Fisika Statistik

1. 11.7 Statistik
Maxwell-
Boltzmann
Oleh: Samanta Rumiana
Sianipar
A1C314034

2. Statistika Maxwell-Boltzmann sering
digambarkan sebagai statistika bagi partikel
klasik yang “terbedakan”. Sistem partikel klasik
terbedakan merupakan sistem partikel yang
konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih
partikel dipertukarkan.
Teori Statistik Maxwell-
Boltzmann

3. Dengan kata lain, konfigurasi partikel A di dalam
keadaan 1 dan partikel B di dalam keadaan 2
berbeda dengan konfigurasi ketika partikel B
berada dalam keadaan 1 sedangkan partikel A
dalam keadaan 2. Ketika gagasan di atas
diimplementasikan akan dihasilkan distribusi
(Boltzmann) biasa bagi partikel dalam berbagai
tingkat energi.

4. Fungsi distribusi ini menghasilkan hasil yang
kurang fisis untuk entropi, sebagaimana
ditunjukkan dalam “paradoks Gibbs”. Namun,
masalah itu tidak muncul pada peninjauan
statistik ketika semua partikel dianggap tak
terbedakan.

5. Pada statistik statistik Maxwell-Boltzmann
dipandang enam dimensi dari pergerakan
molekul, yakni tiga dimensi kedudukan dan tiga
dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi
seperti yang dimaksudkan ini disebut ruang
fasa.

6. Selanjutnya ruang fasa ini masih dibagi lagi ke
dalam volume kecil enam dimensi yang disebut
sel. Molekul terbagi ke dalam sel ini dan
terjadilah secara individu disebut status makro
dari sistem sedangkan penentuan molekul
tertentu (secara individu) dalam tiap status
makro disebut status mikro dari sistem.

7. Distribusi Maxwel-Boltzmann
Distribusi Maxwell-Boltzmann menggambarkan
kecepatan partikel dalam gas, di mana partikel tidak
terus-menerus berinteraksi satu sama lain, tetapi
bergerak bebas antara tabrakan pendek. Ini
menggambarkan kemungkinan kecepatan partikel
(besarnya vektor kecepatannya) yang dekat dengan
nilai yang diberikan sebagai fungsi dari suhu dari
sistem, massa partikel, dan bahwa nilai kecepatan.
Distribusi probabilitas ini dikemukakan pertama kali
oleh James Clerk Maxwell dan Ludwig Boltzmann.

8. Distribusi Maxwell-Boltzmann biasanya
dianggap sebagai distribusi kecepatan molekul,
tetapi juga dapat merujuk kepada distribusi
untuk kecepatan, momentum, dan besarnya
momentum molekul, yang masing-masing akan
memiliki fungsi probabilitas distribusi yang
berbeda, semua dari yang terkait. Kecuali
dinyatakan lain, artikel ini akan menggunakan
"distribusi Maxwell-Boltzmann" untuk merujuk
pada distribusi kecepatan.

9. Distribusi ini dapat dianggap sebagai besaran
vektor 3-dimensi yang komponennya adalah
independen dan terdistribusi normal dengan
mean 0 dan standar deviasi a. Jika Xi
didistribusikan sebagai , maka didistribusikan
sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann dengan
parameter a. Selain parameter skala, distribusi
identik dengan distribusi chi dengan 3 derajat
kebebasan.

10. Turunan asli oleh Maxwell diasumsikan bahwa
ketiga arah akan memikiki perilaku yang sama,
tetapi turunan selanjutnya yang dikembangkan
oleh Boltzmann mematahkan asumsi ini dengan
teori kinetik. Distribusi Maxwell-Boltzmann
(untuk energi) sebagian besar dapat langsung
diturunkan dari distribusi Boltzmann untuk
energi (lihat juga statistik Maxwell-Boltzmann
dari mekanika statistik)

12. Ingat bahwa kadang-kadang persamaan di atas
ditulis tanpa faktor degenerasi gi. Dalam hal ini i
akan menentukan keadaan masing-masing, bukan
satu set keadaan gi yang memiliki energi Ei yang
sama. Karena vektor kecepatan dan kecepatan
berkaitan dengan energi, maka persamaan 1 dapat
digunakan untuk menurunkan hubungan antara
suhu dan kecepatan molekul dalam gas. Penyebut
dalam persamaan ini dikenal sebagai fungsi partisi
kanonik.

