Dokumen ini menjelaskan Persamaan Schrodinger, yang merupakan persamaan penting untuk menjelaskan perilaku elektron. Persamaan ini dikembangkan dari konsep mekanika klasik dan mekanika kuantum, dan solusinya dapat menunjukkan sifat diskrit energi elektron. Pemisahan variabel digunakan untuk mendapatkan Persamaan Schrodinger bebas waktu.

1. Oleh:
RISDAWATI HUTABARAT
(1215031064)
PERSAMAAN
SCHRODINGER

2. I. PENDAHULUAN
Persamaan Schrodinger merupakan persamaan
yang sangat penting untuk menjelaskan perilaku
elektron. Persamaan Schrodinger adalah
persamaan yang dapat digunakan untuk
menjelaskan sifat-sifat gelombang dari partikel.
Kita akan mulai dari pendekatan klasik dan
kemudian dengan mengubah energi total pada
konsep klasik kedalam energi kuantum untuk
mendapatkan rumusan persamaan schrodinger.
Solusi bebas waktu dari persamaan schrodinger
akan memperlihatkan sifat diskrit dari energi yang
dimiliki elektron.
Solusi persamaan schrodinger akan sangat
bermanfaat dalam menjelaskan perilaku elektron.

3. II. MEKANIKA KLASIK
Dalam mekanika klasik bila suatu benda dengan
massa m dikenai gaya sebesar F maka bila benda
bergerak kearah X, hubungan antara gaya dan gerak
dapat dinyatakan sebagai:
dimana V(x) merupakan
suatu
fungsi petensial.
Hubungan Newton yang sudah sangat dikenal adalah
:
Momentum p sebagai funsi dari kecepatan v adalah

4. Energi kinetik merupakan fungsi dari gerak. Dipihak lain
potensial akan merupakan fungsi dari posisi yang dapat
dinyatakan sebagai :
PE = V (x)
Energi total dengan demikian adalah
E = KE + PE=1/2 mv2+ V(x)=(p2/2m)+V(x)
Suatu fungsi dapat didefinisikan disini sebagai energi
total dan merupakan fungsi dari x dan p. Fungsi ini
adalah Hamiltonia.
H(x.p) = H=(p2/2m)+V(x) = E
Dimana E adalah total energi dari sistem. Untuk
penyederhanaan H(x.p) akan ditulis sebagai H.

5. Diferensial persamaan H terhadap momentum
menghasilkan:
Dengan mengaitkan dengan persamaan dx/dt maka
diperoleh:
Dipihak lain diferensial H terhadap posisi menghasilkan:
Sehingga :
Fungsi Hamiltonia untuk energi total

6. III. Aplikasi dalam Mekanika
Kuantum
Didefinisikan operator momentum:
dimana i adalah bilangan imajiner.
Untuk kasus satu dimensi maka Hamiltonian dapat
dituliskan sebagai :
H= H(x.p) = H=(p2/2m)+V(x) = E
Bertitik tolak dari persamaan Hamiltonian dalam kasus
klasik maka : H(x.p) = E

7. Penerapan operator kedalam fungsi gelombang
menghasilkan:
H(x,p) Ѱ(x,t)=EѰ(x,t)
Atau lebih sederhana untuk kasus mekanika kuantum
dituliskan sebagai :
HѰ= EѰ
Untuk mendapatkan besaran p2/2m maka operator
harus diterapkan dua kali yaitu :

8. Berikut ini adalah persamaan mekanika kuantum yang
ekuivalen dengan persamaan energi total pada
mekanika klasik yaitu :
Fungsi gelombang disini hanya fungsi dari x dan t.
Persamaan ini adalah persamaan Schrodinger satu
dimensi untuk partikel tunggal yang juga dapat
ditulis sebagai :
Dimana:
m : massa menunjukkan suatu partikel
Ѱ : fungsi gelombang yang menunjukkan sifat gelombang
V(x): fungsi potensial
E : energi

9. Dalam mekanika kuantum Persamaa Schrodinger
secara umum dituliskan sebagai :
Disini fungsi gelombang merupakan fungsi x,y,z dan t.
Beberapa aplikassi persamaan ini sering kali hanya
terkait dengan potensial. Potensial sering kali hanya
fungsi posisi bukan waktu. Dengan demikian bila faktor
waktu dapat dikeluarkan permasalahan akan menjadi
lebih sederhana.

10. IV. PEMISAHAN VARIABLE
Persamaan ini adaah persamaan Schrodinger
tergantung waktu. Persamaan yang tak tergantung dari
waktu yang dapt diperoleh dari ruass kiri dan disamakan
dengan suatu konstanta yaitu :
Atau dapat ditulis dengan :

11. V. Persamaan Schrodinger bebas waktu
Di sini faktor waktu tidak muncul lagi. Bila Hamiltonian
dituliskan maka persamaan menjadi :
Bila koefisien turunan kedua dibuat menjadi satu maka
persamaan menjadi :
Dan pengaturan lebih lanjut didapatkan :
Inilah persamaan Schrodinger bebas waktu (PSBW)

12. VI. KESIMPULAN
•Persamaan Schrodinger adalah persamaan yang
dapat digunakan untuk menjelaskan sifat-sifat
gelombang dari partikel.
• Pemisahan variabel adalah suatu metoda
penyelesaian persamaan diferensial dengan
beberapa variabel dengan menganggap bahwa solusi
merupakan produk dari persamaan satu variabel
(biasanya variabel posisi dan waktu)
• Persamaan Schrodinger bebas waktu merupakan
persamaan Schrodinger hanya merupakan fungsi dari
posisi saja (tidak tergantung dari waktu)
•   