203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

http://www.mathschool-online.gr/elearning
Διαφορικός λογισμός
Γ΄Λυκείου
Ερωτήσεις-Απαντήσεις-Αναλυτικά λυμένα παραδείγματα
1η Ερώτηση
Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο
x0 του πεδίου ορισμού της;
Απάντηση
Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του
πεδίου ορισμού της όταν υπάρχει το όριο

limx → x

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

0

και είναι πραγματικός αριθμός
Το παραπάνω όριο συμβολίζεται με f΄(x0),οπότε έχω

limx → x

f ( x ) − f ( x0 )

0

x − x0

= f′ ( x0 )

2η Ερώτηση
Να δείξετε ότι

limh→ 0

f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h

= f′ ( x0 )

1

Απάντηση
Θέτω στη σχέση

limx → x

f ( x ) − f ( x0 )

0

x − x0

= f′ ( x0 )

x=x0 + h (1),
παρατηρώ ότι όταν x->x0
τότε(1)->x0= x0 + h->h=0
δηλαδή h->0
επομένως

limh→ 0

f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h

= f′ ( x0 )

1ο Παράδειγμα
Να εξετασθεί αν η συνάρτρηση f με

x2 − 3x, x < 0 


f (x) = 

 x − 3, x ≥ 0 


είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0
Λύση

limx → 0−

f (x) − f (0)
x−0

= limx → 0−

x ( x − 3)
x2 − 3x
= limx → 0−
= −3
x
x

2

f (x) − f (0)
x − 3 − ( −3)
limx → 0+
= limx → 0+
=
x−0
x
x −3+3
limx → 0+
=1
x
Παρατηρώ ότι

limx → 0−

f (x) − f (0)
x−0

≠ limx → 0+

f (x) − f (0)
x−0

Αυτό σημαίνει ότι η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο
x0=0
3η Ερώτηση
Τί εκφράζει γεωμετρικά ο πραγματικός αριθμός f΄(x0);
Απάντηση
Ο πραγματικός αριθμός f΄(x0) εκφράζει τον συντελεστή
διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης
της f στο σημείο A(x0,f(x0))

3

4η Ερώτηση
Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής
παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0));
Απάντηση
Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης
της f στο σημείο A(x0,f(x0)) είναι

( ) (x − x )

y − f ( x0= f′ x0
)

0

Όπου

f′ ( x 0 ) = εφω
και ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(x0,f(x0))
με τον άξονα xx΄
5η Ερώτηση
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του
πεδίου ορισμού της τότε είναι και συνεχής στο σημείο
αυτό.
Εξετάστε αν ισχύει το αντίστροφο
Απάντηση
Το αντίστροφο δεν ισχύει

4

(Απόδειξη με ένα αντιπαράδειγμα)
Έστω η συνάρτηση f με f ( x ) = x
Και έστω x0=0
έχω
f(0)=0 και

=
limx= limx → 0 x 0
f x
→0 ( )
Δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0=0
Αναπτύσω το τύπο της f

 x, x > 0 


f ( x ) =  −x, x < 0 
0, x = 0 


limx → 0−

f (x) − f (0)
x−0

= limx → 0−

−x − 0
= −1 (I)
x

f (x) − f (0)
x−0
limx → 0+ = limx → 0+
= 1
x−0
x

(II)

Από τις σχέσεις (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει ότι η f δεν είναι
παραγωγίσιμη στο σημείο x0=0
6η Ερώτηση
Τι ονομάζουμε παράγωγο συνάρτηση της f;

5

Aπάντηση
Έστω μια συνάρτηση f με f:A->B
Αν η f παραγωγίζεται σε κάθε σημείο x0 ∈ A
Τότε η συνάρτηση f΄ με

f′ : A → f′ (A)
Όπου σε κάθε x0 ∈ A ,
απεικονίζει τον αριθμό

f′ ( x0 ) ∈ f′ (A)
7η Ερώτηση
Πως ορίζεται η παράγωγος σύνθετης συνάρτησης;
Απάντηση
Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και η
συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο g(x0) τότε η
συνάρτηση f  g είναι παραγωγίσιμη στο x0
και ισχύει

