1. FISIKA KUANTUM
4 SKS
1

2. BAB 1
PENDAHULUAN
Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses
menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis.
Cahaya sebagai gelombang (Fresnel, Maxwell, Hertz) sangat
berhasil menjelaskan sifat-sifat cahaya.
Pada akhir abad 19, teori-teori klasik di atas tidak mampu
memberikan penjelasan yang memuaskan bagi sejumlah
fenomena “berskala-kecil” seperti sifat radiasi dan interaksi
radiasi-materi.
Akibatnya, dasar-dasar fisika yang ada secara radikal diteliti-ulang
lagi, dan dalam perempat pertama abad 20 muncul berbagai
pengembangan teori seperti relativitas dan mekanika kuantum.
2

3. 1.1 Radiasi Benda-hitam
Benda-hitam: penyerap semua radiasi
elektromagnet yang mengenainya, atau pengemisi E(λ)
semua radiasi elektromagnet yang dimiliknya.
T1>T2
Berdasarkan termodinamika, distribusi panjang
gelombang spektrumnya hanya bergantung pada T1
temperatur tidak pada jenis bahan benda-hitam.
Stefan (1879): total energi yang dipancarkan T2
adalah:
Eksp λ
E = (4σ / c)T 4
Raleigh-Jean
Wien
σ adalah konstanta dan c=3x108 m/s adalah
kecepatan cahaya dalam ruang hampa.
Wien (1893): panjang gelombang di mana rapat energi radiasi maksimum
berbanding lurus dengan 1/T.
λmaxT=konstan; disebut hukum pergeseran Wien
3

4. Menurut teori medan listrik-magnet, gelombang elektromagnet
diemisikan oleh osilator muatan-muatan listrik.
Bilamana osilator-osilator dalam kesetimbangan dengan radiasi dalam
benda-hitam, maka rapat energi radiasi per satuan volum adalah:
8πν 2
E(ν ) = 3 u(ν ) u(ν)= energi rata-rata osilator dengan frekuensi ν.
c
Hukum energi ekipartisi: energi rata-rata itu adalah u(ν)=kBT di mana
kB=1,3806 x 10-23 J/K adalah konstanta Boltzmann. Dengan c=λ ν,
8π
E(λ ) = kBT
λ4
Inilah rumusan Raleigh-Jeans, yang ternyata hanya berlaku pada panjang
gelombang yang besar.
4

5. Max Planck (1900):
Suatu benda-hitam adalah kumpulan osilator dalam kesetimbangan dengan
medan radiasi.
Suatu osilator dengan frekuensi ν hanya bisa memiliki energi:
ε n = nhν ; n = 0,1, 2, .....
h=6,624 x 10-34 Js disebut konstanta Planck, dan hν disebut kuantum
energi.
Energi rata-rata per osilator dengan frekuensi ν adalah:
∑ ε exp( − ε / k T )
n n B
hν
u (ν ) = n=0 u (ν ) =
∑ exp( − ε / k T )
n=0
n B
exp( h ν / k B T ) − 1
Akhirnya diperoleh:
8πν 2 hν Inilah rumusan Planck yang sesuai kurva
E(ν ) = 3 hυ / kBT radiasi benda hitam secara lengkap.
c e −1
5

6. Untuk panjang gelombang yang besar berlaku pendekatan
exp(hυ/kBT)=exp[hc/(λ kBT)] ≈1+ hυ /kBT
8πν 2 hν 8πν 2 persamaan dari Raleigh-Jeans.
E (ν ) = 3 hυ / k BT = 3 kBT
c e −1 c
Persamaan dapat diungkapkan dalam λ sebagai berikut:
8πhc 1
E (λ ) =
λ5 ehc / λk T − 1
B
Misalkan x=hc/λkBT, maka
8πk BT 5 x 5
5
E(λ ) = 4 4 x
c h e −1
Untuk memperoleh E(λ) maksimum, harus dipenuhi dE/dx=0; jadi,
e−x + 1
5 x −1 = 0 x=4,9651
λT=hc/(4,9651 kB)=2,8978x10-3 mK. hukum pergeseran Wien
6

7. 1.2 Efek Foto Listrik
hv
K
logam
Dalam pengamatan ternyata:
(i) untuk suatu jenis logam ada frekuensi cahaya minimal yang dapat
melepaskan elektron, dan
(ii) semakin tingi intensitas cahaya yang mengenai permukaan logam,
semakin banyak elektron yang dilepaskan.
7

8. 1.3 Dualisme Gelombang-Partikel
Hasil-hasil eksperimen interferensi dan difraksi membuktikan bahwa teori tentang
cahaya sebagai gelombang telah mantap pada penghujung abad 19, terlebih lagi
karena keberhasilan teori elektromagnetik Maxwell.
Einstein (1905) menolak teori tersebut berdasarkan fenomena efek foto-listrik dimana
permukaan logam melepaskan elektron jika disinari dengan cahaya berfrekuensi
ν ≥W /h W adalah fungsi kerja logam (=energi ikat elektron dipermukaan logam).
Menurut Einstein, dalam fenomena tersebut cahaya harus dipandang sebagai
kuanta yang disebut foton, yakni partikel cahaya dengan energi kuantum E=hν.
Dalam teori relativitas khususnya (1905), hubungan energi dan momentum suatu
partikel diungkapkan sebagai berikut:
2
⎛E⎞ p adalah momentum partikel, dan mo adalah massa
⎜ ⎟ = p + mo c
2 2 2
⎝c⎠ diam partikel bersangkutan
Untuk foton, karena tidak mempunyai massa diam, sedangkan energinya E=hυ,
maka momentum foton adalah
E h
p= = . Adanya momentum inilah yang mencirikan sifat partikel dari cahaya.
c λ
8

9. Arthur H. Compton (1924)
Mengamati perubahan panjang gelombang sinar-X setelah dihamburkan oleh
elektron bebas.
sinar-X terhambur
sinar-X datang λ’
θ
λ φ
elektron terhambur
Jika λ dan λ’ adalah panjang gelombang sinar-X sebelum dan setelah terhambur,
dan me adalah massa diam elektron, maka diperoleh hubungan:
h Dapat dibuktikan dengan hukum kekekalan
λ' − λ = (1 − cos θ ) momentum dan energi
mec
h/mec=0,00243 nm, disebut panjang gelombang Compton.
λ’>λ energi foton terhambur (E’) lebih kecil daripada energi foton datang (E).
9

10. Louis de Broglie :
Mengemukakan bahwa tidak hanya cahaya yang memiliki sifat “mendua”, tetapi juga
partikel.
Suatu partikel dapat juga memiliki sifat gelombang. Menurut de Broglie suatu partikel
yang memiliki momentum p jika dipandang sebagai gelombang, mempunyai panjang
gelombang:
h
λ = . Panjang gelombang ini disebut panjang gelombang de Broglie.
p
Clinton Davisson dan Lester Germer (1927):
Memperlihatkan efek difraksi dari berkas elektron
ketika melalui celah sempit sebagaimana cahaya. berkas
elektron θ
Andaikan a adalah lebar celah dan posisi sudut
untuk ‘gelap’ pertama adalah θ, maka berlaku
a sinθ= λ
10

11. Momentum p=mv dan energi E=p2/2m=½mv2
Kecepatan fasa:
vf=λυ=(h/p)(E/h)=E/p=p/2m=½v.
Aneh tapi tidak penting karena tak punya arti fisis.
Yang penting adalah kecepatan grup, yakni
vg=dω/dk, di mana ω=2πυ dan k=2π/λ.
Dengan E=p2/2m,
vg =dω/dk=dE/dp=p/m=v. x
Δx
Kecepatan grup dari gelombang partikel
sama dengan kecepatan partikel itu
sendiri.
11

12. 1.2 Spektroskopi Atom Hidrogen
Johann Balmer (1885):
Eksperimen menunjukkan bahwa panjang gelombang-panjang gelombang semua garis
spektrum atom hidrogen bisa diungkapkan dengan rumus empiris:
1 ⎛1 1⎞
= R⎜ 2 − 2 ⎟ dengan R =1.097x107 m-1 disebut konstanta Rydberg.
λn ⎝2 n ⎠
Balmer dan Ritz: mengemukakan rumus yang lebih umum,
1 ⎛ 1 1⎞
= R⎜ 2 − 2 ⎟; n > m
λn ⎝m n ⎠
Dengan rumusan empiris ini, Lyman menemukan deret ultraviolet untuk m=1, n=2, 3,
4, … dan Paschen menemukan deret inframerah untuk m=3, n=4, 5, 6, …
Bagaimana sebenarnya struktur atom?
Ernest Rutherford (1911):
Berdasarkan percobaan hamburan partikel-α, menyarankan struktur atom terdiri dari inti
bermuatan positif dan elektron-elektron yang mengitarinya.
Sayangnya, teori fisika pada masa itu tak mampu menjelaskan hasil penemuan
Rutherford dalam kaitannya dengan rumusan Balmer-Ritz di atas.
12

