4 Βασικές κατηγορίες ασκήσεων μαθηματικών προσανατολισμού - 1η έκδοσηGeorge Apostolou
Οι βασικές κατηγορίες ασκήσεων στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ Λυκείου. Ασκήσεις με τον όρο "να δειχθεί ότι υπάρχει...". Ασκήσεις εύρεσης συνάρτησης. Ανισότητες. Αντίστροφη συνάρτηση.
4 Βασικές κατηγορίες ασκήσεων μαθηματικών προσανατολισμού - 1η έκδοσηGeorge Apostolou
Οι βασικές κατηγορίες ασκήσεων στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ Λυκείου. Ασκήσεις με τον όρο "να δειχθεί ότι υπάρχει...". Ασκήσεις εύρεσης συνάρτησης. Ανισότητες. Αντίστροφη συνάρτηση.
Επώνυμες Ασκήσεις σε μια διδακτική Ώρα για την καλύτερη προετοιμασία των μαθητών & μαθητριών της Γ΄. Περιέχει Υποδείξεις των ασκήσεων και μικρό Συνταγολόγιο ! Για ενδοσχολική χρήση (ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΠΕΛΛΑΣ)
Μαθηματικά Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι και κυρτότητα και σημεία καμπήςBillonious
Ένα διαγώνισμα που καλύπτει ύλη από τα κεφάλαι των συναρτήσεων (ολόκληρο) και του διαφορικού λογισμού (όλο εκτός από τον ρυθμό μεταβολή και τη χάραξη γραφικής παράστασης συνάρτησης).
Καλή επιτυχία! :)
Ένα αρχείο με όλες τις αποδείξεις εντός της εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ' Γενικού Ενιαίου Λυκείου σύμφωνα με την ύλη του σχολικού έτους 2016-2017.
Καλή επιτυχία!
Σε αυτές τις διαφάνειες ολοκληρώνονται τα μαθήματα σχετικά με το εισαγωγικό κεφάλαιο των συναρτήσεων με την έννοια της αντίστροφης μίας «1-1» συνάρτησης.
Similar to 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41 (20)
This document provides information about triangles in geometry, including:
- The basic elements of a triangle are its three vertices, three sides, and three interior angles.
- Triangles can be classified based on their sides as scalene (all sides unequal), isosceles (two sides equal), or equilateral (all sides equal). They can also be classified based on their angles as acute, obtuse, or right.
- The median, altitude, and angle bisector are described as secondary elements of a triangle. Properties of isosceles and equilateral triangles are presented, along with two criteria for triangle congruence based on sides and angles.
This document is a textbook on functions, derivatives, and integrals for high school mathematics in Greece (ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ). It contains 1,600 exercises on these topics across 23 chapters. The chapters cover concepts like the definition of a function, composition of functions, limits, continuity, derivatives, tangent lines, maxima and minima, integrals, and more. The exercises find domains of functions, evaluate functions, solve equations involving functions, and determine function formulas based on given properties. The textbook was edited by Nikos K. Raptis and aims to help students learn
1. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Διαφορικός λογισμός
Γ΄Λυκείου
Ερωτήσεις-Απαντήσεις-Αναλυτικά λυμένα παραδείγματα
1η Ερώτηση
Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο
x0 του πεδίου ορισμού της;
Απάντηση
Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του
πεδίου ορισμού της όταν υπάρχει το όριο
limx → x
f ( x ) − f ( x0 )
x − x0
0
και είναι πραγματικός αριθμός
Το παραπάνω όριο συμβολίζεται με f΄(x0),οπότε έχω
limx → x
f ( x ) − f ( x0 )
0
x − x0
= f′ ( x0 )
2η Ερώτηση
Να δείξετε ότι
limh→ 0
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
= f′ ( x0 )
http://www.mathschool-online.gr/elearning
1
2. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Απάντηση
Θέτω στη σχέση
limx → x
f ( x ) − f ( x0 )
0
x − x0
= f′ ( x0 )
x=x0 + h (1),
παρατηρώ ότι όταν x->x0
τότε(1)->x0= x0 + h->h=0
δηλαδή h->0
