FISIKA STATISTIK

1. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari banayak fenomena termodinamika yang terjadi. Alasan
pengembangan fisika statistic adalah untuk memberi landasan yang kokoh bagi
fenomena terodinamik. Dua fisikawan yaitu boltzmen di Jerman dan gibbs di Amerika
Serikat. Makalah ini membahas statistic Maxwell boltzmen dan aplikasinya dalam
penurunan persamaan gas ideal PV= NkT. Persamaan tersebut bukan dalam bentuk
PV=Nrt. Sebab melalui pendekatan mekanika statistic kita mulai mempersoalkan gerak
molekul- molekul gas. Sebagaimana dipahami, k adalah tetapan umum gas untuk setiap
molekul, sedangkan n adalah untuk setiap mol.
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana teori dan distribusi statistic Maxwell Boltzmen?
2. Bagaimana ruang fase berdasarkan statistic Maxwell Boltzmen?
3. Apa pengertian keadaan makro dan mikro dalam statistic maxwel boltzmen?
1.3 Tujuan
1. mengetahui teori dan distribusi statistic Maxwell Boltzmen
2. mengetahui ruang fase berdasarkan statistic Maxwell Boltzmen
3. mengetahui pengertian keadaan makro dan mikro dalam statistic maxwel boltzmen

2. BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Teori Statistik Maxell-Boltzmann
Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi partikel klasik
yang “terbedakan”. Sistem partikel klasik terbedakan merupakan sistem partikel yang
konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih partikel dipertukarkan. Dengan kata lain,
konfigurasi partikel A di dalam keadaan 1 dan partikel B di dalam keadaan 2 berbeda dengan
konfigurasi ketika partikel B berada dalam keadaan 1 sedangkan partikel A dalam keadaan 2.
Ketika gagasan di atas diimplementasikan akan dihasilkan distribusi (Boltzmann) biasa bagi
partikel dalam berbagai tingkat energi. Fungsi distribusi ini menghasilkan hasil yang kurang fisis
untuk entropi, sebagaimana ditunjukkan dalam “paradoks Gibbs”. Namun, masalah itu tidak
muncul pada peninjauan statistik ketika semua partikel dianggap tak terbedakan.
Pada statistik statistik Maxwell-Boltzmann dipandang enam dimensi dari pergerakan
molekul, yakni tiga dimensi kedudukan dan tiga dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi seperti
yang dimaksudkan ini disebut ruang fasa. Selanjutnya ruang fasa ini masih dibagi lagi ke dalam
volume kecil enam dimensi yang disebut sel. Molekul terbagi ke dalam sel ini dan terjadilah
secara individu disebut status makro dari sistem sedangkan penentuan molekul tertentu (secara
individu) dalam tiap status makro disebut status mikro dari sistem.
2.2 Distribusi Maxwell Boltzmen
Distribusi Maxwell-Boltzmann menggambarkan kecepatan partikel dalam gas, di mana partikel
tidak terus-menerus berinteraksi satu sama lain, tetapi bergerak bebas antara tabrakan pendek. Ini
menggambarkan kemungkinan kecepatan partikel (besarnya vektor kecepatannya) yang dekat
dengan nilai yang diberikan sebagai fungsi dari suhu dari sistem, massa partikel, dan bahwa nilai
kecepatan. Distribusi probabilitas ini dikemukakan pertama kali oleh James Clerk Maxwell dan
Ludwig Boltzmann.
Distribusi Maxwell-Boltzmann biasanya dianggap sebagai distribusi kecepatan molekul,
tetapi juga dapat merujuk kepada distribusi untuk kecepatan, momentum, dan besarnya