13. BAB 2
DASAR-DASAR FISIKA KUANTUM
2.1 Persamaan Gelombang
Tinjaulah getaran sebuah kawat halus yang diregang sepanjang sumbu-x dengan
kedua ujungnya dibuat tetap. Misalkan simpangan pada sembarang posisi dan waktu
adalah ψ(x,t).
Dalam teori gelombang simpangan itu memenuhi persamaan gelombang seperti:
∂ 2ψ ( x , t ) 1 ∂ 2ψ ( x , t )
= 2 v adalah kecepatan fasa
∂x 2 v ∂t2
Misalkan ψ ( x , t ) = ψ ( x ) φ (t )
v 2 d 2ψ ( x ) 1 d 2 φ (t )
= =−ω2
ψ ( x) dx 2
φ (t ) dt 2
d 2 φ (t ) φ ( t ) = A sin (ω t + δ )
+ ω 2φ (t ) = 0
dt 2
d 2ψ (x) ω 2 ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞
+ 2 ψ (x) = 0 ψ ( x) = C sin ⎜ x ⎟ + D cos⎜ x⎟
dx 2
v ⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠
13

14. ω=2πυ, υ adalah frekuensi dan δ adalah konstanta; karena v adalah kecepatan
merambat maka panjang gelombang λ=v/υ.
Untuk konstanta C dan D diperlukan syarat batas, misalnya untuk fungsi di atas,
pada x=0, dan x=L dengan L adalah panjang kawat. Andaikan, untuk x=0, ψ(0)=0
maka D=0,
⎛ 2π ⎞
ψ ( x) = C sin ⎜ x⎟
⎝ λ ⎠
Selanjutnya jika di x=L, ψ (L)=C sin(2πL/λ)=0 maka sin(2πL/λ)=0, sehingga:
2L
= n; n = 1, 2, ..... n disebut nomor modus normal.
λ
⎛ nπ ⎞
maka: ψn ( x) = C sin⎜ x ⎟
⎝L ⎠
⎛ nπ ⎞
Akhirnya: ψn ( x, t ) = B sin⎜ x ⎟ sin (ωt + δ)
⎝L ⎠
14

15. 2.2 Persamaan Schrödinger
Tinjaulah sebuah partikel yang memiliki massa m, bergerak dengan momentum p di
dalam suatu medan konservatif. Menurut mekanika klasik, energi total partikel adalah
jumlah energi kinetik dan potensial:
p2
E = +V p = 2 m( E − V )
2m
Sebagai gelombang, kecepatan fasa gelombang partikel itu
E E
v= =
p 2m ( E − V )
Misalkan ψ(x,t) adalah fungsi gelombang partikel, maka persamaan gelombang:
∂ 2ψ ( x , t ) 2 m ( E − V ) ∂ 2ψ ( x , t )
=
∂x 2 E2 ∂t2
Suatu fungsi gelombang partikel dengan energi tetap berkaitan dengan frekuensi
tetap. Untuk itu ψ(x,t) memenuhi
− iω t
ψ ( x, t ) = ψ ( x ) e
15

16. Mengingat E = hω dan h = h / 2π
∂2ψ( x, t ) 2m(E −V )
=− ψ( x, t )
∂x2 h2
Akhirnya diperoleh persamaan:
∂ 2ψ ( x) 2m
+ ( E − V )ψ ( x) = 0 Persamaan Schrodinger 1-dimensi
∂x 2 h
Untuk tiga dimensi persamaan Schrödinger ini adalah:
2m
∇2ψ ( x, y, z) + ( E − V )ψ ( x, y, z) = 0
h2
Bagian waktu exp(-iωt) telah dihilangkan sementara karena tak mempunyai pengaruh,
dan selanjutnya persamaan itu disebut persamaan Schrödinger yang tak bergantung
waktu bagi sebuah partikel dalam satu dimensi.
V adalah energi potensial yang bentuknya harus diketahui sebelumnya, sedangkan
fungsi gelombang ψ(x) dan energi E dari partikel bersangkutan merupakan solusi
yang harus dicari dari persamaan tersebut.
16

17. Persamaan Schrödinger di atas dapat dituliskan sebagai berikut
Hψ ( x ) = Eψ ( x ) (*)
ˆ
2
dengan h disebut hamiltonian partikel, yakni operator energi
H = − ∇2 +V
ˆ
2m total dari partikel.
Dalam bahasa matematik, E adalah harga eigen dari operator H dengan fungsi
eigen ψ(x). Persamaan (*) disebut persamaan harga eigen.
Turunan pertama terhadap waktu untuk fungsi gelombang ψ(x,t) dalam hal. 14 adalah:
∂ψ ( x, t )
= −iωψ ( x, t )
∂t
Karena E=ħω maka diperoleh
∂ψ ( x, t ) ∂ψ ( x, t )
ih = Eψ ( x , t ) Hψ ( x, t ) = ih
ˆ
∂t ∂t
Ini disebut persamaan Schrödinger yang bergantung waktu bagi sebuah partikel .
17

18. 2.3 Sifat-sifat suatu Fungsi Gelombang
Untuk fungsi gelombang partikel yang tidak bergantung waktu, ψ(x),
ψ ( x ) 2 dx disebut peluang menemukan partikel di antara x dan x+dx.
ψ ( x) 2
rapat peluang partikel berada di x
Total peluang untuk menemukan partikel itu disepanjang sumbu-x adalah:
∞ ∞
∫ψ ( x)ψ ( x) dx = ∫ ψ ( x) 2 dx = 1 ψ* adalah konjugasi dari ψ.
*
−∞ −∞
Fungsi ψ(x) yang memenuhi persamaan di atas disebut fungsi yang dinormalisasi,
sedangkan disebut rapat peluang.
Suatu fungsi gelombang partikel harus memiliki kelakuan yang baik, yakni:
• tidak sama dengan nol dan bernilai tunggal, artinya untuk suatu harga x, ψ(x)
memiliki hanya satu harga saja.
• fungsi dan turunannya kontinu di semua harga x, dan
• fungsi (harga mutlaknya) tetap terbatas (finite) untuk x menuju ±∞;
18

19. ⎛ nπ ⎞
Contoh: ψ ( x) = C sin ⎜ x ⎟
⎝ L ⎠
∞
⎛ nπ ⎞
L
∫ ψ (x) dx = C ∫ sin ⎜ x ⎟ dx = 1
2 2 2
−∞ 0 ⎝ L ⎠
sin2θ=(1-cos2θ)/2, maka hasil integral di atas adalah C2(L/2)=1 sehingga C = 2 / L
Jadi secara lengkap fungsi yang dinormalisasi adalah
2 ⎛ nπ ⎞
ψ ( x) = sin ⎜ x⎟
L ⎝ L ⎠
Jika ψ(x) adalah kombinasi linier dari sekumpulan fungsi-fungsi {ϕn(x)}, maka
penulisannya secara umum adalah seperti:
ψ ( x) = ∑ c nϕ n ( x) cn adalah koefisien bagi fungsi ϕn(x) yang bisa ril atau
n kompleks.
∞
cm = ∫ϕm (x)ψ (x) dx Jika ϕn(x) adalah fungsi-fungsi yang dinormalisasi dan
*
−∞ ortogonal satu sama lain.
19

20. Jika fungsi-fungsi {ϕn(x)} selain ternormalisasi juga ortogonal (disebut ortonormal)
satu sama lain maka berlaku
∞ =1; m=n
∫ ϕ m ( x ) ϕ n ( x ) dx = δ mn δ disebut kronecker delta
*
−∞ =0; lainnya
Jika ψ(x) fungsi yang dinormalisasi, maka
∞ ∞
∫ ψ ( x )ψ ( x ) dx = 1
*
∑c c *
m n ∫ φm (x)φn (x)dx = 1
*
∑c c δ
m,n
*
m n mn =1
−∞ m,n −∞
Jadi, ∑c c
n
*
n n =1
Untuk memudahkan penulisan, fungsi-fungsi dituliskan dalam ket seperti φn
dan konjugasinya dalam bra seperti φn
Integral overlap dituliskan seperti:
∞
∫ ϕ k ( x) ϕ l ( x) dx = ϕ k ϕ l
*
−∞
20

21. Ortogonalisasi Schmidt
Andaikan φ1 dan φ2 adalah fungsi-fungsi yang non-ortogonal satu terhadap
lainnya.
Misalkan ϕ1=φ1, lalu pilih ϕ2=φ2+αφ1. Besarnya α dihitung atas dasar ϕ1 dan ϕ2
yang ortogonal satu sama lain.
∫ ϕ 1 ϕ 2 dx = ∫ φ1*φ 2 dx + α ∫ φ1*φ1 dx = 0
*
α =−
∫ φ 1*φ 2 dx
∫ φ 1*φ 1 dx
2.4 Operator Fisis
Setiap besaran fisis suatu partikel dikaitkan dengan operatornya; misalnya
operator bagi energi total adalah Ĥ seperti diperlihat dalam persamaan:
2
ˆ = − h ∇2 + V
H
2m
Operator energi potensial
Operator energi kinetik
21

22. Bagi suatu operator besaran fisis berlaku istilah matematik berikut:
1. Harga suatu besaran fisis adalah nilai eigen dari operatornya;
2. Setiap nilai eigen dari suatu operator berkaitan dengan suatu fungsi eigen; nilai
eigen adalah ril.
Persamaan harga eigen:
Hψ ( x) = Eψ ( x)
ˆ
fungsi eigen partikel
nilai eigen; energi partikel
operator energi total; disebut hamiltonian partikel
3. Secara umum harga rata-rata suatu besaran fisis pada fungsi keadaannya
memenuhi persamaan
∞
operator besaran fisis
∫ψ * ( x) Aψ (x) dx
ˆ
Aav = −∞
∞
∫
−∞
ψ * (x)ψ ( x) dx
fungsi keadaan partikel
harga rata-rata besaran fisis
22

