Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dasar vektor dan operasinya. Terdapat penjelasan tentang notasi vektor, jenis-jenis vektor, cara menggambarkan vektor, operasi vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, dan contoh soal terkait vektor.

1. Welcome !

2. Pengertian Dasar Vektor dan Operasinya
Maisyah Wanda Pratiwi
Nur Fadilah
Herlina Pakpahan
Dhea Octa Veronika
Putri Alya Diani
Teddy Juniarsyah
Gilang Samudra
Nabiel Umar Syarif
X IPA 1
Kelompok 4

3. Pengertian Dasar Vektor dan Operasinya
Notasi Vektor dan Beberapa Jenis Vektor
A. Besaran Skala dan Besaran Vektor
Besaran skalar atau disebut skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai besar
saja, seperti: panjang, waktu, massa, suhu/temperatur.
Luas dan isi atau volume merupakan besaran skalar. Setiap besaran skalar biasanya
dinyatakan oleh sebuah bilangan.
Besaran vektor atau disebut vektor adalah sebuah besaran yang mempunyai besar dan
arah, seperti; kecepatan, percepatan, gaya, momentum, dan medan magnet. Secara
geometris, vektor adalah suatu ruas garis berarah.

4. B. Menggambarkan Vektor
Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah (→) yang terdiri atas pangkal,
panjang dan arah anak panah. Perhatikan gambar contoh vektor berikut ini:
cara menggambarkan vektor.
cara menggambar vektor
Pada gambar anak panah di atas, pangkal anah panah menunjukkan titik tangkap (titik
awal) sebuah vektor, panjang anak panah mewakili besar atau nilai vektor (semakin panjang anak
panah maka semakin besar nilai atau harga vektor dan sebaliknya), sedangkan arah anak panah
menunjukkan arah vektor.

5. Untuk lebih jelas mengenai cara menggambarkan vektor, perhatikan contoh gambar vektor di bawah
ini.
Contoh Gambar Vektor
Gambar (a) menunjukkan vektor gaya F sebesar 5 N ke arah kanan
Gambar (b) menunjukkan vektor gaya F sebesar 10 N ke arah kiri
C. Menuliskan Notasi Vektor
Penulisan simbol atau lambang vektor dapat dilakukan dengan 2 cara sebagai berikut:
1. Vektor disimbolkan dengan dua huruf besar atau satu huruf yang di atasnya diberi tanda anak
panah.

6. 2. Vektor disimbolkan dengan dua huruf besar atau satu huruf yang ditebalkan
Jika kalian menggunakan dua huruf, maka huruf pertama (A) merupakan titik asal vektor, atau juga
disebut pangkal vektor. Sementara huruf di belakang (B) merupakan arah vektor atau titik terminal atau
ujung vektor.
D. Macam-Macam Vektor
Perhatikan gambar berikut:
Gambar Macam-Macam Vektor

7. Macam – macam vektor yaitu :
1. Vektor Sejajar
Vektor sejajar adalah dua vektor atau lebih yang mempunyai arah dan besar yang sama. Pada gambar di
atas, contoh vektor sejajar adalah vektor b dan c.
2. Vektor Berlawanan
Vektor berlawanan adalah dua atau lebih vektor yang mempunyai besar yang sama tetapi arahnya
berlawanan. Pada gambar di atas, contoh vektor berlawanan adalah vektor c dan d.
3. Vektor Nol
Sebuah vektor yang titik awal dan titik ujungnya sama (berimpit) disebut vektor nol, vektor nol
mempunyai panjang nol dan arah tak tentu.
4. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah sebuah vektor yang panjangnya 1 dan dinotasikan sebagai e. Hal ini bererti
|e|=1.
Sifat-Sifat Vektor
Vektor memiliki sifat-sifat seperti berikut ini:
1. Dapat dipindahkan dengan syarat nilai/besar dan arahnya tidak berubah
2. Dapat dijumlahkan
3. Dapat dikurangkan
4. Dapat diuraikan
5. Dapat dikalikan

8. 1. Besar Vektor
Dari keterangan sebelumnya, kita tahu bahwa selain memiliki arah, vektor juga memiliki besar yang
dinyatakan sebagai besar vektor. Besar vektor menyatakan nilai dari suatu vektor. Besar vektor dinyatakan
dengan simbol huruf yang ditulis miring tanpa ditebalkan dan tanpa tanda anak panah (→) di atasnya, atau
dituliskan sebagai harga mutlak (| |) vektor tersebut.
Berdasarkan definisinya, besar vektor merupakan besaran skalar dan nilainya selalu positif (+).
2. Operasi Vektor
Operasi vektor meliputi perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar, penjumlahan dua vektor,
selisih dua vektor, vektor posisi, teorema titik tengah , dan resultan dari beberapa vektor.
A. Perkalian sebuah vektor dengan skalar
Jika k suatu bilangan real dan 𝑎 suatu vektor, perkalian k𝑎 menghasilkan suatu vektor yang
panjangnya 𝑘 kali panjang vektor 𝑎 dan arahnya sama dengan arah 𝑎 jika k >0, atau berlawanan dengan 𝑎
jika k < 0. jika k = 0, maka diperoleh vektor nol.

