1. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 1
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 3 ώρες
ΘΕΜΑ 1 ο
Α.Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[α, β]. Αν
• η f είναι συνεχής στο [α, β] και
• f(α) ≠ f(β)
δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον x0 ∈ (α, β)
τέτοιος, ώστε f( x0 ) = η .
Μονάδες 9
Β.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό
σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
πρόταση.
i) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξ ∈ (α, β) ώστε f(ξ) = 0, τότε κατ’
ανάγκη f(β) > 0. Μονάδες 2
ii) Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f −1 και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείο
Α με την ευθεία y = x, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f −1 .
Μονάδες 2
 1 
iii)Αν xlim ( f(x)) = 0 και f(x) > 0 κοντά στο x0 , τότε lim 
→ x0 ÷ = +∞ Μονάδες 2
x → x0  f(x) 
lim f(x) = f(x 0 )
iv) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] όταν x → x για κάθε x0 ∈ (α, β)
0
Μονάδες 2
v) Δίνεται η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι συνεχής και 1-1 . Αν f(x)>x τότε f −1(x) < x
Μονάδες 2
vi) Αν η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R τότε η f −1
έχει πεδίο ορισμού διάστημα . Μονάδες 2
Γ. Στις παρακάτω προτάσεις δίνονται περισσότερες από μία απαντήσεις .Να επιλέξετε τη
σωστή.
i). Αν η f έχει πεδίο ορισμού το Α=[0,3] τότε η f(x-2) έχει πεδίο ορισμού το
α) Β=[2,5] β) Β=[-1,6] γ) Β=[2,3] δ)Β=[2,4] Μονάδες 2
ii). Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:R→R και (fοg)(x)=x+2 , g(x)=x-1 . Τότε η f είναι :
α) f(x)=x+2 β) f(x)=2x-3 γ) f(x)= x+3 Μονάδες 2
ΘΕΜΑ 2

2. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 2
Αν η συνάρτηση f έχει τύπο f(x) = ln(x − 3) + x − 2 τότε :
α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f . Μονάδες 5
β) Να λύσετε την εξίσωση : f(x)=x Μονάδες 4
γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f −1 .
Μονάδες 4
δ) Δίνεται η συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το (0, +∞) και σύνολο τιμών το ( 3, +∞ ) τέτοια
ώστε η fog να είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞) .
i) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞) . Μονάδες 6
g(8) − 3
>e
( )
g ex − 1 − g(8)
ii) Να λύσετε στο (0, +∞) την ανίσωση
( )
g ex −1 − 3
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ 3 .
 ημ(3αx)
 , x<0
 x

= 2
Δίνεται η συνάρτηση f(x)α  2 + , x 0= .
  3
 1 
 x .ημ 2 ÷ − β , x> 0

  x 
i) Να βρεθούν οι τιμές των α,β ∈ R ώστε η f να είναι συνεχής στο x0 = 0 . Μονάδες 6
ii) Να βρείτε το όριο : lim f(x) .
x → +∞ Μονάδες 6
g ( x)
iii) Δίνεται η συνάρτηση g : R → R , αν α=1 και lim = 1 τότε
x→0 x
g(x) + x
α) Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ R για τις οποίες ισχύει : lim = lim f(x) Μονάδες 5
−
x → 0 g(x)λx x →0
β) Αν η γραφική παράσταση της g δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον άξονα χ΄χ , να
αποδείξετε ότι η g δεν είναι συνεχής . Μονάδες 4
γ) Αν για τη συνάρτηση h:R → R γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής στο R , h(x) ≠ 0 για κάθε
g(x)
x ∈ R και h(x) > για κάθε x ≠ 0 , να βρείτε το πρόσημο της h . Μονάδες 4
x
ΘΕΜΑ 4.Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R .

3. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 3
Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :
Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο με
τετμημένη x0 ∈ (0,1). Μονάδες 4
1 2
f  ÷ + 2f  ÷
ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 2 5 Μονάδες 4
f(x0 ) =  
3
III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x ∈ [0,1] Μονάδες 5
ΙV)Δίνεται ότι όταν x ∈ [x1 , x 2 ] τότε η f έχει σύνολο τιμών το [α+2,α+4] .
Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α ∈ R ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα
1
x0 στο [x1 , x 2 ] και να βρεθεί το όριο lim+
x → x0 f(x) . Μονάδες 6
1 1
v) Δίνεται η συνάρτηση g: ( 0,1 → R με g(x)=
 − + 2 να βρείτε τα όρια
f(x) x
1 1
g ÷ g ÷
lim g(x) e x + 2 x
α) x → 0+
β) lim Μονάδες 6
x → +∞ 1
g ÷
e x +1
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

4. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 3
Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :
Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο με
τετμημένη x0 ∈ (0,1). Μονάδες 4
1 2
f  ÷ + 2f  ÷
ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 2 5 Μονάδες 4
f(x0 ) =  
3
III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x ∈ [0,1] Μονάδες 5
ΙV)Δίνεται ότι όταν x ∈ [x1 , x 2 ] τότε η f έχει σύνολο τιμών το [α+2,α+4] .
Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α ∈ R ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα
1
x0 στο [x1 , x 2 ] και να βρεθεί το όριο lim+
x → x0 f(x) . Μονάδες 6
1 1
v) Δίνεται η συνάρτηση g: ( 0,1 → R με g(x)=
 − + 2 να βρείτε τα όρια
f(x) x
1 1
g ÷ g ÷
lim g(x) e x + 2 x
α) x → 0+
β) lim Μονάδες 6
x → +∞ 1
g ÷
e x +1
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

5. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 3
Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :
Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο με
τετμημένη x0 ∈ (0,1). Μονάδες 4
1 2
f  ÷ + 2f  ÷
ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 2 5 Μονάδες 4
f(x0 ) =  
3
III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x ∈ [0,1] Μονάδες 5
ΙV)Δίνεται ότι όταν x ∈ [x1 , x 2 ] τότε η f έχει σύνολο τιμών το [α+2,α+4] .
Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α ∈ R ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα
1
x0 στο [x1 , x 2 ] και να βρεθεί το όριο lim+
x → x0 f(x) . Μονάδες 6
1 1
v) Δίνεται η συνάρτηση g: ( 0,1 → R με g(x)=
 − + 2 να βρείτε τα όρια
f(x) x
1 1
g ÷ g ÷
lim g(x) e x + 2 x
α) x → 0+
β) lim Μονάδες 6
x → +∞ 1
g ÷
e x +1
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

6. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 3
Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :
Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο με
τετμημένη x0 ∈ (0,1). Μονάδες 4
1 2
f  ÷ + 2f  ÷
ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 2 5 Μονάδες 4
f(x0 ) =  
3
III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x ∈ [0,1] Μονάδες 5
ΙV)Δίνεται ότι όταν x ∈ [x1 , x 2 ] τότε η f έχει σύνολο τιμών το [α+2,α+4] .
Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α ∈ R ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα
1
x0 στο [x1 , x 2 ] και να βρεθεί το όριο lim+
x → x0 f(x) . Μονάδες 6
1 1
v) Δίνεται η συνάρτηση g: ( 0,1 → R με g(x)=
 − + 2 να βρείτε τα όρια
f(x) x
1 1
g ÷ g ÷
lim g(x) e x + 2 x
α) x → 0+
β) lim Μονάδες 6
x → +∞ 1
g ÷
e x +1
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