23. Bagi fungsi keadaan yang dinormalisasi
∞
Aav = ∫ψ * ( x) Aψ ( x) dx
ˆ
−∞
Andaikan: Aϕn (x) = an ϕn (x)
ˆ
ψ ( x ) = ∑ c nϕ n ( x )
n
Jika {ϕn} adalah fungsi-fungsi yang ortonormal
Aav = ∫ψ * ( x) Aψ ( x) d x = ∑cm cn ∫ ϕm ( x) Aϕn ( x)dx
ˆ * * ˆ
mn
= ∑cm cn an ∫ ϕm ( x)ϕn ( x)dz = ∑cm cn anδ mn
* * *
mn mn
= ∑cn cn an
*
n
Karena harga rata-rata suatu besaran fisis adalah ril maka berlaku
∫ψ * ( x) Aψ ( x)dx = ∫ [ Aψ ( x)]*ψ ( x)dx
ˆ ˆ
Secara matematik, operator yang memenuhi persamaan di atas disebut operator
hermitian.
23

24. Operator momentum:
Menurut de Broglie, sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu-x mempunyai
momentum linier px= ħk dengan k=2π/λ. Fungsi gelombang partikel itu adalah .
φ( x ) = ae ikx
Bagaimanakah bentuk operator momentum yang memiliki harga eigen px= ħk ?
Untuk itu berlaku persamaan nilai eigen:
p xϕ ( x ) = hk ϕ ( x )
ˆ
φ( x ) = ae ikx dϕ ( x )
h kϕ ( x ) = − ih
dx
⎛ d ⎞
p xϕ ( x) = ⎜ − ih ⎟ϕ ( x)
ˆ
⎝ dx ⎠
Jadi operator momentum linier adalah:
d
px ≡ −ih
ˆ Ingat, energi kinetik:
dx
px
ˆ2 1 ⎛ d ⎞⎛ d⎞ h 2 d2
Secara umum, operator momentum: K=
ˆ = ⎜ − ih ⎟⎜ − ih ⎟ = −
p = − ih ∇
ˆ 2m 2m ⎝ dx ⎠⎝ dx ⎠ 2m dx2
24

25. Komutator:
Tinjau dua buah operator: ˆ ˆ
A dan B
Jika keduanya merupakan operator besaran fisis maka didefinisikan komutatornya
seperti
[ A, B] = AB − BA
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
Jika [ A, B ] = 0
ˆ ˆ Kedua operator disebut komut.
Contoh, tentukan komutator operator-operator x dan d/dx ! Gunakan fungsi ϕ(x)
sebagai alat bantu:
d dϕ ( x ) d
[ x, ]ϕ ( x ) = x[ ]− [ x ϕ ( x )]
dx dx dx
dϕ ( x ) dϕ ( x )
= x − ϕ ( x) − x
dx dx
= −ϕ ( x )
⎡ d ⎤ ⎡ d ⎤
, x⎥ = 1
⎢ x , dx ⎥ = − 1
Jadi: Buktikan: ⎢ dx
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
25

26. Dua buah operator yang komut satu sama lain, mempunyai
fungsieigen yang sama.
Aψ = aψ ; Bψ = bψ
ˆ ˆ
s
ABψ − BAψ = baψ − abψ = 0
ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆˆ [ ]
AB − BA = 0 → A, B = 0
ˆ ˆ
26

27. 2.5 Persamaan Gerak Heisenberg
Secara umum jika Aav adalah harga rata-rata operator ˆ
A besaran fisis dengan fungsi
gelombang ψ(x,t) maka:
∞
Aav = ∫ψ * ( x, t ) Aψ ( x, t ) dx
ˆ
−∞
Variasi harga rata-rata itu terhadap waktu adalah
dAav ∞ ⎛ * ∂A ˆ ∂ψ* ˆ * ˆ ∂ψ
⎞
= ∫⎜
⎜ψ ψ+ Aψ + ψ A ⎟dx
dt −∞⎝ ∂t ∂t ∂t ⎟
⎠
Mengingat: Hψ ( x) = ih
ˆ ∂ψ ( x, t )
∂t
dan ˆ [ *
]
Hψ ( x) = −ih
∂ψ * ( x, t )
∂t
∂ψ * ˆ
∂t
ˆ ∂ψ 1 1 ˆˆ 1
[
Aψ + ψ * A = − ψ * HAψ + ψ* AHψ = ψ * AH − HA ψ = ψ * A, H ψ
∂t ih
ˆˆ
ih ih
ˆ ˆ ˆˆ ]1
ih
ˆ ˆ [ ]
dAav ⎛ ˆ 1 ˆ
* ∂A
⎞
maka = ∫ψ ⎜
⎜ + [ A, H ]⎟ψ dx
ˆ
⎟
dt ⎝ ∂t ih ⎠
27

28. Jadi, dAav
dt
= ∫ψ
ˆ
* dA
dt
ψ dx dengan
d A ∂A 1 ˆ ˆ
dt
ˆ
=
ˆ
+
∂t ih
[
A, H ]
dAˆ ˆ
Operator turunan dari A
dt
∂A
ˆ
Turunan dari ˆ
A
∂t
d A ∂A
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Jika operator A komut dengan H , maka =
dt ∂t
ˆ
Jika operator ˆ
A ˆ, juga tak bergantung waktu: dA = 0
selain komut dengan H
dt
Besaran fisis seperti itu disebut tetapan gerak dari partikel (kekal dalam
pengertian klasik).
28

29. 2.6 Representasi Matriks
Tinjau persamaan harga eigen: Aψ = aψ
ˆ
N
Misalkan: ψ = ∑ c iφ i
i =1
maka ∑c Aφ
j
ˆ
j j = a∑c jφ j
j
Kalikan dari dengan φi*
∑c ∫φ Aφ dτ = a∑c ∫φ φ dτ
ˆ
j
*
i j j
*
i j ∑cj
j Aij = aci
j j
A11c1 + A12c2 + ..........+ A1N cN = ac1
. ⎛ ( A11 − a) A12 A13 .............. A1N ⎞ ⎛ c1 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
A21c1 + A22c2 + ..........+ A2N cN = ac2
. ⎜ A21 ( A22 − a ) A23 ...............A2 N ⎟ ⎜ c2 ⎟
A31c1 + A32c2 + ..........+ A3N cN = ac3
. ⎜ A31 A32 ( A33 − a) .......... A3 N ⎟ ⎜ c3 ⎟ = 0
⎜ ⎟⎜ ⎟
..........
..........
..........
..........
....... ⎜............................................................ ⎟ ⎜... ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
AN1c1 + AN 2c2 + ..........+ ANNcN = acN
. ⎝ AN1 AN 2 AN 3 ....... ( ANN − a) ⎠ ⎝ c N ⎠
29

30. Jika elemen-elemen Aij diketahui maka harga a dapat ditentukan sebagai solusi
dari polinom yang diperoleh dari determinan:
( A11 − a) A12 A13 ................... A1N
A21 ( A22 − a ) A23 ................... A2 N
A31 A32 ( A33 − a) ................... A3N = 0
................................................
AN1 AN 2 AN 3 ................... ( ANN − a)
Contoh
ˆ ⎛ 0 1⎞ ⎛ − a 1 ⎞⎛ c1 ⎞
A=⎜
⎜1 0 ⎟
⎟ ⎜1 − a ⎟⎜ c ⎟ = 0
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 2 ⎠
−a 1
=0 a2-1=0, a1=-1 dan a2=1.
1 −a
Dengan a1 diperoleh c1= -c2=1/√2 ψ1 = 1
2
(φ1 −φ2 )
dengan a2 diperoleh c1=c2=1/√2 ψ2 = 1
2
(φ1 + φ2 )
30

31. 31

32. BAB 3
SISTEM DENGAN POTENSIAL SEDERHANA
Persamaan Schrödinger untuk 1 partikel yang tidak bergantung waktu untuk suatu
partikel h 2 d 2ψ ⎛ h2 d 2 ⎞
+ ( E − V )ψ = 0 ⎜−
⎜ 2 m dx 2 + V ⎟ψ = E ψ
⎟
2 m dx 2 ⎝ ⎠
dapat diselesaikan jika bentuk potensial V diketahui sebelumnya.
3.1 Potensial Tangga V
Sebuah elektron datang dari x-negatif menuju x-positif. Di
x=0 elektron itu menghadapi potensial tangga sebesar Vo. Vo
Jika energi total elektron, E< Vo, secara klasik elektron
akan terpantul sepenuhnya. E
Bagaimana menurut kuantum?
0 x
Di daerah x<0, V=0; misalkan fungsi gelombangnya adalah ψ1(x).
h 2 d 2 ψ1 2me E
+ Eψ1 = 0 ψ 1 ( x) = Aeikx + Be−ikx ; k 2 =
2m e dx 2 h2
gelombang datang gelombang pantul.
32