επομένως
limh→ 0
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
= f′ ( x0 )
1ο Παράδειγμα
Να εξετασθεί αν η συνάρτρηση f με
x2 − 3x, x < 0
f (x) =
x − 3, x ≥ 0
είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0
Λύση
limx → 0−
f (x) − f (0)
x−0
= limx → 0−
x ( x − 3)
x2 − 3x
= limx → 0−
= −3
x
x
http://www.mathschool-online.gr/elearning
2
3. http://www.mathschool-online.gr/elearning
f (x) − f (0)
x − 3 − ( −3)
limx → 0+
= limx → 0+
=
x−0
x
x −3+3
limx → 0+
=1
x
Παρατηρώ ότι
limx → 0−
f (x) − f (0)
x−0
≠ limx → 0+
f (x) − f (0)
x−0
Αυτό σημαίνει ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο
x0=0
3η Ερώτηση
Τί εκφράζει γεωμετρικά ο πραγματικός αριθμός f΄(x0);
Απάντηση
Ο πραγματικός αριθμός f΄(x0) εκφράζει τον συντελεστή
διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης
της f στο σημείο A(x0,f(x0))
http://www.mathschool-online.gr/elearning
3
4. http://www.mathschool-online.gr/elearning
4η Ερώτηση
Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής
παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0));
Απάντηση
Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης
της f στο σημείο A(x0,f(x0)) είναι
( ) (x − x )
y − f ( x0= f′ x0
)
0
Όπου
f′ ( x 0 ) = εφω
και ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0))
με τον άξονα xx΄
5η Ερώτηση
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του
πεδίου ορισμού της τότε είναι και συνεχής στο σημείο
αυτό.
Εξετάστε αν ισχύει το αντίστροφο
Απάντηση
Το αντίστροφο δεν ισχύει
http://www.mathschool-online.gr/elearning
4
5. http://www.mathschool-online.gr/elearning
(Απόδειξη με ένα αντιπαράδειγμα)
Έστω η συνάρτηση f με f ( x ) = x
Και έστω x0=0
έχω
f(0)=0 και
=
limx= limx → 0 x 0
f x
→0 ( )
Δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0=0
Αναπτύσω το τύπο της f
x, x > 0
f ( x ) = −x, x < 0
0, x = 0
limx → 0−
f (x) − f (0)
x−0
= limx → 0−
−x − 0
= −1 (I)
x
f (x) − f (0)
x−0
limx → 0+ = limx → 0+
= 1
x−0
x
(II)
Από τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει ότι η f δεν είναι
παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0
6η Ερώτηση
Τι ονομάζουμε παράγωγο συνάρτηση της f;
http://www.mathschool-online.gr/elearning
5
6. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Aπάντηση
Έστω μια συνάρτηση f με f:A->B
Αν η f παραγωγίζεται σε κάθε σημείο x0 ∈ A
Τότε η συνάρτηση f΄ με
f′ : A → f′ (A)
Όπου σε κάθε x0 ∈ A ,
απεικονίζει τον αριθμό
f′ ( x0 ) ∈ f′ (A)
7η Ερώτηση
Πως ορίζεται η παράγωγος σύνθετης συνάρτησης;
Απάντηση
Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και η
συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο g(x0) τότε η
συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο x0
και ισχύει
(
)
(f g)′(x0 ) = f′ g ( x0 ) g′ ( x0 )
2οΠαράδειγμα
Να βρεθεί η παράγωγος της f
http://www.mathschool-online.gr/elearning
6
7. http://www.mathschool-online.gr/elearning
( )
με f x = ln(ημx)
στο πεδίο ορισμού της
Λύση
( )
Η συνάρτηση f x = ln(ημx)
είναι ορισμένη στο
Δ = {x ∈ R : ημx > 0} = (0, π)
Η f είναι σύνθεση των συναρτήσεων g με g(x)=ημx
και h με h(x)=lnx
Η h(x)=lnx είναι παραγωγίσιμη στο (0,π)
Η g(x)=ημx είναι παραγωγίσιμη στο h(0,π)
Άρα και η f= h g είναι παραγωγίσιμη στο (0,π)
Επομένως έχω
f′ ( x ) (h g)′(x) [ln(ημx)]′
=
=
=
1
συνx
(ημx)′ = σφx
=
ημx
ημx
3ο Παράδειγμα
Έστω η περιττή συνάρτηση g η οποία παραγωγίσιμη στο R
Να δειχτεί ότι
1)g(0)=0
2)Aν Α(x0,g(x0)) και Β(-x0,g(-x0))
http://www.mathschool-online.gr/elearning
7
8. http://www.mathschool-online.gr/elearning
είναι σημεία της γραφικής παράστασης της g , να δειχτεί
ότι οι εφαπτομένες της στα σημεία αυτά είναι παράλληλες
Λύση
1)Η g είναι περιττή συνάρτηση ,αυτό σημαίνει ότι
g ( −x ) =g ( x ) , για κάθε x ∈ R (I)
−
Θέτω x=0 και έχω