(

)

(f  g)′(x0 ) = f′ g ( x0 ) g′ ( x0 )
2οΠαράδειγμα
Να βρεθεί η παράγωγος της f

6


( )

με f x = ln(ημx)
στο πεδίο ορισμού της
Λύση

( )

Η συνάρτηση f x = ln(ημx)
είναι ορισμένη στο

Δ = {x ∈ R : ημx > 0} = (0, π)
Η f είναι σύνθεση των συναρτήσεων g με g(x)=ημx
και h με h(x)=lnx
Η h(x)=lnx είναι παραγωγίσιμη στο (0,π)
Η g(x)=ημx είναι παραγωγίσιμη στο h(0,π)
Άρα και η f= h  g είναι παραγωγίσιμη στο (0,π)
Επομένως έχω

f′ ( x ) (h  g)′(x) [ln(ημx)]′
=
=
=

1
συνx
(ημx)′ = σφx
=
ημx
ημx

Έστω η περιττή συνάρτηση g η οποία παραγωγίσιμη στο R
Να δειχτεί ότι
1)g(0)=0
2)Aν Α(x0,g(x0)) και Β(-x0,g(-x0))

7

είναι σημεία της γραφικής παράστασης της g , να δειχτεί
ότι οι εφαπτομένες της στα σημεία αυτά είναι παράλληλες
Λύση
1)Η g είναι περιττή συνάρτηση ,αυτό σημαίνει ότι

g ( −x ) =g ( x ) , για κάθε x ∈ R (I)
−
Θέτω x=0 και έχω

−g (
−g (
g ( −0 ) =0 ) ↔ g ( 0 ) =0 ) ↔
g ( 0 ) + g ( 0 ) = 2g ( 0 ) =
0↔
0↔
g (0 ) = 0

2)Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης εΑ στο
σημείο Α(x0,g(x0)) είναι g΄(x0)
Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης εΒ στο
σημείο Β(-x0,g(-x0)) είναι g΄(-x0)
Για να δείξω ότι οι εφαπτομένες της στα σημεία Α και Β
είναι παράλληλες,αρκεί να δείξω ότι έχουν τον ίδιο
συντελεστή διεύθυνσης,δηλαδή
g΄(x0)= g΄(-x0)
Παραγωγίζω τη σχέση (Ι) και έχω

g′ ( −x ) = g ( x )]′ ↔ g′ ( −x )( −x )′ =g′ ( x ) ↔
[−
−
− g′ ( −x ) =g′ ( x ) ↔ g′ ( −x ) =′ ( x )
−
g

8

Δηλαδή

= g′ ( x ) , για κάθε x ∈ R
g′ ( −x )
Θέτω x=x0 και έχω

g′ ( −x0 ) =x0 )
g′ (
Άρα
οι εφαπτομένες της στα σημεία Α και Β είναι παράλληλες
8η Ερώτηση
Έστω δύο μεγέθη x και y τα οποία μεταβάλλονται με τη
σχέση y=f(x).Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής ;
Απάντηση
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0 τότε ο
αριθμός f΄(x0) ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y ως
προς x στο σημείο x0
Έστω s(t) το διάστημα που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t
Το s΄(t)=υ(t) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του
διαστήματος s ανά μονάδα χρόνου,δηλαδή εκφράζει τη
ταχύτητα του κινητού
Το υ΄(t) =α(t) εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της
ταχύτητας ανά μονάδα χρόνου,δηλαδή εκφράζει την
επιτάχυνση του κινητού

9

9η Ερώτηση
Πως διατυπώνεται το Θεώρημα του Rolle;
Aπάντηση
Έστω μια συνάρτηση f:
aν η f είναι
 συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]
 παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β)
 f(α)=f(β)
τότε
υπάρχει ένα τουλάχιστον

ξ ∈ ( α, β )

τέτοιο ώστε

f′ ( ξ ) = 0

10η Ερώτηση
Τι εκφράζει γεωμετρικά το θεώρημα του Rolle;
Aπάντηση
Το θεώρημα του Rolle εκφράζει γεωμετρικά ότι

ξ ∈ ( α, β )

τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στον
άξονα xx΄

10


Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=x2-1
Na εξετάσετε εάν εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο
διάστημα [-1,1]
Απάντηση
Η f ως πολυωνυμική είναι συνεχής στο R ,επομένως και
στο κλειστό διάστημα [-1,1]
Η f είναι παραγωγίσιμη στο (-1,1)
με

f′(x) =

(x

2

)

′
− 1 = 2x

f(-1) =−1)2 − 1=1-1=0
(
f(1) (1)2 − 1=1-1=0
=

11

Δηλαδή

f(-1) = f (1 )

(

Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ −1,1

)


f′ ( ξ ) = 0 ↔ 2ξ = 0 ↔ ξ = 0
11η Ερώτηση
Πώς διατυπώνεται το θεώρημα Μέσης Τιμής του
διαφορικού λογισμού;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f:
aν η f είναι
 συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]
 παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β)
τότε

ξ ∈ ( α, β )


f′ ( ξ ) =

f (β ) − f ( α )
β−α

12

12η Ερώτηση
Τι εκφράζει γεωμετρικά το θεώρημα Μέσης Τιμής του
διαφορικού λογισμού;
Απάντηση
Το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού
εκφράζει γεωμετρικά ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

ξ ∈ ( α, β )

τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ
όπου
Α(α,f(a)) και Β(β,f(β))

13

Δίνεται η συνάρτηση f με

= ln x, x > 0
f (x)

Να εξετάσετε αν ικανοποιεί τις προυποθέσεις του
θεωρήματος «Μέσης Τιμής» στο διάστημα [α,β] όπου
1<α<β
Λύση
Η f είναι συνεχής στο R* ,επομένως είναι συνεχής
και στο διάστημα [α,β] όπου 1<α<β

Η f είναι παραγωγίσιμη στο R* ,επομένως είναι
παραγωγίσιμη και στο διάστημα [α,β] με 1<α<β
όπου

1
x
Αυτό σημαίνει ότι ικανοποιούνται οι προυποθέσεις
f′ ( x ) (ln x)′
= =

του θεωρήματος «Μέσης Τιμής» στο διάστημα [α,β]

14


( )

Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ α, β

f′ ( ξ ) =

f (β ) − f ( α )
β−α

13η Ερώτηση
Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Δ είναι
σταθερή;
Aπάντηση
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ
Και
f΄(x)=0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε
η f είναι σταθερή σε όλο το Δ
14η Ερώτηση
Έστω δύο συναρτήσεις f και g με πεδίου ορισμού το Δ
που είναι συνεχείς στο Δ
Αν f΄(x)=g΄(x) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ
Ποιά σχέση συνδέει τις δυο συναρτήσεων;
Απάντηση
Η σχέση που συνδέει τις δυο συναρτήσεις είναι
f (x)=g (x)+c , για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ

15

15η Ερώτηση
Τί ισχύει για μια συνάρτηση f με f΄(x)=λf(x) ,για κάθε

x ∈R
όπου λ ∈ R ;
Απάντηση
Ισχύει f(x)=ceλx
16η Ερώτηση
Ποια σχέση συνδέει τη μονοτονία μιας συνάρτησης f με
την παράγωγό της;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα
Δ
Αν f΄(x)>0 για κάθε x ∈ R
τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ
Αν f΄(x)<0 για κάθε x ∈ R
τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ
Να εξετασθεί η συνάρτηση f με
f(x)= 1 − ln x

ως προς τη μονοτονία

16

Λύση
Εύρεση πεδίου ορισμού της f(x)= 1 − ln x
Για να ορίζεται η lnx ,πρέπει x>0
Επομένως

Df
=

{x ∈ R : x > 0= ( 0, +∞ )
}

Η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της
Η παράγωγος της f είναι
1
f′(x) = x)′ =
(1 − ln
−
x

Παρατηρώ ότι f′(x) < 0, για κάθε x ∈ ( 0, +∞ )

Αυτό σημαίνει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

για κάθε x ∈ ( 0, +∞ )