33. Di daerah x>0, V=Vo; misalkan fungsi gelombang elektron adalah ψ2(x)
h2 d 2ψ2
+ (E −Vo )ψ2 = 0
2me dx2
Karena E<Vo, maka solusi bagi fungsi ψ2(x) merupakan fungsi eksponensial menurun
seperti:
−Kx 2me (Vo − E ) 2meVo
ψ2 (x) = Ce K2 = = − k2
h2 h2
Di x=0, ψ1 dan ψ2 harus bersambung agar fungsi gelombang itu kontinu;
Syarat kontinu:
ψ1
dψ1 ( x) dψ 2 ( x) ψ2
ψ1 (0) = ψ2 (0); dan =
dx x =0 dx x =0
A+ B =C ik ( A − B ) = − KC 0 x
k − iK −ikx
ψ 1 ( x) = Aeikx + Ae ; x < 0
k − iK 2k k + iK
B= A; C = A
k + iK k + iK 2k
ψ 2 ( x) = Ae − Kx ; x > 0
k + iK
33

34. Kerapatan peluang elektron di x>0 dapat dihitung dengan menggunakan ψ2(x):
4k 2 4E 2 −2 Kx
ψ 2 ( x) = 2 A e −2 Kx =
2 2
A e
k +K 2
Vo
Jadi, meskipun mengalami potensial penghalang yang lebih besar dari energinya,
elektron masih mempunyai peluang berada di x>0.
Peluang itu menuju nol jika Vo>>E, atau di x=∞.
⏐C/A⏐2= 4k/(k2+K2)=4E/Vo adalah koefisien transmisi yang secara klasik tak dapat
diramalkan.
3.2 Potensial Tangga Persegi
V
Sebuah elektron datang dari x-negatif menuju x-
positif. Eleketron menghadapi potensial tangga
seperti: Vo
V ( x) = Vo ; 0 ≤ x ≤ a E
= 0; x < 0, x > a
Sepanjang perjalanannya energi total elektron, E< Vo. 0 a x
Karena V=0, fungsi gelombang elektron sebagai solusi persamaan Schrodinger
dalam daerah x<0 sama dengan:
2me E
ψ 1 ( x) = Aeikx + Be−ikx ; k 2 =
h2 34

35. Dalam daerah 0<x<a, karena E<Vo: fungsi gelombang sebagai solusi persamaan
Schrodinger adalah
2m (V − E) 2meVo
ψ 2 ( x) = Ce + De
Kx − Kx K2 = e o
h 2
= 2 − k2
h
Di daerah x>a, V=0; maka fungsi gelombang di sana adalah:
ψ 3 ( x ) = Fe ikx Hanya arah ke kanan saja.
Syarat kontinuitas di x=0 dengan menggunakan fungsi-fungsi ψ1(x) dan ψ2(x), akan
memberikan hubungan:
A+ B = C + D
ik ( A − B) = K (C − D)
dan syarat kontinuitas di x=a dengan menggunakan ψ2(x) dan ψ3(x), memberikan
Ce Ka + De − Ka = Fe ika
K (Ce Ka − De − Ka ) = ikFe ika
Dengan mengeliminasi C dan D, akan diperoleh:
2 2
B Vo2 sinh2 (Ka) F 4 E (Vo − E )
= 2 =
A Vo sinh (Ka) + 4E(Vo − E)
2 2
A
2
Vo2 sinh 2 ( Ka) + 4 E (Vo − E )
35

36. Ilustrasi fungsi gelombang-fungsi gelombang:
ψ2(x)
ψ1(x)
ψ3(x)
0 a x
2 2
B / A merupakan koefisien pantulan di x=0 dan F 2 / A 2 adalah koefisien transmisi di
x=a. Jadi, secara kuantum elektron dapat menerobos potensial penghalang meskipun
energinya lebih kecil daripada potensial penghalang. Fenomena inilah yang disebut
sebagai efek terobosan (tunnel effect).
Terobosan partikel berlangsung dalam peluruhan radioaktif. Suatu V(r)
partikel-α (= inti atom He) mengalami gaya dorong elektrostatik inti
hingga jarak 10-8 μm dari inti Uranium. Kurang dari jarak itu gaya E
bersifat tarikan dan berbentuk sumur potensial seperti diperlihat-
r
kan dalam Gb. Partikel-α dalam sumur itu dapat menerobos
penghalang (tarikan) dan selanjutnya terdorong keluar.
Eksperimen menunjukkan bahwa energi partikel itu lebih kecil
daripada penghalang.
36

37. 3.3 Sumur Potensial Persegi Tak Terhingga
Andaikanlah suatu elektron dalam pengaruh potensial V=∞
berbentuk sumur tak terhingga berdimensi-1 seperti
berikut:
V (x) = 0; − a < x < a
= ∞; x ≥ a, x ≤ −a
-a 0 a x
Elektron terperangkap dalam daerah –a<x<a, dan sama sekali tak dapat ke luar daerah
itu. Dengan perkata lain peluang elektron berada di x>a dan di x <-a sama dengan nol.
Oleh sebab itu, jika ψ(x) adalah fungsi gelombangnya, maka
ψ(−a) = ψ(a) = 0
Karena V=0 dalam daerah –a<x<a, maka persamaan Schrödinger bagi elektron
tersebut adalah:
h 2 d 2ψ d 2ψ 2me E
+ Eψ = 0 atau + k 2ψ = 0; k 2 = 2
2me dx 2 dx2 h
Solusinya adalah ψ ( x ) = C cos kx dan ψ ( x ) = D sin kx
Dengan syarat batas di x=a diperoleh
ψ n ( x) = C cos (nπx / 2a ) untuk n=1,3,5,…
ψ n ( x) = D sin (nπx / 2a) untuk n=2,4,6 ... 37

38. a
Harga C dan D dihitung melalui normalisasi fungsi, yakni: ∫ψ n ( x)ψ n ( x) dx = 1
*
−a
Hasilnya adalah C=D=1/√a, sehingga fungsi-fungsi eigen adalah:
1 ⎛ nπ ⎞ 1 ⎛ nπ ⎞
ψn (x) = cos⎜ x⎟; n = 1, 3, 5...... .ψn (x) = sin⎜ x⎟; n = 2, 4, 6.......
a ⎝ 2a ⎠ a ⎝ 2a ⎠
ψ3 ⏐ ψ 3⏐ 2
ψ2 ⏐ ψ 2⏐ 2
ψ1 ⏐ ψ 1⏐ 2
-a 0 a x -a 0 a x
Fungsi-fungsi ini membentuk set ortonormal; artinya: ∫ ψ n ( x )ψ n ' ( x ) dx =δ nn '
*
Selanjutnya, diperoleh harga eigen energi:
ψ4
E4=16E1
2⎛ π h ⎞
2 2
En = n ⎜ ⎟
⎜ 8m a2 ⎟; n = 1, 2, 3,.... ψ3
⎝ e ⎠ E3=9E1
Energi ini berharga diskrit (tidak kontinu, tapi ψ2
E2=4E1
bertingkat-tingkat) ditandai oleh bilangan ψ1
E1
kuantum n.
38

39. 3.4 Sumur Potensial Persegi Terhingga
Misalkan elektron terperangkap dalam sumur V
potensial terhingga seperti: Vo
V (x) = 0; − a < x < a E<Vo
= Vo ; x ≥ a, x < −a
-a a x
Jika energi E<Vo secara klasik elektron tak dapat ke luar daerah itu. Tetapi secara
kuantum, karena potensial itu terhingga elektron masih berpeluang berada diluar
daerah –a<x<a. Syarat batas hanyalah: ψ(±∞) = 0
Persamaan Schrödinger untuk daerah –a<x<a adalah:
h 2 d 2ψ d 2ψ 2me E
+ Eψ = 0 → 2 + k 2ψ = 0 k2 =
2me dx 2
dx h2
dengan mana diperoleh solusi berikut:
ψ ( x) = cos kx dan ψ (x) = sin kx di mana
Untuk daerah ⎟x⎟≥a, persamaan Schrödinger adalah:
h 2 d 2ψ
− + (Vo − E)ψ = 0
2me dx2
39

40. Jika energi elektron E<Vo maka ψ(x) merupakan fungsi exponensial yang menurun dan
menuju nol di ⎟x⎟=∞. Jadi, untuk ⎟x⎟≥a:
2me (Vo − E)
ψ ( x) = C e− K x dengan K2 =
h2
Syarat kontinu di x=±a :
cos ka = Ce − Ka tg (ka) ctg (ka) tg (ka) ctg (ka)
ka tg ka = Ka
− k sin ka = − KCe − Ka Ka
2meVo a 2
n=0 (ka) + ( Ka) =
2 2
sin ka = Ce − Ka h2
− Ka
ka ctg ka = − Ka n=1
k cos ka = − KCe
n=2
2me E
k2 =
h2 2meVo a 2
(ka) + ( Ka) =
2 2
2me (Vo − E) h2 n=3
K2 =
h2 π/2 π 3π/2 2π ka
Terlihat, jumlah tingkat energi sangat bergantung pada harga Voa2; misalnya untuk
Voa2≤(πħ2/4me) hanya ada satu, dan Voa2≤(πħ2/2me ) ada dua tingkat energi.
40

