Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a

ικά Κατεύθυνσης
Γ Λυκείου
4ο
ΓΛΧ
2015 - 2016
M. Ι. Παπαγρηγοράκης
Χανιά
[Μαθηματικά]
Θετικών Σπουδών
Α ΜΕΡΟΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου
Μαθηματικά Θετικών Σπουδών
Μέρος Α: Συναρτήσεις - Όρια – Συνέχεια
Έκδοση 15.07
Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου
προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της
Μίλτος Παπαγρηγοράκης
Μαθηματικός MEd
Χανιά 2015
Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr

Γ Λυκείου –Μ
ΣΥΝΑΡΤΗΣ
1 ΤΥΠ
1.01 Έσ
A) Βρ
B) Λύ
Γ) Λύ
Δ) Να
2
1
f
2συν x

 
1.02 Αν
   f x f x 
1.03 Δίν
Δείξτε ότι f
1.04 Δίν
το R με f x
  f x f 1 x 
1
f f
2004
  
  
  
1.05 Να
λ 2
y x
λ

 
Α) πα
Β) κά
Γ) να
Δ) να
Ε) να
Στ) να
Μαθηματικά Θ
ΣΕΙΣ
ΥΠΟΣ ΣΥΝΑ
στω η συνάρτ
ρείτε το πεδίο
ύστε την εξίσ
ύστε την ανίσ
α δείξετε ότι
f( 2)
1

  
ν
 f x x 
1
νεται η συνά
  x y f x  

x
x
4
x
4 2


. Ν
x και το :
2
...f
2004
  
 
  
α προσδιορισ
 3 2 λ
λ

να
αράλληλη στη
άθετη στην y
α διέρχεται απ
α είναι κατακ
α είναι οριζόν
α σχηματίζει γ
Θετικών Σπουδ
ΑΡΤΗΣΗΣ
τηση f(x)  
ο ορισμού τη
σωση  f x 1
σωση  f x 
1
f
συνx
 
  
 
2
x 1
. Να α
άρτηση  f x 
  y 2f x f 
άρτηση f με
Να υπολογίσ
2002 2
f
2004 2
  
 
  
στεί ο λ ώστ
α είναι:
ην 2y x  
4x 1  
πό το σημείο
κόρυφη
ντια
γωνία 135ο- μ
δών
Σ
2
1
n 1
x
 
 
 
ς
0
0
αποδείξετε ό
 x x1
α α
2

 
 y , x, y R
πεδίο ορισμο
σετε το
003
004



τε η ευθεία
5
ο  3, 1
με τον x΄x
ότι
x
.
R
ού
1.
συ
1.
v
λί
κα
απ
1.
χω
κα
τη
εί
1.
τμ
κα
άθ
συ
τμ
1.
σ
συ
τη
πε
εμ
γρ
απ
γι
τρ
1
.06 Να β
υνάρτηση η
.07 Ένα
v km/h, κατ
ίτρα καύσιμα
αυσίμων που
πόσταση 100
.08 Ένα
ωρητικότητα
ατασκευής το
ης βάσης του
ίναι 0,02 eu
.09 Ένα
μήματα με τα
αι ένα τετράγ
θροισμα των
υναρτήσει το
μήματα
.10 Στο
σχήμα να βρε
υναρτήσει το
η συνάρτηση
εριγράφει το
μβαδόν της
ραμμοσκιασμ
πό τη ΔΕ κα
ια τις διάφορ
ρίγωνο ΑΒΓ
η BE x κ
βρεθεί o λ 
 
2
2
x
f x
x
 
 

όχημα όταν
ταναλώνει τη
α. Να βρείτε
υ χρειάζεται
00 km με στα
κυλινδρικό
α 1 lt. Να εκφ
ου δοχείου σ
υ, αν το κόστο
ro
σύρμα μήκο
α οποία σχημ
γωνο αντιστο
ν εμβαδών τω
ου μήκους x
διπλανό
είτε
ου x ,
που
ο
μένης περιοχ
αι τις πλευρέ
ρες θέσεις του
είναι ισόπλε
και ΔΕ ΒΕ
R ώστε να ε
2x 5, x λ
4, 2-λ
 

ν ταξιδεύει μ
ην ώρα 6 0,
ε τη συνολική
για να διανύ
αθερή ταχύτη
δοχείο έχει
φράσετε το κ
συναρτήσει τη
ος του ενός c
ους 10 κόβετ
ματίζουμε έν
οιχα. Να εκφ
ων δύο σχημά
του ενός απ
χής που δημι
ές του τριγών
υ E πάνω στ
λευρο με μήκο
Ε
3
είναι
2
λ 3λ 2
x
 

με ταχύτητα
3
,0001v
ή ποσότητα
ύσει
ητα v
κόστος
ης ακτίνας
3
cm μετάλου
ται σε δύο
ναν κύκλο
φράσετε το
άτων
πό τα δύο
ιουργείται
νου ΑΒΓ
τη BΓ . Το
ος πλευράς
3
υ

4
http://users.s
1.11 Nα
της συνάρτη
πλήθος των
1.12 Να
των παρακά
 f x x
 
1
k x
x

1.13 Να
των συναρτή
f(x) ln( x) 
k(x) ln x
1.14 Nα
συναρτήσεις
Β) t(x
1.19 Για
  2
f x 2f x
fC δεν τέμν
1.20 Να
είναι πάνω α
Α)   x
f x 4
Β) f(x
1.21 Έσ
οποίες ισχύε
Να βρεθεί η
sch.gr/mipap
α σχεδιάσετε
ησης f(x) ln
ριζών της εξί
άτω συναρτή
 g x
 
1
m x
x


ήσεων
), x 0
m(x)  
α παραστήσε
ς Α) f(x) 
x) 2 ημ 2 
α τη συνάρτη
 2 x x 1  
ει τον άξονα
α βρεθούν τα
από τη gC ό
x x 1
2 

2
x
x)
1 2x

 
 
στω οι συναρ
ει  f x 9 
σχετική θέση
pagr
τη γραφική
n x και να β
ίσωσης  f x
τις γραφικές
ήσεων
x 1  
1
 n x
τις γραφικές
g(x) ln(  
ln x t(
ετε γραφικά τ
ημx ημx 
x π Γ)
ηση f : R R
1 , x R . Ν
α x x
α διαστήματ
όταν:
και  g x
αν x 0
αν x<0

κα
ρτήσεις f,g : R
  2
g x x για
η των fC , C
Γραφ
παράσταση
βρείτε το
6
10

ς παραστάσε
 h x 1 
1
x 1


ς παραστάσε
x), x 0 
x) ln x 
τις
,
π
x 0,
2
 
  
 
2
f(x) συν x
Κ
R ισχύει ότι
Να δείξετε ότι
α όπου η fC
 x 2
2 8
 
ι g(x) x 2 
R R για τι
α κάθε x R
g
φική Παράσ
εις
x
εις
x
1.
τω
Α
Β)
1.
τύ
το
1.
τι
g
1.
συ
Κοινά Σημε
ι η
2
ις
.
1.
οπ
x
δύ
1.
να
Ν
το
τα
1.
h
Δε
σταση
.15 Να σ
ων συναρτήσ
Α)  f x
) g(x)
.16 Να β
ύπο της συνά
ου σχήματος
.17 Να π
ις παρακάτω
  lnx
x e
.18 Να π
υνάρτήσεις f
g(x)
εία
.22 Έστω
ποία ισχύει ό
R . Να δείξ
ύο τουλάχιστ
.23 Έστω
α ισχύει f(x)
Να βρεθεί ο κ
ους, να τέμνο
α διαστήματα
.24 Για
   3 2
h x h x
είξτε ότι h x
ΣΥΝΑΡΤ
σχεδιάσετε τι
σεων:
  2
x x
 
x
2
e ,
) lnx , 0
x 1 ,


 


βρείτε τον
άρτησης
ς
παραστήσετε
  2
h x x
παραστήσετε
  f x συν 
) π συν x 
ω η συνάρτη
ότι  2
f x 2 
ξετε ότι η fC
τον σημεία
ω οι συναρτή
2
g(x) x  
κ ώστε οι γρα
ονται στην ευ
α όπου η fC
τη συνάρτησ
   2
2h x x 
x 0 για κά
2
ΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ
ις γραφικές π
x 0
0<x e
x e



ε γραφικά κά
ς:
2
 f x 
ε γραφικά τις
x π
x π
ση f : R R
 f 3x 0  γ
f τέμνει τον ά
ήσεις f,g : R 
κ κάθε x R
αφικές παρα
υθεία x 1
είναι πάνω
ση h : R R
2
x 2  για κ
άθε x R
42
2
2
4
2
O
y
Α - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
παραστάσεις
άθε μια από
x
ln e
ς
R για την
για κάθε
άξονα x x σε
R , ώστε
R , κ R .
αστάσεις
καθώς και
από την gC
κάθε x R .
96
y=f(x)
ς
ε
x

1.25 Βρ
συναρτήσεω
x
g(x)
x x-3

h(x) 
x
1 x 
1.26 Βρ
 
2 x
f x
2ημx

 t x
2συν

 

e
r x
2x


p(x)  x
e -
1.27 Βρ
2
f(x) αx 
1.30 Βρ
Β) f
Γ) f
1.31 Βρ
Β) f
1.32 Βρ
2
x 2
f(x)
x 1
 
 

ρείτε τα πεδία
ων  f x x l 
x 1
3x+2 x

2
x 2
1 x

 
ρείτε τα πεδία
ων
x
1
2
1
x 5συνx 

x
e
1 ln x


,
- 1 + 1 - lnx
ρείτε το πεδίο
αx , α 0
ρείτε τα σύνο
ων: Α)  f x
 x 3ln 1  
 2
x x 4x  
ων: Α)  f x 
 2
6
x
x 4


ων:
2 αν 2 x
1 αν 3 x


α ορισμού τω
 2
ln x φ(x)
t(x) 
x 
k(x)
(x -

α ορισμού τω
 g x
3
φ(x)
m x
x  q x 
ο ορισμού τη
λα τιμών των
1 x
e 3
 
2x 1  , x
3
x 1
x 1



x
2
x
x 3
x 5


, g(x)
δών
Πε
ων
2
) x x 
1
2 x 1 
2
4 - x
1) x 1
ων

2εφx
ημx ημ2


2
2x 2x
x 1
)
e e




1
x ln x
x 1


 2
ln 1 x
ς συνάρτηση
Σύ
ν
 x 1,2 
 2, 1/2 
ν
2,5
 , 2 
ν
3 2 x 1  
εδίο ορισμ
2x
ης
1.
συ
f
k
t
p
1.
συ
k
r(
m
r
ύνολο Τιμώ
1
συ
f(
r
1
πα
πλ
Α
Β)
Γ)
Δ
Ε)
μου
.28 Βρεί
υναρτήσεων
 
2
x
x
x
9 4.3



k(x)  2συ
 
1
x ln
x 1


3
p(x) x x 
.29 Βρεί
2
2x
x 1
k(x)
e e



2
x x
(x)
x x



 m x ln(x
  x ln x 
ών
.33 Βρεί
(x) 
1
log
x



  2
x x 4x 
.34 Στο
αράσταση τη
λήθος των ρι
Α)  f x
)  f x
)  f x
)  f x
)  f x
ίτε τα πεδία ο
x 1
x 1
3 27


υνx 1
x
2
ίτε τα πεδία ο
2x
1

,
2
2
x

,
1)
2
x 1 , t
ίτε τα σύνολα
1

 