−g (
−g (
g ( −0 ) =0 ) ↔ g ( 0 ) =0 ) ↔
g ( 0 ) + g ( 0 ) = 2g ( 0 ) =
0↔
0↔
g (0 ) = 0
2)Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης εΑ στο
σημείο Α(x0,g(x0)) είναι g΄(x0)
Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης εΒ στο
σημείο Β(-x0,g(-x0)) είναι g΄(-x0)
Για να δείξω ότι οι εφαπτομένες της στα σημεία Α και Β
είναι παράλληλες,αρκεί να δείξω ότι έχουν τον ίδιο
συντελεστή διεύθυνσης,δηλαδή
g΄(x0)= g΄(-x0)
Παραγωγίζω τη σχέση (Ι) και έχω
g′ ( −x ) = g ( x )]′ ↔ g′ ( −x )( −x )′ =g′ ( x ) ↔
[−
−
− g′ ( −x ) =g′ ( x ) ↔ g′ ( −x ) =′ ( x )
−
g
http://www.mathschool-online.gr/elearning
8
9. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Δηλαδή
= g′ ( x ) , για κάθε x ∈ R
g′ ( −x )
Θέτω x=x0 και έχω
g′ ( −x0 ) =x0 )
g′ (
Άρα
οι εφαπτομένες της στα σημεία Α και Β είναι παράλληλες
8η Ερώτηση
Έστω δύο μεγέθη x και y τα οποία μεταβάλλονται με τη
σχέση y=f(x).Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής ;
Απάντηση
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0 τότε ο
αριθμός f΄(x0) ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y ως
προς x στο σημείο x0
4ο Παράδειγμα
Έστω s(t) το διάστημα που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t
Το s΄(t)=υ(t) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του
διαστήματος s ανά μονάδα χρόνου,δηλαδή εκφράζει τη
ταχύτητα του κινητού
Το υ΄(t) =α(t) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της
ταχύτητας ανά μονάδα χρόνου,δηλαδή εκφράζει την
επιτάχυνση του κινητού
http://www.mathschool-online.gr/elearning
9
10. http://www.mathschool-online.gr/elearning
9η Ερώτηση
Πως διατυπώνεται το Θεώρημα του Rolle;
Aπάντηση
Έστω μια συνάρτηση f:
aν η f είναι
συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]
παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β)
f(α)=f(β)
τότε
υπάρχει ένα τουλάχιστον
ξ ∈ ( α, β )
τέτοιο ώστε
f′ ( ξ ) = 0
10η Ερώτηση
Τι εκφράζει γεωμετρικά το θεώρημα του Rolle;
Aπάντηση
Το θεώρημα του Rolle εκφράζει γεωμετρικά ότι
υπάρχει ένα τουλάχιστον
ξ ∈ ( α, β )
τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στον
άξονα xx΄
http://www.mathschool-online.gr/elearning
10
11. http://www.mathschool-online.gr/elearning
5ο Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=x2-1
Na εξετάσετε εάν εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο
διάστημα [-1,1]
Απάντηση
Η f ως πολυωνυμική είναι συνεχής στο R ,επομένως και
στο κλειστό διάστημα [-1,1]
Η f είναι παραγωγίσιμη στο (-1,1)
με
f′(x) =
(x
2
)
′
− 1 = 2x
f(-1) =−1)2 − 1=1-1=0
(
f(1) (1)2 − 1=1-1=0
=
http://www.mathschool-online.gr/elearning
11
12. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Δηλαδή
f(-1) = f (1 )
(
Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ −1,1
)
τέτοιο ώστε
f′ ( ξ ) = 0 ↔ 2ξ = 0 ↔ ξ = 0
11η Ερώτηση
Πώς διατυπώνεται το θεώρημα Μέσης Τιμής του
διαφορικού λογισμού;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f:
aν η f είναι
συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]
παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β)
τότε
υπάρχει ένα τουλάχιστον
ξ ∈ ( α, β )
τέτοιο ώστε
f′ ( ξ ) =
f (β ) − f ( α )
β−α
http://www.mathschool-online.gr/elearning
12
13. http://www.mathschool-online.gr/elearning
12η Ερώτηση
Τι εκφράζει γεωμετρικά το θεώρημα Μέσης Τιμής του
διαφορικού λογισμού;
Απάντηση
Το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού
εκφράζει γεωμετρικά ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
ξ ∈ ( α, β )
τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ
όπου
Α(α,f(a)) και Β(β,f(β))
http://www.mathschool-online.gr/elearning
13
14. http://www.mathschool-online.gr/elearning
6ο Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f με