13. Ruang Fase
Ruang fasa adalah ruang yang dibentuk oleh
ruang spasial dan ruang momentum atau ruang
spasial dan ruang kecepatan. Kita perlu
memahami ruang fasa karena sebenarnya
keadaan system statistik yang telah dan akan
kita bahas adalah keadaan system tersebut
dalam ruang fasa. Misalkan kita memiliki
sebuah partikel. Posisi partikel dapat
diterangkan dengan lengkap oleh tiga koordinat
ruang, yaitu x, y, dan z .

14. Tetapi posisi saja tidak lengkap mendeskripsikan
dinamika partikel. Kita juga memerlukan informasi
tentang kecepatan partikel tersebut. Kecepatan
partikel dapat didefinisikan dengan lengkap oleh tiga
koordinat kecepatan, yaitu vx, vy, dan vz . Dengan
demikian, dinamika sebuah partikel dapat dijelaskan
secara lengkap oleh enam buah koordinat, yaitu tiga
koordinat ruang: x, y, dan z, serta tiga koordinat
kecepatan: vx, vy , dan vz . Kita dapat
menggabungkan nenam koordinat tersebut dalam
satu ungkapan, yaitu : (x,y,z, vx, vy , vz ).

15. Karena momentum merupakan perkalian massa
dan kecepatan, yaitu P = mv maka alternatif lain
untuk mendeskripsikan dinamikan partikel
secara lengkap adalah memberikan tiga
koordinat spasial dan tiga koordinat momentum.
Dalam deskripsi ini, dinamika partikel dapat
dijelaskan dengan lengkap jika tiga koordinat
spasial dan tiga koordinat momentum dapat
ditentukan. Keenam koordinat tersebut
digabung dalam satu ungkapan (x,y,z, Px, Py ,
Pz)

16. Ruang yang diungkapkan oleh koordinat momentum saja
disebut ruang momentum. Ruang yang direpresentasikan
oleh gabungan koordinat ruang dan dan momentum
disebut ruang fasa.

17. Bobot Statistik
Andaikan N buah molekul terbagi ke dalam n bilik
dimana masing-masing bilik berisi N1, N2……. Nn,
molekul, maka jumlah keadaan mikroskopik dapat
dihitung sebagai berikut :

18. Dimana Ω biasa juga disebut sebagai bobot
statistik (Statistical weight). Faktorial dari
bilangan yang ordernya hingga 1023 akan
sangat besar sehingga perlu teknik khusus
untuk menghitungnya. Kita akan menggunakan
pendekatan Stirling yaitu :

19. Selanjutnya, kita akan merumuskan
entropi yang secara mekanika statistik
didefinsikan sebagai :

20. APLIKASI STATISTIK
MAXWEL-BOLTZMANN

21. Pelebaran Spektrum Akibat
Efek Doppler
Setelah menurunkan beberapa jenis fungsi distribusi
untuk system klasik maupun kuantum sekarang kita
akan melihat beberapa aplikasi fungsi distribusi
tersebut. Pada bab ini kita akan melihat beberapa
aplikasi fungsi dirtsibusi Maxwell-Boltzmann.
Pembahasan tersebut diharapkan akan memberikan
petunjuk yang berarti kepada para mahasiswa
dalam menerapkan fungsi distribusi Maxwell-
Boltzmann dalam beberapa bidang fisika.

22. Efek Doppler dijumpai pada gelombang bunyi
maupun gelombang elektromagnetik. Salah satu
pesan dari efek ini adalah jika sumber gelombang
mendekati pengamat maka panjang gelombang
yang dikur oleh pengamat lebih kecil daripada
apabila sumber diam terhadap pengamat.
Sebaliknya, jika sumber gelombang menjauhi
pengamat maka panjang gelombang yang diukur
pengamat lebih besar daripada apabila sumber
diam terhadap pengamat.

23. Peristiwa ini dapat diilustrasikan pada Gambar
Gambar 1.a Jika sumber mendekati pengamat maka panjang
gelombang yang diukur pengamat lebih pendek daripada yang
dikeluarkan sumber. Sebaliknya, jika sumber menjauhi pengamat
maka panjang gelombang yang dikur pengamat lebih panjang
daripada yang dikeluarkan sumber

24. dengan λ panjang gelombang yang dikur pengamat,
λo adalah panjang gelombang yang dikur jika
sumber gelombang diam terhadap pengamat, dan c
adalah kecepatan cahaya.
Khusus untuk gelombang gelombang
elektromagnetik, panjang gelombang yang dikur
oleh pengamat yang diam yang dihasilkan oleh
sumber sumber bergerak dengan kecepatan vx
terhadap pengamat adalah :