,  g x 
3 αν x
σχήμα φαίν
ης συνάρτηση
ιζών των εξισ
2 
0
1
2
α, α 3,3  
ορισμού των
  x
1
h x
4


x
m(x) (e
 
1
r x l
x 1


 
1
lnxq x x
ορισμού των
 
x
t x
x 1
 

 
3
k x
2x 4



f(x)  x
e -
 
1
t x
εφx 1


α τιμών των
x
x 1
5 e
5 e 



t(
 2,5
νεται η γραφ
ης  y f x .
σώσεων:
3
5
ν
2
x
1)ln(x 1) 
 ln x
ν
ln x
x 2
4 x 1
 
 
1 + 1 - lnx
1
,  x 0,2π
2
2
x 2x
x)
x 4



ική
Να βρείτε το
5

ο

6
http://users.s
1.35 Δίν
Α) Να
2
1
x - 1
f (x)
x - 1

3f (x) x 
  x
5f x ln e 

Β) Βρείτε τ
οποίο οι παρ
1.36 Να
1.37 Eξε
  f x 1 
1.42 Βρ
f(x
1.43 Να
αν f(x) 
2


1.44 Για
ότι   2
g x f
δείξετε ότι η
1.45 Nα
που ικανοπο
1.46 Nα
 2 2
f g (x)
sch.gr/mipap
α εξετάσετε π
ς είναι ίσες μ
1
2f (x)

2
1 4f (x)
1
6f (x)
το ευρύτερο
ραπάνω συνα
α εξετάσετε α
ς
1 σ
f(x)
ημ


ετάστε αν είν
 
x
2 2 1 
ρείτε τις συνα
x) 4 |x|] 
α βρεθούν οι
2x 1, x 2
x, x 2
 

α τις συναρτή
   2
x 2f x 
gC τέμνει το
α βρείτε όλες
οιούν την σχ
α αποδείξετε
 2 f g (x) 
pagr
άρτηση f(x) 
ποιες από τις
με τη συνάρτη
3
2
x 1
x - x 1



1
x 1
x
 
  
 
ln(x 1)
e 

υποσύνολο
αρτήσεις είν
αν είναι ίσες
συνx
μx
και g(x
ναι ίσες οι συ

x
1

και g x
αρτήσεις f 
] και g(x) 
ι συναρτήσει
και  g x

 

ήσεις f,g : R
2
x 3  , x 
ον θετικό ημι
ς τις συναρτή
χέση:  2
f x 
ότι f g , α
) 2 για κάθ
Ισότητ
x 1  .
παρακάτω
ηση f .
του R στο
αι όλες ίσες.
οι
ημx
x)
1 συνx


υναρτήσεις
x 0
Πράξε
g ,και
g
f
ότα
x 1
ς f g ,και
g
f
lnx, 0 x
-2x 3, x 3
 
 
R ισχύει
R . Να
άξονα Oy
ήσεις f : R 
2
x 1 , x
αν ισχύει ότι
ε x R
τα Συναρτ
x
1.
f(
1.
συ
Α
Β)
1.
συ
1.
f(
εις Συναρτ
αν
g
f
3
3
R
R
ι
1.
οπ
1.
πο
1.
αύ
ισ
1.
αν
2
f
1.
συ
ότ
τήσεων
.38 Eξετ
2
(x) x x 
.39 Να ε
υναρτήσεις σ
Α) f(x) x 
) f(x) 
1
ln
x



.40 Να β
υναρτήσεις f
.41 Eξετ
(x) 
1
ln 2
x



τήσεων
.47 Βρεί
ποίες ισχύει ό
.48 Βρεί
ου ικανοποιο
.49 Να π
ύξουσες συνα
σχύει ότι 2
f (x
.50 Να β
ν για κάθε x
   2 2
x g x
.51 Να β
τι   f x 1
ΣΥΝΑΡΤ
άστε αν είνα
1 και g(x)
εξετάσετε αν
στις παρακά
2
x 1 και g
1
2
x

 

και g
βρεθεί ο R
3
2
x 3
(x)
x x
 

 
άστε αν είνα
2



και  g x
ίτε τις συναρτ
ότι  2
f x 4
ίτε όλες τις συ
ούν την σχέσ
προσδιορίσετ
αρτήσεις f : R
2
x) x  1
βρείτε τις συν
R ισχύει ό
1 2 x   
βρείτε τις συν
f : R R αν
  f x 2 0 
αι ίσες οι συν
2
1
)
x x 1


 
ν είναι ίσες οι
άτω περιπτώσ
2
1
g(x)
x x



  x ln 1 2 
R ώστε να εί
3x 4
x 4


και g
αι ίσες οι συν
 ln 1 2x 
ρτήσεις f : R 
 x x
4e f x e
ση:  f x x
ετε όλες τις γν
R R για τι
για κάθε x
ναρτήσεις f,
ότι
 f x x 
ναρτήσεις τι
ν για κάθε x
ναρτήσεις
1
ι
σεις.
2
1
1
2x ln x
ίναι ίσες οι
g(x) x 1  
ναρτήσεις
ln x
R για τις
, x R 
f : R R
, x R 
νήσια
ις οποίες
x R
,g : R R
 g x
ις
R ισχύει

1.52 Nα
οι συναρτήσ
g(x) ln x 
1.53 Για
x f(x) f( x) 
ότι η f είνα
1.54 ** Δ
οποία ισχύει
x,y R . Να
Β) η f
Γ) f
1.55 Η
και ισχύει ό
Να βρείτε τ
1.61 Ν
σύνθεση δύο
f(x) ln(1 
f(x) ln(x
 2
f(x) ln x
1.62 Ν
Α) f(x) 
Β) f(x)  x
x



1.63 Αν
ορίσετε τις σ
α εξετάσετε α
σεις
2
x 1  ,
α τη συνάρτη
2 2f( x)   
αι περιττή κα
Δίνεται η συ
ι f(x y) f(x 
f είναι άρτια
x f(x) για
συνάρτηση f
ότι   2
f x x 
ον τύπο της
α εκφράσετε
ο ή περισσοτ
ων, αν:
ημx)
2
1) lnx 
 2 2
1 ln x 
α οριστεί η σ
1 x και g(
x 1 x
x 1 x
  
  
ν  f x 1 
αν είναι άρτι
,
2x
f(x)
2x


 


ηση f : R R
0, x R   . Ν
ι να βρείτε τ
νάρτηση f : R
x y) 2f(x)  
ότι: Α)  f 0 
α
κάθε x R
f : R R εί
2 2x για
ε τη συνάρτη
τέρων (μη τα
f(x)
f(x)
3 f(x
(x)  ln x
(0,2)
[2,4)


, g(x)
2
x ,  g x 
f g και g 
δών
Άρ
ες ή περιττές
x 3 x 0
3 x 0
x 3 x 0
 

 
ισχύει ότι
Να αποδείξετ
ον τύπο της.
R R για τη
f(y) για κάθ
0
ναι περιττή
κάθε x R .
Σύνθε
ση f ως
αυτοτικών)
)  συν 1 x
4
) ημ (3x 5 
x
) x
f g αν
) x 1 
3 x 2  να
f
ρτιες Περιτ
ς
τε
ην
θε
1.
ιδ
g
ότ
1.
δε
1.
εί
f(
1.
η
1.
A
πε
f
ση Συναρτ
2
x
5)
1.
g
(f
1.
h
1.
σε
Α
Β)
Γ)
ττές
.56 Δύο
διότητες: 2
f
   2
x g x 
τι η f είναι ά
.57 Αν ι
είξετε ότι η f
.58 Να δ
ίναι άρτια κα
(x) 0
.59 Δείξ
συνάρτηση
.60 Δίνο
f gA A R 
εριττές τότε η
/g , (g(x) 0
τήσεων
.64 Αν f
(x)   x1
e
2

f g)(x)  (g 
.65 Βρεί
h με h(x) f(
.66 Να β
ε κάθε μια απ
Α) Αν f
) Αν (
) Αν (
    x f x f 
  g x για κ
άρτια και η g
ισχύει f(x y)
είναι περιτ
δείξετε ότι αν
αι περιττή τό
τε ότι για κά
g(x)  f(x) +
ονται οι συνα
Να αποδείξε
η f g είναι
0 ) είναι άρτι
f(x)  ln(x 
x
e
να απ
f)(x) x , 
ίτε το πεδίο ο
2
(x 4) f(x  
βρεθεί ο τύπο
πό τις περιπτ
 f ln(2x) x
2
(f g)(x) x
(g f)(x)  συ
ς f,g : R R
x και
κάθε x R . Ν
g περιττή
) f(x) f(y)  ,
ττή
ν η συνάρτησ
ότε για κάθε
άθε συνάρτη
+ f( x) είναι
αρτήσεις f,g
ετε ότι: Αν οι
ι περιττή ενώ
ιες
2
x 1) και
ποδείξετε ότι
x R 
ορισμού της σ
1) αν fD 
ος μιας συνά
τώσεις:
x 3 , x e 
2
x 1  και
2
υν x και g(x
7
R έχουν τις
Να δείξετε
x,y R  να
ση f : R R
x είναι
ση f : R R
άρτια
με
ι f,g είναι
ώ οι f g ,
ι
συνάρτησης
[0,5)
άρτησης f
,
g(x) x 1 
2
x) x
7
R

8
http://users.sc
1.67 Ν
συνάρτηση
(1 x)f(x 1 
1.68 Έσ
gg : A R
A) Αν η f ε
B) Αν η f ε
περιοδική μ
1.69 Δε
να ικανοπο
1.70 Bρ
ισχύει ότι f
1.71 Ν
  2
f x x x 
1.72 Αν
1.73 Αν
x R τότε ν
1.74 Ν
Α) Αν
Β) Αν
1.75 Αν
ισχύει: f f
1.76 Έσ
οποία ισχύε
τουλάχιστον
ch.gr/mipapag
α προσδιορι
f : R R αν
1) f(1 x) x  
στω συναρτή
με  ff A A
είναι άρτια, τ
είναι περιοδι
με την ίδια πε
ειξτε ότι δεν
οιεί τη σχέση
ρείτε τη συνά
x
ln x f
e
 
  
 
α βρείτε τη σ
2
1 f x 1  
ν   2
f f(x) e
η f παίρνει
ν ισχύει ότι 
να υπολογίσ
α προσδιορι
ν (1 x)f(x 
ν ισχύει 2f(x
ν f(x) 
αx
2


f (x) x για
στω η συνάρ
ει ότι  f f(x)
ότι η εξίσωσ
ν ρίζα
r
ισθεί ο τύπος
ν ισχύει ότι
x 1 , x R 
ήσεις ff : A 
gA . Να απο
τότε η gof ε
ική, τότε και
ερίοδο.
υπάρχει συν
f(x) f(2 x 
άρτησης f : 0
 f x 1 για κ
1 x για κάθ
2x
για κάθε
την τιμή 201
 f f (x) 2x
ετε το  f 1
ισθεί ο τύπος
1) f(1 x)   
21
x) f x
x
 
  
 
3
x


να βρεθ
κάθε x 2
τηση f : R 
2x 1  , x
ση  f x 1 έχ
ς της
R
R ,
δειχτεί ότι:
είναι άρτια.
η g f είναι
νάρτηση που
) x , x R 
0, R  α
κάθε x 0 .
f αν ισχύει ό
θε x R
x R , να
14
x 1 για κάθ
ς της f :
x 1  , x R
2
, x R * 
εί ο α R , α
R για την
x R . Να
χει μια
ι
R
αν
ότι
θε
R
αν
1.
f(
f(
1.
f(
f(
να
1.
αν
f
1.
οπ
δε
το
1.
τη
τέ
x
x
f(
1.
ότ
κα
1.
f
γι
.77 Να β
(2004) 1 κα
20
(x)f(y) f