= ln x, x > 0
f (x)
Να εξετάσετε αν ικανοποιεί τις προυποθέσεις του
θεωρήματος «Μέσης Τιμής» στο διάστημα [α,β] όπου
1<α<β
Λύση
Η f είναι συνεχής στο R* ,επομένως είναι συνεχής
και στο διάστημα [α,β] όπου 1<α<β
Η f είναι παραγωγίσιμη στο R* ,επομένως είναι
παραγωγίσιμη και στο διάστημα [α,β] με 1<α<β
όπου
1
x
Αυτό σημαίνει ότι ικανοποιούνται οι προυποθέσεις
f′ ( x ) (ln x)′
= =
του θεωρήματος «Μέσης Τιμής» στο διάστημα [α,β]
http://www.mathschool-online.gr/elearning
14
15. http://www.mathschool-online.gr/elearning
( )
Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ α, β
τέτοιο ώστε
f′ ( ξ ) =
f (β ) − f ( α )
β−α
13η Ερώτηση
Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Δ είναι
σταθερή;
Aπάντηση
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ
Και
f΄(x)=0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε
η f είναι σταθερή σε όλο το Δ
14η Ερώτηση
Έστω δύο συναρτήσεις f και g με πεδίου ορισμού το Δ
που είναι συνεχείς στο Δ
Αν f΄(x)=g΄(x) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ
Ποιά σχέση συνδέει τις δυο συναρτήσεων;
Απάντηση
Η σχέση που συνδέει τις δυο συναρτήσεις είναι
f (x)=g (x)+c , για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ
http://www.mathschool-online.gr/elearning
15
16. http://www.mathschool-online.gr/elearning
15η Ερώτηση
Τί ισχύει για μια συνάρτηση f με f΄(x)=λf(x) ,για κάθε
x ∈R
όπου λ ∈ R ;
Απάντηση
Ισχύει f(x)=ceλx
16η Ερώτηση
Ποια σχέση συνδέει τη μονοτονία μιας συνάρτησης f με
την παράγωγό της;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα
Δ
Αν f΄(x)>0 για κάθε x ∈ R
τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ
Αν f΄(x)<0 για κάθε x ∈ R
τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ
7ο Παράδειγμα
Να εξετασθεί η συνάρτηση f με
f(x)= 1 − ln x
ως προς τη μονοτονία
http://www.mathschool-online.gr/elearning
16
17. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Λύση
Εύρεση πεδίου ορισμού της f(x)= 1 − ln x
Για να ορίζεται η lnx ,πρέπει x>0
Επομένως
Df
=
{x ∈ R : x > 0= ( 0, +∞ )
}
Η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της
Η παράγωγος της f είναι
1
f′(x) = x)′ =
(1 − ln
−
x
Παρατηρώ ότι f′(x) < 0, για κάθε x ∈ ( 0, +∞ )
Αυτό σημαίνει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα
για κάθε x ∈ ( 0, +∞ )
http://www.mathschool-online.gr/elearning
17
18. http://www.mathschool-online.gr/elearning
17η Ερώτηση
Πώς προσδιορίζονται τα τοπικά ακρότατα μιας
συνάρτησης;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα [α,β]
η οποία είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] με εξαίρεση ίσως
ένα σημείο x0 , στο οποίο όμως είναι συνεχής
τότε
Aν f΄(x)>0 στο διάστημα (α,x0) και f΄(x)<0 στο
διάστημα (x0,β) τότε το f(x0) είναι τοπικό μέγιστο
της f
Aν f΄(x)<0 στο διάστημα (α,x0) και f΄(x)>0 στο
διάστημα (x0,β) τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο
της f
18η Ερώτηση
Τί συμβαίνει αν η f΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο
(
) (
στο a, x0 ∪ x0 , β
)
Απάντηση
Αν η f΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο
( a, x ) ∪ ( x , β )
0
0
τότε το f(x0) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι
γνησίως μονότονη στο διάστημα (α,β)
http://www.mathschool-online.gr/elearning
18
19. http://www.mathschool-online.gr/elearning
19η Ερώτηση
Τι αναφέρει το θεώρημα του Fermat;
Απάντηση
1)Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ
και έστω x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ
Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 και παρουσιάζει τοπικό
ακρότατο στο σημείο (x0, f(x0))
τότε
f΄(x0)=0
20η Ερώτηση
Ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat;
Απάντηση
το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat δεν ισχύει.