9. (i) k(-𝑎 ) = -(k𝑎 ) = -k𝑎 (iii) (k ± m) 𝑎 = k𝑎 ± m𝑎
(ii) K(m𝑎 ) = (km) 𝑎 = m(k𝑎 ) (iv) k(𝑎 ± 𝑏 = k𝑎 ± k𝑏
Sifat-sifat perkalian vektor dengan skalar
B. Penjumlahan dua vektor
Jumlah dua vektor atau lebih disebut vektor hasil atau resultan. Untuk menjumlahkan dua buah
vektor 𝑎 dan 𝑏 , dapat kita gunakan 2 metode sebagai berikut.
1. Metode Segitiga
Vektor hasil ( resultan ), yaitu 𝑎 + 𝑏 , diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor
(misalnya 𝑏 ) pada titik ujung vektor yang lainnya. Resultan dari 𝑎 + 𝑏 dengan metode segitiga merupakan
vektor yang bertitik awal di titik awal 𝑎 dan bertitik ujung 𝑏 . Apabila 𝐴𝐵 = 𝑎 dan 𝐵𝐶 = 𝑏 , maka AC = 𝑎 +
𝑏 . Sehingga diperoleh :
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶

10. 2. Metode Jajargenjang
Resultan 𝑎 dan 𝑏 diperoleh dari diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh 𝑎 dan 𝑏 setelah titik
awal 𝑎 dan 𝑏 ditempatkan berimpit.
3. Resultan dari beberapa vektor
Untuk menentukan resultan dari beberapa vektor. Berarti kita menentukan penjumlahan lebih dari
dua vektor sehingga dapat digunakan cara poligon.cara ini merupakan pengembangan metode segitiga.
Perhatikan :
∆ ABC, didapat 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶
∆ ACD, didapat 𝐴𝐶 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷
∆ ADE, didapat 𝐴𝐷 + 𝐷𝐸 = 𝐴𝐸
Hal ini berarti :
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐸 = 𝐴𝐸
a
b
b
a

11. Sifat-sifat penjumlahan dua vektor :
(i) Sifat Komutatif (pertukaran)
Untuk setiap vektor 𝑎 dan 𝑏 , berlaku :
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
(ii) Sifat Asosiatif(pengelompokkan)
Untuk setiap vektor 𝑎 , 𝑏 , dan 𝑐 , berlaku :
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 )
(iii) Elemen identitas, yaitu vektor nol
Untuk setiap vektor 𝑎 , berlaku :
𝑎 + 0 = 𝑎 = 0 + 𝑎
(iv) Invers tambah
Invers tambah suatu vektor 𝑎 ditulis - 𝑎 dan
memenuhi :
𝑎 + (- 𝑎 ) = 0
C. Selisih dua vektor
Jika 𝑏 + 𝑥 = 𝑎 , maka 𝑥 dapat ditulis sebagai 𝑎 + (-𝑏 ) atau ditulis sebagai 𝑥 = 𝑎 - 𝑏 .
𝐴𝐵 - 𝐴𝐶 = 𝐶𝐵 atau 𝐴𝐵 + 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵

12. D. Vektor posisi
Vektor posisi dari titik A terhadap pusat O ditulis 𝑂𝐴 atau 𝑎 . Gambar tersebut menunjukkan
posisi dari titik A, B, dan C terhadap pusat O ditulis 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 , dan 𝑂𝐶 . Vektor 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 , dan 𝑂𝐶 disebut
vektor posisi dari titik A, B dan C. Vektor posisi dari titik A, B, dan C sering ditulis dengan huruf kecil
𝑎 , 𝑏 , dan 𝑐 .
perhatikan ∆ ABO di samping, terlihat bahwa :
𝐴𝐵 = 𝐴𝑂 + 𝑂𝐵
= -𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
= 𝑂𝐵 - 𝑂𝐴
∴ 𝐴𝐵 = 𝑏 - 𝑎
E. Teorema titik tengah
Jika titik A dan B mempunyai vektor posisi 𝑎 dan 𝑏 terhadap O, maka vektor posisi dari titik M
yang merupakan titik tengah dari titik A dan B, ditulis vektor posisi 𝑚 ,yaitu :
𝐴𝐵 = 𝑏 - 𝑎
𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 , berarti 𝐴𝑀 = ½(𝐴𝐵 )
𝐴𝑀 = ½(𝑏 - 𝑎 )
Pandang, 𝑂𝑀 = 𝑂𝐴 + 𝐴𝑀
= 𝑎 + ½(𝑏 - 𝑎 )
𝑂𝑀 = ½(𝑎 + 𝑏 )
∴ 𝑚 = ½(𝑎 + 𝑏 )

13. • Hasil dari penjumlahan vektor berikut adalah...
𝑃𝑄 +𝑄𝐵 +𝐵𝐴 +𝐴𝐶 +𝐶𝑅
a. 𝑃𝑃
b. 𝐴𝐴
c. 𝑃𝑅
d. 𝑃𝐶
e. 𝑄𝑅
Jawab :
𝑃𝑄 +𝑄𝐵 +𝐵𝐴 +𝐴𝐶 +𝐶𝑅 = 𝑃𝑅
Jawaban : C

14. Perluasan vektor posisi
Pengertian vektor posisi yaitu vektor dengan pangkal O dan berujung disembarang titik bukan O,
misalkan sebuah titik pangkal O dikaitkan dengan sembarang titik P , berarti 𝑂𝑃 disebut vektor posisi dari
titik P terhadap O. Vektor 𝑂𝑃 sering ditulis sebagai 𝑝 . Sembarang vektor 𝑃𝑄 dapat dituliskan dalam vektor
posisi 𝑝 dan 𝑞 , yaitu :
A. Vektor Posisi dari Titik Formula Pembagian
Suatu titik C membagi ruas garis AB dala perbandingan m dan n sehingga AC : BC = m : n
Jika C di dalam AB, maka AC→AC→, CB→CB→ mempunyai arah yang sama dan m, n mempunyai
tanda yang sama.
𝑃𝑄 = 𝑞 – 𝑝
AC : CB = m : n
AC : AB = m : (m + n)
∴ 𝑝 =
n𝑎 + m𝑏
m + n
Tafsiran Geometri dari Kedudukan Dua Vektor atau
Lebih

16. Pada gambar tersebut, dapat dikatakan titik M, titik O, dan titik Q merupakan
tiga buah titik yang kolinear, karena ketiganya terletak pada satu garis yaitu garis g.
Demikian juga titik S, titik O, dan titik N, merupakan tiga buah titik yang kolinear,
karena ketiganya terletak pada satu garis yaitu garis h. Berdasarkan kondisi tersebut
berarti titik M dan titik N merupakan dua buah titik yang tidak kolinear (non - kolinear),
karena masing – masing terletak pada garis yang berbeda. Begitu pula pasangan titik M
dan S,titik N dan Q, titik S dan Q, merupakan pasangan - pasangan titik yang tidak
kolinear (non - kolinear).
Pengertian titik-titik segaris (kolinear) secara vektor
Tiga buah titik A, B, dan C segaris (kolinear) jika dan hanya
jika (⇔)
𝐴𝐵 = k ∙ 𝐵𝐶 atau 𝐴𝐵 = k ∙ 𝐴𝐶 atau 𝐵𝐶 = k ∙ 𝐴𝐶
dengan k bilangan real tidak nol.

17. • Pada segitiga ABC, E adalah titik tengah BC dan M adalah
titik berat segitiga tersebut. Jika u = AB dan v = AC maka
ruas garis ME dapat dinyatakan dalam u dan v ?
Pembahasan:
Karena E titik tengah BC maka BE = CE atau BE : EC = 1 : 1. Berikutnya
sesuai rumus pembagian ruas vektor, kita bisa cari vektor AE.
AE =
AE =
AE =
Karena M titik Berat, Ingat panjang garis berat dari sisi yang
disentuhnya adalah 1/3, maka :
ME = 1/3AE
ME = 1/3
ME =
CE ∙ 𝐴𝐵 + BE ∙ 𝐴𝐶
CE + BE
1 ∙ 𝑢 + 1 ∙ 𝑣
1+1
𝑢 + 𝑣
2
𝑢 + 𝑣
2
𝑢 + 𝑣
6

18. Maisyah Wanda Pratiwi