 

.78 Για τ
(x y) f(x)  
f(x) 1
(x) e 
 κ
α βρείτε την
.79 Να β
   x f y f 
.80 Έστω
είξετε ότι η C
ουλάχιστον σ
.81 ** Έσ
ην οποία υπά
έτοιοι ώστε α
 ,1  κα
 0,  . A
(x)
.82 Για
τι   f x f
αι  f 1 0 . Ν
.83 Να π
 : R 0 R 
ια κάθε x R
ΣΥΝΑΡΤ
βρεθεί συνάρ
αι για κάθε x
004 2004
f
x y
 

  
τησυνάρτηση
f(y) 1
e 
 x, y 
και 1
f(x) e 

f
βρεθούν οι σ
, y R ισχύε
 xy x y  
ότι  2
f x 2 
fC τέμνει τον
σημεία.
στω f : R R
άρχουν α,β
αf(x) βf( x) 
αι αf(x) βf( 
Aν f(3) 4, f
(ww

x
y ln
y
 
  
 
γ
προσδιορίσετ
R τέτοιες ώστ
 R 0
ρτηση *
f : R
x,y 0 ισχύε
2f(xy)



,
η *
f : R R
R .Να αποδ
f( x) 
για κάθ
ύει ότι
xy
ση f : R R
 f 3x 0  ,
ν x x σε δύο
R μία συνάρ
πραγματικο
) x 3   για
x) x 3   γι
f( 3) 2   , να
ww.mathem
ση  f : 0,
για κάθε x,y
ετε ότι  f x 
ετε όλες τις συ
τε  
1
f x
x
 
*
R αν
ει
ισχύει ότι
δείξετε ότι
θε x R και
f : R R
R για την
x R  . Να
ρτηση για
οί αριθμοί
α κάθε
ια κάθε
matica.gr)
R ισχύει
 y 0, 
ln x , x 0
υναρτήσεις
1
f x
x
 
 
 

ΜΟ
1.84 Ν
f(x)  5
  t x x 1 
r(x) 
x 3
x 2


1.85 Βρ
 k x ln x
1.86 Έσ
γνησίως αύξ
είναι γνησίω
1.87 Α)
να αποδειχθ
Β) Ν
1.88 N
Α) ln
1.89 Γι
5
2f (x) f x
Α) Απ
Β) Ν
1.90 Ν
  x
f x 2 x 
λύσετε την α
ΟΝΟ
ων
5 x
3
1 2
3
2
φ(x)
ρείτε τη μονο
, g(x) 
x
x
ξουσα. Δείξτ
ως φθίνουσα
) Αν  f x

 

θεί ότι η f εί
α λυθεί η αν
α λύσετε τις
nx 1 x 
ια τη συνάρτ
 3x για κά
ποδείξτε ότι
x . είναι γνη
ανίσωση 3x
2
ΟΤΟ
ε τη μονοτον
 
e
g x ln
e

 m x e
) 
ln x α
1 2x α



οτονία των σ
2
x 1
x 1


m
τηση f : 0,
τε ότι η  g x
α στο  0,
x x
3 4
5 5
   
   
   
ίναι γν. φθίν
νίσωση x
3 4
ανισώσεις:
Β) x
e 
ηση f : R R
άθε x R .
η f είναι γν
νίσωση  2
f x 
ε ότι η συνάρ
ησίως αύξουσ
2
x x 6 2x
2 
 
δών
ΟΝΙΑ
νία των
x
x
e 1
e 1


4 x
3

αν 0 x 2
αν x 2
 

συναρτήσεων
 x ln x
  0,  
 
1 1
f
f x x

  

1 , x R τό
νουσα.
x x
4 5 .
1 x
1 x



νήσια αύξουσ
x 1 1  
ρτηση
σα και να
2
x 5x 6 
Α
2
ν
x



ότε
ι:
σα
1.
εί
εξ
1.
ιδ
Επ
δε
1.
ορ
g
φ
1.
φ
δε
1.
συ
ιδ
1.
κα
να
1.
τη
ότ
.91 Δίνε
ίναι γνήσια α
ξίσωση f x
.92 Η συ
διότητα  f x
πιπλέον ισχύ
είξετε ότι η f
.93 Έστω
ρισμού το α
   g x f x , 
θίνουσα. Δεί
.94 Αν
θίνουσα στο
είξετε ότι f(x
.95 Να α
υνάρτηση f :
διότητα 2
2f (x
.96 * Η σ
αι για κάθε x
.97 Έστω
ην οποία ότι
τι η f είναι γ
εται ότι η συν
αύξουσα στο
   2
f x f 
 
x
-f y =f
y
 
 
 
ύει ότι «αν α
είναι γν. αύ
ω συναρτήσε
α,β , σύνολο
 x α,β  κα
ίξτε ότι f g(
f : R R πε
R με f(f(x )
x) x  , x R
αποδειχθεί ό
: R R , γνή
2
x ) 2xf(6x 
x R ισχύει ό
ότι f(x) x ,
ω συνάρτηση
   f x
f x e 
γνήσια αύξου
νάρτηση f ο
 0, . Να
   3
x f x
: (0, ) R 
για κάθε x,
α 1 τότε f
ύξουσα στο 
εις f,g με κο
τιμών το α
αι η f είναι γ
  (x) g f(x)
εριττή και γν
)) x για κά
R
ότι δεν υπάρχ
ήσια φθίνου
8) 4 3x,  
f είναι γνησί
ότι:
2x 3f
f
5



, για κάθε x
η f , ορισμέν
3
3 x
x e  , x
υσα και ότι
9
ορισμένη και
α λύσετε την
έχει την
y 0 .
 α 0 ». Να
 0,
οινό σύνολο
,β ώστε
γνήσια
 x α,β 
νησίως
άθε x R , να
χει
σα με την
x R 
ίως αύξουσα
f(x)
x



,
R
νη στο R για
R . Δείξτε
  3
f x x
9
ι
α
α
α

10
http://users.sc
1.98 Δί
είναι γνήσια
 5 2
f x x
1.99 Έσ
γνήσια μον
διέρχεται απ
Α) Ν
Β) Ν
και  f 1 x
Δ) Ν
Πόσες ρίζες
1.100 Δί
Α) Ν
αύξουσα.
Β) Ν
3
(3x 18) 
1.101 Γι
   f x
f x 2e
Α) Απ
Β) Ν
συνάρτηση
Γ) Ν
Δ) Ν
1.102 Έσ
παίρνει θετι
 
31
2f x
f x

Α) Ν
φθίνουσα κ
Β) Λύ
 5 3
f x x 
ch.gr/mipapag
ίνεται η συνά
α αύξουσα σ
 2
1 f 1  
στω συνάρτη
ότονη και η
πό τα σημεία
2
ς μπορεί να έ
α αποδειχθε
3
(7x 12) 

x 2  για
α μελετηθεί ω
 g x x 2e 
α υπολογίσε
α βρείτε το π
ικές τιμές κα
x 1 x  για
και να βρείτε
ύστε την ανί
x 3 1 
r
άρτηση f : R
στο R . Να λυ
2
x x 2  
ηση f : R R
γραφική της
α  1, 1  κα
ε ότι είναι γν
ανισώσεις f
ν εξίσωση f x
έχει η εξίσωση
άρτηση  f x
ί ότι είναι γν
νίσωση
7x 12
7x 12
5
5 1



 
ηση f : R R
κάθε x R
ως προς τη μ
x
e
ετε το  f 1
πρόσημο της
ηση f ορισμ
αι ισχύει
α κάθε x R
ε ότι η f είνα
το  f 0
ίσωση
R η οποί
υθεί η ανίσωσ
5
x x 
R , που είναι
ς παράσταση
αι  1,2
 2x 1 1  
2
x 2 .
η  f x 2014
3 x
x 5  
νησίως
3x 18
3x 18
5
5 1



.
μονοτονία η
f
μένη στο R ,
.
αι γνήσια
ία
ση
η
σα
4
1
.
ι
σα
1.
γν
δι
Α
Β)
κα
Δ)
Ε)
f
1.
μο
ισ
1.
h
Β)
ώ
x
Γ)
υπ
1.
συ
να
τη
σ
1.
τέ
Θ
h
φ
h
.103 Έστω
νήσια μονότο
ιέρχεται από
Α) Να α
) Να λ
αι  f 1 x 
) Να λ
) Πόσ
 x 2014
.104 Να α
ονότονη συν
σχύει  f f(x)
.105 Α) Ν
  5 3
h x x x 
) Έστω
στε να ισχύε
R . Αποδεί
) Να λ
πολογίσετε τ
.106 Αν f
υνάρτηση το
ης συνάρτηση
στο  1,0 (m
.107 Έστω
έτοια ώστε f



Θεωρούμε τη
 
1 x
h x
1 x



. N
θίνουσα στο
  x 2x
h e h e
ΣΥΝΑΡΤ
ονη και η γρ
τα σημεία 
αποδείξετε ότ
λύσετε τις αν
2
λύσετε την εξ
σες ρίζες μπορ
3x 0  για
x , x R ε
ει   5 3
f x f
ίξτε ότι η f ε
ο  f 3
f : R R είν
υ σχήματος,
μονοτονία
ης   g x f
mathematica
 
1
f x 0
x
 
 
 
συνάρτηση g
Nα αποδείξε
 1,1 και ν
  11x
h e 
η f : R R ,
ραφική της π
1, 1  και 
ότι είναι γνήσ
νισώσεις f 2x
ξίσωση  2
f x
ρεί να έχει η
ότι δεν υπάρχ
R R για τη
κάθε x R .
τε ότι η συνά
ση f ορισμέν
   x f x x 
ξίσωση  h x
ναι η
 f(x)
.gr)
ση  f : 0,
0 για κάθε x
  g x f h(x
ετε ότι η h εί
να λύσετε τη
 111x
h e στο
που είναι
αράσταση
 1,2
σια αύξουσα
x 1 1  
 2
εξίσωση
χει γνησίως
ην οποία
άρτηση
αύξουσα.
νη στο R
για κάθε
αύξουσα
3 και να
 R
x 0 .
x) όπου
ίναι γνήσια
ην εξίσωση
ο  1,1

1.108 Ν
τις παρακάτ
g(x) 4 x 
  2
r x x 4 
 
x
φ x
3x

 

1.109 Ν
Α) f
Β) f
1.110 Ν
Α) f
Β) f
1.111 Ν
Α) f
Β) f
1.112 Α)
Β. Έσ
παρουσιάζε
1.113 Έσ
Α) Ν
2
2f(x
g(x)
1 f


Β) Ν
Ακρ
τω συναρτήσ
x 2 t(x)
4x 5 f :[
1 αν x
1 αν x
 
 
  x 1 2ln 
:[ 1,4) R 
  2
x x 4x 
  2x
x e 2e 
   x
x 2e x 
  2x
x e 2e 
)Να δείξετε ό
στω f(x) 9
ότι f(x) 2 γ
ει ελάχιστο
στω f : R R
2
x)
(x)
έχει μέγ
ς
2e
Φ(x)
1 e