Δηλαδή εάν f΄(x0)=0 στο χ0 ∈ Δ
Τότε δεν σημαίνει ότι το (x0, f(x0))
είναι σημείο τοπικού ακρότατου απαραίτητα.
Σύμφωνα με όσα αναφέραμε παραπάνω
(15η ερώτηση-απάντηση)
για να είναι το (x0, f(x0))
http://www.mathschool-online.gr/elearning
19
20. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Σημείο τοπικού ακροτάτου πρέπει η f΄ να αλλάζει
πρόσημο γύρω από το x0
8ο Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f με
f (= ax2 − x 4
x)
Να προσδιορισθεί το
a ∈R
ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει στο x0= 1 τοπικό
ακρότατο
Λύση
Η συνάρτηση f είναι συνεχής (ως πολυωνυμική)στο R και
παραγωγίσιμη με
f′ ( x ) = (ax2 − x 4 )′ = 2ax − 4x3
Επειδή παρουσιάζει στο x0=1 τοπικό ακρότατο
σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat
f΄(x0)=0-> f΄(1)=0
2a.1 − 4.13 = 0 ↔ 2a − 4 = 0 ↔
2 ( a − 2) = 0 ↔ a = 2
Όμως η συνθήκη f΄(x0)=0 είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή
ώστε να εμφανίζει η f τοπικό ακρότατο στο x0 ,επομένως
πρέπει να εξετάσω
http://www.mathschool-online.gr/elearning
20
21. http://www.mathschool-online.gr/elearning
αν η f΄ να αλλάζει πρόσημο γύρω από το x0=1
Για α=2 η f γίνεται
f ( x ) 2x2 − x 4
=
Επομένως
(
)
f′ ( x ) = (2x2 − x 4 )′ = 4x − 4x3 = 4x 1 − x2 = 4x (1 − x )(1 + x )
Σηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄
http://www.mathschool-online.gr/elearning
21
22. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Απο το παραπάvω πίνακα παρατηρώ ότι πράγματι η f
παρουσιάζει στο σημείο (1,f(1))=(1,1) τοπικό μέγιστο
9ο Παράδειγμα
x
Να δειχτεί ότι e ≥ x + 1, για κάθε x ∈ R
Απόδειξη
Τρόπος δράσης
Θεωρώ τη συνάρτηση f με f(x)=ex-(x+1)= ex-x-1
και στη συνέχεια με τη βοήθεια της μονοτονίας ή των
ακροτάτων θα αποδείξω τη σχέση
e x ≥ x + 1, για κάθε x ∈ R
Eπομένως
H f με f(x)=ex-(x+1)= ex-x-1
είναι συνεχής για κάθε x ∈ R
Παραγωγίζω την f και έχω
f′ ( x ) =
(e
x
)
′
− x − 1 = e x . ( x )′ − 1 + 0 = e x − 1
Βρίσω το σημείο που μηδενίζεται η f΄
f′ ( x ) =0 ↔ e x − 1 =0 ↔ e x =1 ↔ e x =e 0 ↔ x =0
Βρίσκω το πρόσημο της f΄ «γύρω» από το μηδέν
http://www.mathschool-online.gr/elearning
22
23. http://www.mathschool-online.gr/elearning
f′ ( x ) > 0 ↔ e x − 1 > 0 ↔ e x > 1 ↔ e x > e 0 ↔ x > 0
f′ ( x ) < 0 ↔ e x − 1 < 0 ↔ e x < 1 ↔ e x < e 0 ↔ x < 0
Σηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄
Παρατηρώ ότι για χ=0 η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο
( )
( )
Αυτό σημαίνει ότι για κάθε x ∈ R , f x ≥ f 0
http://www.mathschool-online.gr/elearning
23
24. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Δηλαδή για κάθε
x ∈R
ex − x − 1 ≥ e0 − 0 − 1 ↔ ex − x − 1 ≥ 0 ↔ ex ≥ x + 1
Τα παραπάνω φαίνονται και στη γραφική παράσταση της
f(x)= ex-x-1
21η Ερώτηση
Πώς γίνεται η μελέτη ως προς τα κοίλα και τα κυρτά μιας
συνάρτησης f;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτση f η οποία είναι συνεχής σε ένα
διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο Δ
http://www.mathschool-online.gr/elearning
24
25. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Αν f΄΄(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο τουΔ ,τότε η f
είναι κυρτή στο Δ