17

17η Ερώτηση
Πώς προσδιορίζονται τα τοπικά ακρότατα μιας
συνάρτησης;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα [α,β]
η οποία είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] με εξαίρεση ίσως
ένα σημείο x0 , στο οποίο όμως είναι συνεχής
τότε
 Aν f΄(x)>0 στο διάστημα (α,x0) και f΄(x)<0 στο
διάστημα (x0,β) τότε το f(x0) είναι τοπικό μέγιστο
της f
 Aν f΄(x)<0 στο διάστημα (α,x0) και f΄(x)>0 στο
διάστημα (x0,β) τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο
της f
18η Ερώτηση
Τί συμβαίνει αν η f΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο

(

) (

στο a, x0 ∪ x0 , β

)

Απάντηση
Αν η f΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο

( a, x ) ∪ ( x , β )
0

0

τότε το f(x0) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι
γνησίως μονότονη στο διάστημα (α,β)

18

19η Ερώτηση
Τι αναφέρει το θεώρημα του Fermat;
Απάντηση
1)Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ
και έστω x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ
Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 και παρουσιάζει τοπικό
ακρότατο στο σημείο (x0, f(x0))
τότε
f΄(x0)=0
20η Ερώτηση
Ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat;
Απάντηση
το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat δεν ισχύει.
Δηλαδή εάν f΄(x0)=0 στο χ0 ∈ Δ
Τότε δεν σημαίνει ότι το (x0, f(x0))
είναι σημείο τοπικού ακρότατου απαραίτητα.
Σύμφωνα με όσα αναφέραμε παραπάνω
(15η ερώτηση-απάντηση)
για να είναι το (x0, f(x0))

19

Σημείο τοπικού ακροτάτου πρέπει η f΄ να αλλάζει
πρόσημο γύρω από το x0

f (= ax2 − x 4
x)
Να προσδιορισθεί το

a ∈R

ώστε η συνάρτηση να παρουσιάζει στο x0= 1 τοπικό
ακρότατο
Λύση
Η συνάρτηση f είναι συνεχής (ως πολυωνυμική)στο R και
παραγωγίσιμη με

f′ ( x ) = (ax2 − x 4 )′ = 2ax − 4x3
Επειδή παρουσιάζει στο x0=1 τοπικό ακρότατο
σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat
f΄(x0)=0-> f΄(1)=0

2a.1 − 4.13 = 0 ↔ 2a − 4 = 0 ↔
2 ( a − 2) = 0 ↔ a = 2

Όμως η συνθήκη f΄(x0)=0 είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή
ώστε να εμφανίζει η f τοπικό ακρότατο στο x0 ,επομένως
πρέπει να εξετάσω

20

αν η f΄ να αλλάζει πρόσημο γύρω από το x0=1
Για α=2 η f γίνεται

f ( x ) 2x2 − x 4
=
Επομένως

(

)

f′ ( x ) = (2x2 − x 4 )′ = 4x − 4x3 = 4x 1 − x2 = 4x (1 − x )(1 + x )
Σηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄

21

Απο το παραπάvω πίνακα παρατηρώ ότι πράγματι η f
παρουσιάζει στο σημείο (1,f(1))=(1,1) τοπικό μέγιστο
x
Να δειχτεί ότι e ≥ x + 1, για κάθε x ∈ R

Απόδειξη
Τρόπος δράσης
Θεωρώ τη συνάρτηση f με f(x)=ex-(x+1)= ex-x-1
και στη συνέχεια με τη βοήθεια της μονοτονίας ή των
ακροτάτων θα αποδείξω τη σχέση

e x ≥ x + 1, για κάθε x ∈ R
Eπομένως
H f με f(x)=ex-(x+1)= ex-x-1
είναι συνεχής για κάθε x ∈ R
Παραγωγίζω την f και έχω

f′ ( x ) =

(e

x

)

′
− x − 1 = e x . ( x )′ − 1 + 0 = e x − 1

Βρίσω το σημείο που μηδενίζεται η f΄

f′ ( x ) =0 ↔ e x − 1 =0 ↔ e x =1 ↔ e x =e 0 ↔ x =0
Βρίσκω το πρόσημο της f΄ «γύρω» από το μηδέν

