο (0,π).
d. Να δείξετε ότι 31
f(x) x x
6
  για κάθε x 0 .
13. Δίνεται η συνάρτηση x 1
ln x α, x 1
f(x)
e βx β 1,x 1
 
 
   
a. Να βρείτε τις τιμές των α , β για τις οποίες η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1.
Για α 0 και β 0 ,
b. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 0x 1 .
c. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση
της f .
d. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη fC ,τον x΄x
και τις ευθείες x 0 και x 1 .
14. Δίνεται η συνάρτηση
1
, π x 0
f(x) 1 x
ημx 1,0 x π

  
 
   
a. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.
b. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 0x 0 .
c. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f .
d. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα τοπικά της ακρότατα.
e. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη fC ,τον x΄x
και τις ευθείες x 1  και
π
x
2
 .
f. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .
g. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη fC ,τον x΄x
και τις ευθείες x 1  και
π
x
2
 .
15. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : { }1   με  
3
2
x αx ,x 0
f x x
1 x 0
x 1
  

 
  
 
και f(x) f (1) για κάθε x 0 .
a. Να δείξετε ότι α 3 
b. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα της.
c. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
d. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση
της f .
02.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 8

5. ΟΜΑΔΑ Β
1. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με τύπο
2
1 x
x ημα,x 1
f(x)
e 2a,x 1
  
 
 
a. Να αποδείξετε ότι α=0
b. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f .
c. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της.
d. Να λύσετε την ανίσωση 2 x
f(x 2) f (e 1)   .
e. Να βρείτε το
2019
2 xx 0
x 2019
lim
x 1 e

 
.
f. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .
g. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
h. Αν 1 α β γ   να δείξετε ότι 1 β 1 γ 1 a
(γ α)e (β α)e (γ β)e  
     .
2. Δίνεται η συνάρτηση x
x 1, 1 x 0
f(x)
e συνx,0 x π
     
 
 
a. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο [ 1,π] .
b. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f .
c. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα τοπικά της ακρότατα
d. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .
e. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη fC ,τον x΄x
και τις ευθείες x 1  και
π
x
2
 .
3. Δίνεται η συνάρτηση
3 2
ημx π
α, x 0
x 2
f(x) 2 ,x 0
x 3x 2,x 0

    

 
   

a. Να δείξετε ότι για την f ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο  0,2
Αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, τότε:
b. Να βρείτε την τιμή του α R .
c. Να μελετήσετε την μονοτονία της f .
d. Να αποδείξετε ότι :
2
π
2
3π
π f(x)dx 1
2
  
e. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xπ π
f x f e
2 2
   
      
   
έχει μοναδική λύση στο
(0,1) .
02.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 8

6. 4. Δίνεται η συνάρτηση
x 1
1
, x<1
f(x) 1 x
e ln x 2,x 1


 
   
a. Να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια.
b. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα τοπικά της ακρότατα
c. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
d. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .
e. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση
της f .
f. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσηςf(x) a για τις
διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α .
5. Δίνεται συνάρτηση f :(0, ) R  με τύπο
xln x
,0 x 1
f(x) 1 x
1 , x=1





 
 

.
a. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής .
b. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα .
c. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο 0x 1 .
d. Δίνεται η συνάρτηση
f(x)(1 x)
T(x)
x 1



, με 0 x 1  . Να δείξετε ότι υπάρχει
μοναδικό 0x (0,1) ,ώστε η Τ να παρουσιάζει ελάχιστο και στη συνέχεια , ότι η ελάχιστη
τιμή της Τ είναι 0x .
6. Έστω f :   μια συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει
  x
xf x 1 e  για κάθε x 
a. Να αποδείξετε ότι  
x
e 1
,x 0
f x x
1 ,x 0
 

 
 
b. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση 1
f 
και να βρείτε το πεδίο
ορισμού της.
c. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο
σημείο Α(0,f(0)).
d. Αν είναι γνωστό ότι f κυρτή, τότε:
α) Να λύσετε την εξίσωση  2f x x 2, x  
β) Να αποδείξετε ότι : f '(x) f (x 1) f(x) , για κάθε x R.   
02.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 8

7. γ) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α ώστε να ισχύει:
1
2
f '(α)
f(x)dx 0
7. Δίνεται η συνάρτηση
x ln x, x>0
f(x)
0,x 0

 

a. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0x 0 .
b. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα τοπικά της ακρότατα
c. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .
d. Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης
α
x
x e για όλες τις
πραγματικές τιμές του α.
e. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη fC ,τον x΄x και
τις ευθείες x 1 και x e .
8. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει 2 4
f (x) x ,x R
επιπλέον ισχύει ότι f(1) 1 και f( 1) 1   .
a. Να αποδείξετε ότι f(x) x x ,x R .
b. Να ορίσετε την 1
f 
.
c. Nα βρείτε τα κοινά σημεία των fC και 1
f
C  .
d. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις fC και 1
f
C  .
e. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου ανάμεσα στις fC και 1
f
C  .
f. Να βρείτε το σημείο Μ(x, y) της γραφικής παράστασης της 1
f 
με x 0 που
απέχει από το σημείο
5
Α( ,0)
2
την ελάχιστη απόσταση.
9. Στο παρακάτω σχήμα το ΒΓΔΕ είναι τετράγωνο με πλευρά 2 και ισχύει
1AB  , 3ΑΓ  και x AM , το Μ διαγράφει το τμήμα ΑΓ.
a. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που διαγράφεται δίνεται
από την συνάρτηση
2
, 0 x 1
( )
2 1 , 1< x 3
x
f x
x
  
 
 
.
02.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 8

8. b. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f.
c. Να αποδείξετε ότι f αντιστρέφεται και να σχεδιάσετε την γραφική
παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης 1
f 
στο ίδιο σύστημα
αξόνων με την f .
d. Να προσδιορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση 1
f 
της f .
02.04.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 8