Αν f΄΄(x)<0 για κάθε εσωτερικό σημείο τουΔ ,τότε η f
είναι κοίλη στο Δ
22η Ερώτηση
Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f
παρουσιάζει σημείο καμπής;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό
διάστημα (α,β)
με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 στο οποίο όμως η f
είναι συνεχής
Αν η f είναι κυρτή στο (α,x0) και κοίλη στο (x0,β)
ή αντίστροφα
και
η γραφική παράσταση της f έχει εφαπτομένη στο σημείο
Α(x0,f(x0))
τότε
το σημείο Α(x0,f(x0)) λέγεται
σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και
το x0 λέγεται θέση του σημείου καμπής
http://www.mathschool-online.gr/elearning
25
26. http://www.mathschool-online.gr/elearning
23η Ερώτηση
Ποιές είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας
συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ;
Απάντηση
οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f με
πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ είναι
τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία μηδενίζεται η f΄΄
10ο Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f με
f ( x ) ax 4 − x3
=
Αν το σημείο Α(1,f(1)) είναι σημείο καμπής της γραφικής
παράστασης της f να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α
Απάντηση
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R
Υπολογίζω τη πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της f
f′ ( x ) =
( ax
4
− x3
)′ =
4ax3 − 3x2
f′′ ( x ) = (4ax3 − 3x2 )′ = 12ax2 − 6x
Tο σημείο Α(1,f(1)) είναι σημείο καμπής της γραφικής
παράστασης της f
http://www.mathschool-online.gr/elearning
26
27. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Υπολογίζω την f΄΄(1)
f′′ (1 ) = 12a.12 − 6.1 = 12a − 6
Λύνω την εξίσωση
f′′ (1 ) = 0
12a − 6 = 0 ↔ 12a = 6 ↔ a =
6
1
↔a=
12
2
Επειδή η συνθήκη
f′′ (1 ) = 0
είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή , θα δείξουμε ότι για α=1/2
η f παρουσιάζει σημείο καμπής στο σημείο Α(1,f(1))
Για α=1/2 η f γίνεται
f=
(x)
1 4
x − x3
2
Για x=1
f (1 ) =
1 4 3 1
1 2
1
.1 − 1 =
−1 =
− = −
2
2
2 2
2
1
1
f′ ( x ) = ( x 4 − x3 )′ = 4 x3 − 3x2 = 2x3 − 3x2
2
2
f′′ ( x ) = 3 − 3x2 )′ = 2 − 6x
(2x
6x
http://www.mathschool-online.gr/elearning
27
28. http://www.mathschool-online.gr/elearning
x = 0
f′′ ( x ) = 0 ↔ 6x2 − 6x = 0 ↔ 6x ( x − 1 ) = 0 ↔
x = 1
Aπό το πίνακα επιβεβαιώνεται ότι το σημείο
Α(1,f(1))=Α(1,-1/2)
είναι σημείο καμπής της Cf
http://www.mathschool-online.gr/elearning
28
29. http://www.mathschool-online.gr/elearning
24η Ερώτηση
Ποια ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf;
Απάντηση
Αν
limx → x − f ( x ) = ±∞ ή limx → x + f ( x ) = ±∞
0
0
Τότε η ευθεία x=x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της
Cf
25η Ερώτηση
Που αναζητούμε κατακόρυφες ασύμπτωτες ;
Απάντηση
Κατακόρυφες ασύμπτωτες αναζητούμε στα σημεία που η f
δεν ορίζεται ή στα σημεία που η f δεν είναι συνεχής
110 Παράδειγμα
Έστω η συνάρτηση f με f ( x ) =
1
x −2
Να εξετασθεί αν έχει ασύμπτωτες
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι το R-{2}
Εξετάζω το όριο της f στο x=2
http://www.mathschool-online.gr/elearning
29
30. http://www.mathschool-online.gr/elearning
limx →2− f ( x ) = limx →2−
1
= −∞
x −2