22


f′ ( x ) > 0 ↔ e x − 1 > 0 ↔ e x > 1 ↔ e x > e 0 ↔ x > 0
f′ ( x ) < 0 ↔ e x − 1 < 0 ↔ e x < 1 ↔ e x < e 0 ↔ x < 0
Σηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄

Παρατηρώ ότι για χ=0 η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο

( )

( )

Αυτό σημαίνει ότι για κάθε x ∈ R , f x ≥ f 0

23

Δηλαδή για κάθε

x ∈R

ex − x − 1 ≥ e0 − 0 − 1 ↔ ex − x − 1 ≥ 0 ↔ ex ≥ x + 1
Τα παραπάνω φαίνονται και στη γραφική παράσταση της
f(x)= ex-x-1

21η Ερώτηση
Πώς γίνεται η μελέτη ως προς τα κοίλα και τα κυρτά μιας
συνάρτησης f;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτση f η οποία είναι συνεχής σε ένα
διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο Δ

24

Αν f΄΄(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο τουΔ ,τότε η f
είναι κυρτή στο Δ
Αν f΄΄(x)<0 για κάθε εσωτερικό σημείο τουΔ ,τότε η f
είναι κοίλη στο Δ
22η Ερώτηση
Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f
παρουσιάζει σημείο καμπής;
Απάντηση
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό
διάστημα (α,β)
με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 στο οποίο όμως η f
είναι συνεχής
Αν η f είναι κυρτή στο (α,x0) και κοίλη στο (x0,β)
ή αντίστροφα
και
η γραφική παράσταση της f έχει εφαπτομένη στο σημείο
Α(x0,f(x0))
τότε
το σημείο Α(x0,f(x0)) λέγεται
σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και
το x0 λέγεται θέση του σημείου καμπής

25

23η Ερώτηση
Ποιές είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας
συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ;
Απάντηση
οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f με
πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ είναι
τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία μηδενίζεται η f΄΄

f ( x ) ax 4 − x3
=
Αν το σημείο Α(1,f(1)) είναι σημείο καμπής της γραφικής
παράστασης της f να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α
Απάντηση
Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R
Υπολογίζω τη πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της f

f′ ( x ) =

( ax

4

− x3

)′ =

4ax3 − 3x2

f′′ ( x ) = (4ax3 − 3x2 )′ = 12ax2 − 6x
Tο σημείο Α(1,f(1)) είναι σημείο καμπής της γραφικής
παράστασης της f

26

Υπολογίζω την f΄΄(1)

f′′ (1 ) = 12a.12 − 6.1 = 12a − 6
Λύνω την εξίσωση

f′′ (1 ) = 0

12a − 6 = 0 ↔ 12a = 6 ↔ a =

6
1
↔a=
12
2

Επειδή η συνθήκη

f′′ (1 ) = 0
είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή , θα δείξουμε ότι για α=1/2
η f παρουσιάζει σημείο καμπής στο σημείο Α(1,f(1))
Για α=1/2 η f γίνεται

f=
(x)

1 4
x − x3
2

Για x=1

f (1 ) =

1 4 3 1
1 2
1
.1 − 1 =
−1 =
− = −
2
2
2 2
2

1
1
f′ ( x ) = ( x 4 − x3 )′ = 4 x3 − 3x2 = 2x3 − 3x2
2
2

f′′ ( x ) = 3 − 3x2 )′ = 2 − 6x
(2x
6x

27

x = 0 
f′′ ( x ) = 0 ↔ 6x2 − 6x = 0 ↔ 6x ( x − 1 ) = 0 ↔ 

x = 1

Aπό το πίνακα επιβεβαιώνεται ότι το σημείο
Α(1,f(1))=Α(1,-1/2)
είναι σημείο καμπής της Cf

28

24η Ερώτηση
Ποια ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf;
Απάντηση
Αν

limx → x − f ( x ) = ±∞ ή limx → x + f ( x ) = ±∞
0

0

Τότε η ευθεία x=x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της
Cf
25η Ερώτηση
Που αναζητούμε κατακόρυφες ασύμπτωτες ;
Απάντηση
Κατακόρυφες ασύμπτωτες αναζητούμε στα σημεία που η f
δεν ορίζεται ή στα σημεία που η f δεν είναι συνεχής
110 Παράδειγμα
Έστω η συνάρτηση f με f ( x ) =

