1. Επαναληπτικά Θέματα ΟΕΦΕ 2011 1
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΜΑ 1
Α. Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό
διάστημα [ α , β ] . Αν
• η f συνεχής στο [α, β] και
• f (α) ≠ f (β)
τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f ( α) και f ( β ) υπάρχει ένας,
τουλάχιστον x0 ∈ ( a, β ) τέτοιος, ώστε f ( x0 ) = 0 .
ΜΟΝΑΔΕΣ 7
Β. Πότε η ευθεία x = x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής
παράστασης μιας συνάρτησης
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
Γ. Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος του Rolle.
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
Δ. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις επόμενες προτάσεις ως σωστή (Σ)
ή λανθασμένη (Λ).
z + z = 2 ⋅ Re ( z ) .
1.Για κάθε μιγαδικό αριθμό z είναι
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
lim e x = +∞
2.Είναι x →−∞ . ΜΟΝΑΔΕΣ 2
3.Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f : A → ¡ και g : B → ¡ , αν
f
ορίζεται συνάρτηση g , τότε έχει πεδίο ορισμού την τομή
AI B . ΜΟΝΑΔΕΣ 2
4. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο σημείο x0 του πεδίου
ορισμού της, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 .
ΜΟΝΑΔΕΣ 2
β β β
∫ f ( x ) ⋅ g ' ( x ) dx =  f ( x ) ⋅ g ( x )  a − ∫ f ' ( x ) ⋅ g ( x ) dx
 
5. a a , όπου
f ΄ , g΄ είναι συνεχείς στο [α,β].
ΜΟΝΑΔΕΣ 2

2. ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η συνάρτηση f : R → R με f ( x ) = 4 x + 12λ x + ( λ − 1) x , για
3 2
κάθε x ∈ R όπου λ ∈ R , η οποία παρουσιάζει στο σημείο x0 = - 1
καμπή.
α. i. Να αποδείξετε ότι λ = 1.
ΜΟΝΑΔΕΣ 5
ii. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη.
ΜΟΝΑΔΕΣ 5
ηµ f ( x )
lim
x →−3 f ( x)
β. Να βρείτε το όριο
ΜΟΝΑΔΕΣ 5
γ. i. Να βρείτε την αρχική της f της οποίας η γραφική παράσταση
διέρχεται από το σημείο (0,1).
ΜΟΝΑΔΕΣ 6
ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
από την γραφική παράσταση της f και τον άξονα x ' x .
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
ΘΕΜΑ 3
Έστω μια συνεχής συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει
f (ημx)+f (συνx)= 1, για κάθε x ∈ R .
Α. Να αποδείξετε ότι:
 2 1
f =
2  2
i.  και f(0) + f(1) = 1.
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
x0 ∈ [ 0,1] τέτοιο, ώστε: f ( x0 ) + x0 = 1 .
ii.Υπάρχει
ΜΟΝΑΔΕΣ 7
Β. Έστω επιπλέον, ότι η f είναι παραγωγίσιμη και
1
f ( x) ≥ 2x −
2 , για κάθε x ∈ R .
 2
f ' 
i.Να βρείτε την  2  και να γράψετε την εξίσωση της

3. Επαναληπτικά Θέματα ΟΕΦΕ 2011 3
2
εφαπτομένης της Cf στο σημείο της με τετμημένη 2 .
ΜΟΝΑΔΕΣ 6
f ( 1) − f ( συν x )
lim
ii. Να υπολογίσετε το όριο:
x →0 ηµ x .
ΜΟΝΑΔΕΣ 8
ΘΕΜΑ 4
Α. Να αποδείξετε ότι e − x ≥ 1, για κάθε x ∈ R .
x
Πότε ισχύει η ισότητα e − x = 1 ;
x
ΜΟΝΑΔΕΣ 3
Β. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f :[0, +∞) → [0, +∞) .Για κάθε
x ≥ 0 , θεωρούμε το μιγαδικό z, με:
z x
z=∫ e
x f ( t)
dt + ix ∫ e
1 f ( x − xt ) = ∫  f ( t ) + et  dt + f ( a ) − 1
dt 0  
0 0 και 2
όπου α>0 .
Να αποδείξετε ότι:
z
= Re ( z ) = Im ( z ) ≥ 0
α. i. 1+ i για κάθε x ≥ 0 .
ΜΟΝΑΔΕΣ 5
= f ( x ) + e x για κάθε x ≥ 0 .
f ( x)
e
ii.
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
β. Η f είναι γνησίως αύξουσα .
ΜΟΝΑΔΕΣ 5
γ. Η f έχει αντίστροφη και να βρείτε την αντίστροφή της.
ΜΟΝΑΔΕΣ 4
δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα ( 0,+∞ ) , τότε
υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ∈ ( 0,a ) τέτοιο, ώστε
a ⋅ f '( ξ ) = 1 .
ΜΟΝΑΔΕΣ 4