3. momentum molekul, yang masing-masing akan memiliki fungsi probabilitas distribusi yang
berbeda, semua dari yang terkait. Kecuali dinyatakan lain, artikel ini akan menggunakan
"distribusi Maxwell-Boltzmann" untuk merujuk pada distribusi kecepatan. Distribusi ini dapat
dianggap sebagai besaran vektor 3-dimensi yang komponennya adalah independen dan
terdistribusi normal dengan mean 0 dan standar deviasi a. Jika Xi didistribusikan sebagai , maka
didistribusikan sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann dengan parameter a. Selain parameter
skala, distribusi identik dengan distribusi chi dengan 3 derajat kebebasan.
Turunan asli oleh Maxwell diasumsikan bahwa ketiga arah akan memikiki perilaku yang sama,
tetapi turunan selanjutnya yang dikembangkan oleh Boltzmann mematahkan asumsi ini dengan
teori kinetik. Distribusi Maxwell-Boltzmann (untuk energi) sebagian besar dapat langsung
diturunkan dari distribusi Boltzmann untuk energy:
𝑁𝑖
𝑁
=
𝑔𝑖 exp(−
𝐸𝑖
𝑘𝑇
)
∑ 𝑗 𝑔𝑗 exp(−
𝐸𝑗
𝑘𝑇
)
dimana:
 i adalah microstate (menunjukkan satu konfigurasi partikel dalam keadaankuantum -
lihat fungsi partisi).
 Ei adalah tingkat energi dari microstate i.
 T adalah temperatur kesetimbangan sistem.
 gi adalah faktor degenerasi, atau jumlah dari microstates yang mengalamidegenerasi yang
memiliki tingkat energi yang sama
 k adalah konstanta Boltzmann.
 Ni adalah jumlah molekul pada suhu kesetimbangan T, dalam keadaan iyang memiliki
energi E i dan degenerasi gi.
 N adalah jumlah total molekul dalam sistem.
Ingat bahwa kadang-kadang persamaan di atas ditulis tanpa faktor degenerasi gi. Dalam
hal ini i akan menentukan keadaan masing-masing, bukan satu set keadaan giyang memiliki
energi Ei yang sama. Karena vektor kecepatan dan kecepatan berkaitan dengan energi, maka
persamaan 1 dapat digunakan untuk menurunkan hubungan antara suhu dan kecepatan molekul
dalam gas. Penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagaifungsi partisi kanonik.

4. 2.3 Ruang Fasa
Ruang fase sangat berguna dalam membahas distribusi kecepatan molekul. Setiap titik
dalam ruang fase adalah representasi lengkap dari posisi dan kecepatan setiap molekul. Jika
kecepatan setiap molekul dinyatakan sebagai vektor dengan titik tangkap pada pusat koordinat
maka vektor-vektor ini akan menembus permukaan khayal tertentu. Untuk setiap vektor
kecepatan berlaku :
𝑣 = √ 𝑣 𝑥
2 + 𝑣 𝑦
2 + 𝑣𝑧
2
Setiap vektor yang bersesuaian dengan satu molekul dan direpresentasikan oleh anak
panah dapat diwakili oleh ujung vektor berupa titik. Titik-titik ini akan membetuk sebuah ruang
yang kita sebut sebagai ruang kecepatan (velocity space).
Ruang repsentasi kecepatan adalah ruang tiga dimensi Kartesian dengan 𝑣 𝑥, 𝑣 𝑦, 𝑣 𝑧 .
Pada ruang kecepatan, ada kemungkinan dua buah vektor berimpit. Keadaan ini bersesuaian
dengan keadaan bahwa dua molekul memilki kecapatan yang persis sama, kendati posisinya
berbeda. Dalam ruang fase, tidak mungkin ada dua titik representasi berimpit sebab posisi setiap
molekul unik.
Suatu elemen volume dV dalam ruang fase diasumsikan mengandung banyak sekali titik
representasi. Elemen-elemen volume selanjutnya dipandang sebagai bilik kemudian diberi
nomor. Kita dapat mendefinisikan densitas pada masing-masing elemen volume ini.
𝜌 =
𝑁𝑖
𝐻
; 𝐻 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑣 𝑦 𝑑𝑣𝑧
Densitas ini akan merupakan fungsi dari 3 peubah ruang dan 3 peubah kecepatan; dan
perlu dirumuskan bentuk eksplisinya.
2.4 Keadaan mikro dan makro
Keadaan mikro dapat dipandang sebagai satu hasil pemotretan dimana data lengkap
posisi dan kecepatan setiap molekul diketahui. Jika pada berbagai titik waktu dilakukan
pemotertan, maka setiap hasil pemotretan ini adalah satu keadaan mikro.
Ada kemungkinan dari sekian banyak keadaan mikro sebenarnya merepresentasikan
keadaan makro yang sama. Jumlah keadaan mikro untuk suatu keadaan makro dapat berbeda-
beda. Mislanya seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut :

5. Ilustrasi sebuah keadaan makro
2.5 Bobot Statistik
Andaikan N buah molekul terbagi ke dalam n bilik dimana masing-masing bilik
berisi N1, N2……. Nn, molekul, maka jumlah keadaan mikroskopik dapat dihitung sebagai berikut :
Ω =
𝑁!
𝑁1! 𝑁2!… 𝑁 𝑛!
=
𝑁!
∏ 𝑁𝑖𝑛
𝑖=1 !
Dimana Ω biasa juga disebut sebagai bobot statistik (Statistical weight). Faktorial dari
bilangan yang ordernya hingga 1023 akan sangat besar sehingga perlu teknik khusus untuk
menghitungnya. Kita akan menggunakan pendekatan Stirling yaitu :
ln 𝑥! = 𝑥ln 𝑥 − 𝑥
Selanjutnya, kita akan merumuskan entropi yang secara mekanika statistik didefinsikan sebagai :
𝑆 = 𝑘 𝑙𝑛 Ω
APLIKASI STATISTIK MAXWEL-BOLTZMANN
A. Pelebaran Spektrum Akibat Efek Doppler
Setelah menurunkan beberapa jenis fungsi distribusi untuk system klasik maupun
kuantum sekarang kita akan melihat beberapa aplikasi fungsi distribusi tersebut. Pada bab ini kita
akan melihat beberapa aplikasi fungsi dirtsibusi Maxwell-Boltzmann. Pembahasan tersebut
diharapkan akan memberikan petunjuk yang berarti kepada para mahasiswa dalam menerapkan
fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann dalam beberapa bidang fisika.
Efek Doppler dijumpai pada gelombang bunyi maupun gelombang elektromagnetik.
Salah satu pesan dari efek ini adalah jika sumber gelombang mendekati pengamat maka panjang
gelombang yang dikur oleh pengamat lebih kecil daripada apabila sumber diam terhadap
pengamat. Sebaliknya, jika sumber gelombang menjauhi pengamat maka panjang gelombang

6. yang diukur pengamat lebih besar daripada apabila sumber diam terhadap pengamat. Peristiwa
ini dapat dilustrasikan pada Gambar dibawah ini:
Gambar 1.a Jika sumber mendekati pengamat maka panjang gelombang yang diukur pengamat
lebih pendek daripada yang dikeluarkan sumber. Sebaliknya, jika sumber menjauhi pengamat
maka panjang gelombang yang dikur pengamat lebih panjang daripada yang dikeluarkan
sumber
Khusus untuk gelombang gelombang elektromagnetik, panjang gelombang yang dikur
oleh pengamat yang diam yang dihasilkan oleh sumber sumber bergerak dengan
kecepatan vx terhadap pengamat adalah :
𝜆 = 𝜆0(1−
𝑣 𝑥
𝑐
)
dengan λ panjang gelombang yang dikur pengamat, λo adalah panjang gelombang yang
dikur jika sumber gelombang diam terhadap pengamat, dan c adalah kecepatan cahaya. Kita
definisikan tanda kecepatan yaitu vx > 0 jika sumber mendekati pengamat dan vx < 0 jika
sumber menjauhi pengamat. Dalam astronomi, efek Dopler digunakan untuk mengukur
kecepatan bitnag-bintang. Berdasarkan pergeseran panjang gelombang yang dipancarkan
bintang-bintang tersebut maka kecepatan relatif bintang terhadap bumi dapat diprediksi
menggunakan persamaan dibawah ini