1
x −2

Να εξετασθεί αν έχει ασύμπτωτες
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι το R-{2}
Εξετάζω το όριο της f στο x=2

29

limx →2− f ( x ) = limx →2−

1
= −∞
x −2

limx →2+ f ( x ) = limx →2+

1
= +∞
x −2

Aυτό σημαίνει ότι η ευθεία x=2 είναι κατακόρυφη
ασύμπτωτη της f

26η Ερώτηση
Πότε η ευθεία της μορφής y=λx+β ονομάζεται
ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ ή

−∞
Απάντηση
Η ευθεία της μορφής y=λx+β ονομάζεται ασύμπτωτη της
γραφικής παράστασης της f στο +∞ ή −∞

30

αν

limx →+∞ [f(x) − (λx + β)] =
0
ή αντίστοιχα

limx →−∞ [f(x) − (λx + β)] =
0
27η Ερώτηση
Με ποιό τρόπο μπορούμε να εξετάσουμε αν μια ευθεία
y=λx+β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ ή −∞
Απάντηση
Μια ευθεία y=λx+β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ ή

−∞
Αν
limx →+∞

f (x)
x

λ
=∈ R και limx →+∞ f(x) − λx  =∈ R

 β

Ή αντίστοιχα
limx →−∞

f (x)
x

λ
=∈ R και limx →−∞ f(x) − λx  =∈ R

 β

28η Ερώτηση
Που αναζητούνται ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης
της f;
Aπάντηση
Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f

31

αναζητούνται :
 Στα σημεία στα οποία η f δεν ορίζεται
 Στα σημεία στα οποία η f ορίζεται αλλά δεν είναι
συνεχής
 Στο +∞ και στο −∞ εφόσον η f είναι ορισμένη σε

(

)

(

διαστήματα της μορφής a, +∞ και −∞, β

)

αντίστοιχα
Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=1/x
Nα βρεθούν οι ασύμπτωτές της
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι το

( −∞, 0 ) ∪ ( 0, +∞ )
Εξετάζω το όριο της f στο x=0

limx → 0− f ( x ) = limx → 0−

1
= −∞
x

limx → 0+ f ( x ) = limx → 0+

1
= +∞
x

Aυτό σημαίνει ότι η ευθεία x=0 είναι κατακόρυφη
ασύμπτωτη της Cf

32

Στη συνέχεια εξετάζω αν η C f έχει ασύμπτωτη την
ευθεία y=λx+β στο +∞ και στο −∞
limx →+∞

f (x)
x

λ
=∈ R και limx →+∞ f(x) − λx  =∈ R

 β

1
1

1
1
x
limx →+∞= limx →+∞ 2 =0 και limx →+∞  − 0.x  limx →+∞
=
= 0
x
x
x
x


Ομοίως
1
1

1
1
x
limx →−∞= limx →−∞ 2 =0 και limx →−∞  − 0.x  limx →−∞
=
= 0
x
x
x
x


Eπομένως
Η ευθεία y=0 είναι η οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο

+∞ και στο −∞

33

και η ευθεία x=0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf
29η Ερώτηση
Να διατυπωθεί ο κανόνας του de l’ Hopital
Απάντηση
= =
1. Aν limx → x0 f ( x ) 0 και limx → x0 g ( x ) 0

{

}

όπου x0 ∈ R ∪ +∞, −∞
και υπάρχει το όριο
limx → x

0

f′ ( x )

g′ ( x )

είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο
τότε

limx → x

0

f (x)

g (x)

= limx → x

0

f′ ( x )

g′ ( x )

2. Aν limx → x0 f ( x ) = ±∞ και limx → x0 g ( x ) = ±∞

{

}

όπου x0 ∈ R ∪ +∞, −∞
και υπάρχει το όριο
limx → x

0

f′ ( x )

g′ ( x )

34

είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο,τότε

limx → x

0

f (x)

g (x)

= limx → x

0

f′ ( x )

g′ ( x )