25. Kita definisikan tanda kecepatan yaitu vx > 0 jika sumber
mendekati pengamat dan vx < 0 jika sumber menjauhi
pengamat. Dalam astronomi, efek Dopler digunakan
untuk mengukur kecepatan bitnag-bintang. Berdasarkan
pergeseran panjang gelombang yang dipancarkan
bintang-bintang tersebut maka kecepatan relatif bintang
terhadap bumi dapat diprediksi menggunakan persamaan
(2.a)
Gambar 2.a Atom memancarkan gelombang elektromagnetik ketika
terjadi transisi electron antara tingkat energi

26. Mari kita perhatikan sebuah aom yang memiliki dua
tingkat energy (gambar2.a). Atom tersebut
memancarkan spektrum gelombang elektromagnetik
dengan panjang gelombang tertentu, sebut saja λo ,
akibat transisi elektron antar tingkat energi atom
tersebut. Jika atom dalam keadaan diam maka
panjang gelombang yang kita ukur adalah λo, persis
sama dengan panjang gelombang yang dipancarkan
atom. Tetapi jika atom mendekati pengamat dengan
laju vx maka panjang gelombang yang dikur
pengamat adalah λ = λo(1 - vx/c ). Dan sebaliknya,
jika atom menjauhi pengamat dengan laju vx maka
panjang gelombang yang dikur pengamat adalah λ =
λo(1 + vx/c ).

27. Sebagai ilustrasi, lihat Gbr. 3.a. Jika ada sejumlah atom
yang diam maka gelombang yang diukur pengamat
merupakan jumlah gelombang yang dipancarkan oleh
semua atom. Panjang gelombang yang diterima dari
semua atom sama, yaitu λo . Yang dideteksi oleh
pengamat hanyalah gelombang dengan panjang λo tetapi
memiliki intensitas tinggi. Akan tetapi jika atom yang
memancarkan gelombang bergerak secara acak maka
komponen kecepatan ke arah pengamat, yaitu vx juga
acak. Akibatnya panjang gelombang yang diukur
pengamat yang berasal dari satu atom berbeda dengan
yang diukur dari atom lainnya. Pengamat akan mengukur
gelombang yang memiliki panjang yang bervariasi dalam
jangkauan tertentu. Ini berakibat pada pelebaran garis
spektrum yang diamati.

28. Gambar 3.a Pengamat menangkap panjang gelombang yang berbeda-
beda bergantung pada gerak relative antara atom terhadap pengamat

29. Selanjutnya kita akan menentukan distribusi
intensitas spektrum pada berbagai panjang
gelombang. Kecepatan atom gas pemancar
spectrum memenuhi fungsi distribusi Maxwell-
Boltzmann karena merupakan partikel klasik.
Jumlah atom gas yang memiliki komponen
kecepatan antara vx sampai vx+dvx adalah :

30. Untuk mendapatkan fungsi intensitas maka kita
harus mentrasformasi variable kecepatan vx ke
dalam variable panjang gelombang λ dengan
menggunakan persamaan Doppler. Apabila
transformasi tersebut dilakukan maka n(vx)dvx
menjadi sebanding dengan I(λ)d λ yang menyatakan
intensitas gelombang yang memiliki panjang antara
λ sampai λ+dλ. Dengan demikian kita peroleh :

31. Substitusi kedua persamaan diatas, maka akan
diperoleh :
Dari persaman diatas kita dapatkan:

32. Yang selanjutnya bisa ditulis dalam bentuk lebih
sederhana sebagai :
dengan I(λ0) adalah intensitas ketika λ = λ0 . I (λ0)
tidak bergantung pada panjang gelombang tetapi
bergantung pada besaran lain seperti suhu gas dan
massa atom gas.

33. Atom Magnetik Dalam Medan
Magnet
Selanjutnya kita akan bahas suatu assembli
yang mengandung kumpulan atom yang
memiliki momen magnet. Di dalam assembli
tersebut kita berikan edan magnetic B.

34. Untuk mempermudah kita assumsikan beberapa
sifat berikut ini:
 Tidak ada interaksi antar atom. Interaksi hanya
terjadi antara atom dengan medan magnet luar
yang diberikan. Ini adalah penyederhanaan yang
cukup drastik karena sebenarnya antara momen
magnetic ada interaksi.
 Momen magnetik atom hanya bisa mengambil
salah satu dari dua arah orientasi, yaitu searah
medan magnet atau berlawanan arah medan
magnet. Ilustrasi dari asumsi tersebut tampak
pada Gambar 1.b

35. Gambar 1.b Dalam medan magnet, momen
magnetic hanya dapat mengambil salah satu
dari dua arah orientasi: searah atau berlawanan
dari medan magnet

