Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika seperti perpindahan, kecepatan, dan percepatan dinyatakan dengan vektor, sedangkan skalar hanya memiliki besaran saja seperti temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu. Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah dan dapat ditulis menggunakan vektor satuan.

1. Vektor
Vektor memiliki besaran dan arah.
Beberapa besaran fisika yang
dinyatakan dengan vektor seperti :
perpindahan, kecepatan
dan percepatan.
Skalar hanya memiliki besaran saja,
contoh : temperatur, tekanan, energi,
massa dan waktu.

2. Vektor 2
B E S A R A N
Skalar Vektor
massa, waktu, kecepatan, percepatan,
jarak gaya
Arah
Besar
Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah
Penulisan vektor
F = |F| atau F = F
F̂ F̂
Vektor vektor satuan besar vektor

3. Penjumlahan Vektor
s a b
 

4. Mengikuti hukum :
• Komutatif :
a b b a
  

5. Assosiatif :
( ) ( )
a b c a b c
    

6. Vektor adalah vektor yang memiliki
besaran yang sama dengan vektor
tetapi berlawanan arah, bila
dijumlahkan akan menghasilkan :
b

( ) ( ) 0
b b
  
b

7. PENJUMLAHAN VEKTOR
DENGAN JJ. GENJANG
A
-A
B
A
B
-A+B ? -A
B
A+B=?

8. PENJUMLAHAN VEKTOR
DENGAN POLIGON
A
B
C
A+B+C ? A
B
C
A+(-B)+C ?
A
-B
C
-A+B-C=?

9. CONTOH LAIN

10. SIFAT VEKTOR

12. PENJUMLAHAN DENGAN
GRAFIS
30O
F2=10 N Y
120O
F1=10 N
X
30O
1 cm mewakili 2 N

13. PENJUMLAHAN DENGAN
COSINUS

cos
.
.
.
2 2
1
2
2
2
1 V
V
V
V 
  HASIL RESULTAN DAPAT
DIHITUNG DENGAN RUMUS
COSINUS:
θ
V1
V2 R

cos
.
.
.
2 2
1
2
2
2
1 V
V
V
V 


cos
.
.
.
2 2
1
2
2
2
1 V
V
V
V 

R=

14. KOMPONEN VEKTOR
aO
F
FY
FX
Contoh: F= 10 N, ao= 30
Maka komponen vektor F adalah
FX= F COS ao
= 10. COS 30O=
FY= F SIN ao
= 10. SIN 30O
= 10. (1/2)=5 N
N
3
5
3
2
1
.
10 

15. F3
F2
F1
1
2
3
y
x
F1cos1
F1sin1
F2cos2
F2sin2
F3cos3
F3sin3
X Y
F1  F1cos F1sin
F2  F2cos F2sin
F3  F3cos F3sin
RX =….. RY = ….
Jumlah
Komponen pd sumbu
Vektor Sudut
R = RX
2 + RY
2
MENJUMLAH VEKTOR
SECARA
ANALITIS

16. CONTOH PENJUMLAHAN
VEKTOR SECARA ANALISIS
. KONSEP PENTING:
- URAIKAN SETIAP
VEKTOR MENJADI
KOMPONENNYA
- BUAT TABEL DAN ISI
- JUMLAHKAN
KOMPONEN VEKTOR
YANG KEARAH
SUMBU-X(DEMIKIAN
PADA SUMBU-Y)
- HITUNG RESULTAN
(R), DAN ARAHNYA
X
Y
A
B
C
30O
60O
45O
R=
2
2
X
Y R
R 
ARAH VEKTOR R:
Tan θ=Ry/Rx

17. ANALISIS PADA TABEL
VEKTOR
NILAI
VEKTOR
(SATUAN)
SUDUT
KOMP.
VEKTOR -X
KOMP.
VEKTOR - Y
A 20 30O
B 20 120O
C 40 225O
RX=……. RY= …….
10√3 10
-10 10√3
-20√2 -20√2
JIKA √2=1,4 DAN √3=1,7
MAKA JUMLAH RESULTANTE SBB
RX=-21 RY=-1

18. HITUNG BESAR R
DAN ARAHNYA?
BESAR R=√(-21)2+(-1)2 ARAH R
=√441+1 TAN AO=RY/RX
=√442 = (-1/-21)
= 21,…. SATUAN = …..
AO=…..