7. Gambar 2.a Atom memancarkan gelombang elektromagnetik ketika terjadi transisi electron
antara tingkat energi
Mari kita perhatikan sebuah ataom yang memiliki dua tingkat energy (gambar2.a). Atom
tersebut memancarkan spektrum gelombang elektromagnetik dengan panjang gelombang
tertentu, sebut saja λo , akibat transisi elektron antar tingkat energi atom tersebut. Jika atom
dalam keadaan diam maka panjang gelombang yang kita ukur adalah λo, persis sama dengan
panjang gelombang yang dipancarkan atom. Tetapi jika atom mendekati pengamat dengan
laju vx maka panjang gelombang yang dikur pengamat adalah λ = λo(1 - vx/c ). Dan sebaliknya,
jika atom menjauhi pengamat dengan laju vx maka panjang gelombang yang dikur pengamat
adalah λ = λo(1 + vx/c ). Sebagai ilustrasi, lihat Gbr. 3.a. Jika ada sejumlah atom yang diam maka
gelombang yang diukur pengamat merupakan jumlah gelombang yang dipancarkan oleh semua
atom. Panjang gelombang yang diterima dari semua atom sama, yaitu λo . Yang dideteksi oleh
pengamat hanyalah gelombang dengan panjang λo tetapi memiliki intensitas tinggi. Akan tetapi
jika atom yang memancarkan gelombang bergerak secara acak maka komponen kecepatan ke
arah pengamat, yaitu vx juga acak. Akibatnya panjang gelombang yang diukur pengamat yang
berasal dari satu atom berbeda dengan yang diukur dari atom lainnya. Pengamat akan mengukur
gelombang yang memiliki panjang yang bervariasi dalam jangkauan tertentu. Ini berakibat pada
pelebaran garis spektrum yang diamati.
Gambar 3.a Pengamat menangkap panjang gelombang yang berbeda-beda bergantung pada
gerak relative antara atom terhadap pengamat

8. Selanjutnya kita akan menentukan distribusi intensitas spektrum pada berbagai panjang
gelombang. Kecepatan atom gas pemancar spectrum memenuhi fungsi distribusi Maxwell-
Boltzmann karena merupakan partikel klasik. Jumlah atom gas yang memiliki komponen
kecepatan antara vx sampai vx+dvx adalah :
𝑛( 𝑣 𝑥) 𝑑𝑣 𝑥 = [
𝑚
2𝜋𝑘𝑇
]1/2
exp[−
𝑚𝑣 𝑥
2
2𝑘𝑇
]𝑑𝑣 𝑥
Untuk mendapatkan fungsi intensitas maka kita harus mentrasformasi variable
kecepatan vx ke dalam variable panjang gelombang λ dengan menggunakan persamaan
Doppler. Apabila transformasi tersebut dilakukan maka n(vx)dvx menjadi sebanding dengan I(λ)d
λ yang menyatakan intensitas gelombang yang memiliki panjang antara λ sampai λ+dλ. Dengan
demikian kita peroleh :
𝐼( 𝜆) 𝑑𝜆 [
m
2πkT
]
1
2
exp[
𝑚𝑣 𝑥
2
2𝑘𝑇
]𝑑𝑣 𝑥
Dari persaman diatas kita dapatkan:
𝑣 𝑥 = 𝑐 (
𝜆0 − 𝜆
𝜆0
)
Substitusi kedua persamaan diatas, maka akan diperoleh :
𝐼( 𝜆) 𝑑𝜆 [
m
2πkT
]
1
2
exp
[
𝑚 {𝑐 (
𝜆0 − 𝜆
𝜆0
)}
2
2𝑘𝑇
]
[−
𝑐
𝜆0
𝑑𝜆]
Yang selanjutnya bisa ditulis dalam bentuk lebih sederhana sebagai :
𝐼( 𝜆) 𝑑𝜆 = 𝐼(𝜆0)exp [−
𝑚𝑐2
2𝑘𝑇
(
𝜆0 − 𝜆
𝜆0
)
2
] 𝑑𝜆
Dengan I(λ0) adalah intensitas ketika λ = λ0 . I (λ0) tidak bergantung pada panjang gelombang
tetapi bergantung pada besaran lain seperti suhu gas dan massa atom gas.
2.5 Paradoks Gibb
Dalam termodinamika statistik, dikenal statistik Maxwell-Boltzmann yaitu:
𝑊 = 𝑁! ∏
𝑔𝑗
𝑁 𝑗
𝑁𝑗!
𝑗