ρότατα
α ακρότατα κ
σεις
 3
4 x 4x  
1,4) R  με
2
2


σεις
  x 1 , x 2 
με f(x) 2x
σεις
5
x
3
σεις
 
2 x
x 4 2e 
x
e 3
ότι
1
x 2
x
 
 
x
9 80 9 
για κάθε x
R συνάρτηση
γιστη τιμή το
μέγιστη τιμή
x
2x
e
2013
e

δών
κάθε μιας απ

4
x
ε f(x) 2x 1 
2,3
1
x 5
αν x 0

x
80 . Nα
R και ότι η
η με f(0) 1
ρτηση
1 .
ή της
πό
1
πό
πό
πό
α
f
1.
f(
1.
(
συ
έχ
1.
Α
Β)
1.
Α
Β)
α
1.
A
B)
f
Γ)
f
1.
Α
αύ
Β)
Γ)
5
Δ)
5
.114 Να β
2
(x) x (λ  
.115 Έστω
 2
(f(x) g(x
υνάρτηση h
χει μέγιστο το
.116 Αν f
Α) Να β
) Να λ
α) f
.117 Αν f
Α) Να β
) Να λ
α) f 2x
.118 Δίνε
A) Απο
) Να λ
3 3
x f
2
  
   
  
) Να β
 α β 1 f  
.119 Δίνε
Α) Απο
ύξουσα στο π
) Δείξ
) Να λ
3 2
x 2x 5  
) Να λ
3 α β 1 e  
βρεθεί ο λ
1)x 2  να έ
ω οι συναρτή
2
) 1 για κ
    x f x f 
ο οποίο και ν
  2
f x x 6x 
βρείτε το πρό
 2x 3 0 
  2
f x x 6x 
x 3 0  β
εται η συνάρτ
οδείξτε ότι η
λυθεί η εξίσω
4 3
x 3x
2

  

βρείτε τους α
 2α β 1  
εται η συνάρτ
πεδίο ορισμο
τε ότι η f πα
λύσετε την αν
2
2x 4x 10
e  
5
2α 2β 2 3e 5 α 

R , ώστε η σ
έχει ελάχιστο
ήσεις f,g : R
κάθε x R .
   1 x g x 
να βρεθεί (m
x 8 , x R ,τ
όσημο του f
νισώσεις
β)  f f x
x 8 , x R ,τ
όσημο του f
νισώσεις
β)  f f x
τηση  f x 
f έχει ελάχισ
ωση
6 0 
α,β R ώστε
6 0 
τηση  f x 
f είναι γνησ
ού της .
αρουσιάζει ελ
ανίσωση
3 2
5 x 4x 4 
ξίσωση
2α
α β 1 e  
11
συνάρτηση
ο το 2
R ώστε
Δείξτε ότι η
 g 1 x 
mathematica)
τότε
 x
 x 2 0  
τότε
 x
 x 2 0  
2
2
x x 2
x x 1
 
 
στο το 3
ε να ισχύει
2x3
5 x e .
σίως
λάχιστο.
2
2x 8x 8
e  

α 2β 2
2 0 
 
1
0

12
http://users.s
1.120 Να
Α) f
Γ) f
1.121 Δίν
την οποία ισ
x [1, )  . Ν
1.122 Έσ
1 1 . Αποδε
είναι 1 1 .
1.123 Αν
ιδιότητα f 
δείξετε ότι ε
1.124 Να
συνάρτηση
1.125 Να
1.126 Δίν
Α) Nα
Β) Να
Γ) Να
1.127 Να
Α)
x 1
e ln

Γ)
2
x x
e 

1.128 Nα
 2
log λ 1 
sch.gr/mipap
α εξεταστεί π
ς, είναι 1 1
x 2ln x 3 
  x x x 3 
σχύει f(f(x)) 
Να δείξετε ότ
στω ότι η συν
είξτε ότι η η
ν η συνάρτησ
  f x 3f x
είναι 1-1
α βρεθεί ο λ
f(x) 
4
x λ
 


α αποδειχτεί
f αν ισχύει 6f
α μελετήσετε
α λύσετε τις ε
n x 2 x  Β
2x 1 2
e x
 
log 5λ 5  
pagr
ποιες από τις
και ποιες όχ
3 Β)  f x
 x 4 2004 
άρτηση f :[1,
2
2x 3x 2  
τι η f είναι
  3
F x f x
ση f : R R
 2003
x 0  ,
R ώστε να
2
x αν x
λ 8 αν x
ότι δεν είνα
 2 2
f x f (x) 
άρτηση  f x 
τη μονοτονί
εξίσωση 1
ανίσωση x
εξισώσεις .
Β)
7 5
x 2x 3 
x 1 Δ)
x
6
εξίσωση
  4
5λ 5  
Συ
παρακάτω
χι:
x 1
3e 2
 
4
) R  για
2 , για κάθε
1 1
R R είναι
  x 2f x 3 
έχει την
x R να
α είναι 1 1 η
0
0


ι 1 1 η
9 x R 
2 x ln x  
ία της f
x lnx 0 
lnx 1 
3
3x x 6 
x x x
8 10 

42
λ 1
υνάρτηση 1
α
η
1.
f

δε
1.
Α
Β
2
1.
g
g
1.
Α
Β)
1.
e
1.
Ν
1.
e
1.
f
υπ
4
1:1
.129 Δίνο
 2
f f (x) x 
x R  . Nα α
εν είναι 1 1
.130 Δίνε
Α Να α
Να λ
 2
x - 3x+2 =
.131 Θεω
: Β R , να
g f είναι 1 
.132 Αν ε
Α) Να αποδε
) Να λυθεί
.133 Να α
3
e 
    
.134 Αν f
Να λύσετε την
.135 Αν
Α) N
Β) Ν
2
x -x 2 3
+(x - x)
.136 *** Δ
 : 0,1 R μ
πάρχουν 1x ,
  1 2f x 2f x
ΣΥΝΑΡΤ
5x 9  και
1
εται η  f x 
 2
4
3x - 2
= ln
x +



ρούμε τις συ
1 τότε η g
είναι x
x e 
είξετε ότι x 
η εξίσωση x
3
 τότε   
x
2
f(x)
3
 
  
 
ν εξίσωση 3
  x
f x e x 
Nα δείξετε ότ
Να λύσετε την
3 2
+x - 2x = e
Δίνεται η 1 
με    f 0 f 1
 2,x 0,1 ώ
2 1 .
αρτήσεις f,g
  2
g x x x 
ι  f 3 3 κα
 2
2x ln x 
ότι η f είναι
ξίσωση:
2
+1
1



στο 2
ότι αν B f
είναι 1 1
y
y e  , x,
y .
2
x 3x 2 e  
ότι αν ισχύει
 με , R 
x4
2
3
  τότε:
x x
2 4 3 3  
3
x x 1  τότε
τι είναι 1 1
ν εξίσωση:
x+3 3
e +(x+3)
1 συνάρτησ
 1 . Να απο
ώστε να ισχύε
g : R R με
 xf x 3 ,
ι ότι η g
1 , x 0
1-1
2,
: Α R και
(A) και η
y R τότε
2
3x x 2
e e 

R
x
3 6
ε
+3
ση
οδείξετε ότι
ει
ι

1.137 Βρ
Α) f(x) x
Γ) f(x) lo
Ε) f
1.138 Βρ
Α) f(
Γ) f(
Ε) f(
Στ) f(x) x
1.139 Ν
αν f(x) 
1.140 Έσ
f(f(f(x))) 2
ότι f(1) 3,
1 1 και να
1.141 Έσ
Α) Ν
Β) Ν
Γ) Ν
1.142 Έσ
Α) Ν
Β) Ν
2
2
2λ 1
ln
λ 5



ρείτε τις αντί
ων
3
x 1
x
og 3 10
  x 2 x  
ρείτε τις αντί
ων
(x) 
2x 3
.
x 4


x
(x) log
1


2
x 1
(x)
9x

 

3 2
x 3x 3x 
α βρείτε τα κ
1 x , x 1 
2x 7 για κά
f(3) 9 . Να
στω η f με
στω  f x x
2
4 λ
ίστροφες των
Β) f(x) 5 
Δ) f(x) ln
2
3 , x 3
ίστροφες των
Β) f
x
x
Δ)
, x 0
, x 0


Ζ) f(x) ln
κοινά σημεία
1,0
ηση f ώστε να
άθε x R . Δίν
ν εξίσωση 1
f
3
f(x) 2x x 
ε ότι η f αντ
ν εξίσωση f(x
ν ανίσωση f
ln x
τιμή 1
f e

ν εξίσωση
δών
Α
ν
x 2 
x
n(2 e ) x 
ν
f(x) 
3x
3x
3 e
3 e


x
f(x)
1 x


 2
n x 1 x 
α των 1
f
C  C
α ισχύει
νεται ακόμη
(x) 9 .
x 2 .
τιστρέφεται.
1
x) f (x)
 .
1
(5x 6) 1
  .
1
Αντίστροφ
x
x

fC
.
1.
υπ
να
1.
Α
Β)
Γ)
άξ
Δ)
(2
αν
1.
ισ
Α
κα
1.
αν
ισ
1.
έχ
αυ
1.
τύ
A
B)
1.
πα
συ
φη
.143 Αν γ
πάρχουν οι σ
.144 Έστω
Α) Να αποδ
) Να λύσετ
) Να βρείτε
ξονες και με
) Να λύσετ
2 3
2 ημ x) η 
νισώσεις: 1
f
.145 Για τ
σχύει ότι 3
f (
Αποδείξτε η f
αθώς και τα
.146 Οι σ
ντιστρέψιμες
σχύει f g g
.147 Να α
χει μόνο ένα
υτό θα βρίσκ
.148 Θεω
ύπο
5
f(x) x
A)
f 
) Να λ
.149 Να α
αράστασης τ
υμμετρίας τη
για τις συναρ
ότι υπάρχου
είξετε ότι αντ
ε τις εξισώσε
ε τα κοινά ση
την ευθεία y
τε την την εξ
3 2
ημ x ημ x 
1
(x) 3 , και
x) 3f(x) x 
αντιστρέφε
τα κοινά ση
ς έχουν σύνο
g f , να δείξ
κοινό σημείο
κεται πάνω σ
ρούμε την συ
x 1 
. Να α
 11 f  
λυθεί η εξίσω
της  
5x
f x
2x

ην ευθεία y 
ρτήσεις f , g
  1
f g

 και
υν και οι 1
g
ση 3
f(x) x 
ντιστρέφεται
εις f(x) 12 ,
ημεία της f
C
y x
ξίσωση
ημx 2  κα
1
f (x 1) x
 
ση f : R R
0 , για κάθ
εται , να βρε
ημεία των fC
f,g : R R
ολο τιμών το
ξετε ότι f g

ότι αν μια συν
ο με την αντ
στην ευθεία y
υνάρτηση f
13

ωση
1
x f (x

ότι η γραφική
x 2
x 5


έχει άξο
x
13
: R R ,
ι   1
g f

 ,
1
και 1
f
x 2 
1
f (x) 2
 
1 με τους
αι τις
x 5
με  f R R
θε x R .
είτε την 1
f
f και 1
f
C 
είναι
R και
1 1
g f
 