41. ψ3
ψ2
ψ1
ψo
-a 0 a
x
Jelas bahwa meskipun potensial yang dialami elektron itu terhingga, namun karena
E<Vo, energinya tetap diskrit.
Keadaan energi yang diskrit itu merupakan ciri dari partikel yang terikat dalam
sumur potensial.
Karena potensial itu berhingga, fungsi-fungsi eigen mempunyai ekor berbentuk
eksponensial menurun di luar sumur. Artinya, elektron masih mempunyai peluang
berada di luar sumur. Hal ini tidak mungkin secara klasik.
Quantum well, quantum dot, quantum wire adalah pengembangan dari
kasus ini dalam riset-riset laser dan optik. 41

42. 3.5 Sumur Potensial Persegi dengan Dinding
V
Misalkan pertikel berada dalam sumur potensial
terhingga seperti:
V (x) = ∞; x ≤ 0 0
a
x
= −Vo ; 0 < x < a E<0
= 0; x ≥ a -Vo
Di x=0, potensial itu ∞ sehingga elektron tidak mungkin berada di daerah x<0.
Bagaimanakah energi dan fungsi gelombang elektron jika E<0?
Di dalam daerah 0<x<a, persamaan Schrödinger adalah:
h2 d 2ψ1
+ (−E +Vo )ψ1 = 0
2me dx 2
d 2ψ 1 2me
+ k 2ψ 1 = 0 k2 = (Vo − E)
dx 2
h2
Solusinya: ψ 1 ( x) = Aeikx + Be−ikx
Karena ψ1(0)=0, maka A+B=0 atau B=-A
ψ 1 ( x ) = A(e ikx − e − ikx ) = C sin kx
42

43. Persamaan Schrödinger di daerah x>a adalah:
h 2 d 2ψ 2
− − Eψ 2 = 0
2me dx2
d 2ψ 2 K2 =
2 me E
− K 2ψ 2 = 0
dx 2 h2
ψ 2 ( x ) = D e − Kx
Syarat kontinu di x=a harus memenuhi ψ1=ψ2 dan dψ1/dx=dψ2/dx. Jadi,
C sin ka = D e − Ka k 2 exp( Ka)
2
D=C
kC cos ka = − KDe− Ka k2 + K2
dan ka ctg ( ka ) = − Ka
2meVo a 2
Di pihak lain: k a +K a =
2 2 2 2
h2
Dari kedua persamaan ini diperoleh grafik berikut:
43

44. 2meVo a 2
Ka (ka) + ( Ka) =
2 2
h2
Dari rumusan k dan K, tingkat-tingkat energi
elektron adalah: n=1
kn h 2
2
Kn h2
2
En = − Vo atau E n = −
2me 2 me
Di mana kn dan Kn diperoleh berdasarkan titik-
titik potong dalam gambar. Jadi, energi n=2
elektron diskrit, karena elektron terperangkap
0 π/2 π 3π/2 2π ka
dalam sumur potensial.
ψ4
Untuk Voa2<πħ2/4me tidak ada titik potong,
untuk πħ2/4me< Voa2<πħ2/2me hanya ada satu ψ3
titik potong, n=1, dan seterusnya.
ψ2
Bentuk fungsi-fungsi keadaan dapat digambarkan
dengan menggunakan hasil-hasil di atas: ψ1
0 a x
44

45. 3.6 Osilator Harmonis Sederhana
Dalam mekanika klasik, osilator harmonis sederhana adalah benda yang bergerak
osilasi dengan simpangan kecil dalam pengaruh gaya konservatif:
r r
F = −mω 2 x
m adalah massa, dan ω adalah 2π x frekuensi; gerak osilasi berbentuk sinusoida
dengan amplitudo A adalah:
V
x ( t ) = A sin ω t
E=½mω2A2
Dengan gaya konservatif tersebut, energi
potensial yang dimiliki benda adalah:
K(x)=E-V(x)
x r r
V ( x) = − ∫ F . dx = 1 mω 2 x 2
2
0 V(x)=½mω2x2
Energi total sebagai jumlah energi potensial (V)
-A 0 A x
dan energi kinetik (K) diperlihatkan dalam:
E = 1 mω 2 A2
2
Jadi, secara klasik osilator memiliki energi tunggal.
45

46. Bagaimana pandangan fisika kuantum?
Persamaan Schrödinger untuk suatu partikel berosilasi adalah:
d 2ψ ( x) 2m
+ 2 (E − V )ψ ( x) = 0
dx2 h
d 2ψ ( x )
dx 2
+
2m
h 2
(E − 1
2
)
mω 2 x 2 ψ ( x ) = 0
mω 2E
Lakukan penyederhanaan: a = ; c= ; z = ax
h hω
d 2ψ ( z )
+ ( c − z 2 )ψ ( z ) = 0
dz 2
Persamaan ini dapat diselesaikan dalam dua tahap.
Tahap pertama: untuk z yang besar c dapat diabaikan: (appr. Asimtotik)
− z2 / 2
ψ( z) ∝ e
Tahap berikutnya, nyatakan fungsi lengkap seperti:
ψ ( z) = H ( z) e − z
2
/2
46

47. Persamaan Schrodinger menjadi:
d 2 H ( z) dH
− 2z + (c − 1) H = 0
dz 2 dz
merupakan persamaan diferensial Hermite. Solusinya adalah polinom Hermite
sebagai berikut:
H n( z) = (−1) end n −z2
dz n
z2
( )
e ; n = 0,1, 2, ............ n = 1 (c − 1) = 0, 1, 2, ......
2
sehingga fungsi-fungsi eigen (keadaan) adalah:
−1 z2 1
ψ n ( z) = N n H n ( z) e 2
; Nn =
2 n n!π 1/ 2
− 1 a2 x2 a
ψ n ( x) = N n H n (ax) e 2 ; N n = n 1/ 2 ψ n ( x) = aψ n ( z)
2 n!π
di mana adalah faktor normalisasi dan n merupakan bilangan kuantum .
Contoh fungsi-fungsi keadaan:
−1 − 1 z2
H o ( z) = 1 ψ o ( z) = π 2
e 2
Fungsi-fungsi eigen ini membentuk
H 1 ( z) = 2z ψ 1 ( z ) = 2π
−1
2
ze
− 1 z2
2
set yang ortonormal.
H 2 ( z) = 4 z 2 − 2 −1 − 1 z2
ψ 2 ( z) = 1
2 π 2 (2 z 2 − 1)e 2
47

48. 2E
Dari c= dan n = 1 (c − 1)
2
hω
diperoleh energi eigen (keadaan) bersangkutan:
En = (n + 1 )hω; n = 0,1, 2, ......
2
Terlihat bahwa, karena partikel terperangkap dalam potensial V, maka energinya diskrit.
Frekuensi osilator lebih kurang sama dengan frekuensi bunyi; oleh sebab itu,
hω disebut fonon. Jadi, fungsi keadaan ψn dikatakan mengandung n buah fonon.
V
ψ2
Untuk lebih jelasnya, fungsi-fungsi keadaan
E2
diperlihatkan dalam gambar. Fungsi keadaan ψ1
−1 − 1 z2 E1
ψo ( z) = π e 2 2
ψo
Eo
disebut keadaan dasar dengan energi Eo=½ħω.
z
48

49. Sifat-sifat penting polinom Hermite:
(i). Hubungan rekursif:
H n +1 ( z ) = 2 z H n ( z ) − 2 n H n −1 ( z )
dH n ( z )
= 2n H n−1 ( z )
dz
(ii). Sifat ortogonalitas:
∞
∫ e − z H m ( z ) H n ( z ) dz = 2 n n! π 1 / 2 δ mn
2
−∞
Dengan sifat-sifat di atas, diperoleh sifat-sifat fungsi keadaan:
(i) Hubungan rekursif:
2 n
ψn+1 ( z) = zψn ( z) − ψn−1 ( z)
n +1 n +1
dψ n ( z) n n +1
= ψ n−1 ( z) − ψ n+1 ( z)
dz 2 2
(ii) Sifat ortonormalitas: ∞
−∞
∫ψ m ( z )ψ n ( z ) dz = δ mn
49

50. Contoh:
1. Hitunglah gaya pegas rata-rata.
F = − mω 2 x
∞ ∞
Fave = − m ω ∫ψ n ( x )xψ n ( x ) dx = −ω m hω ∫ψ n ( z )zψ n ( z ) dz
2
−∞ −∞
2. Hitunglah harga rata-rata energi potensial.
V= 1
2 mω 2 x 2
∞ ∞
Vave = mω ∫ ψ n ( x) x ψ n ( x)dx = hω ∫ ψ n ( z ) z 2ψ n ( z )dz
1 2 2 1
2 2
−∞ −∞
3. Hitunglah harga rata-rata energi kinetik
h2 d 2
K =−
2m dx 2
∞ ∞
h2 ⎡ d2 ⎤ ⎡ d2 ⎤
2m −∫
K ave = − ψ n ( x ) ⎢ 2 ψ n ( x ) ⎥ dx = − 1 2 hω ∫ ψ n ( z ) ⎢ 2 ψ n ( z ) ⎥ dz
∞ ⎣ dx ⎦ −∞ ⎣ dz ⎦
50

