Ένα επαναληπτικό διαγώνισμα εφ' όλης της ύλης των Μαθματικών Προσανατολισμού της Γ' γενικού ενιαίου Λυκείου, χωρίς όμως ιδιαίτερη αναφορά στο ρυθμό μεταβολής. Καλή επιτυχία! :)

1. Επαναληπτικό Διαγώνισμα
25 Μαρτίου 2017
Θέμα 1
1. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του
ερμηνεία.
2. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f : [α, β] −→ R είναι παραγωγίσιμη στο
κλειστό διάστημα [α, β];
3. ΄Εστω f μία συνάρτηση και x0 ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορι-
σμού της στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη. Αν η f παρουσιάζει τοπικό
ακρότατο στο σημείο x0 τότε να δείξετε ότι:
f (x0) = 0
4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λανθασμέ-
νες:
(αʹ) Αν f : [−1, 1] −→ R είναι μία άρτια συνάρτηση τότε
α
−α
f(t)dt = 0
για κάθε α ∈ [0, 1].
(βʹ) Για κάθε αντιστρέψιμη συνάρτηση f ισχύει ότι τα σημειά τομής της
γραφικής παράστασης της f με αυτή της f−1 βρίσκονται επί του άξο-
να συμμετρίας των δύο γραφικών παραστάσεων, δηλαδή της ευθείας
y = x.
(γʹ) Αν f : R −→ R είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση τότε η f είναι
συνεχής συνάρτηση.
(δʹ) Ισχύει ότι lim
x→0
|f(x)| = 0 ⇔ lim
x→0
f(x) = 0.
(εʹ) Αν για μία συνάρτηση f : [α, β] −→ R ισχύει ότι για κάθε η μεταξύ
των f(α) και f(β) υπάρχει ένα x0 ∈ [α, β] τέτοιο ώστε f(x0) =
η, με άλλα λόγια η f παίρνει κάθε ενδιάμεση τιμή, ανάμεσα στα
f(α), f(β), τότε η f είναι συνεχής.
1

2. Θέμα 2
Δίνεται μία συνάρτηση f : R −→ R η οποία ικανοποιεί τη σχέση:
12f(x) − |x| = 12x3
+ 12
1
0
f(t)dt |x|, για κάθε x ∈ R
1. Να δείξετε ότι f(x) = x3 + |x|.
2. Να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια και την παραγωγισιμότητα σε
όλο το πεδίο ορισμού της.
3. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα σε όλο το
πεδίο ορισμού της.
4. Να βρείτε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων
f και g(x) = (|x|).
5. Να υπολογίσετε το όριο lim
t→0+
t
−t
|f(x) − |x||dx.
Θέμα 3
Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
x2 + 2x
x − 1
.
1. Να τη μελετήσετε ως προς την μονοτονία και θα ακρότατα.
2. Να τη μελετήσετε ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.
3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες (αν υπάρχουν) της γραφικής παράστασης της
f.
4. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f.
5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν E(t) του χωρίου που περικλείεται από γραφι-
κή παράσταση της συνάρτησης f, τις δύο ασύμπτωτές της και τις ευθείες
x = 2 και x = t, t > 2.
6. Να υπολογίσετε το lim
tø+∞
E(t).
Θέμα 4
Δίνεται μία συνάρτηση f : [0, +∞) −→ R με f(0) = 0, f (1) = 1 και για την
οποία ισχύει η σχέση:
xf (x) − f(x) = x, για κάθε x > 0
1. Να δείξετε ότι f(x) =
x ln x , αν x > 0
0 , αν x = 0
.
2. Να εξετάσετε την f ως προς τη συνέχεια και την παραγωγισιμότητα.
2

3. 3. Να την μελετήσετε ως προς τα κοίλα.
4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο A(1, f(1)) και
να δείξετε ότι αυτή εφάπτεται και της συνάρτησης g(x) = ηµ(x − 1) στο
ίδιο σημείο.
5. Να δείξετε ότι ln x ≥
ηµ(x − 1)
x
για κάθε x > 1.
3