νάρτηση
ίστροφή της
y x
: R R με
ότι
)
ή
ονα
3

14
http://users.s
ΓΕΝ
1.150 Γι
1.151 Δί
x, y R . Να
1.152 Έσ
2
f (x) 2f(x)
1.153 Έσ
 f x 0 έχε
Α) Ν
Β) Ν
1.154 Γι
Δίνεται επιλ
Α) Ν
Β) Ν
1.155 H
 B 2,3 τότε
1.156 Γι
Α) Να δεί
Γ) Nα λύσ
1.157 H
τα σημεία A
Α) Ν
Β) Ν
Γ) Ν
sch.gr/mipap
ΝΙΚ
ίνεται η 1 1
2x
) e 1 
.
ει μοναδική ρ
λέον ότι ισχύ
συνάρτηση
ε: Α) Αποδε
ια την συνάρ
ίξετε ότι η f
σετε την εξίσ
συνάρτηση
 A 5,9 και B
pagr
ΚΕΣ
ηση f : R R
1 συνάρτηση
ε ότι: 1
f (xy)
τηση f : R 
Να βρείτε
ηση f : (0, )
ρίζα, τότε
ν εξίσωση f x
ηση f : R R
ύει η πρόταση
ε ότι η f είν
ν εξίσωση f 4
f : R R εί
είξτε ότι η f
ρτηση f : R 
είναι αντιστ
ωση x 4
e e

f : R R είν
 B 2,3 τότε:
εξισώσεις f
ανισώσεις αν
f : R (0, 
1 1
f (x) f 
 
R με σύνολ
την f και
) R με την
αι 1 1
  2
x f x 3 
η: « x 0 
ναι περιττή κ
2
4x 2005 
ίναι γνήσια μ
είναι γν. αύξ
R είναι γνω
ρέψιμη.
2x 1
x 5
 
ναι γνήσια μ
αι γν. αύξουσ
1 2
3 f (x 2
 
νίσωση 2
f x
ι  
ν όροι
f f f ... x

) για την ο
1
(y), x,y f
λο τιμών το

ι την αντίστρ
ν ιδιότητα: f
  2
f x 1  
ι   f x y f 
 f x 0 » .
και γνήσια αύ
 2
f 4x 2005 
μονότονη κα
ξουσα Β)
ωστό ότι f x
e
Β) Να
μονότονη, έχ
σα
2x) 9 και
  x 12f x 2 
 ... 2x 1 

οποία ισχύει ό
f(R)
 1,
και γ
ροφη της.
   x -f y =f



 f x 1 
   x f y , γι
ύξουσα
 5 2f 8x 4 
αι η fC διέρχ
Λύστεί την

 x
f x x  γ
βρείτε το f 1
χει σύνολο τι
1 2
f x ln
x
 


27 και f x 
ΣΥΝΑΡΤ
1 να βρείτε το
ότι f(x y) 
για κάθε x R
x
y



για κάθε
ια κάθε x, y 
4
χεται από τα
εξίσωση f 3
1 .
ιμών το R κ
1 2

 

ln x 4 9  
το  f 1
f(x) f(y)  γι
R ισχύει
x, y 0 Αν
R .
σημεία A 5
1 2
f (x 2x
 
R
και η fC διέρ
ια κάθε
η εξίσωση
,9 και
x) 9
ρχεται από

1.158 Έσ
στη fC τότε
1.159 Έσ
Α Τη
1.160 Α)
B) Ν
κοινά σημεί
1.161 Γι
f(ξ) 0 . Ν
Β) f( x) =
1.162 *Δ
Α. Ν
Γ. Ν
1.163 Έσ
Α) Ν
Γ) Ν
1.164 Ν
1.165 Έσ
συνάρτηση
Α) Ν
Β) N
Γ) Ν
στω η γνησίω
ε να βρείτε το
ην εξίσωση: f
) Αν f γν. α
ία των fC κα
Να αποδείξετε
1
f(x)
και f(x
Δίνεται η συν
α λυθεί η εξί
  g x f h(x
ως μονότονη
ο λ R ώστε
ηση f : R R
σα να λύσετε
 f x 223
ύξουσα στο
αι 1
f
C  .
ηση f : R R
ε ότι: Α)
f(x)
x y)
f(y)
  ,
ι f(x) 0 για
ν ανίσωση: ln
ρτηση f : 0,
α.
ι η f είναι γν
ίσωση  f x 
ν εξίσωση 3
3
τηση f : 0,
x) όπου h x
ε ότι η g είν
ε ότι τη μονο
ν εξίσωση h
δών
συνάρτηση
ε 1 1
f 2 f 

R για την οπ
ε:
R και ox R
ρτηση  f x 
f(x) 0 για
x R 
R R για τη
α κάθε x R .
n f(x) 0 .
 0,  
νησίως φθίνο
  7 5
f x f x 
3
3x 1 2x
2 3
 

 R  τέτο

1 x
x
1 x



. Τό
αι περιττή.
οτονία της h
  x 2x
e h e
f : R R . Α
 λ 1
e 1 0
 
ποία ισχύει: f
Β
R , τότε f f(x
3
4x 1
3

 αντ
ι f(x y) f(x 
α κάθε x R
Γ) f(νx
ην οποία ισχ
. Β.
 με  f 1 
ουσα. B)
  5 9
f x
1
οια ώστε
1
f
x



ότε:
 11x
h e h 
Αν τα σημεία
0 .
x
f(e x) 8f( 
Την αν
 o ox x f 
ιστρέφεται, ν
x)f(y) για κά
και
ν
) f (x) για
χύει: f(x)
2


Να δείξ
1 και η συνά
Nα λύσ
 
1
f x 0
x

 

 111x
h e στο
α  A 1,2 κα
x 1) 2008 
ίσωση  x
f e 
 o ox x
να βρείτε την
άθε x, y R κ
f(0) 1
κάθε ν Ν
x
2
3e
f (x)
, για κ
ξετε ότι η f ε
άρτηση  g x
σετε την εξίσω
για κάθε x 
 1,1
αι  B 1,3 β
x
e για κάθε
x
2 e 22
  
ν 1
f
καθώς
και υπάρχει
και x R
κάθε x R
  xf x 1  η
ωση  f x ln
0 . Θεωρούμ
15
ρίσκονται
ε x R . Αν
23 .
και τα
ξ R , ώστε
ως αύξουσα.
η οποία
 n e x 0 
με τη
5

16
http://users.s
ΟΡΙ
ΟΡΙΟ ΣΤΟ X
1.166 Ν
Α)
x
lim

Β)
x
lim

1.167 Ν
Α)
x
li

Β)
x
lim

Γ)
x
lim

1.168 Ν
Α)
x
lim

Β)
x
lim

1.169 Ν
x 1
lim

2
x 1

1.170 Ν
x 2
f(x)
 

 


1.171 Ν
Α)
x 0
6x
lim
x 
Γ)
x
lim

sch.gr/mipap
ΙΑ
X0
21
2
m
x 1 x



ν 1
1
νx (ν
m
x




2
im

3
6 x
x 2
 

3 2
0
m x x


2
9
x
m
2x x 6x


1
m

3 2 3
x 2 x
x 2 x


1
m

x 3
x
 
1 x 1
x 1
 
 
,
2 x 2
αν
4x
0 αν
 
3ημx
2ημx


2
20
x 2
m
x 4
  

pagr
ετε τα όρια
3
3
x 1


 
1)x 1
με
1
 
x 6
2

81
3 x 9

 
x 1
1


2
x 4x 3
1
 

x 1
x 1
lim
2 x
 

ετε το
x 0
lim f(x

ν x 0
ν x 0


ετε τα όρια:
Β)
2
lim





2
x 2
4 2
 

ε ν Ν*
x 1
x 1
 

x) αν
1 
 
 
1.
Α
Β)
1.
x
li

1.
Α
Γ)
1.
x
li

1.
x
li

1.
x
li

1.
x
li

1.
x
li

.172 Να υ
Α)
x 1
lim

)
x 1
lim

.173 Να υ
 
3
ημ πx
im
x 1 2  
.174 Να υ
Α)

x 1
ημ x
lim
ημ(
)
x 0
lim

.175 Να β
0
im

ημx ημ



.176 Να β
0
ημx ημ2
im


.177 Αν
x
l
1
imf(x) 5

 
.178 Αν
x
l
0
im
 2
xf(3x)-f(-x
3x  
.179 Αν
x
2
2 gf(x)
im
x

ΣΥΝΑΡΤ
υπολογίσετε
x
ημ 1
x 1


 
1 x
ημ π
1 x


 
και
x 3 2
(x 1)
 

Β

2
1 συν 1 σ
x
 
βρείτε (αν υπ
1
x



βρεθεί ο ν 
2x ... ημνx
x
 
x 1
f(x) 5
lim
f(x) 2



x 0
lim

f(x)
2
x
 ν
2
x) ημ2x
x
x 2
lim g(x) 7


2
g(x) g(x) x
x 4
 

τα όρια
1
x



1
2
 


τα όρια:
x 0
2x
lim
συνx 1


τα όρια:
Β)
x 0
ημ
lim

συνx
πάρχουν) τα
2
2x 0
1
x ημ
xlim
x x 
N αν
x
28
0 να αποδε
να βρείτε το
, να βρείτε τ
2
x x
ημx
συνx
 2
2
μ ημ x
x
όρια
είξετε ότι
ο

1.180 Ν
x 1
lim f(x)(x


1.181 Ν
 x
lim f x 0


1.182 Η
ισχύει ότι
x
l

x 3
lim f(x)

1.183 Αν
x 3
lim f(x)

1.184 Αν
  f x f 1 
1.185 Ν
αν
x 1
lim f(x)

1.186 Αν
x 1
lim

f(x) x
x-1

x 1
lim
 2
f(x)
f (x)


1.187 Aν
x R να απ
1.188 Αν
x 1
lim f(x) 2


α βρεθεί το
 x 1
g
1) lim


  

0
.
συνάρτηση
3
lim f(x) 2x


ν x 3
lim 12f(x)

ν
x 2
f(x) 4
lim
x-2

x , x R βρ
g(x) 5 
κ
ν για τη συν
x
2 , να βρε
2
1
x
και
x 1
lim

ν   2
f x 2f x
ν η f: R R
να βρεθεί τ
x 1
lim f(x)g(x)

g(x)
3
x 1


 
ε ότι αν
x
lim f

f είναι άρτι
x 5 4  . Να
2
) 4f (x) 9 
4
1 και ισχ
ρείτε το
x 1
lim

α
 x 1
lim f(x)
 κ
και
x 1
lim 2f(x)

άρτηση f : R
ίτε τα όρια
1
m
2
2
f (x) f(x)
f (x) 3

 
 2
x συν x 
x 0
lim f(x)

=1.
R είναι περιτ
το
x 0
lim[f(x-1)-

δών
 αν
 2
f x 0 , τότ
ια στο R και
α βρείτε το
9 , να βρεθεί τ
χύει
1
f(x)
και
 x 1
lim g(x)

) g(x) 4 
R R είναι
2
2x


0 για κάθε
ττή με
-f(1-x)]
τε
ι
το

,
1.
x
li

1.
Α
Β)
x
1.
f
Α
Β)
x
li

Γ)
x
li

1.
οπ
x
ότ
x
li

1.
ιδ
Α
ρί
Β)
x
li

.189 Αν
x
l
3
im f(x)

.190 Έστω
Α) Να δ
) Αν f
R να δείξ
.191 Έστω
   x y f x 
Α) Να αποδεί
) Αν ισχύει ό
  α
im f x f α


) Αν ισχύει ό
 
2
f x 2
im
x 2



.192 Έστω
R * . Αν
x
lim

τι α 1 και ν
0
f(ημx)
im
x x
l
.193 Έστω
διότητα: f(x)
Α) Αν η
ίζα το 1 να δ
) Αν
x
l
π
4
f(ημx) f
im
ημx σ


x 3
f(x) x
lim
x-3


δείξετε ότι
x
li
2 2
f (vx) ημ x
ξετε ότι 3v 
  f y , x, y
ίξετε ότι η f ε
ότι  x 0
lim f x


α για κάθε α
ότι
 
x 0
f x
lim
x

2012 και
x
lim

ότι  3
f x 2x
0
f(x)
m α R
x
 
να βρείτε τα
x 0
f(f(x))
im
x
x
f(y) f
y
 
  
 