51. Ungkapan lain dari osilator harmonik
d 2ψ n ( z )
+ (c − z 2 )ψn ( z) = 0
dz 2
⎛ d2 ⎞
2 E n ⎜ − 2 + z 2 ⎟ψ n ( z) = 2(n + 1 2 )ψ n ( z)
c= ⎜ dz ⎟
hω ⎝ ⎠
a + aψ n = nψ n
ˆ ˆ
Misalkan:
1 d 1 d d 2 a a + ψ n = ( n + 1)ψ n
ˆˆ
a=
ˆ (z + ); a+ = (z − );
ˆ 2a + a + 1 ≡ 2aa + − 1 = −
ˆ ˆ ˆˆ + z2
2 dz 2 dz dz 2
Operator a + a mempunyai nilai eigen n dengan fungsi keadaan ψn; karena n menyatakan
ˆ ˆ
jumlah fonon dalam keadaan ψn maka operator ini disebut operator okupasi.
Karena 1
2 hω(2 aa + − 1)ψ n ( z ) = hω(n + 1 ) ψ n ( z )
ˆˆ 2
maka hω( aa + − 1 2 ) merupakan operator hamiltonian.
ˆˆ
Selanjutnya,
⎛ d⎞ d
a+ψn =
ˆ 1
⎜ z − ⎟ψn = n +1ψn+1 a ψn =
ˆ 1
(z + )ψn = n ψn−1
2
⎝ dz ⎠ 2
dz
Terlihat, operator a + mengubah ψn menjadi ψn+1; artinya menambah jumlah fonon.
ˆ
Dengan alasan itu operator ini disebut operator kreasi, sedangkan a disebut
ˆ
operator anihilasi.
51

52. 3.8 Transisi dan Aturan Seleksi
Suatu medan listrik yang berosilasi, jika berinteraksi dengan elektron, akan menggeser
posisi elektron dari posisi stasionernya. Pergeseran itu akan menimbulkan suatu momen
dipol . Selanjutnya, dipol itu berinteraksi dengan medan menimbulkan Hamiltonian
Misakan medan listrik: E=Eo cos ωt dan dipol listrik elektron: μ=er
Interaksi dipol dan medan menimbulkan Hamiltonian:
r r r r
ˆ = μ . E = eE . r cos ω t
HD o
Interaksi itu memungkinkan elektron bertransisi (berpindah keadaan) dari keadaan awal ψi
ke keadaan akhir ψf. Probabilitas transisi diungkapkan sebagai berikut:
r r 2
Pif ∝ e∫ ψ i* (r )[E o . r ]ψ f (r ) dv
2
∝ e∫ψ i* (r )[E ox .x + E oy y + E oz z ]ψ f (r ) dv
∝ ∑ E oα M ifα ) ; α = x, y, z
( 2
2
α
di mana M if = e ∫ψ i* (r)xψ f (r) dv disebut komponen-x dari momen transisi.
( x)
Transisi dari suatu keadaan ψi ke keadaan ψf disebut terlarang (forbidden) jika Mif=0;
sebaliknya transisi diperbolehkan (allowed) jika Mif≠0.
52

53. Contoh:
Dalam sistem dengan sumur potensial tak hingga, buktikan bahwa momen transisi
elektron tidak sama dengan nol jika ⏐m±n⏐sama dengan suatu bilangan ganjil.
M mn) = e ∫ ψ m xψ n dx
(x *
Periksa m,n=2,4,6…., m − n = genap
⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞
a
1
M mn = e ∫ sin ⎜ x ⎟ sin ⎜ x ⎟ x dx Misalkan πx/2a=θ
a − a ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠
π /2 π /2 π /2
4a 2a ⎡ ⎤
M mn = e 2 ∫ sin (mθ )sin (nθ )θ dθ = e 2 ⎢ ∫ cos[(m − n)θ ] θ dθ − ∫ cos[(m + n)θ ] θ dθ ⎥
π −π / 2 π ⎣−π / 2 −π / 2 ⎦
π/2 π/2 π/2
sin[(m ± n)θ ] sin[(m ± n)θ ]
∫/ 2
−π
cos[(m ± n)θ ] θdθ = θ
m±n −π / 2
− ∫
−π / 2
m±n
dθ
π/2
cos[(m ± n)θ ]
= 0+ = 0 → M mn = 0
( m ± n) 2 − π / 2
Periksa m,n=1,3,5…., m − n = genap
a
1 ⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞
M mn = e ∫ cos ⎜ x ⎟ cos ⎜ x ⎟ xdx
a − a ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠
53

54. 2a ⎡ ⎤
π/2 π/2 π/2
4a
M mn = e 2 ∫ cos (mθ ) cos (nθ )θdθ = e 2 ⎢ ∫ cos[(m − n)θ ] θdθ + ∫ cos[(m + n)θ ] θdθ ⎥
π −π / 2 π ⎣ −π / 2 −π / 2 ⎦
π/2 π/2 π/2
sin[( m ± n )θ ] sin[( m ± n )θ ]
∫/ 2
−π
cos[( m ± n )θ ] θdθ = θ
m±n −π / 2
− ∫
−π / 2
m±n
dθ
π/2
cos[( m ± n )θ ]
= 0+ =0 M mn = 0
(m ± n) 2
−π / 2
Periksa m=1,3,5…., n=2,4,6…. m − n = ganjil
a
1 ⎛ mπ ⎞ ⎛ nπ ⎞
M mn = e ∫ cos ⎜ x ⎟ sin ⎜ x ⎟ xdx
a −a ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠
2a ⎡ ⎤
π/2 π/2 π/2
4a
M mn = e 2 ∫ cos (m θ ) sin (nθ )θdθ = e 2 ⎢ ∫ sin[( m + n )θ ] θdθ − ∫ sin[( m − n )θ ] θdθ ⎥
π −π / 2 π ⎣ −π / 2 −π / 2 ⎦
π/2 π/2 π/2
cos[( m ± n)θ ] cos[( m ± n)θ ]
∫/ 2
−π
sin[( m ± n)θ ] θdθ = −θ
m±n −π / 2
+ ∫
−π / 2
m±n
dθ
π/2
sin[( m ± n)θ ] 2
= 0+ =
(m ± n) 2 −π / 2 (m ± n) 2
54

55. 4a ⎡ 1 1 ⎤
M mn = e 2 ⎢
− 2 ⎥
≠ 0; m ± n = ganjil
π ⎣ ( m + n) 2
( m − n) ⎦
ψ6
ψ5
ψ4
ψ3
ψ2
ψ1
Transisi dari keadaan dasar ψ1 ke keadaan lebih tinggi
Contoh:
Periksalah momen transisi antara dua keadaan suatu osilator.
− 1 z2 1
ψ n ( z) = N n H n ( z) e 2
; Nn =
2 n n!π 1/ 2
∞ ∞
h
M mn = e ∫ ψ m ( x) xψ n ( x)dx
mω −∫
M mn =e ψ m ( z ) zψ n ( z )dz
−∞ ∞
55

56. n +1 n
zψn ( z) = ψn+1 ( z) + ψn−1 ( z)
2 2
h ⎡ n +1 ⎤
∞ ∞
n
me ω ⎣ 2 −∫ 2 −∫
M mn =e ⎢ ψ m ( z)ψ n+1 ( z)dz + ψ m ( z)ψ n−1 ( z)dz⎥
∞ ∞ ⎦
∞
(n + 1)h
∫ ψm ( z)ψn+1 (z)dz = 1 jika m = n + 1 → M n+1,n = e
−∞
2me ω
∞
nh
∫ ψm ( z)ψn−1 (z)dz = 1 jika m = n − 1 → M n−1,n = e
−∞
2me ω
Jelas, aturan seleksi adalah ⏐m-n⏐=1
∞
Dari contoh di atas jelas bahwa ∫ψ m ( x) xψ n ( x)dx punya harga jika ⏐m-n⏐=1.
−∞
⎛ 0 x01 0 ⎞
⎜ ⎟
~ = ⎜x
x 0 x12 ⎟
10
⎜
⎜0 ⎟
⎝ x 21 0 ⎟ ⎠
56

57. BAB 4
MOMENTUM SUDUT ELEKTRON TUNGGAL
4.1 Operator Momentum Sudut
Dalam mekanika klasik, momentum sudut suatu partikel merupakan perkalian vektor
r r r
posisi dan vektor momentum, L = r xp
Komponen-komponennya merupakan operator-operator dari partikel tersebut:
Lx = ypz − zp y ;
ˆ ˆ ˆ ˆˆ Ly = zpx − xpz ;
ˆ ˆˆ ˆ ˆ Lz = xp y − ypx
ˆ ˆˆ ˆ ˆ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Lx = −ih(y − z ); Ly = −ih(z − x ); Lz = −ih(x − y )
ˆ ˆ ˆ
∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x
Selain itu, momentum kuadrat adalah operator juga: z
L2 = L2 + L2y + L2
ˆ ˆ
x
ˆ ˆ
z
θ r
Dalam koordinat bola berlaku hubungan berikut:
x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ ϕ
x y
z y
r 2 = x 2 + y 2 + z 2 ; cos θ = ; tgφ =
x2 + y2 + z2 x
57

58. ∂ ∂
Lx = ih(sinϕ + ctgθ cosϕ )
ˆ
∂θ ∂ϕ
∂ ∂ Buktikan sendiri !!
Ly = −ih(cosϕ − ctgθ sinϕ )
ˆ
∂θ ∂ϕ
∂
Lz = −ih
ˆ
∂ϕ
⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂2 ⎤
L = −h ⎢
ˆ ⎜ sinθ ⎟ + 2
2 2
⎥
⎣ sinθ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ sin θ ∂ϕ 2 ⎦
Komutator-komutator:
[Lx , Ly ] = ihLz ; [Ly , Lz ] = ihLx ; [Lz , Lx ] = ihLy
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
[L2 , Lj ] = 0, j = x, y, z.
ˆ ˆ Buktikan sendiri !!
[ Lz , L± ] = ±hL±
ˆ ˆ ˆ L± = Lx ± iLy
ˆ ˆ ˆ
[ L+ , L− ] = 2hLz
ˆ ˆ ˆ
58