19. EXERCISE
1. Tentukan Resultante dari :
a. – A – B (Jajaran genjang)
b. – A – B + C (Poligon)
c. – A + B (Grafis)
2. Tiga buah vektor gaya masing-masing 20 N, 5 N, dan 20 N
membentuk sudut 60o, 150o, dan 315o terhadap sumbu X
positif, tentukan:
a. gambarnya
b. komponen-komponen vektornya
c. tabel analisis vektornya
d. Resultante dan arahnya

20. Komponen vektor
• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem
koordinat
Komponen vektor : a cos dan sin
x y
a a a a
 
 
disebut komponen skalar atau komponen

21. Besar vektor :
Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ),
besar vektor dapat dicari dengan rumus :
Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus
trigonometri :
Dalil cosinus :
Dalil sinus :
a 2 2
dan tan x
x y
y
a
a a a
a

  
s
2 2
2 cos
s a b ab 
  
dan
a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc
b a c ac
c a b ab



  
  
  
sin sin sin
a b c
  
 

22. Vektor satuan:
Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z
diberi tanda : ˆ
ˆ ˆ
, dan
i j k

23. Kita dapat tulis vektor dan sebagai berikut :
a b
disebut komponen vektor
ˆ ˆ
x y
a a i a j
 
ˆ ˆ
x y
b b i b j
 

24. Penjumlahan vektor dengan komponen
, setiap komponen sama dengan
komponen
s a b
  s
a b

x x x
y y y
z z z
s a b
s a b
s a b
 
 
 

25. Perkalian vektor :
• Perkalian vektor dengan skalar :
Jika vektor dikalikan dengan skalar s akan
menghasilkan vektor baru dengan besar nilai
absolute s dengan arah jika s positif, dan
berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi
dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor :
Menghasilkan skalar : Scalar Product
Dikenal sebagai : Dot product
a
a
a
a

26. . cos
a b ab 


27. Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :
Scalar product berlaku hukum komutatif
Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :
Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :
. ( cos )( ) ( )( cos )
a b a b a b
 
 
. .
a b b a

ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
. ( ).( )
x y z x y z
a b a i a j a k b i b j b k
    
. x x y y z z
a b a b a b a b
  

28. Menghasilkan vector : Vector Product
Dikenal sebagai : Cross Product
Dengan besar c adalah :
sin
c ab 

x
a b c

Besaran x
a b ditulis x 0
a b  jika //
a b
dan maksimum jika
a b


29. Arah dari vektor tegak lurus bidang yang berisi vektor
c
dan
a b dikenal sebagai hukum tangan kana
x ( x )
b a a b
 

30. Penulisan dalam vektor satuan :
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
x ( ) x ( )
x y z x y z
a b a i a j a k b i b j b k
    
ˆ ˆ ˆ ˆ
x ( x ) 0
x x x x
a i b i a b i i
 
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
x ( x )
x y x y x y
a i b j a b i j a b k
 
Hasil akhir :
ˆ
ˆ ˆ
x ( ) ( ) ( )
y z y z z x z x x y x y
a b a b b a i a b b a j a b b a k
     

31. Latihan soal :
• Dua buah vektor bertitik tangkap sama
saling mengapit dengan sudut . Jika besar vektor
dua kali vektor dan , hitung !
Jawab :
dan
a b
 a
b 3
a b a b
   
2 2
2 2
2 cos
2 cos
a b a b ab
a b a b ab


   
   
2 2 2 2
2 cos 3 2 cos
a b ab a b ab
 
    
2 2
16 cos 10
b b
 
0
51,32
 

32. • Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling
mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan
sudut antara resultan dengan vektor pertama.
Jawab :
Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari
dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus
Dalil Cosinus :
Dalil Sinus :
2 2 0
1 2 1 2
2 cos 45
458,7
21, 4 satuan
r v v v v
r
r
  


2 2 2
2 1 1
0
2 cos
297,7 342,4 cos =29,6
v v r v r 
 
  
 
2
0
0
sin sin 135
15(0,707)
sin =29,7
21,4
v r

 

 

33. • Diketahui 3 buah vektor
Hitung besar vektor dan sudut antara vektor ini dengan sumbu z
jika . Hitung juga sudut antara vektor !
Jawab :
ˆ
ˆ ˆ
1 3 4
ˆ
ˆ ˆ
1 2 2
ˆ
ˆ ˆ
3 1 3
a i j k
b i j k
c i j k
  