η εξίσωση f(x
x 1
f(x)
lim 2
x 1


(συνx)
συνx
2 , να βρεθε
η f με
x 0
f(
lim
x
x 0
f(vx)
im 3v
x

x 2f(vx) ημ 
1
η f για την ο
y R .
είναι περιττή
0 , να αποδ
α R
2012 να απ
 
0
f ημ(x) η
m
x

η f : R R *
 2
x f x 3ημ
R , τότε να α
2
2x 1
f(x x
lim
x 3x

 
ηση *
f : R 



για κάθε
x) 0 έχει μο
f είναι 1 1
2 να βρείτε
17
εί το
(x)
3
x

v , v 0
μx για κάθε
οποία ισχύει
ή
δείξτε ότι
 ημ f(x)
0
για την
3
x , για κάθε
αποδείξετε
x)
2
.
R με την
x,y 0
οναδική
1
το
7
ι
ε

18
http://users.s
ΜΗ ΠΕΠΕΡ
1.194 Ν
Α)
x 4
2
lim
x 3 
Γ)
x 4
lim
x x
Ε)
2
3x 1
x
lim
x 
1.195 Ν
Α) 2x 1
lim
x 
Γ)
x 1
lim
x x
Ε)
x 1
x
lim
x
 
 
1.200 Αν
βρεθούν τα
x 1
lim f(x)

στ
1.201 Αν
βρείτε το
x
lim

1.202 Αν
βρείτε το
x
lim

1.203 Ν
3
x 1
x (λ
lim

 
sch.gr/mipap
ΡΑΣΜΕΝΟ
α βρεθούν(α
2 x
3 x 2


5 2x
2x 2 x

  
2
2
5x 4
3x 3x 1
 
 
α βρεθούν(α
x 1
2 x 1

 
Β)
2
x 5x
x x x 1

  
2
5 x 3
1 (x 1)
 

  
ν 2
f(x)
αx


 


α,β,γ R ώ
το σύνολο τω
ν
2
ημ
f(x)
x
x



 

 
0
mf(x)

για κά
ν 2
2x
f(x)
x

 

4
m f(x)

για κά
α βρείτε του
2
3
μ)x (2λ
x 3x
  
 
pagr
ΟΡΙΟ ΣΤΟ
αν υπάρχουν
Β)
x 1
lim
x
4
Δ)
x π
5
lim

Στ)
x 1
lim
(
αν υπάρχουν
)
x 0
x 1
lim
x

 


Δ)
x 0
3
lim
συ 



Ζ)
x 0
3
lim
1  
Όρια Π
2
2
βx 2
,
x 1
γx 5
,
x 1


 

ώστε να υπάρ
ων πραγματι
μ(αx)
αν
x
x x
αν
2 x


άθε α R
x 1 αν
x λ αν

 
άθε λ R
ς λ,μ R ώσ
μ 1)x 3
2
   

ΧΟ
ν)τα όρια
2
2
x 3 2
x 2x 1
 
 
2
5 x
ημx

3
3
x 1
(x 1)


ν)τα όρια
16 4
x



2
3x 2
υνx 1


2
3
2x
συν x

Παραμετρι
x 1
x 1
 
 
να
ρχει το
ικών
x 0
x 0


να
x λ
x λ


να
στε :
μ
R 
1.
x
li

1.
βρ
1.
x
li

1.
x
li

ικών Συνα
1.
1.
1.
συ
πρ
1.
A
1.
1.
x
li

.196 Α) Α
1
img(x)

.197 Αν
x
l
ρεθεί το x 1
lim

.198 Αν
x
l
2
im f(x)

.199 Αν
x
l
1
g(x) 2x
im
x x
 

αρτήσεων
.204 Βρεί
.205 Βρεί
.206 Να α
υνάρτηση f(
ραγματικό ό
.207 Nα β
A)
2
2x 2
x x
lim
x


.208 Nα β
.209 Βρεί
3
2
αx βx
im
x 2
 

ΣΥΝΑΡΤ
Αν
x 1
h(x)
lim
|x 2 
2
x 1
lim (x 4)f

 
1
f(x)
x 2
2x 3
lim
f(x)
 
x 1
limg(x) 3

 
g(x) 6 4x
x x 1
  
 
στο Χο
ίτε το λ R ώ
ίτε τα λ,μ R
αποδειχτεί ότ
2
3 2
x -λx
x)
x -3x



ριο στο 1 .
βρεθούν για
x 6
αx


` B
βρεθεί το
x
lim

ίτε τα α,β, R
6
4


|
  να βρ
f(x) 3x 2  
5
  να β
3 να βρεθεί τ
x
ώστε
x 9
x
lim
(x 
R αν
x 1
λx
lim


τι για κάθε λ
2
3x-1


δεν έχ
κάθε α R
B) 3x 1
x
lim
x
 
2
4
x α
m
(x 4)( x

 
R αν
ρεθεί το
  να
βρεθεί το
το
2 2
5λ
λ )

 

μ x 2
8
x 3 2
 

 
λ R η
ει
τα όρια:
x α
7 2

 
2)
, α R 

Όριο συν
1.210 Ν
Α) x
li

Β) x
li

Γ) x
li

1.211 Ν
Α)
x
li

Β)
x
li

Γ)
x
li

Δ)
x
lim

1.212 Ν
Α)
x
li

Β)
x
li

1.213 Ν
1.214 Ν
1.215 Ν
1.216 Γι
ισχύει
x
lim


x
ln f x
lim
lnx
ναρτησης σ
im x x


 2
im x x 3


 2
im x x

 
2
x 2
im
x x
 
 
x x 1
x 2 x
e 3
im
e 3

 


2
2
x 2x
im
x 2x
 

0
3 2log x
m
1 2log x


2 2
x 2ημ
im
x x


3
xσυνx η
im
x

α βρείτε το x
α βρείτε το t
ια την συνάρ
 

f x
l 0
x
 
x
στο απειρο
x x 
2
3 x
2
x 2 2x  
x
2


1
3
3 4
x 5
 

μx
3
2
ημx
ετε το
x
ln
lim
ln
 2
x
lim ημ x

t
ln(t t
lim
ln t

ρτηση f : 0,
0,  Να βρ
δών
ο
x
x
x
n(1 3 )
n(1 2 )


1 x 
2
t 1)
t

 R 
ρεθεί το
Π
1.
βρ
1.
α
1.
x
li

1.
0
1.
x
li

1.
x
l
1.
x
l
1.
α
f(
1.
βρ
x
l
Παραμετρικ
.217 Αν f
ρεθεί το
x
lim

.218 Αν f
,β R ώστε
x
.219 Αν f
im f(x)

για κ
.220 Αν f
φ,ω π 
. Ν
.221 Να β
2
im x 2x

  

.222 Για κ
-
lim
 
x x
x x
α 2
α -2
 

.223 Για κ
lim
 
x x
x 1
α 2
α 2


.224 Να β
β γ 0   με
2
(x) α x 1  
.225 Έστω
ρείτε τα όρια
lim f(x) ln(
 

κά όρια στ
3
(λ 1)x
f(x)


f(x)

για κάθ
2
x 2x
f(x)
x 1
 


x
lim f(x) 3β

 
2
f(x) x 2x 
κάθε λ R
2
f(x) x 4  
α βρείτε τα φ
βρεθούν οι α
3 αx β   

κάθε α 0 , ν
1
1
,
κάθε α 0 , ν
1
x
2

βρεθεί το όρι
α,β,γ R κα
2
β x 2 γ  
ω η  f x ln

 

α  x 0
lim f x

,
x
l
x) .
το απειρο
3 2
(λ μ)x μ
x 1
  

θε λ,μ R
3
-αx-β

να
11
x 3 λx  να
xημφ συνω 
φ,ω
ώστε
x
lim

α,β R ώστε:
12
να υπολογίσε
να υπολογίσε
ιο
x
lim f(x)

Α
αι
2
x 3
2 2
x κ
x
 

 
κ
 lim f x
 
19
μx 3
να
βρεθούν οι
βρεθεί το
με
3
m f(x)
2

ετε το
ετε το
Αν
0 Να
9

20
http://users.s
…
1.226 Έσ
ισχύει: 2 2
βρείτε τα
A)
x 2
f(x)-
lim
x 
Γ)
2
x 2
f (x)
lim
x 
1.227 Ν
  2 2
f x g x
x R .
1.228 Αν
τότε να απο
1.229 Aν
x R , να α
1.230 Αν
x 3
lim f(x)

1.231 Η
στο ox 2 κ
   x 2 f x 
1.232 Ν
1.233 **Έ
ισχύει 2f x
1.234 Απ
sch.gr/mipap
x f(x) x  
-4
2
B)
)-16
2
Δ)
α βρείτε τα
x
l
  x 2f x 4 
ν ισχύει ότι
οδείξετε ότι
x
l
ν   2
f x 2f x
ποδειχθεί ότ
ν x 3
lim 12f(x)

συνάρτηση
και για κάθε
2
x 7x 10  
Έστω η συνά
  ημf x x 
ότι

x
f x
lim
x
pagr
ηση f για τη
2 , για κάθε
x 2
f(x)-4
lim
x 2  
2x 2
f(x)-1 -3
lim
x 4 
 x 0
lim f x

,
x
lim

 4g x 5 x 
 o
2
x x
lim f x


 
ox x
lim f x


x
li

 2
x συν x 
τι
x 0
lim f(x)


2
) 4f (x) 9 
f έχει πραγ
ε x R ισχύε
0 .Βρείτε το
x
l
ετε το
x 0
x
lim
x
άρτηση f γι
x για κάθε
x 1
2

x
x συ
lim
x η


ν οποία
x 0 . Να
4
2
3
 0
mg x

αν
x , για κάθε
 2
g x 0  ,
 
ox
im g x 0


0 για κάθε
1
9 να βρείτε τ
ματικό όριο
ει
x 2
lim f(x)

2
2
1
x ημ
x
x x
α την οποία
x R . Nα
2
υν x
1
ημx

το
1.
ισ
g
x
li

τα
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
στ
γι
1.
x
κά
1.
.235 Δίνο
σχύουν
x 2
2
lim

(x) f(x) x 
2
x 2
im 1
h(x)

 κ
α
x 2
limg(x)

,
.236 Βρεί
.237 Να β
.238 Να β
.239 Να β
.240 Να β
.241 Να β
.242 Να β
.243 Να β
.244 Η συ
το ox 2 κα
.245 Για τ
 2
2xf x f 
άθε x R , ν
.246
ΣΥΝΑΡΤ
2g(x) 4
2
x 2



ημ(x
x 2
(x 2

 

και για κάθε
x 2
limh(x)

και
ίτε το x
lim

βρεθεί το
βρεθεί το
x
lim

βρεθεί το
x
lim

βρεθεί το
x
lim

βρεθεί το
x
lim

βρείτε το
x
lim

βρείτε το
x
lim

υνάρτηση f
αι ισχύει x 
R . Να βρεθεί
  2 2
f x ημ
να αποδείξετε
αρτήσεις f, g
2)
h(x) 2
2)

 
ε  x R 2  .
ι
x 2
lim f(x)

2
x ημx 1 
x
x ημx
lim
x ημx


2ημx συ
im
x

2 2
x 2ημx
m
x x

 
3
xσυνx η
m
x

2
x 3
m
3 ημx σ

 
4ημ
x
3 συ
m


 
2
xημx 3συ
m
x 2x

 
έχει πραγμα
   2
2 f x x 
ί το
x 2
lim f(x)

