idiothtes_synarthsewn_proteinomenes_askhseis

1. Β Λυκείου
Άλγεβρα
Ιδιότητες Συναρτήσεων
Κώστας Κουτσοβασίλης

2. Άλγεβρα Β Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 1 -
Δ
Ο x2x1 x
y
f(x2)
f(x1)
  
Δ
Ο x2x1
f(x1)
f(x2)
x
y
Cf
f(x0)
f(x)
O
x
y
x0x
Cf
f(x0)
f(x)
O
x
y
x0 x
 Ορισμός 1:
Μια συνάρτηση f λέγεται : γνησίως αύξουσα σ’ ένα
διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε
Δx,x 21  με 21 xx  ισχύει: )x(f)x(f 21  (Γράφουμε f Δ)
 Ορισμός 2:
Μια συνάρτηση f λέγεται : γνησίως φθίνουσα σ’ ένα
διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε
Δx,x 21  με 21 xx  ισχύει: )x(f)x(f 21  (Γράφουμε f Δ)
 Ορισμός 3:
Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ ένα
διάστημα Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ
 Ορισμός 4:
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:
παρουσιάζει στο Ax0  (ολικό) μέγιστο, το )x(f 0 , όταν
)x(f)x(f 0 για κάθε Ax
 Ορισμός 5:
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:
παρουσιάζει στο Ax0  (ολικό) ελάχιστο, το )x(f 0 , όταν
)x(f)x(f 0 για κάθε Ax
 Ορισμός 6:
Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης , λέγονται ολικά
ακρότατα της συνάρτησης αυτής.
 Ορισμός 7:
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια όταν
για κάθε Ax ισχύει: Ax και )x(f)x(f 
 Ορισμός 8:
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή όταν
για κάθε Ax ισχύει: Ax και )x(f)x(f 
Ιδιότητες Συναρτήσεων
Ορισμοί-Χρήσιμες Προτάσεις

3. Άλγεβρα Β Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 2 -
 Σχόλιο:
◙ Η συνάρτηση f χαρακτηρίζεται ως αύξουσα στο Δ όταν για οποιαδήποτε
Δx,x 21  με 21 xx  είναι: )x(f)x(f 21 
Τότε η γραφική παράσταση ή είναι ευθεία παράλληλη στον xx ή έχει τμήματα
ευθειών παράλληλα στον xx ή περιέχει σημεία του επιπέδου με την ίδια
τεταγμένη.
Αντίστοιχα η συνάρτηση f χαρακτηρίζεται ως φθίνουσα στο Δ όταν για
οποιαδήποτε Δx,x 21  με 21 xx  είναι: )x(f)x(f 21 
◙ Η σταθερή συνάρτηση f(x)=c είναι αύξουσα και φθίνουσα συγχρόνως.
◙ Αν η συνάρτηση f δεν έχει το ίδιο είδος μονοτονίας σε υποδιαστήματα του
πεδίου ορισμού της , λέμε ότι είναι μονότονη κατά διαστήματα.
 Πρόταση 1:
Έστω ότι η συνάρτηση RA:f  είναι γνησίως αύξουσα στο Α και Ax,x 21 
Ισχύει: 2121 xx)x(f)x(f 
Απόδειξη:
i. Αν 21 xx  , τότε αφού η f είναι συνάρτηση θα είναι )x(f)x(f 21 
ii. Αν )x(f)x(f 21  τότε :
αν 21 xx  θα είναι )x(f)x(f 21  άτοπο
αν 21 xx  θα είναι )x(f)x(f 21  άτοπο. Άρα 21 xx 
√ Ανάλογα και όταν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα.
 Πρόταση 2:
Έστω ότι η συνάρτηση RA:f  είναι γνησίως αύξουσα στο Α και Ax,x 21 
Αν 2121 xxό)x(f)x(f 
Απόδειξη: (Με απαγωγή σε άτοπο)
i. Αν 21 xx  , τότε αφού η f είναι συνάρτηση θα είναι )x(f)x(f 21  άτοπο
ii. Αν 21 xx  , τότε αφού η f είναι γνησίως αύξουσα θα είναι )x(f)x(f 21  άτοπο
Άρα 21 xx 
Επομένως: RA:f  γνησίως αύξουσα τότε )x(f)x(fxx 2121  με Ax,x 21 
√ Ανάλογα και όταν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα.
 Πρόταση 3:
Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε η εξίσωση
f(x)=0 έχει μια το πολύ ρίζα
Απόδειξη:
Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ
Αν η f είχε δύο ρίζες 21 x,x με 21 xx  τότε επειδή είναι αύξουσα στο Δ