   
  
r
2
r a b c
   dan
a b
2 2 2
ˆ
ˆ ˆ
( 2) ( 7) (13) ( 2) ( 7) (13) 14,9 satuan
r i j k r
           

34. • Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5
satuan dan arahnya terhadap sumbu x positif. Vektor
b
mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y.
Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua
vektor tersebut.
Jawab :
Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:
Sehingga diperoleh :
0
252
0 0 0
252 90 162
 
0
. cos (5)(4) cos162 19 satuan
a b ab 
   
0
x sin (5)(4) sin162 6,18 satuan
a b ab 
  

35. VEKTOR SATUAN
Vektor dapat dituliskan dalam vektor-vektor satuan. Sebuah
vektor satuan mempunyai magnitudo/ukuran yang besarnya
sama dengan satu (1). Vektor satuan dalam sistem
koordinat kartesis dinyatakan dengan i, j dan k yang saling
tegaklurus.
x
y
z
i
j
k
Vektor A dapat ditulis:
A
A
A
dan
A
A
A
atau
k
A
j
A
i
A
A
z
y
x
z
y
x









ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
k
j
i
A
A

36. PERKALIAN VEKTOR
• Perkalian titik
A.B = AB cos 
A.B = AxBx + AyBy + AzBz
• Perkalian Silang
C = A x B
C = AB sin 
Cx = AyBz – AzBy
Cy = AzBx – AxBz
Cz = AxBy – AyBz
C
B
A

B
A


37. ALJABAR VEKTOR
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan
bilangan real

38. Kesamaan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , maka a1 = b1
a2 = b2 dan
a3 = b3

39. Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....

40. Jawab:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a = b
1 = x - y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y;  y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

41. Penjumlahan Vektor
a
a
a
a
3
2
1











b
b
b
b
3
2
1











Misalka
n:
da
n
Jika: a + b = c , maka
vektor














3
3
2
2
1
1
c
b
a
b
a
b
a

42. Contoh
1
-
2p
-
3
a











3
6
p
b











Diketah
ui:
Jika a + b = c , maka p –
q =....
da
n
2
4q
5
-
c












43. 


























2
4
5
3
)
1
(
6
2
3
q
p
p
jawab: a + b
= c
































2
4
5
3
6
p
1
-
2p
-
3
q

44. 

























2
4
5
3
)
1
(
6
2
3
q
p
p
3 + p = -5  p = -
8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q  q =
5½;
Jadi p – q = -8 –
5½
= -13½

45. Pengurangan Vektor
Jika: a - b = c , maka
c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j
+ (a3 - b3)k
Misalkan:
a = a1i + a2j +
a3k dan
b = b1i + b2j +
b3k

46. X
Y
O
A(4,1
)
B(2,
4)
a
b
Perhatikan
gambar:








3
2
-
vektor
posisi:
titik A(4,1)
adalah:









1
4
a
titik B(2,4)
adalah:









4
2
b
vektor AB
=

47. Jadi secara
umum:
a
b
AB 





















1
4
4
2
a
b








3
2
-









1
4
a 








4
2
b








3
2
-
AB

vektor AB
=

48. Contoh 1
Jawab:
Diketahui titik-titik A(3,5,2)
dan
B(1,2,4). Tentukan
komponen-
komponen vektor AB

































2
3
2
2
5
3
-
4
2
1
a
b
AB 














2
3
2
AB
Jadi

49. Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-
1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang
vektor PQ
(atau jarak P ke Q)

50. Jawab:
P(1,2,-2)
Q(-
1,3,0)
PQ = q – p = 






























2
1
2
2
-
2
1
-
0
3
1
-













2
2
1
p












0
3
1
q

51. 












2
1
2
PQ
2
2
2
)
2
(
)
1
(
2
PQ 




3
9
PQ
Jadi 


52. Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
a
a
a
a
3
2
1











Misalka
n:
Jika: c = m.a,
maka






















3
2
1
3
2
1
.
.
.
c
a
m
a
m
a
m
a
a
a
m
dan
m = bilangan
real

53. Contoh
Diketah
ui:
Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab:
misal


































4
1
2
3
2
6
1
2
3
2
1
x
x
x
6
1
-
2
a











4
1
-
2
b











da
n












x
3
2
1
x
x
x