.
ση f : R R
  x 2xf x 
ε ότι: x 0
lim f x

g, h ώστε να
2 και
Να βρείτε
x
x
x
υν2x
x
3
2
μx
3
συνx
μx
υνx



υνx
2
ατικό όριο
7x 10 
ισχύει
 2
ημ x για
  x 0 f 0  .
α
α

ΣΥΝ
1.247 Ν
2
xf(x) 5x 
1.248 Αν
συνεχής, βρ
1.249 Δί
x
α
f(α)= lim

εξετάσετε ως
1.250 Αν
2
ημ x 2xf(
1.251 Γι
ότι  2
f x g
x R  . Απ
0x /2 
1.252 Μ
ιδιότητα 5
f
ότι είναι συ
1.253 **
0 και ισχύε
βρείτε το f(
1.254 Αν
συνεχής, να
ΝΕΧ
α βρεθεί ο τύ
ς f αν ισχύε
2 ημx (x  
ν
x 2
f(x)-2x
lim
x-2
ρείτε το
x 2
x
lim

2x 1 2
2x
α α
α 1



γι
ς προς τη συ
2
x) f (x) η 
ότι η f είνα
ια τις συναρτ
   2
g x 2f x
ποδείξτε ότι ο
Μια συνάρτησ
   x f x x 
νεχής στο ox
Αν η συνάρ
ει x
xf(x) e 
0)
ν  
1
f x l
x
 
x
l
ΧΕΙΑ
ύπος της συν
ει ότι
x 1)(x 2)  , 
x
1 και η f
2
xf(x)-2x 3f
x-2

άρτηση f : 0
ια κάθε α 0
νέχεια τη συ
x R ισχύει ό
2
ημ x x x 2 
αι συνεχής στ
τήσεις f,g : R
  5 4g x 
οι f, g είναι σ
ση f : R R
x x R  . Ν
o 0 .
ρτηση f είνα
1 για κάθε
ln x και η f
 

1
1x 0
f x x
lim
x f x




δών
Α
νεχούς
x R 
είναι
(2)-6x
, R  με
0, . Να
νάρτηση f .
τι
2f(x) .Να
το ox 0 .
R R ισχύει
2
συν x ,
συνεχείς στο
έχει την
ι συνεχής στο
x R , να
1
είναι

2
x
1
x

ε
ι
ο
ε
ο
1.
Α
ασ
Β)
1.
3
f
f
εί
1.
οπ
Α
Β)
Γ)
1.
Α
x
l
Β)
1.
x
x
1.
στ
x
.255 Έστω
Α) Να αποδεί
συνεχής στο
) Να εξετάσε
.256 Έστω
   3
x 3f x 
2x
(x) e 1 
ίναι συνεχής
.257 Έστω
ποία ισχύει
Α) Να α
) Απο
) Να β
.258 Δίνε
Α) Να υ
 lim f x
 
,
x
l
) Υπάρχει τ
.259 Η συ
0 1 και ισχ
, y R . Να α
.260 Έστω
το κα
, y R . Δείξτ
α R
ω  
3
1
x
2f x
x


 


ίξετε ότι αν α
ox α .
ετε τη συνέχε
ω f : R R μ
2x
e 1  , για
, x R κα
στο μηδεν
2
f(x) 2f(x)
βρείτε το όρι
εται η  f x 
 -
lim f x
 
,
x
li

ιμή του α ώ
υνάρτηση f
χύει ότι f(xy)
ω ότι η συνάρ
ι ισχύει f x
τε ότι η f είν
2 1
x ημ , αν x
x
x, αν x
α 0 τότε η
εια της f για
με
α κάθε x R
αι να εξετάσετ
ση f : R R
2
) συν x 0 
ότι f(x) 1 
f είναι συνε
ιο
x 0
1
lim xf
x
 
 

1
x
1
x
2 2
, x
2 1
α, x

 



 
τα όρια:
 
0
im f x

,
x
lim

ώστε η f να είν
είναι συνεχή
) f(x) f(y) 
τι είναι συνε
ρτηση f είνα
  x y f x  
ναι συνεχής σ
21
x α
x α

f είναι
α α 0
. Δείξτε ότι
τε αν η f
R , για την
, x R
x
εχής στο 0



x 0
0


 
0
m f x

ναι συνεχής;
ής στο
για κάθε
εχής στο R
αι συνεχής
 f y 1  ,
στο R
1

22
http://users.s
Βασικά Θ
1.261 Ν
2
x 1
εφ
x 2x



1.262 Ν
2 2
κ λ
x x 1


δύο ρίζες, τι
μάλιστα ισχ
1.263 Έσ
α,β R , β
έχει δύο του
1.264 'Ε
συνάρτηση,
ότι υπάρχει
1.265 Εσ
ώστε f(0) 
 ox 0,π ,
1.266 Η
και για κάθ
B) Υπάρχο
1.267 Δί
το είν
f(x) 20 α  
(α,β)
(α,β) 0,0
 ox 0,1
sch.gr/mipap
Θεωρήματα
φx έχει στο δ
ν μια ρίζα
2
μ
0
x - 1
  μ
ις 1 2ρ , ρ  
χύει ότι
1
1
ρ

στω η εξίσωσ
0 , α β 1 
υλάχιστον ρί
στω  f : α,β
, ώστε f(α) 
ι ox [α,β] ,
στω f :[0,π] 
f(π) . Να απ
ώστε of(x ) 
συνάρτηση
ε x R είνα
ότι: A) Η
ουν άπειροι α
ίνονται οι συ
,
ναι σημείο τη
, αποδείξτε
ν κοινό σημε
x
x e  g(x) 
0
pagr
α
ε ότι η εξίσωσ
διάστημα
1
2



με κ, λ,μ 0
1,1 για τις
2 2
2
2
μ -λ1
ρ κ
 
ση 3 2
x αx 
1 0 . Να απο
ίζες στο  1,
R , συνεχ
2
α και f(β)
ώστε of(x ) 
R συνεχή
οδείξετε ότι υ
o
π
f x
2
 
  
 
.
ι f(x) f(x 
Η f είναι πε
α R ώστε f
υναρτήσεις μ
ης ευθείας
ε ότι οι ,
είο με τετμημ
21 β (ημx  
2
fC
ση
π
,
2 2



ση
έχει ακριβώς
οποίες
β 0  , με
οδειχτεί ότι
1
χής
2
β . Δείξτε
2
ox .
υπάρχει
εχής στο R
2) 0 Να
εριοδική
(α) f(α 2) 
με τύπους
. Αν
, με
έχουν έν
μένη
συνx)
1y 20x
gC
ς
η,
ε
να
1.
εί
κα
f
1.

x
1.
f
Δε
7
1.
εξ
απ
1.
ότ
εξ
1.
1
απ
f
1.
συ
f
ώ
1.
συ
ώ
.268 Έστω
ίναι συνεχής
αι  f x 0 γ
   x f x 0 
.269 Η συ
1,2 με f 
 o 1,2  ώ
.270 Eστω
 : α,β R ,
είξτε ότι υπά
   0f x f 
.271 Αν α
ξίσωση αημx
πόλυτη τιμή
.272 Αν η
τι   f x f 2 
ξίσωση  f x 
.273 Αν η
1,2 με  f 2
  2
o o ox x x 
.274 Η συ
υνεχής και υ
γβα
f f
β γ α
   
   
   
στε  of x x
.275 'Εστ
υνάρτηση. Δ
στε  o of x x
ΣΥΝΑΡΤ
στο R και ι
για κάθε x
υνάρτηση f
  1 f 2 , δε
στε 3f( 1) 4 
ω η συνεχής σ
με   f f 
άρχει ox (α
  2f 4f   
α,β 0 , να
x β x  έχει
δεν υπερβαί
η f είναι συνε
x 0  για κ
0 έχει μία τ
6 , και ακό
ι υπάρχει, ox
2
o .
πάρχουν 0 
γ
1
α



. Να δ
2010
ox
ω
είξτε ότι υπά
(S. Banach)
  f : 0,1 0
o
η f : R R η
ισχύουν f 4
*
R . Δείξτε ότ
*
R και βρ
είξτε ότι υπάρ
o4f(2) 7f(x
συνάρτηση
  , και γ 
α,β) , ώστε

ρίζα της οπ
ίνει τον α β
εχής στο R κ
κάθε x ,δείξτ
η f είναι συν
όμη   f 1 f 2
 o 1,2 ώστ
  : 0, 0 
α β γ  ώσ
δείξετε ότι υπ
συνεχής
άρχει
)
0,1
ox 0,
η οποία
  f 4 0  
τι
ρείτε το  f 0
ής στο
ρχει
)
 α,β .
ότι η
ποίας η
β .
και ισχύει
τε ότι η
ν ρίζα στο R
νεχής στο
2 8 , να
τε
0, είναι
στε
πάρχει ox
ς
τέτοιο1

1.276 Ν
αν ισχύει
και
1.277 Αν
 ox 0,1 ώ
o 1x α x 
1.278 Ν
συναρτήσει
  2
f x 2f x
1.279 *∆
με  2
f x 9
1.280 N
την ανίσωση
1.281 Έσ
οποία ισχύε
 x 3,3  .
1.282 Βρ
Α) f
Β) f
1.283 Μ
ικανοποιεί τ
μπορούσε η
R
 f 0 l
α βρείτε τη σ
ι
ν 1 2α ,α ,...,α
ότι υπάρχει,
ώστε
o 2x α .....  
α βρεθούν όλ
ις f : R R α
x ημx 1 , 
∆ίνεται συνάρ
ότι  f x 3 γ
βρείτε το σύ
ς  f x 4 
η  f x 0
στω η συνεχή
ει ότι 2
4x 9
ον τύπο της
ων
 
2
1 x
x ,
x


  3
x x συν 
Μια συνεχής σ
τη σχέση: f
η f να είναι α
 f x
e 4x 4 
ln 2
συνάρτηση
γι
 1994α 0,1 .
ένα τουλάχι
o 1994x α  
λες οι συνεχε
αν ισχύει ότι
x R 
ρτηση f : R 
R και  f 0
ύνολο τιμών
x 2 x   κα
ής συνάρτησ
 2
9 f(x) 36
αν  f 0 2 
ολα τιμών τω
0 x 1 
νx , x 0,π
   1 f 2 f 
αντιστρέψιμ
f
 f x
4e 0


δών
, συνεχή στο
ια κάθε
Να
ιστον
997.
είς
ι
R συνεχής
3 . Να
R
της
αι να λύσετε
η f για την
για κάθε
2
ων
/2
f : R R
  3 f 4 . Θα
μη;
f
x R
ο
α
1.
υπ
η
1.
πα
g
δι
1.
συ
Έ
0
ω
1.
f
1.
f
1.
γν
x
l
απ
ώ
1.
κα
απ
1.
γι
βρ
R
.284 Αν α
πάρχει ox

 

 2
oμ x α 
.285 Να α
αραστάσεις τ
 g x συν2x
ιαστήματος



.286 Οι σ
υνεχείς και ισ
στω ακόμα ό
0,1 . Να απο
ωστε  of x 
.287 Να β
αν   f x 
.288 Έστω
 1 2 , να α
.289 Αν η
νησίως αύξου
 
0
lim f x γ


στε  of x e
.290 Η συ
αι ισχύει f f
.291 Έστω
ρείτε το  f 5
α,β,γ R , ν
π
0,
2
 

 
ώστε
 2
oημ x α
των συναρτή
τέμνονται σ
π
0,
4
 

 
.
σχύει f g g
οδειχθεί ότι υ
ox και  og x
 2
4x 5πx π 
ω συνεχής συ
υσα στο (0, +
R και
x
lim