Na υπολογισθεί το limx → 0+ x ln x
2

Λύση
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με g(x)=x2lnx είναι το

( 0, +∞ )

Επίσης γνωρίζω ότι

limx → 0+ ln x = −∞
όπως φαίνεται και στη γραφική παράσταση της f(x)= lnx

35

Eπομένως

limx → 0+ x2 ln x 0( −∞) , απροσδιόριστη μορφή
=
Άρση της απροσδιοριστίας με τη βοήθεια του
θεωρήματος του de l’hospital

ln x  −∞ 
limx → 0+ x2 ln x limx → 0+
= = 
 , απρ.μορφή
1
+∞ 

2
x
1
Οι συναρτήσεις lnx και 2
x
είναι παραγωγίσιμες στο ( 0, +∞ )
Επομένως

(ln x )′
ln x
= = limx → 0+
=
limx → 0+ x2 ln x limx → 0+
1
 1 ′
 2
x2
x 
1
x3
1 2
x = lim
limx → 0+
− = limx → 0+ − x= 0
x → 0+
2
2x
2
− 3
x
30η Ερώτηση
Ποια είναι τα βήματα που ακολουθούμε για να χαράξουμε
τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f;

36

Απάντηση
1.Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f
2.Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού
της
3.Υπολογίζουμε τις f΄ και f΄΄, τις ρίζες τους, και
σχηματίζουμε τους πίνακες των προσήμων τους
4.Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄ βρίσκουμε τα
διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f
5.Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄΄ βρίσκουμε τα
διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή,κοίλη καθώς και
τα σημεία καμπής
6.Βρίσκουμε τα σημεία τομής της f με τους άξονες xx΄
και yy΄
7.Μελετάμε τη «συμπεριφορά» της f στα άκρα του
πεδίου ορισμού της (δηλ τις οριακές τιμές)
8.Βρίσκουμε τις ασύμπτωτες αν υπάρχουν
9.Τέλος σχηματίζουμε ένα πίνακα μεταβολών της f με
τις παραπάνω πληροφορίες με τη βοήθεια του οποίου
κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της f
Na μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f
με

37

f ( x ) x3 − 12x
=
Λύση
Το πεδίο ορισμού της f είναι το R
=
Η f με f ( x ) x3 − 12x , είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού

της
Υπολογίζω την f΄

(

)

′
f′ ( x ) =x3 − 12x = 2 − 12
3x

f′ ( x ) = 0 ↔ 3x2 − 12 = 0 ↔ 3x2 = 12 ↔ x2 = 4 ↔ x = ±2
Σχηματίζω το πίνακα προσήμων της f΄
με τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f

38

Υπολογίζω την f΄΄

f′′ ( x ) = (3x2 − 12)′ = 6x
f′′ ( x ) = 0 ↔ 6x = 0 ↔ x = 0
Με τη βοήθεια του προσήμου της f΄΄ βρίσκουμε τα
διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή,κοίλη καθώς και
τα σημεία καμπής

Βρίσκουμε τα σημεία τομής της f με τους άξονες xx΄
και yy΄
= 3
Θέτω στην f ( x ) x − 12x

x=0 και έχω
f (0) = 0

Θέτω στην
f ( x ) x3 − 12x
=

39

y=0 και έχω

(

)

0 = 3 − 12x ↔ x x2 − 12 = ↔
x
0


x=0




x
12
= = 2 3



− 12 −2
x = = 3




Επομένως η γραφική παράσταση της f τέμνει τον xx΄ στα

(

) (

σημεία A 2 3, 0 , B −2 3, 0

)

και τον yy΄ στο σημείο Κ(0,0)
δηλαδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την
αρχή των αξόνων
= 3
Η γραφ. παράσταση της f ( x ) x − 12x

40

Ο πίνακας μεταβολών της f

Αν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το
mathschool-online
Kαλή ανάγνωση !

41

203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

More Related Content

What's hot

Similar to 203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41

More from Σωκράτης Ρωμανίδης

203404553 διαφορικός-λογισμός-γ΄λυκείου-μαθηματικά-κατεύθυνσης-σελ-41