limx →2+ f ( x ) = limx →2+
1
= +∞
x −2
Aυτό σημαίνει ότι η ευθεία x=2 είναι κατακόρυφη
ασύμπτωτη της f
26η Ερώτηση
Πότε η ευθεία της μορφής y=λx+β ονομάζεται
ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ ή
−∞
Απάντηση
Η ευθεία της μορφής y=λx+β ονομάζεται ασύμπτωτη της
γραφικής παράστασης της f στο +∞ ή −∞
http://www.mathschool-online.gr/elearning
30
31. http://www.mathschool-online.gr/elearning
αν
limx →+∞ [f(x) − (λx + β)] =
0
ή αντίστοιχα
limx →−∞ [f(x) − (λx + β)] =
0
27η Ερώτηση
Με ποιό τρόπο μπορούμε να εξετάσουμε αν μια ευθεία
y=λx+β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ ή −∞
Απάντηση
Μια ευθεία y=λx+β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ ή
−∞
Αν
limx →+∞
f (x)
x
λ
=∈ R και limx →+∞ f(x) − λx =∈ R
β
Ή αντίστοιχα
limx →−∞
f (x)
x
λ
=∈ R και limx →−∞ f(x) − λx =∈ R
β
28η Ερώτηση
Που αναζητούνται ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης
της f;
Aπάντηση
Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f
http://www.mathschool-online.gr/elearning
31
32. http://www.mathschool-online.gr/elearning
αναζητούνται :
Στα σημεία στα οποία η f δεν ορίζεται
Στα σημεία στα οποία η f ορίζεται αλλά δεν είναι
συνεχής
Στο +∞ και στο −∞ εφόσον η f είναι ορισμένη σε
(
)
(
διαστήματα της μορφής a, +∞ και −∞, β
)
αντίστοιχα
120 Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=1/x
Nα βρεθούν οι ασύμπτωτές της
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι το
( −∞, 0 ) ∪ ( 0, +∞ )
Εξετάζω το όριο της f στο x=0
limx → 0− f ( x ) = limx → 0−
1
= −∞
x
limx → 0+ f ( x ) = limx → 0+
1
= +∞
x
Aυτό σημαίνει ότι η ευθεία x=0 είναι κατακόρυφη
ασύμπτωτη της Cf
http://www.mathschool-online.gr/elearning
32
33. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Στη συνέχεια εξετάζω αν η C f έχει ασύμπτωτη την
ευθεία y=λx+β στο +∞ και στο −∞
limx →+∞
f (x)
x
λ
=∈ R και limx →+∞ f(x) − λx =∈ R
β
1
1
1
1
x
limx →+∞= limx →+∞ 2 =0 και limx →+∞ − 0.x limx →+∞
=
= 0
x
x
x
x
Ομοίως
1
1
1
1
x
limx →−∞= limx →−∞ 2 =0 και limx →−∞ − 0.x limx →−∞
=
= 0
x
x
x
x
Eπομένως
Η ευθεία y=0 είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο
+∞ και στο −∞
http://www.mathschool-online.gr/elearning
33
34. http://www.mathschool-online.gr/elearning
και η ευθεία x=0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf
29η Ερώτηση
Να διατυπωθεί ο κανόνας του de l’ Hopital
Απάντηση
= =
1. Aν limx → x0 f ( x ) 0 και limx → x0 g ( x ) 0
{
}
όπου x0 ∈ R ∪ +∞, −∞
και υπάρχει το όριο
limx → x
0
f′ ( x )
g′ ( x )
είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο
τότε
limx → x
0
f (x)
g (x)
= limx → x
0
f′ ( x )
g′ ( x )
2. Aν limx → x0 f ( x ) = ±∞ και limx → x0 g ( x ) = ±∞
{
}
όπου x0 ∈ R ∪ +∞, −∞
και υπάρχει το όριο
limx → x
0
f′ ( x )
g′ ( x )
http://www.mathschool-online.gr/elearning
34
35. http://www.mathschool-online.gr/elearning
είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο,τότε
limx → x
0
f (x)
g (x)
= limx → x
0
f′ ( x )
g′ ( x )
130 Παράδειγμα
Na υπολογισθεί το limx → 0+ x ln x
2
Λύση
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με g(x)=x2lnx είναι το
( 0, +∞ )
Επίσης γνωρίζω ότι
limx → 0+ ln x = −∞