4. Άλγεβρα Β Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 3 -
Ισχύει 00)x(f)x(f 21  που είναι άτοπο
Όμοια αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.
 Πρόταση 4:
Αν η εξίσωση )x(fy  έχει περισσότερες από μια λύσεις ως προς x τότε η
συνάρτηση f δεν είναι γνησίως μονότονη
Απόδειξη:
Έστω ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες R, 21  με 21 
Αν 21  έχουμε:
♦ )(f)(f 21  αν η f είναι γνησίως αύξουσα
♦ )(f)(f 21  αν η f είναι γνησίως φθίνουσα
Αυτό είναι άτοπο γιατί )(f)(f 21  . Όμοια αν 21 
Άρα η f δεν είναι γνησίως μονότονη.
 Πρόταση 5:
Για την ύπαρξη μεγίστου πρέπει να είναι M)x(f  και όχι M)x(f 
Αντίστοιχα για την ύπαρξη ελαχίστου πρέπει να είναι )x(f και όχι )x(f
 Πρόταση 6:
◊ Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον
άξονα yy
◊ Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την
αρχή των αξόνων.
 Πρόταση 7:
Κάθε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α συμμετρικό ως προς το 0 ,
αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο σε άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής
συνάρτησης.
Απόδειξη:
Έστω )x(h)x(g)x(f  , με g(x) άρτια και h(x) περιττή συνάρτηση
Τότε: )x(h)x(g)x(f  ή
)x(h)x(g)x(f  οπότε
)x(g2)x(g)x(g)x(f)x(f  άρα
2
)x(f)x(f
)x(g

 και
2
)x(f)x(f
)x(h



5. Άλγεβρα Β Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 4 -
 Μονοτονία
1. Να μελετήσετε την μονοτονία των συναρτήσεων:
α. f(x)=-2x+3 β. g(x)= 2xx  γ. h(x)= 1x32  δ. t(x)= x32 
2. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: f(x)=(λ2
-1)x+3, R
3. Να βρεθούν οι τιμές του R ώστε η συνάρτηση f(x)=(λ2
-4)x+7 να είναι γνησίως
αύξουσα
4. Για τη συνάρτηση f ισχύει ότι: 2f5
(x)+f(x)=3x για κάθε Rx
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
β. Να λυθεί η ανίσωση f(x2
+x-1)<f(1)
5. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και ισχύει f(f(x))=x για κάθε Rx
Να αποδείξετε ότι f(x)=x , Rx
6. Η συνάρτηση RR:f  είναι γνησίως φθίνουσα με f(2)=0
α. Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης g(x)=f(5-x)
β. Να βρείτε τα πρόσημα των συναρτήσεων f και g.
7. α. Να αποδείξετε ότι κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση RA:f  έχει μια το
πολύ πραγματική ρίζα.
β. Να λύσετε την εξίσωση 45-8x-17x25
=20
8. Η συνάρτηση RR:f  είναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση
διέρχεται από τα σημεία 





 1,
2
1
A και Β(1,0)
α. Να βρεθεί το πρόσημο της f
β. Να λύσετε την εξίσωση 1
x2
2
x2x
4
f 2









γ. Να λύσετε την ανίσωση 0
|2x|
2
f 






9. Αν f(x)=x7
+x5
+x να λύσετε την ανίσωση f(2x2
-x+3)<f(3x+x2
)
Ιδιότητες Συναρτήσεων
Προτεινόμενες Ασκήσεις

6. Άλγεβρα Β Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 5 -
10. Η συνάρτηση RR:f  είναι γνησίως αύξουσα και η γραφική της παράσταση
τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Α(-2,0).
α. Να βρείτε το πρόσημο της f
β. Να λύσετε την εξίσωση f(x2
-3x-2)=0
γ. Να λύσετε την ανίσωση 0
2x
4
f 






δ. Να λύσετε την εξίσωση 












x
6
x6f10
x
1
xf 2
2
ε. Να λύσετε την ανίσωση )20x8(f)x(f 2

11. Να αποδείξετε ότι
α. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ , τότε η
συνάρτηση g(x)=-f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο Δ
β. Αν δυο συναρτήσεις f ,g είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ τότε η
συνάρτηση h(x)=f(x)+g(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ
12. Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ ,
η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ και ισχύουν )x(f 0 και g(x)>0 για
κάθε x τότε η συνάρτηση
)x(g
)x(f
)x(h  είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
13. Η συνάρτηση RR:f  είναι γνησίως αύξουσα με f(1)=0
α. Να βρείτε το πρόσημο της f
β. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης
x1
)x(f
)x(g