ι υπάρχει μό
 ox 1
oe ln x

υνάρτηση f
(x) x για κ
ι υπάρχει α 
ω f : R R σ
R ισχύει ότι f
να αποδείξετε
2
oημ x α 
ότι οι γραφικ
ήσεων  f x 
σε ένα μόνο σ
 f,g : 0,1 
g f για κάθ
γνησίως φθί
υπάρχει (τε)
 ox
όσημο της συ
2
π ημx , 0 
τι  f x 2 , 
η f είναι συν
+ ) με
 m f x δ

 
όνο ένας αριθ
 1 .
κάθε x R . Ν
R ώστε f α
συνεχής με f
    f x ·f f x 
23
ε ότι

3
α
2

ές
x και
σημείο του
 0,1 είναι
θε  x 0,1 .
ίνουσα στο
 ox 0,1
υνάρτησης
x 2π
R Z και
x R  .
νεχής και
R , να
θμός οx 0
ής στο R
Να
α α
 10 9 και
1 . Να
3

24
http://users.s
1.292 Α)
Β) Δί
R , να βρείτ
1.293 Έσ
συνεχής
1.294 Έσ
Α) Απ
Β) Αν
1.295 Έσ
,    f 1 f 2 
Α)  f x 0
Β) Η συνάρ
Γ) Η f δεν
1.296 Έσ
είναι μία συ
1.297 Έσ
Α) Ν
Β) Αν
έχει μια του
β)
1.298 Έσ
x 0
f(x) 3
lim
x

Α) Ν
Β) Ν
μόνο σημείο
sch.gr/mipap
) Να αποδείξ
τε την τιμή το
στω  g x x
στω f : R R
ν η f είναι σ
στω συνεχής
   f 3 f 4 Ν
0 για κάθε x
ρτηση  g x 
είναι αντιστ
υνεχής συνάρ
στω οι συνεχ
α βρείτε το f
ν  f x 0 για
υλάχιστον ρίζ
)  g x 0 γ
στω η συνεχή
3 και 2ημ
α βρείτε το σ
ο με τετμημέν
pagr
ξετε ότι η εξί
άρτηση  f x
ου α R
2
x xημx κα
R συνάρτηση
η f είναι συ
συνεχής στο
συνάρτηση
 1,4 ,
   2
f x f 1 
τρέψιμη.
τηση g(x) 
ρτηση ορισμ
χείς συναρτήσ
 f 0
α κάθε x 0
ζα στο  0,2
ια κάθε x
ής και γνησίω
μ(x 1) (x  
σύνολο τιμών
ι η γραφική π
νη 0x (0,1)
Γεν
ίσωση ln x 2
3
2
x 2 α
x xln
  
 

αι  
3
x
f x


 


η, ώστε 2
f x
υνεχής στο 0
R και ισχύει
f στο  1,4
ε ότι:
  f 2 έχει μια
β - α
x
5
 ορι
ένη στο R , ν
σεις f,g : 0,
0,4 να δείξε
.
0,4 .
2
1)f(x) x 
ν της h(x) f
παράσταση τ
)
νικές Ασκή
 2 x 1 0  έ
 2
1 x 1 α
nα 1 α
 

3 2
x συνx
, α
g(x)
α α

 2 2
x ημ x x 
ι    f α f β 
για την οπο
α τουλάχιστο
ισμένη στο α
να δείξετε ότι
 R  με
ετε ότι: α)
α συνάρτηση
1 για κάθε x
f(x) ln x 3 
της συνάρτησ
ήσεις
έχει μοναδικ
αν x 1
αν x 1


μ
αν g(x) 0
ν g(x) 0


2
, x R  .
0 να δείξετε
οία ισχύουν:
ον ρίζα στο 
α,β . Αν ισχύ
ι υπάρχει οx
 g 0 1 κα
Η εξίσω
f : (0,1) R
x (0,1)
3
σης f
g(x) e
ΣΥΝΑΡΤ
κή ρίζα
με α R Αν
ε ότι αβ 0 .
 f x 0 για
 1,2 .
ύει
4α
f g
5
 
 

ο [α,β] ώστ
ι x f(x) g(
ωση   x 2 f
R για την οπο
(x) 3
τέμνει τ
ν η f είναι συ
το α R αν
κάθε x 1,
β
f(α)
5
 


τε οf(x ) f(g
 (x) x 3f(x
  x xf x 2 
οία ισχύουν
την ευθεία y
υνεχής στο
η f είναι
4 ,  f 1 0
όπου f
οg(x ))
x) g(x)
  2 x x 2 
y x σε ένα

1.299 A)
B) Αν
Δ .
1.300 Έσ
κάθε x R .
1.301 Η
ότι:
Α. η
Β. Aν
Γ. υπ
Δ. f
1.302 Η
ορειβάτης ξ
Την άλλη μέ
επιστρέφει σ
ίδια ώρα κα
1.303 Η
να αποδείξε
  ν
2f ξ f
1.304 Έσ
A) Αν
B) Ν
1.305 Έσ
Α) Ν
Β) Ν
) Η συνάρτη
ότι θα είναι ε
ν η συνάρτη
Να αποδείξ
συνάρτηση
f είναι 1 1
ν η f είναι γ
πάρχει ox R
 1 1
ανάβαση - ό
ξεκινάει την α
έρα ξεκινάει
στη βάση. Ν
αι τις δύο ημέ
συνάρτηση
ετε ότι υπάρ
  1 2x f x f 
ν η συνάρτη
στω συνεχής
α μελετηθεί ω
ηση f είναι σ
είτε f(α) f(β
ση f είναι σ
ηση f , συνεχ
ξετε ότι η εξίσ
f είναι συν
1
γνήσια μονό
R ώστε  of x
όπως και η κ
ανάβαση στι
ι στις 6 το πρ
Να δείξετε ότι
έρες
ρχουν 1 2ξ ,ξ 
  3 vx ... f x 
τηση f : IR 
ση f είναι σ
ε ότι 3
x f 
ως προς τη σ
δών
συνεχής και 1
β) f(γ) είτε
συνεχής και 1
χής στο R κα
σωση  f x 0
νεχής στο R ,
ότονη τότε είν
 ox
ατάβαση - στ
ις 6 το πρωί κ
ωί την κατάβ
ι υπάρχει ένα
εχής στο α,
 α,β ώστε
v
IR ώστε f
συνεχής στο σ
ρτηση f δεν
 f : 0, 
 x 0
συνέχεια η συ
1 1 σε διάσ
ε f(γ) f(β)
1 1 στo Δ ,
αι ισχύει η σχ
0 έχει τουλά
και ισχύει f
ναι γνήσια φ
την ψηλότερ
και χωρίς να
βαση, σε 6 ώ
α τουλάχιστο
,β με  f x 
 
 1
1
f x
f ξ 
  2
f x f f(x)
σημείο 0x 1
IR για την
υνάρτηση g
στημα Δ . Αν
f(α)
να αποδείξετ
χέση  3
f x 4
άχιστον μια ρ
 f f(x) x 4 
φθίνουσα
ρη κορυφή το
α σταματήσει
ώρες, ακολου
ον σημείο τη
0 ,  x α,β
  1 2f x f
v
 
 4 για κά
1 , να υπολογ
ής στο  1,2
ν οποία ισχύε
 
 f x ημ
x



 



α,β,γ Δ μ
τε ότι είναι γ
  2
4f x 6f x
ρίζα στο 0,1
 4 2f x για
ου Ολύμπου
βρίσκεται σε
θώντας την ί
ς διαδρομής
. Για κάθε x
  3x ... f
v
 
θε x IR κα
γίσετε το όριο
ει   3
f x xf
 
 
2
f x2
μ 1
x x
1
f x
x
 


με α β γ 
γνησίως μονό
 3 2
x x 2x 
1
κάθε x R .
διαρκεί 6 ώρ
σε 6 ώρες στην
ίδια διαδρομ
ς όπου βρίσκε
1 2 3x ,x ,x ,...,x
 vx
και
αι  f 2 1
ο x 1
lim f(x)


  3
x x 0  ,
1 , x 0
, x 0
, x 0



25
, να
ότονη στο
6x 1  για
Να δείξετε
ρες. Ένας
ν κορυφή.
μή,
εται την
 vx α,β

1
3 ημ
x 1
 x 0, 
5

26
http://users.s
1.306 Δί
Α) Ν
Β) Ν
Γ) Ν
1.307 Γι
1.308 Έσ
  3
f x 3f x
Α) ότ
Β) ότ
Δ) Ν
Ε)
x
lim

1.309 **
οποίου τα ά
ορισμού το
Α) Ν
Β) N
1.310 Δί
Η συνάρτησ
 
 
f f(x)
f f(x) 2


Για τη συνά
Α) f
Β) Υπ
Γ) f
Δ) υπ
Ε) οι
sch.gr/mipap
ίνεται η συνε
α βρείτε το σ
ια τη συνεχή
ε το και
x x για κά
τι η f είναι 1
τι η f είναι γ
 
0
f x 1
m
x 3

* Αν f είναι
άκρα ανήκου
 0,1 και με
ίνονται οι συ
ση f είναι συ
 
 
f f(x) 1
f f(x) 1



,
άρτηση g ισχ
 x 0 , για κ
πάρχει ω R
    1 f 2 f 3
πάρχει μια το
ι f και g δεν
f(0)
pagr
εχής συνάρτη
ε ότι η είνα
σύνολο τιμών
ι να αποδείξε
ηση f ορισμέ
άθε x R . Να
1 1 και να β
γνήσια αύξου
μια συνάρτη
υν στη γραφι
ε    f 0 f 1 
ε ότι υπάρχει
ε ότι υπάρχει
υνεχής στο R
, για κάθε x
χύει ότι  g x
κάθε x R
R ώστε  f ω
  3 f 4
ουλάχιστον ρ
ν είναι αντισ
f
ηση με
αι αντιστρέψ
ν της συνάρτ
ση
f, ισχύει ότι:
ετε ότι υπάρχ
ένη στο R με
βρείτε τον τύ
υσα.
αι συνεχής στ
ηση, τότε λέγ
ική παράστα
0 .
ι οριζόντια χ
ι οριζόντια χ
f και g για τ
R με  f x 0
R .
   2
f x f 1 
2
ρίζα της g σ
στρέψιμες.
f f x
  x
f x e

ψιμη και να ο
τησης
έχει μο
χει, ένα τουλ
ε σύνολο τιμ
ε ότι
ύπο της αντίσ
Γ) f x
το μηδέν
γοντας χορδή
αση της f . Έσ
χορδή της f
χορδή της f
τις οποίες ισχ
0 , για κάθε x
  1 f 2 , για κ
στο  1,2
 x ln x ln 
 g x 
1 0 
 3
2 x 4 
ορίσετε την
οναδική λύσ
λάχιστον
μών το R , γι
στροφής της.

 2
x
x
f x 3


ή της f εννοο
στω ότι f είν
με μήκος
1
2
.
με μήκος
1
ν
,
χύουν ότι:
x R ,  f 0 
κάθε x R .
 x 1
f
  x
f x e 
2x 8 xf( 
κ 
ΣΥΝΑΡΤ
ση μεγαλύτερ
ώστε
ια την οποία
3
για κάθε x
ούμε ένα ευθ
ναι μια συνεχ
.
, όπου ν 1
1 ,  f 2009 
Ν' αποδειχθε
1
f
x
(x) ημ x
6
 
(0,1] f
ρη του ένα
, . Ν
ισχύει ότι
x R
θύγραμμο τμ
χής συνάρτη
1,2,3...
2009 και
εί ότι :
6
x 4  
 
κ
f κ ημ
6
 
Να
.
μήμα του
ση με πεδίο
6
κ

Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a

Similar to Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a (20)

More from Christos Loizos

More from Christos Loizos (20)

Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a