9. Dengan menggunakan perumusan entropi S dan energi bebas Helmholtz F,
𝑆 = −(
𝜕𝐹
𝜕𝑇
)
𝑉
dan fungsi partisi Boltzmann
𝑍 =
𝑉(2𝜋𝑚𝑘𝑇)3/2
ℎ3
kaitan antara energi bebas Helmholtz dengan fungsi partisi Z
𝐹 = −𝑁𝑘𝑇 𝑙𝑛𝑍
Jika kita menurunkan persamaan entropi di atas, kita dapatkan entropi sistem tertutup:
𝑆 = 𝑁𝑘 {ln [
𝑉(2𝜋𝑚𝑘𝑇)2/3
ℎ3
] +
3
2
}
Nah, andaikan dua buah sistem identik (jenis gas identik, suhu identik, volum dan jumlah
partikel identik), maka entropi pada kedua sistem itu adalah sama, S1 = S2 = S. Seandainya kedua
sistem tertutup tadi berdekatan dan hanya dipisahkan oleh sekat, berapakah entropi totalnya jika
sekat dilepaskan? Sebelumnya kita definisikan dulu besaran ekstrinsif dan besaran intrinsif.
Besaran ekstrinsif meningkat dengan faktor yang sama dengan pertambahan ukuran sistem,
sedangkan besaran intrinsif tidak berubah. Contohnya memasukkan 5 liter air bersuhu 80°C
kemudian menambahkan lagi 5 liter air bersuhu sama, maka suhu campuran tetap 80°C. Jadi
dapat kita simpulkan bahwa volum (V), jumlah partikel (N) dan energi (U) merupakan besaran
ekstrinsif, sedangkan suhu (T), massa molekul (m), dan tekanan (p) merupakan besaran intrinsif.
Jadi jelas bahwa entropi merupakan besaran ekstrinsif
Dengan demikian, setelah sekat dilepaskan, entropi sistem campuran, S' haruslah sama
dengan 2S, atau S' - 2S = 0. Kita coba hitung (ingat V' = 2V dan N' = 2N).
𝜟𝑺 = 𝑺′
− 𝑺

10. BAB III
PENUTUP
3.1 Simpulan
Keadaan mikro maupun makroskopis dari fenomena termodinamika dapat dijelaskan
dan peluang kejadian tersebut dapat diperhitungkan. Distribusi Maxwell-Boltzmann
menggambarkan kecepatan partikel dalam gas, di mana partikel tidak terus-menerus
berinteraksi satu sama lain, tetapi bergerak bebas antara tabrakan pendek. Ini menggambarkan
kemungkinan kecepatan partikel (besarnya vektor kecepatannya) yang dekat dengan nilai
yang diberikan sebagai fungsi dari suhu dari sistem, massa partikel, dan bahwa nilai
kecepatan. Distribusi probabilitas ini dikemukakan pertama kali oleh James Clerk Maxwell
dan Ludwig Boltzmann.