όπως φαίνεται και στη γραφική παράσταση της f(x)= lnx
http://www.mathschool-online.gr/elearning
35
36. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Eπομένως
limx → 0+ x2 ln x 0( −∞) , απροσδιόριστη μορφή
=
Άρση της απροσδιοριστίας με τη βοήθεια του
θεωρήματος του de l’hospital
ln x −∞
limx → 0+ x2 ln x limx → 0+
= =
, απρ.μορφή
1
+∞
2
x
1
Οι συναρτήσεις lnx και 2
x
είναι παραγωγίσιμες στο ( 0, +∞ )
Επομένως
(ln x )′
ln x
= = limx → 0+
=
limx → 0+ x2 ln x limx → 0+
1
1 ′
2
x2
x
1
x3
1 2
x = lim
limx → 0+
− = limx → 0+ − x= 0
x → 0+
2
2x
2
− 3
x
30η Ερώτηση
Ποια είναι τα βήματα που ακολουθούμε για να χαράξουμε
τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f;
http://www.mathschool-online.gr/elearning
36
37. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Απάντηση
1.Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f
2.Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού
της
3.Υπολογίζουμε τις f΄ και f΄΄, τις ρίζες τους, και
σχηματίζουμε τους πίνακες των προσήμων τους
4.Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄ βρίσκουμε τα
διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f
5.Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄΄ βρίσκουμε τα
διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή,κοίλη καθώς και
τα σημεία καμπής
6.Βρίσκουμε τα σημεία τομής της f με τους άξονες xx΄
και yy΄
7.Μελετάμε τη «συμπεριφορά» της f στα άκρα του
πεδίου ορισμού της (δηλ τις οριακές τιμές)
8.Βρίσκουμε τις ασύμπτωτες αν υπάρχουν
9.Τέλος σχηματίζουμε ένα πίνακα μεταβολών της f με
τις παραπάνω πληροφορίες με τη βοήθεια του οποίου
κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της f
140 Παράδειγμα
Na μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f
με
http://www.mathschool-online.gr/elearning
37
38. http://www.mathschool-online.gr/elearning
f ( x ) x3 − 12x
=
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι το R
=
Η f με f ( x ) x3 − 12x , είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού
της
Υπολογίζω την f΄
(
)
′
f′ ( x ) =x3 − 12x = 2 − 12
3x
f′ ( x ) = 0 ↔ 3x2 − 12 = 0 ↔ 3x2 = 12 ↔ x2 = 4 ↔ x = ±2
Σχηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄
με τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f
http://www.mathschool-online.gr/elearning
38
39. http://www.mathschool-online.gr/elearning
Υπολογίζω την f΄΄
f′′ ( x ) = (3x2 − 12)′ = 6x
f′′ ( x ) = 0 ↔ 6x = 0 ↔ x = 0
Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄΄ βρίσκουμε τα
διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή,κοίλη καθώς και
τα σημεία καμπής
Βρίσκουμε τα σημεία τομής της f με τους άξονες xx΄
και yy΄
= 3
Θέτω στην f ( x ) x − 12x
x=0 και έχω
f (0) = 0
Θέτω στην
f ( x ) x3 − 12x
=
http://www.mathschool-online.gr/elearning
39
40. http://www.mathschool-online.gr/elearning
y=0 και έχω
(
)
0 = 3 − 12x ↔ x x2 − 12 = ↔
x
0
x=0
x
12
= = 2 3
− 12 −2
x = = 3
Επομένως η γραφική παράσταση της f τέμνει τον xx΄ στα
(
) (
σημεία A 2 3, 0 , B −2 3, 0
)
και τον yy΄ στο σημείο Κ(0,0)
δηλαδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την
αρχή των αξόνων
= 3
Η γραφ. παράσταση της f ( x ) x − 12x
http://www.mathschool-online.gr/elearning
40