59. 4.2 Komponen-z
ˆ
Harga eigen dan fungsi eigen operator L z dapat ditetapkan sebagai berikut. Misalkan Φ(ϕ)
adalah fungsi eigen bersangkutan dengan harga eigen Lz sehingga:
Lz Φ = Lz Φ
ˆ
harga eigen
operator
∂ ∂Φ
Lz = −ih
ˆ − ih = Lz Φ Φ ∝ exp( iL z ϕ / h )
∂φ ∂ϕ
Karena Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π ) maka
exp(iLz φ / h) = exp[iLz (φ + 2π) / h] = exp( z φ / h) exp(i2πLz / h)
iL
exp(i2πLz / h) = cos(2πLz / h) + i sin(2πLz / h) = 1
Jadi: 2π L = 0, ± 2π, ± 4π,.....
z Lz = mlh; ml = 0, ±1, ± 2,.....
h
1
exp(imlϕ ) 1/ 2π adalah faktor normalisasi
Φ ml =
2π
Lz sebagai komponen momentum sudut pada sumbu-z ternyata merupakan besaran yang
diskrit atau terkuantisasi. Dalam eksperimen, sumbu-z dinyatakan sebagai sumbu di mana
arah medan magnet statik ditetapkan. Oleh sebab itu ml disebut bilangan kuantum
magnetik.
59

60. 4.3 Momentum Sudut Total
ˆ
Harga eigen dan fungsi eigen operator L 2 ditentukan sebagai berikut. Andaikan
Y(θ,ϕ) adalah fungsi eigen dengan harga eigennya L2:
L2Y (ϕ , θ ) = L2Y (ϕ , θ )
ˆ
⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂2 ⎤
−h ⎢ ⎜ sin θ ⎟+ Y = L2Y
2
2 ⎥
⎣ sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ sin θ ∂ϕ ⎦
2
∂ 2Y ∂Y L2 sin2 θ ∂ 2Y
sin θ 2 + sinθ cosθ
2
+ Y =− 2
∂θ ∂θ h 2
∂ϕ
Untuk pemisahan variable misalkan Y (θ , ϕ ) = P(θ ) Φ(ϕ )
1 ⎛ 2 ∂2 P ∂P L2 sin2 θ ⎞ 1 ∂ 2Φ
⎜ sin θ 2 + sinθ cosθ + P⎟ = − = ml2
P⎜⎝ ∂θ ∂θ h2 ⎟
⎠ Φ ∂ϕ 2
⎛ 2 ∂2 P ∂P L2 sin2 θ ⎞
⎜ sin θ + sinθ cosθ + P ⎟ = ml P
2
⎜ ∂θ 2 ∂θ h2 ⎟
⎝ ⎠
Persamaan ini identik dengan persamaan Legendre terasosiasi dengan:
∂2P ∂P ⎛ L2 ml2 ⎞
+ ctg θ + ⎜ 2 − 2 ⎟P = 0 L2 = h 2 l ( l + 1); l ≥ m l
∂θ 2
∂θ ⎜ h
⎝ sin θ ⎟
⎠
60

61. m l+ ml
(−1) l
Pl
ml 1 m ⎛ d ⎞
( w) = l (1 − w2 ) 2 l ⎜ ⎟ (w −1) ;
2 l
w = cosθ z
2 l! ⎝ dw ⎠
Lz=ħ mℓ=1
Poo ( θ ) = 1;
P1 o ( θ ) = − cos θ
L=h 2
Lz=0 mℓ=0
P ( θ ) = − sin θ
1
1
P2o (θ ) = 1 (3 cos 2 θ − 1);
2
Lz=-ħ mℓ=-1
P21 (θ ) = 3 cos θ sin θ ; P22 (θ ) = 3 (1 − cos θ ) 2
ℓ adalah bilangan bulat positif 0, 1, 2, …..; bilangan ini disebut bilangan kuantum orbital.
Untuk suatu harga ℓ ada (2 ℓ +1) buah harga mℓ, yakni mℓ = -ℓ , -(ℓ -1),...,-1, 0, 1,..., (ℓ-1),
ℓ. Lz=mℓħ adalah hasil proyeksi L pada sumbu-z..
Akhirnya, diperoleh fungsi eigen bagi operator: ˆ
L2
1/ 2
⎡ 2 l + 1 ( l − m l )! ⎤ ml
Y (θ , ϕ ) ≡ Y l m l (θ , ϕ ) = ⎢ ⎥ Pl (θ ) Φ m l (ϕ )
⎣ 2 ( l + m l )! ⎦
yang biasa disebut fungsi harmonik bola (spherical harmonics).
π 2π
Sifat ortogonalitas: ∫
0 0
∫ (Ylm l )*Yl ' m ' l sin θ dθ dϕ = δ ll 'δ m l m ' l
61

62. Tiga sifat penting dari fungsi ini adalah
π 2π
1. ∫
0 0
∫ (Ylml ) *Yl 'm 'l sin θ dθ dφ = δ ll ' δ ml m 'l
⎡ l 2 − m2
1 (l + 1) 2 − ml2 ⎤
2. cosθ Ylml = ⎢ l
Yl−1,ml + Yl+1,ml ⎥
2l + 1 ⎢ 2l − 1
⎣ 2l + 3 ⎥
⎦
1 ⎡ (l m ml )(l m ml −1)
3. sinθ e±iϕ Ylml = m ⎢ Yl−1,ml ±1
2l +1 ⎢
⎣ 2l −1
(l ± ml + 2)(l ± ml +1) ⎤
− Yl+1,ml ±1 ⎥
2l + 3 ⎥
⎦
Beberapa contoh fungsi harmonik bola adalah
1
Y00 ( θ ) = ; Y20 (θ ) =
5
(3 cos2 θ − 1);
4π 16π
3 15
Y10 (θ ) = cos θ ; Y2±1 (θ ) = − sin 2θ e ±iϕ
4π 32π
3 15
Y1±1 (θ ) = − sin θ e ± iϕ Y2±2 (θ ) = sin 2 θ e ±2iϕ
8π 32π
62

63. Dengan fungsi dan harga eigen seperti di atas, persamaan harga eigen adalah:
L2Ylml = h 2 l(l + 1)Ylml ; l = 0,1, 2,....
ˆ
Lz Ylml = ml h Ylml ; ml = ±l, ± (l − 1),......
ˆ
Persamaan-persamaan di atas menunjukkan kuantisasi momentum sudut.
Orbital-orbital elektron dibentuk dari fungsi-fungsi Yℓ mℓ dalam bentuk ril.
l = 0; s ≡ Yoo l=2 d z 2 ≡ Y20
l = 1; pz ≡ Y1o d xz ≡ −
1
(Y21 + Y2−1 ) =
15
sinθ cosθ cosϕ
2 4π
−1 3
px ≡ (Y11 + Y1−1) = sinθ cosϕ
4π i 15
2 d yz ≡ (Y21 − Y2−1 ) = sinθ cosθ sinϕ
i 3 2 4π
py ≡ (Y11 − Y1−1) = sinθ sinϕ
2 4π d x2 − y 2 ≡
1
(Y22 + Y2−2 ) =
15
sin2 θ cos2 ϕ
2 16π
−i 15
d xy≡ (Y22 − Y2−2 ) = sin2 θ sin 2ϕ
2 16π
63

64. z z z z
s untuk ℓ =0,
y y y y
p untuk ℓ =1
x x x x
s px py pz
d untuk ℓ =2
z
z z z z
y y y y y
x x x x x
dz2 dxy dyz dx2-y2 dxy
Dalam pembentukan molekul dari beberapa atom, ikatan antar atom berlangsung
melalui orbital-orbital tersebut di atas.
64

65. 4.4 Operator Tangga
ˆ
Sehubungan dengan operator L ± akan dikemukakan karakteristik operasinya terhadap
fungsi harmonik bola Yl,ml .
[ L z , L± ] = ± hL±
ˆ ˆ ˆ
L z L + Ylml = ( L + L z + h L + )Ylml = ( m l + 1) hL + Ylml
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
L z L−Ylml +1 = ( L− L z − hL− )Ylml +1 = ml hL−Ylml +1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
L+ Ylml adalah fungsi eigen dari L z dengan harga eigen (mℓ+1)ħ. Demikian pula
ˆ
ˆ
L−Yl ,ml +1 adalah fungsi eigen dengan harga eigen mℓħ.
Andaikan L+Ylml = C Ylml +1 dan L−Ylml +1 = CYlml
ˆ ˆ
L− L+Ylml = CL−Ylml +1 = C 2Ylml
ˆ ˆ ˆ
Tapi L− L+Ylml = (L2 − L2 − hLz )Ylml = [h2l(l +1) − ml (ml +1)h2 ]Ylml
ˆ ˆ ˆ ˆ
z
ˆ
65