γ. Να λύσετε τις ανισώσεις: f(5-λ2
)>0 και f(μ2
+5)f(7μ-5)
14. Αν η συνάρτηση RR:f  έχει την ιδιότητα f(x+y)>f(x) για κάθε x R και
για κάθε y>0 να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
15. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R και η συνάρτηση g είναι γνησίως
φθίνουσα στο R.
α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = 125f 3
(x) -64g3
(x) είναι γνησίως αύξουσα.
β. Αν ισχύει:
5
4
)1(g
)1(f
 να λύσετε την ανίσωση )x(g64)x(f125 33


7. Άλγεβρα Β Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 6 -
 Ακρότατα
16. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης 10x32)x(f 
17. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης 43x2)x(f 
18. Να μελετηθούν ως προς τα ακρότατα οι συναρτήσεις
α. f(x)=-2(x+1)2
+3 β. 3x21)x(f 
γ. f(x)=x4
+x2
-1 δ. f(x)=-|x-5|+3
19. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=-(x-1)2
+2 και g(x)=(x-2)2014
+1
Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο και η g ελάχιστο , τα οποία και να
βρεθούν.
20. Δίνεται η συνάρτηση RA:f  και Ax0  . Να αποδείξετε ότι:
α. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 , τότε η –f παρουσιάζει
μέγιστο στο x0
β. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο x0 και 0)x(f  για κάθε Ax
τότε η |f| παρουσιάζει ελάχιστο στο x0
21. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
1xx
1xx
)x(f 2
2


 έχει μέγιστο το 3 και ελάχιστο
το
3
1
22. Έστω RR:f  μια συνάρτηση η οποία έχει μέγιστο το 5. Να βρείτε το
ελάχιστο της συνάρτησης g(x)=2-3f(x)
23. Δίνεται συνάρτηση RA:f  με f(x)>0 για κάθε Ax . Αν RA:g  με
  
 2
)x(f)x(g Ax , *
 να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει στο Ax0 
μέγιστο αν και μόνο αν η g παρουσιάζει στο x0 μέγιστο.
24. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x2
-αx+2
α. Να βρείτε το R ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το
σημείο Κ(1,5)
β. Για την τιμή του α που βρήκατε να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς τα
ακρότατα.

8. Άλγεβρα Β Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 7 -
 Άρτιες ή Περιττές
25. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις
α.
|x|
x
)x(f  β. |x|x)x(f 2
 γ. 7
x15x
3
1
)x(f 
δ. 1xx5)x(f 36
 ε.
1x
1x
1x
1x
)x(f





 στ. R)4,3(:f  με f(x)=x2
26. Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές;
27. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω γραμμές ώστε να παριστάνουν γραφικές
παραστάσεις άρτιας ή περιττής συνάρτησης
28. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f(2)=4 . Να βρεθεί το f(-2) αν
γνωρίζετε ότι α. η f είναι άρτια β. η f είναι περιττή
29. Δίνεται η συνάρτηση RR:f  με την ιδιότητα για κάθε Ry,x  ισχύει:
f(x+y)=f(x)+f(y). Να δείξετε ότι:
α. f(0)=0 β. η f είναι περιττή
30. Δίνεται η συνάρτηση
x
3x1
)x(f
2


α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β. Να δείξετε ότι η Cf έχει κέντρο συμμετρίας το Ο(0,0)

9. Άλγεβρα Β Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 8 -
31. Έστω RR:f  μια συνάρτηση η οποία είναι περιττή και η Cf διέρχεται από το
σημείο Α(-2,3). Να αποδείξετε ότι f(0)-f(2)=3
32. Αν μια συνάρτηση f είναι περιττή και τα σημεία Α(2013,-2014) ,Β(-2013,λ)
ανήκουν στη γραφική παράσταση της f , να βρείτε το λ.
33. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή και έχει ρίζα τον
αριθμό ρ , τότε θα έχει ρίζα και τον αριθμό –ρ
34. Δίνονται οι συναρτήσεις RR:g,f  . Να αποδείξετε ότι
α. Αν οι συναρτήσεις f ,g είναι άρτιες τότε και η συνάρτηση h(x)=f(x)+g(x) είναι
άρτια
β. Αν η συνάρτηση f είναι άρτια και η συνάρτηση g περιττή , τότε η συνάρτηση
φ(x)= )x(g)x(f  είναι περιττή.
35. Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α=R είναι περιττή να αποδείξετε ότι η
συνάρτηση g(x)=|f(x)| είναι άρτια.
36. Αν μια συνάρτηση RR:f  είναι περιττή και η γραφική της παράσταση τέμνει
τον άξονα xx στο σημείο -2 , να αποδείξετε ότι
2012f(2)+2013f(-2)-2014f(0)=0
 Συνδυαστικές
37. Έστω RR:f  μια συνάρτηση η οποία είναι η οποία είναι γνησίως μονότονη
και περιττή. Αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(1,-3) να
λύσετε την ανίσωση f(2-x2
)<3
38. Δίνεται η συνάρτηση 1xx)x(f 2