36. Kita akan menentukan berapa momen magnetik
total yang dihasilkan oleh kumpulan atom-atom
tersebut. Kita mulai dengan menghitung energi yang
dimiliki asing-masing atom akibat interaksi
momenmagnetik dengan magnet luar. Interaksi
antara momen magnetic µ dengan medan magnet
luar B memberikan tambahan energi pada atom
sebesar :

37. Dipol Listrik
Fenomena yang mirip dengan atom magnetik
dijumpai pula pada assembli momen dipol
listrik. Misalkan kita memiliki sejumlah atom
atau molekul sejenis yang masing-masing
memiliki momen dipol P . Di dalam assembli
tersebut kita berikan Medan listrk E . Kita ingin
mencari beberapa momen dipol rata-rata yang
dimiliki atom/molekul.

38. Untuk kemudahan kita
mengansumsikanbeberapa sifat berikut
 i) Tidak ada interaksi antra sesama dipol.
Interaksi hanya terjadi antra dipol dengan
medan listrik luar.
 ii) Tiap dipol hanya boleh mengambil salah
satu dari dua arah orinetasi, yaitu searah
medan listrik dan berlawanan arah dengan
arah medan listrik

39. Energi interaksi antara dipol dengan medan listrik adalah
:
dengan θ adalah sudut antara momen dipol dengan medan listrik. Jika dipol
searah medan maka energi interaksinya adalah :
dan jika berlawanan medan maka energi interaksinya
adalah :

40. Dengan demikianlah,pencarian momen dipol total persis sama
dengan saat kita mencari momen magnetic total, hanya saja
mengganti variable-veriabel yang ekivalen sebagai berikut:
Dengan melakukan penggantian tersebut akhirnya
kita dapatkan momen dipol rata-rata atom menjadi :

41. Persamaan Difusi Einstein
Selanjutnya kita meninjau difusi ion di ini sering
dimanfaatkan dalam proses elektroforesis di
mana medan listrik digunakan ntuk
menggerakkan partikel-partikel bermuatan
dalam zat cair.

42. Mari kita lihat sebuah assembel yang mengandung
sejumlah ion. Kita anggap tidak ada interaksi antar ion.
Interaksi hanya terjadi antara ion dan medan listrik yang
diterapkan. Misalkan muatan semua ion sama, yaitu q.
misalkan pula arah medan listrik sumbu sejajar adalah x.
Difusi yang akan kita bahas hanya difusi dalam arah
sejajar sumbu x. Kita menganggap kuat medan listrik
sama pada tiap titik dalam bahan. Gaya yang dialam ion
yang berada pada posisi x adalah F = qE sehingga
Energi potensial yang dimiliki ion yang berada pada
posisi x adalah :

43. Karena ion merupakan partikel klasik maka
distribusi Maxwell-Boltzmann digunakan
sehingga konsentrasi ion pada posisi x
memenuhi :

44. 11.8 Interpretasi
Statistik
tentang Entropi
Oleh: Samanta Rumiana
Sianipar
A1C314034

45. Pada suatu sistem PVT:
disini μ merupakan potensial Kimia.

46. Dari sudut pandang statistik, perubahan energi
adalah akibat perubahan jumlah “microstate” yang
mungkin.
ada hubungan antara model statistik dengan
entropi.
Dalam hal ini entropi dapat dihubungkan dengan
probabilitas termodinamik (jumlah “microstate”
dalam assembly)

47. Karena entropi merupakan besaran ekstensif, maka
entropi total S merupakan jumlah entropi-entropi S1
dan S2 dari individual sistem.
S = S1 + S2
Sementara itu
Ω = Ω1Ω2

48. Jadi entropi tidak mungkin berbanding lurus
dengan probabilitas termodinamika. Katakanlah
S merupakan fungsi tertentu dari Ω seperti S =
J(Ω), maka
J(Ω1) + J(Ω2) = J(Ω1Ω2)

49. Karena J(Ω1) hanya fungsi Ω1, maka
dengan cara yang sama:
sehingga
dari persamaan-persamaan tersebut:

50. dan karena Ω1 dan Ω2 independen, maka persamaan
tersebut hanya benar bila sama dengan suatu konstanta,
misal = a. Jadi untuk sebarang sistem:
sehingga J(Ω) = a ln Ω
Supaya sesuai dengan termodinamika klassik, a = k
(konstanta Boltzmann)

51. Kita tahu bahwa Ω merupakan jumlah “microstate”, penambahan
jumlah ini mencerminkan ketidakteraturan.