pada file ini terdapat materi tentang pembahasan vektor dan contoh soal beserta pembahasannya. semoga materi ini dapat bermanfaat bagi adek adek yang sedang belajar dan memperdalam tentang materi vektor

1. Matematika Dasar 2
Vektor 2
Nugroho Imam Setiawan, Ph.D
2004
O
B
P
n
m
𝑎
𝑏
𝑝

2. Perbandingan ruas garis
• Titik P membagi ruas garis AB dengan
perbandingan m : n

A

P

B
AP : PB = m : n
m n

3. • Bila P di dalam AB, maka AP dan PB
mempunyai arah yang sama.
• Sehingga m dan n tandanya sama.

A

P

B
m n
AP : PB = m : n

4. • Bila P di luar AB, maka AP dan PB mempunyai
arah yang berlawanan.
• Sehingga m dan n tandanya berbeda.

A

P

B
AP : PB = m : (-n)
m
-n

5. Contoh Soal
• Ruas garis PQ dibagi menjadi lima bagian yang
sama oleh titik A, B, C, dan D. Hitunglah nilai-
nilai perbandingan:
a. PA : PD
b. PB : BQ
c. AQ : QD
d. AC : QP

6. 6
Jawaban:

A

P

Q

B

C

D
a. PA : PD = 1 : 4
b. PB : BQ = 2 : 3
c. AQ : QD = 4 : (-1)
d. AC : QP = 2 : (-5)

7. Pembagian dalam bentuk vektor
O
B
A
P
n
m
𝑎
𝑏
𝑝
• 𝑎, 𝑏, dan 𝑝
berturut-turut
adalah vektor posisi
dari titik A, B, dan P.
• Titik P membagi
garis AB dengan
perbandingan m : n
𝑝 =
𝑚𝑏 + 𝑛𝑎
𝑚 + 𝑛

8. Contoh Soal 1
O
B
A
P
n
m
𝑎
𝑏
𝑝
• 𝑎, 𝑏, dan 𝑝
berturut-turut
adalah vektor posisi
dari titik A, B, dan P.
• Titik P membagi
garis AB dengan
perbandingan 3 : 1
• Maka vektor 𝑝
adalah?

9. Contoh Soal 2
• Titip P membagi ruas garis AB di luar dengan
perbandingan AP : PB = 9 : 4.
• Jika titik A (4,3,1) dan B (-6,8,1), maka
koordinat titik P adalah?

10. Contoh Soal 3
• P adalah titik (-1,1,3), Q adalah (2,0,1), dan R
adalah (-7,3,7).
• Tunjukkan bahwa P, Q, R adalah segaris
(kolinier) dan tentukan perbandingan PQ : QR.

11. Contoh Soal 4
• Titik A (3,2,-1), B (1,-2,1), dan C (7,p-1,-5) yang
segaris.
• Tentukanlah nilai P?

12. Contoh soal perkalian skalar 1
• 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃
• 𝜃 adalah sudut
antara vektor 𝑎 dan 𝑏
• Jika 𝑎 = 4, 𝑏 = 6
sudut antara kedua
vektor adalah 60 °.
• Maka 𝑎 ∙ 𝑏 ?

𝑏
𝑎

13. Contoh perkalian skalar 2
• Jika 𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 dan 𝑏 = 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 +
𝑏3 𝑘. Maka 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
• 𝑎 = −2𝑖 + 3𝑗 + 5𝑘,
𝑏 = −3𝑖 − 5𝑗 + 4𝑘,
𝑑𝑎𝑛 𝑐 = −7𝑗 + 𝑘
• Tentukan 𝑎(𝑏 − 𝑐)

14. Contoh soal perkalian skalar 3
• Jika vektor 𝑎 dan 𝑏 membentuk sudut 60 °,
dimana 𝑎 = 4, 𝑏 = 3.
• Maka 𝑎 𝑎 + 𝑏 =?

15. Contoh perkalian skalar 4
• Dua vektor 𝑢 =
6
3
−2
dan 𝑣 =
0
𝑥
−3
saling
tegak lurus.
• Tentukan nilai x pada vektor tersebut.

16. • Perkalian skalar (titik) antara 𝑎 dengan 𝑏,
dituliskan dengan 𝑎 ∙ 𝑏 adalah suatu bilangan
yang didefinisikan sebagai
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃  cos 𝜃 =
𝑎∙𝑏
𝑎 𝑏
• Dengan 𝜃 adalah sudut yang dibentuk oleh 𝑎
dengan 𝑏 dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
Sudut antara dua vektor

17. Contoh soal sudut antara vektor 1
• Tentukan besar sudut antara vektor
• 𝑎 = −2𝑖 + 𝑗 − 2𝑘,
𝑏 = −𝑗 + 𝑘

18. Contoh soal sudut antara vektor 2
• Diketahui titik-titik A (3,2,4), B (5,1,5), dan C
(4,3,6).
• AB wakil dari 𝑢 dan AC wakil dari 𝑣.
• Kosinus sudut yang dibentuk oleh vektor 𝑢
dan 𝑣 adalah?

19. Proyeksi orthogonal suatu vektor pada
vektor lain
• Proyeksi skalar orthogonal 𝑎 pada
𝑏:
𝑐 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
𝑐 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
• Panjang proyeksi vektor orthogonal
𝑎 pada 𝑏:
𝑐 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
→ hasilnya positif
• Proyeksi vektor 𝑎 pada 𝑏:
𝑐 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
2 ∙ 𝑏
A
o C
B
a

c

θ
b


20. .bpadaavektorProyeksid.
.apadaborthogonalskalarProyeksic.
.bpadaaorthogonalskalarProyeksib.
.bpadaaproyeksiPanjanga.
:tentukank4-j2i4bdan
k3-j6-i2aDiketahui