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία
γ. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f
δ. Να βρείτε το f(5)
ε. Να λύσετε την ανίσωση f(x)>27
39. Έστω η συνάρτηση RR:f  με την ιδιότητα f(x+y)=f(x)+f(y) για κάθε x,y R
Αν f(x)>0 για κάθε x>0 να αποδείξετε ότι:
α. f(0)=0
β. Η f είναι περιττή
γ. η f είναι γνησίως αύξουσα
δ. Να λύσετε την ανίσωση f(2x2
+2014)+f(x2
-2014)>f(8x+2016)+f(-8x-2013)

10. Άλγεβρα Β Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 9 -
40. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [-3,3] η οποία είναι περιττή και
γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [-3,3].
α. Αν είναι f(-2)=15 να υπολογίσετε το f(2)
β. Αν η f παρουσιάζει μέγιστο για x=-3 , το f(-3)=35 να δείξετε ότι η f
παρουσιάζει ελάχιστο για x=3 και να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της.
γ. Να λυθεί η ανίσωση f(-2x)<f(2)
δ. Αν είναι f(x)=-x3
-x+5 να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης g που προκύπτει από
μετατόπιση της Cf κατά 2 μονάδες αριστερά και 5 μονάδες κάτω.
41. Δίνεται η συνάρτηση
|x|9
xx
)x(f
3



α. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(5,60) να
υπολογίσετε την τιμή της παραμέτρου α καθώς και το πεδίο ορισμού της
β. Αν α=1 να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή
γ. Να λυθεί η ανίσωση 06x
2014
1
f
2014
1
f
x2















42. Δίνεται η συνάρτηση xx)x(f  , R, 
α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f καθώς και οι τιμές των παραμέτρων κ και λ
όταν είναι γνωστό ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία
Α(1,2) και Β(4,-5)
β. Να εξεταστεί η f ως προς τη μονοτονία
γ. Να βρεθούν τα ακρότατα της f
δ. Να λυθεί η εξίσωση f(x2
+3)=-5, Rx
ε. Να λυθεί η ανίσωση    52|1x|ff  , Rx
43. α. Έστω RR:f  μια συνάρτηση που είναι άρτια. Να αποδείξετε ότι η f δεν
είναι γνησίως μονότονη
β. Να εξετάσετε αν είναι γνησίως μονότονη η συνάρτηση f(x)=x4
-3x2
+|x|
44. Δίνεται η συνάρτηση R]2,2[:f  με
2x
x
)x(f
2
2


α. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
β. Να αποδείξετε ότι για κάθε ]2,2[x  ισχύει
3
2
)x(f 
γ. Να εξετάσετε αν η f έχει ακρότατα.

11. Άλγεβρα Β Λυκείου Ιδιότητες Συναρτήσεων
http://www.perikentro.blogspot.gr/ Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης- 10 -
45. Δίνεται η συνάρτηση 5
x
x3)x(f 

 της οποίας η γραφική παράσταση
διέρχεται από το σημείο Α(1,-6)
α. Να δείξετε ότι α=4
β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία
γ. Να δείξετε ότι ο αριθμός 4 είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0.
δ. Να λύσετε την ανίσωση 5
x
4
x3 
ε. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f(x)=0.
46. Δίνονται οι συναρτήσεις
1x
1
)x(f 2

 και 1x)x(g 4

Να δείξετε ότι:
α. Η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο 0 και η g παρουσιάζει ελάχιστο στο 0
β. Να λύσετε την εξίσωση 1x
1x
1 4
2


47. Έστω RR:f  μια συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από
το σημείο 






3
1
,2A και ισχύει 01)x(f3  για κάθε Rx
α. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης f
β. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 είναι αδύνατη
γ. Να λύσετε την εξίσωση
3
1
)2x()x(f 2

48. Δίνεται η συνάρτηση
x
2
x3)x(f 5

α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο διάστημα ),0( 
β. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή
των αξόνων
γ. Να συγκρίνετε τις τιμές f(13) και f(15)
δ. Να βρείτε την τιμή f(1)
ε. Να λύσετε την ανίσωση f(x)>1 στο διάστημα ),0( 
49. Έστω η συνάρτηση 201153
x...xxx)x(f  . Να αποδείξετε ότι:
α. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα
β. Η συνάρτηση f είναι περιττή
γ. Να λυθεί η εξίσωση f(x)=1006
50. Η συνάρτηση *
RR:f  ικανοποιεί τη σχέση )y(f)x(f3)yx(f2)yx(f 
για κάθε Ry,x  . Να βρείτε τον αριθμό f(0) και να δείξετε ότι η f είναι άρτια.