66. C = h l (l + 1) − ml ( ml + 1) L+Ylml = h l(l +1) − ml (ml +1) Ylml +1
ˆ
Dengan cara yang sama diperoleh L−Ylml = h l(l + 1) − ml (ml −1) Ylml −1
ˆ
Kedua persamaan di atas bukan persamaan harga eigen, karena operator-operator itu
menggeser bilangan kuantum mℓ.
ˆ
Operator L+ menambah bilangan kuantum mℓ menjadi mℓ+1, sedangkan L −ˆ
menguranginya dari m menjadi mℓ-1. Oleh sebab itu, kedua operator itu disebut
sebagai operator tangga (step operator).
66

67. Tentukanlah matriks L+ untuk l=1
(L )
~
+ m'l , ml = ∫ Yl*,m'l L+Yl,ml sinθ dθ dϕ = h l(l + 1) − ml (ml + 1)δ m'l ,ml +1
ˆ
l = 1 → ml , m' l = −1, 0, 1
m' l = −1 → ml = −2(tidak ada)
m' l = 0 → ml = −1 → L(+ )
1
( ) 0, −1
=h 2
m' l = 1 → ml = 0 → (L )(1)
+ 1, 0 =h 2
-1 0 1
-1 ⎛ 0
0 0⎞
~(1) ⎜ ⎟
L+ = 0 ⎜ h 2 0 0⎟
⎜ ⎟
1⎝⎜ 0 h 2 0⎟
⎠
67

68. BAB 5
ATOM HIDROGEN DAN SEJENISNYA
-e
5.1 Atom Hidrogen dan Sejenisnya
r
Hamiltonian (operator energi) elektron adalah
+Ze
ˆ = − h ∇ 2 − Ze
2 2
H
2m e 4πε o r
Misalkan ψ(r,θ,ϕ) adalah fungsi gelombangnya, maka persamaan Schrödinger
untuk elektron adalah:
2me ⎛ Ze2 ⎞
∇ ψ + 2 ⎜E +
2
⎜ ⎟ψ = 0
h ⎝ 4πεo r ⎟
⎠
Karena potensial ini bersifat sentral maka perlu dilakukan transformasi ke
koordinat bola, yakni
⎛ ∂2 2 ∂ 1 ∂2 ctg θ ∂ 1 ∂2 ⎞
∇ ≡⎜ 2 +
2
⎜ ∂r + 2 + 2 + 2 ⎟
2 ⎟
⎝ r ∂r r ∂θ 2
r ∂θ r sin θ ∂ϕ ⎠
2
68

69. ˆ2 = − h 2 ⎛ ∂ + ctg θ ∂ + 1 ∂2 ⎞
2
Tetapi, L ⎜ ⎟
⎜ ∂θ 2 ∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎟
⎝ ⎠
sehingga
∂ 2ψ 2 ∂ ψ 2m ⎛ Ze 2 ˆ
L2 ⎞
+ + 2e ⎜ ⎟ψ = 0
∂r 2 r ∂r h ⎜ E + 4πε r − 2 m r 2 ⎟
⎝ o e ⎠
Misalkan ψ(r,ϕ,θ)= R(r)Y(ϕ,θ) dimana Y (ϕ , θ ) = Ylm
∂ 2 R 2 ∂R 2 m e ⎛ Ze 2 h 2 l ( l + 1) ⎞
+ + 2 ⎜E + − ⎟R = 0
∂r 2
r ∂r h ⎜ 4πε o r 2m e r 2 ⎟
⎝ ⎠
h 2 l (l + 1)
Ze 2
h l ( l + 1)
2
V eff = − + 2me r 2
4πε o r 2m e r 2
r
Merupakan potensial efektif yang dimiliki elektron, yakni
penjumlahan potensial Coulomb dan kinetik rotasi. Jelas
Ze 2
terlihat, bahwa elektron mengalami sejenis sumur potensial −
dengan dinding. Jadi, elektron itu terikat dalam medan inti 4πε o r
sehingga energinya diskrit.
69

70. 2Z Z 2e 2 4πε o h 2
Misalkan ρ= r; n =
2
; ao = = 0,53 A o
na o 8πε o a o E me e 2
maka d 2 R 2 dR ⎛ n 1 l(l +1) ⎞
+ +⎜ − − ⎟R = 0
dρ2 ρ dρ ⎜ ρ 4 ρ2 ⎟
⎝ ⎠
Misalkan solusinya, R( ρ ) = ρ s L ( ρ ) e− ρ / 2
d 2L dL
ρ 2 +[2(s +1) − ρ] +[(n − s −1) + s(s +1) − l(l +1)]L = 0
dρ dρ
Agar memberikan solusi yang baik dipilih s(s+1)-l (l +1)=0 atau s= l , sehingga
d 2L dL
ρ 2 + [2(l + 1) − ρ] + (n − l −1)L = 0
dρ dρ
Persamaan ini dikenal sebagai persamaan diferensial Laguerre terasosiasi, yang
solusinya merupakan polinom-polinom:
70

71. dq
L p (ρ ) = (−1) q q L p (ρ ); p = n + l, q = 2l +1 Laguerre terasosiasi
q
dρ
ρ dp
L p (ρ ) = e (ρ p e−ρ ); Laguerre
dρ p
dimana n dan adalah bilangan-bilangan bulat positif yang harus memenuhi
syarat:
n ≥ (l +1); n = 1, 2, 3,.....
Syarat ini menunjukkan bahwa untuk suatu harga n ada n buah harga l .
71

72. n = 1, l = 0 ; L 11 ( ρ ) = 1,
n = 2, l = 0; L 2 ( ρ ) = 2 ( 2 − ρ ),
1
n = 2 , l = 1; L 3 ( ρ ) = 18 ,
3
n = 3, l = 0; L3 ( ρ ) = 3(6 − 6 ρ + ρ 2 )
1
n = 3 , l = 1; L 4 ( ρ ) = 24 ( 4 − ρ ),
3
n = 3, l = 2; L 5 ( ρ ) = 120 .
5
Syarat ortogonalitas:
∞
( p + q )!
∫ ρ q +1 e − ρ L qp ( ρ ) L qp ' ( ρ ) d ρ = (2 p + q + 1) δ p'p
0
p!
p = n + l, q = 2l + 1
72

73. ∞
2 n[( n + l )! ] 3
∫ρ
−ρ
2l+2
e L 2 l +1
n+l (ρ )L 2 l +1
n '+ l ( ρ ) dρ = δ nn '
0
( n − l − 1)!
R nl ( ρ ) = N nl ρ l e − ρ / 2 L 2 l +1 ( ρ )
n+l
Sifat ortonormal dari R:
∞
∫
0
R nl ( ρ )R n 'l ( ρ ) ρ 2 dρ = δ nn '
∞
N nl N n 'l ∫ ρ 2 l e − ρ L 2 l +1 ( ρ )L 2 l+ l ( ρ ) ρ 2 dρ = δ nn '
n+l n'
+1
0
2n[(n + l)!]3 (n − l − 1)!
N2
nl = 1 → N nl =
(n − l − 1)! 2n[(n + l)!]3
73

74. Akhirnya diperoleh:
( n − l − 1)!
R nl ( ρ ) = N nl ρ l e − ρ / 2 Ln ++1 ( ρ )
2l
l N nl =
2n[( n + l )!]3
atau dengan ρ=(2Z/nao)r .
l Zr 3/ 2
⎛ 2Z ⎞ l − ⎛ 2Z ⎞ (n − l −1)!
Rnl (r ) = N nl ⎜ ⎜ na ⎟
Nnl = ⎜
⎜ na ⎟ r e (ρ )
nao 2 l +1
⎟ L n+l ⎟
⎝ o⎠ ⎝ o⎠ 2n[(n + l)!]3
;
3/ 2
1 ⎛Z ⎞
3/ 2
⎛ Z ⎞ −Z / ao
R10 (r) = 2⎜ ⎟ e R30 ( r ) = ⎜ ⎟ (6 − 6 ρ + ρ )e 2 −ρ / 2
,
9 3 ⎜ ao ⎟
⎜a ⎟ ,
⎝ o⎠ ⎝ ⎠
3/ 2
1 ⎛Z ⎞
(4 − ρ )ρe − ρ / 2 ,
3/ 2
1 ⎛Z⎞ R31 ( r ) = ⎜ ⎟
R20(r) = ⎜ ⎟ (2− ρ)e −ρ / 2
, 9 6 ⎜ ao ⎟
2 2 ⎜ ao ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
3/ 2
3/ 2 1 ⎛Z ⎞
1 ⎛Z⎞ R32 ( r ) = ⎜ ⎟ ρ 2e −ρ / 2
R21(r) = ⎜ ⎟ ρ e−ρ / 2 , 9 30 ⎜ ao
⎝
⎟
⎠
2 6 ⎜ ao ⎟
⎝ ⎠
74

75. Energi keadaan:
Z 2e 2 Z2
En = − = − 2 (13 ,6 eV )
8πε o a o n 2
n
Untuk atom hidrogen di mana Z=1, rumusan ini sama dengan postulat Bohr.
Bilangan n disebut bilangan kuantum utama. Untuk suatu harga n ada n buah
harga ℓ, yakni ℓ=n-1, n-2,….,0.
L2 = h2 l(l +1) = h2 (n −1)n Untuk n>>: L = nh
Ini sesuai dengan Bohr; jadi postulat Bohr
berlaku hanya untuk n>>
75